3.1回歸分析的基本思想及其初步應用

1、31 回歸分析的基本思想及其初步應用考點學習目標核心素養(yǎng)線性回歸方程會利用散點圖分析兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系，會用最小二乘法求線性回歸方程直觀想象、數(shù)學運算、 數(shù)據(jù)分析線性回歸分析會用殘差及 R2 來刻畫線性回歸模型的擬合效 果數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、 數(shù)學建模非線性回歸分析能記住建立回歸模型的方法和步驟，能知道如何利用線性回歸模型求非線性回歸模型數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析問題導學預習教材 P80P89 的內(nèi)容 ， 并思考下列問題： 1什么是回歸分析？ 2什么是線性回歸模型？ 3求線性回歸方程的步驟是什么？ 4如何進行線性回歸分析和非線性回歸分析？1 回歸分析回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析

2、的一種常用方法， 回歸分析的基本步驟是畫出兩個變量的散點圖，求回歸直線方程，并用回歸直線方程進行預報2線性回歸模型n i1（xi x）（yi y） （1）在線性回歸直線方程 ya bx中，bi 1 n ，a y bx，其中 xi1 （ xi x ）21 n 1 n 1ni1xi， y 1ni1yi， （ x ， y ）稱為樣本點的中心，回歸直線過樣本點的中心（2）線性回歸模型 ybxae，其中 e稱為隨機誤差，自變量 x 稱為解釋變量，因變量y 稱為預報變量3刻畫回歸效果的方式方式方法計算公式刻畫效果R2ni1 （ yiyi） 2 R21 in1i1（yiy）2R2 越接近于 1，表示回歸的效

3、果越好殘差圖ei 稱為相應于點 （xi，yi ）的殘差， eiyiyi殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，其中這樣的帶狀區(qū)域 的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高殘差 平方和n i1 （yi yi）2殘差平方和越小，模型的擬合效果越好名師點撥(1) 對回歸分析的理解 回歸分析是確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型 ， 可分為線性回歸分析和非線性回歸分析(2) 隨機誤差與殘差隨機誤差是在建模的時候引入 ，用來解釋由于數(shù)據(jù)本身具有測量誤差而導致的最終結(jié)果與實際數(shù)值的偏差而殘差是回歸分析得到的估計值

4、與實際值的偏差1 判斷正誤 ( 正確的打“”，錯誤的打“×” )(1) 求線性回歸方程前可以不進行相關(guān)性檢驗 ( )(2) 在殘差圖中，縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號 ( )(3) 利用線性回歸方程求出的值是準確值 ( )2.對于自變量 x和因變量 y，當 x取值一定時， y的取值帶有一定的隨機性， x，y之間的這 種非確定性關(guān)系叫做 ( )A 函數(shù)關(guān)系B線性關(guān)系 C相關(guān)關(guān)系 D 回歸關(guān)系3. 已知回歸方程 y2x 1，而試驗得到一組數(shù)據(jù)是 (2， 4.9)，(3，7.1)， (4， 9.1)，則殘差平 方和是 ( )A0.01 B0.02C0.03D 0.044. 如圖是一組

5、數(shù)據(jù)(x， y)的散點圖，經(jīng)最小二乘法計算，y與 x之間的線性回歸方程為 ybx1，則b線性回歸方程在某種產(chǎn)品表面進行腐蝕刻線試驗， 得到腐蝕深度 y 與腐蝕時間 x 之間的一組觀察值如下表 .x(s)5101520304050607090120y( m)610101316171923252946(1)畫出散點圖；(2)求 y 與 x 之間的線性回歸方程；(3) 利用線性回歸方程預報時間為 100 s 時腐蝕深度為多少總結(jié):求線性回歸方程的三個步驟(1) 畫散點圖： 由樣本點是否呈條狀分布來判斷兩個量是否具有線性相關(guān)關(guān)系(2) 求回歸系數(shù)： 若存在線性相關(guān)關(guān)系 ， 則求回歸系數(shù)(3) 寫方程：

6、 寫出線性回歸方程 ，并利用線性回歸方程進行預報說明強化訓練 :1一位母親記錄了自己兒子 39 歲的身高數(shù)據(jù) (略)，由此建立的身高與年齡的回歸模型為y 7.19x 73.93，用這個模型預報這個孩子 10 歲時的身高，則正確的敘述是 ( )A 身高一定是 145.83 cmB 身高在 145.83 cm 以上C身高在 145.83 cm 左右D 身高在 145.83 cm 以下2煉鋼是一個氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短，必須掌握鋼 水含碳量和冶煉時間的關(guān)系 如果已測得爐料熔化完畢時鋼水的含碳量 x 與冶煉時間 y(從煉1010料熔化完畢到出鋼的時間 )的數(shù)據(jù) (xi，

7、yi)(i1，2，10)并已計算出 xi1 598， yi1 720，i 1i11010xi2265 448， xiyi287 640，試求冶煉時間 y與鋼水的含碳量 x之間的回歸方程 .i 1i1線性回歸分析x 與成熟期有效穗 y假定小麥基本苗數(shù) 之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得 5 組數(shù)據(jù)如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以 x 為解釋變量， y 為預報變量，作出散點圖；(2)求 y 與 x之間的回歸方程，對于基本苗數(shù)為56.7 時預報有效穗；(3)計算各組殘差，并計算殘差平方和；(4) 求相關(guān)指數(shù) R2，并說明殘差變量對有效穗的影響占

8、百分之幾？(1)該類題屬于線性回歸問題 ， 解答本題應先通過散點圖來分析兩變量間的關(guān)系是否線 性相關(guān) ，然后再利用求回歸方程的公式求解回歸方程 ，并利用殘差圖或相關(guān)指數(shù) R2 來分析 函數(shù)模型的擬合效果 ， 在此基礎(chǔ)上 ， 借助回歸方程對實際問題進行分析(2)刻畫回歸效果的三種方法 殘差圖法：殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適；殘差平方和法：殘差平方和n（yiyi）2 越小，模型的擬合效果越好；n（ yiyi）2i 1相關(guān)指數(shù)法：R21越接近 1， 表明回歸的效果越好 .n(yi y )2i1強化訓練為研究質(zhì)量 x(單位：克 )對彈簧長度 y(單位：厘米 )的影響，對不

9、同質(zhì)量的 6 個物體進行測量，數(shù)據(jù)如表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖，并求線性回歸方程；(2)求出 R2；(3)進行殘差分析非線性回歸分析菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進 行噴灑， 以防止害蟲的危害， 但采集上市時蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥， 食用時需要用清水 清洗干凈，下表是用清水 x（單位：千克 ）清洗該蔬菜 1 千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥 y（單位： 微克 ）的統(tǒng)計表：x12345y5854392910（1）令 x2，利用給出的參考數(shù)據(jù)求出 y 關(guān)于 的回歸方程 yba.（a，b精確到 0.1）5 5 5 參考數(shù)據(jù)：i55，

10、（i） （yi y） 751， （i）2374，其中 i xi2， i 1i1i15i1i.（2）對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當它的殘留量不高于20 微克時對人體無害，為了放心食用該蔬菜， 請估計至少需要用多少千克的清水清洗 1 千克蔬菜？ （精確到 0.1，參考數(shù)據(jù)52.24） 附：對于一組數(shù)據(jù) （u1，v1），（u2，v2）， （un， vn），其回歸直線 vu 的斜率和截n （ ui u ）（ vi v ） i 1 距的最小二乘估計分別為 ， v u .n（ ui u ） 2i1總結(jié) :求非線性回歸方程的步驟（1）確定變量 ，作出散點圖（2）根據(jù)散點圖 ， 選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)（3）變量置

11、換 ，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題， 并求出線性回歸方程（4）分析擬合效果：通過計算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果（5）根據(jù)相應的變換 ， 寫出非線性回歸方程強化訓練 :某地今年上半年患某種傳染病的人數(shù)y（人） 與月份 x（月 ）之間滿足函數(shù)關(guān)系，模型為 y aebx，確定這個函數(shù)解析式月份 x/月123456人數(shù) y/人526168747883訓練題 1散點圖在回歸分析過程中的作用是( )A 查找個體個數(shù)B比較個體數(shù)據(jù)大小關(guān)系C探究個體分類D粗略判斷變量是否線性相關(guān)2為研究兩個變量之間的關(guān)系，選擇了4 個不同的模型進行擬合，計算得它們的相關(guān)指數(shù)R2，其中擬合效果最好的模型

12、是 ()A相關(guān)指數(shù) R2為 0.96B相關(guān)指數(shù) R2為 0.75C相關(guān)指數(shù) R2為 0.52D相關(guān)指數(shù) R2 為 0.343已知 x， y 的取值如下表所示，若y與 x線性相關(guān)，且 y0.95xa，則a()x0134y2.24.34.86.7A 2.2B2.9C2.8D 2.64已知變量 x和 y滿足關(guān)系 y0.1x10，變量 z與 y負相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是 ( ) Ax與 y負相關(guān)， x與 z負相關(guān)Bx與y正相關(guān)， x與 z正相關(guān)Cx 與 y 正相關(guān)， x 與 z負相關(guān)Dx與 y 負相關(guān)， x 與 z正相關(guān)5下列說法中正確的是 ( )相關(guān)系數(shù) r 用來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱，|

13、r|越接近于 1，相關(guān)性越弱； 回歸直線 ybxa一定經(jīng)過樣本點的中心 (x ， y )； 隨機誤差 e 滿足 E(e)0，其方差 D(e)的大小用來衡量預報的精確度； 相關(guān)指數(shù) R2 用來刻畫回歸的效果， R2越小，說明模型的擬合效果越好A BCDA 組訓練題1關(guān)于回歸分析，下列說法錯誤的是（ ）A回歸分析是研究兩個具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法 B散點圖中，解釋變量在 x 軸，預報變量在 y 軸 C回歸模型中一定存在隨機誤差 D散點圖能明確反映變量間的關(guān)系2根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為ybxa，若a5.4，則 x 每增加 1 個單位，估計y（ ）x34567y42.50.50.52A增加 0

14、.9個單位B減少 0.9 個單位C增加 1 個單位D減少 1 個單位3對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x， y 有一組觀測數(shù)據(jù) （xi， yi）（i 1， 2， 8），其回歸直線 1 方程是 y bx ，且 x1x2x3 x8 2（y1y2y3 y8）6，則實數(shù) b的值是 （）8A1161B141C 13D4.如圖， 5個 （x，y）數(shù)據(jù)，去掉 D（3，10）后，下列說法錯誤的是 （ ）A 相關(guān)系數(shù) r 變大 B殘差平方和變大C相關(guān)指數(shù) R2變大 D解釋變量 x與預報變量 y 的相關(guān)性變強5若某地財政收入 x 與支出 y 滿足線性回歸方程 ybx ae（單位：億元 ），其中 b0.8， a2， |e|

15、 0.5.如果今年該地區(qū)財政收入 10 億元，則年支出預計不會超過 （ ）A 10 億元B 9 億元C 10.5 億元D 9.5 億元6某市居民 20142018 年家庭年平均收入 x（單位：萬元 ）與年平均支出 y（單位：萬元 ）的統(tǒng) 計資料如表：年份20142015201620172018收入 x11.512.11313.515支出 y6.88.89.81012根據(jù)統(tǒng)計資料， 居民家庭年平均收入的中位數(shù)是 ，家庭年平均收入與年平均支出有 （填“正”或“負” ）線性相關(guān)關(guān)系7關(guān)于變量 x，y 的一組樣本數(shù)據(jù) （a1， b1），（a2， b2）， （an， bn）（ n 2， a1， a2，

16、an不全相等 ）的散點圖中，若所有樣本點 （ai，bi）（i1，2， n）恰好都在直線 y2x1 上，則根據(jù)這組樣本數(shù)據(jù)推斷的變量x，y 的相關(guān)系數(shù)為 8某種產(chǎn)品的廣告費支出 x 與銷售額 y（單位：萬元 ）之間的關(guān)系如下表：x24568y3040605070y與 x 的線性回歸方程為 y6.5x17.5，當廣告支出 5萬元時，隨機誤差的效應 （殘差） 為9某企業(yè)為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進行合理定價，將產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得 到一組銷售數(shù)據(jù) （xi，yi）（i1，2， 6），如表所示：試銷單價 x/ 元456789產(chǎn)品銷量 y/件q8483807568已知 y 80，(1)求 q 的值

17、；(2)已知變量 x，y 具有線性相關(guān)性， 求產(chǎn)品銷量 y關(guān)于試銷單價 x 的線性回歸方程 y bx 6 6a.可供選擇的數(shù)據(jù)i1xiyi3 050，i1xi2271.(3) 用y表示(2)中所求的線性回歸方程得到的與xi 對應的產(chǎn)品銷量 yi 的估計值當銷售數(shù)據(jù)(xi，yi)(i1，2， 6)對應的殘差的絕對值 |yiyi|1 時，則將銷售數(shù)據(jù) (xi，yi)稱為一個 “好數(shù)據(jù)”試求這 6 組銷售數(shù)據(jù)中的“好數(shù)據(jù)”n i1xiyi n x y 參數(shù)數(shù)據(jù)：線性回歸方程中 b，a的最小二乘估計分別是 b ni1 ，a y bx . i1xi2 n( x ) 2B 能力提升 10對于給定的樣本點所

18、建立的模型A 和模型 B，它們的殘差平方和分別是 a1，a2，R2的值分別為 b1， b2，下列說法正確的是 ( )A 若 a1<a2，則 b1<b2，A 的擬合效果更好B若 a1<a2，則 b1<b2，B 的擬合效果更好C若 a1<a2，則 b1>b2，A 的擬合效果更好D若 a1<a2，則 b1>b2 ，B 的擬合效果更好11某品牌手機銷售商今年 1，2， 3月份的銷售量分別是 1萬部， 1.2萬部， 1.3 萬部，為估 計以后每個月的銷售量，以這三個月的銷售為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該品牌手機的銷售量 y(單位：萬部 )與月份 x之間的關(guān)系， 現(xiàn)從二次函數(shù) yax2bxc(a 0)或函數(shù) yabxc(b>0，b1）中選用一個效果好的函數(shù)進行模擬，如果4月份的銷售量為 1.37萬部，則 5 月份的銷售量為 萬部12（2