向量值函數(shù)的導數(shù)與積分ppt課件

1、第九章第九章 向量值函數(shù)的導數(shù)與積分向量值函數(shù)的導數(shù)與積分9.2.1 向量值函數(shù)的導數(shù)與微分向量值函數(shù)的導數(shù)與微分內(nèi)容小結與作業(yè)內(nèi)容小結與作業(yè)9.2.2 空間曲線的切線及法平面方程空間曲線的切線及法平面方程 1向量值函數(shù)導數(shù)與微分的概念向量值函數(shù)導數(shù)與微分的概念義，假設極限( ) trr定義定義9.2.1 設向量值函數(shù)設向量值函數(shù)在 t 的某鄰域內(nèi)有定00()( )limlimttttttt rrr存在， 那么稱向量值函數(shù) r(t) 在 t 處可導， 并稱極限值為向量值函數(shù) r(t) 在 t 處的導數(shù)， ( ) t rd.dtr記為或者明顯地， ( ) t r也是一個向量值函數(shù)假設向量值函數(shù)

2、r(t) 在 t 處可導，那么r(t) 在 t 處延續(xù). 9.2.1 向量值函數(shù)的導數(shù)與微分向量值函數(shù)的導數(shù)與微分( ) t r( )( ( )ttrr與一元數(shù)量函數(shù)類似，可以進一步定義向量值函數(shù)的高階導數(shù)，如 r(t)的二階導數(shù)定義為的導數(shù), 即:向量值函數(shù)的導數(shù)的幾何解釋向量值函數(shù)的導數(shù)的幾何解釋a二維向量值函數(shù)的情形二維向量值函數(shù)的情形b三維向量值函數(shù)的情形三維向量值函數(shù)的情形()( )PQttt rr 假設點 P 和 Q 的位置向量為 r(t) 與 r(t+t), 那么這個向量可以看作是割線向量 ( ) tr0,0t 當時, 割線向量( ) t r假設存在，且趨于曲線在點 P 處的切線

3、向量線這樣, 曲線r(t) 在點 P處的切向量為( )( ).ttTr那么稱為曲線r(t) 在點 P 處的切向量, 過 P( ) t r點且以為方向向量的直線為曲線 r(t) 在點P處的切( ) t r向量值函數(shù)的導數(shù)的物理意義向量值函數(shù)的導數(shù)的物理意義:r(t)表示在平面上與空間中運動的質點在表示在平面上與空間中運動的質點在 t 時辰的位置時辰的位置,對應的幾何曲線為質點的運動軌跡, ()( )ttt rrr是質點在時間段 t, t + t 上的位移,tr是質點在這段時間內(nèi)的平均速度，( ) t r是質點在時辰 t 的瞬時速度 v(t)，即( )( ),ttvr 速度的方向或質點運動的方向是

4、運動軌跡的切線方向,( )( )ttvr是質點在時辰 t 的瞬時加速度 a (t).( )( )( )( ) ,tf tg th trijk( )( )( )( ) .tftg th trijk( )( )( )( ) .tftg th trijk向量值函數(shù)的導數(shù)可經(jīng)過計算其分量函數(shù)的導數(shù)得到.其中各分量函數(shù)在點 t 處可導, 那么 r(t) 在點 t 處可導, 且定理定理9.2.2 設三維向量值函數(shù)設三維向量值函數(shù) 同樣，對于可導的二維向量值函數(shù)有類似的結論.的二階導數(shù)為三維向量值函數(shù)( )( )( )( )tf tg th trijk(1)( ) cos , sin ;tat btr(2)

5、( ) cos , sin ,.tat bt ctr(1)( )sin , cos ,tat bt r( )(cos ,sin ).tatbt r(2)( )sin , cos , ,tat bt c r( )(cos ,sin ,0).tatbt r例例1 計算以下向量值函數(shù)的一階及二階導數(shù)：計算以下向量值函數(shù)的一階及二階導數(shù)：解這里, (1)中的二維向量值函數(shù)對應的圖形是二維平面上的橢圓曲線; (2)中的三維向量值函數(shù)對應的圖形是三維空間上的螺旋曲線( ) tr0,且在區(qū)間 I 內(nèi)光滑的( ) trI( ) t r 假設一個向量值函數(shù)在區(qū)間上滿足延續(xù)， 例如，例1中的橢圓曲線與螺旋曲線都是

6、光滑的I我們就稱在區(qū)間上是( ) tr 一條曲線假設由多個光滑的片段組成，那么就稱這條曲線為分段光滑曲線2( )(3 ,2 ),tttr(0)(0,0),r解解 由于由于 光滑的曲線在點(1, 0) (對應t = 0)忽然改動了方向，在曲線上出現(xiàn)了尖點的特征所以，該曲線不是32( )1, tt tr能否為光滑曲線？ 例2 判別曲線xyo 尖點1( )(1,2 , 2sin2 ),tttr22( )1 44sin 2 ,tttr( )(0,2, 4cos2 ).ttr解解 質點的速度為質點的速度為 質點的速率為質點的加速度為 2( )( ,cos2 ),tt ttr例例3 一個質點的位置向量為一

7、個質點的位置向量為 求質點的速度、加速度與速率d( )d .t trr可導的向量值函數(shù) r = r (t) 的微分定義為dd ( )d ( )( )d( )d.f tg tfttg ttrijijdd ( )d ( )d ( )( )d( )d( )d.f tg th tf ttg tth ttrijkijk( )( )( ) ,tf tg trij對于可導的二維向量值函數(shù)( )( )( )( ) ,tf tg th trijk對于可導的三維向量值函數(shù)對于二維向量值函數(shù)與三維向量值函數(shù)，dr 是一個與( ) t r與切向量同向；( )( )ttTr平行的向量，曲線的切向量當 dt 0 時, d

8、r與反向.當dt 0 時, dr與切向量( ) t r數(shù)值函數(shù)，設u(t), v(t)為可導的向量值函數(shù)，常數(shù)，那么有定理定理9.2.1 C 為常向量為常向量 (即即 C的各分量都為常數(shù)的各分量都為常數(shù)), k 為為f (t)為可導2向量值函數(shù)的求導法那么向量值函數(shù)的求導法那么d(1)dtC0;d(2)( )( )( )( )dtttttuvuv;d(3)( )( )dktkttuu; ( 7 ) 鏈式法那么：設 u (s)為可導的向量值函數(shù)，s = f (t)為可導的數(shù)值函數(shù)，那么d(4)( )( )( )( )( )( )dfttfttftttuuu;d(5)( )( )( )( )( )

9、( )dtttttttuvuvuv;d(6)( )( )( )( )( )( )dtttttttuvuvuv;ddd( )( )( )( ).dddssftftfttstuuuu例例4 ( ) tr0,設 r(t) 是可導的向量值函數(shù)，且假設| ( )|,tCr( ) tr( ) t r(C為常數(shù))，證明：與垂直22( )( ) | ( )|,tttCrrrd0 ( )( )( )( )( )( )2 ( )( ).dtttttttttrrrrrrrr證證 由于由于那么由求導法那么 (5) 知( )( )0,ttrr 因此，幾何意義幾何意義: 假設一條曲線位于一個以原點為球心的假設一條曲線位于

10、一個以原點為球心的也就是說( ) tr( ) t r與垂直垂直于位置向量球面上, 那么它的切向量( ) t r( ).tr( )( )( ),tmttLrv( )( )( ),tmttMra 例5 假設質量為 m 的質點的位置向量為r(t), 角動量轉動力矩為 證明：( )( ),( )( ),ttttvrav( )( ( )( )( )( )( )( )( ),tmttttmtttLvvraraM( ),tL0證證 由求導法那么由求導法那么6，知，知留意到 那么特別，當 M(t) = 0 時,從而L(t)為常向量.這就是物理學中的角動量守恒定律( )( ).ttLM( )( ( )( )(

11、)( ),tmttttLrvrv0000( )( ),( ),( ),tf tg th tT000000()()(),()()()xftyg tzh tftgtht:( ),( ),( )xf tyg tzh t空間曲線在點 t0 處的切線向量為000(),(), ()P f tg th t空間曲線 在點的切線方程為000000( )( )( )( )( )( )0.f txf tg tyg th tzh t稱過點 P 且與向量 T (t) 垂直的平面為空間曲線 的法平面，其方程為9.2.2 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面切線方程與法平面方程且點(1,1,1) 與 t = 1對應,( )(1,2,3),t T所以，在點(1, 1, 1)處曲線的切線向量為因此，所求切線方程為23:,xt ytzt例例6 求空間曲線求空間曲線在點(1, 1, 1)處的21,2 ,3 ,xyt zt解解 由于由于111,123xyz(1)2(