概率論_第4-5章詳細(xì)習(xí)題解(中國農(nóng)業(yè)出版社_劉金山主編)

1、習(xí)題4解答 1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為012求:, 及.解: 由期望的定義,可得,.從而 ,.2.把4個(gè)球隨機(jī)地投入4個(gè)盒子中,設(shè)X表示空盒子的個(gè)數(shù),求:和.解:先求X的概率分布.X的可能取值為0,1,2,3.于是,.于是,.3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求:和.解: . 4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求:和.解 ,.于是.5.設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,求.解: 由于X服從二項(xiàng)分布,所以和.于是有.6.已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布,求.解: 因?yàn)閄服從參數(shù)為2的泊松分布,所以,從而.7.設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天

2、停止工作,一周5個(gè)工作日,若無故障,可獲利潤10萬元;發(fā)生一次故障仍可獲利潤5萬元;若發(fā)生兩次故障,或利潤0元;若發(fā)生3次或3次以上故障就要虧損2萬元.求一周內(nèi)的利潤期望.解: 設(shè)這部機(jī)器內(nèi)有X天發(fā)生故障,一周的利潤為Y萬元,由題意可知,且則 8.設(shè)某工廠生產(chǎn)的圓盤,其直徑在區(qū)間上服從均勻分布,求該圓盤面積的數(shù)學(xué)期望.解: 設(shè)X表示圓盤的直徑,由題意可知X的概率密度為于是該圓盤面積的數(shù)學(xué)期望為.9.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求: (1) ;(2) 的數(shù)學(xué)期望.解: (1) 由于X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,故.從而 .（2）.10.設(shè)隨機(jī)變量和是相互獨(dú)立的,且服從同一分布,已知的分布律為.又設(shè),.(

3、1) 求二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律;(2) 求和.解: (1) (X,Y)的分布律為 (2) 由(X,Y)的分布律可得關(guān)于X的邊緣分布律為 故. 11.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求:,和.解: .12.設(shè)隨機(jī)變量X,Y分別服從參數(shù)為2和4的指數(shù)分布,(1)求:,.(2)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,求,.解: (1) 由于X,Y分別服從參數(shù)為2和4的指數(shù)分布,故,.因此,又.從而. (2) ,.13.設(shè),且X和Y相互獨(dú)立,求隨機(jī)變量的概率密度.解: 因?yàn)?且X和Y相互獨(dú)立,于是,.即有.從而隨機(jī)變量的概率密度為.14.設(shè)有10個(gè)獵人正等著野鴨飛過來,當(dāng)一群野鴨飛過頭頂時(shí),他們同時(shí)開了槍,但他們每

4、個(gè)人都是隨機(jī)地,彼此獨(dú)立地選擇自己的目標(biāo).如果每個(gè)獵人獨(dú)立地射中其目標(biāo)的概率均為,試求當(dāng)10只野鴨飛來時(shí),沒有被擊中而飛走的野鴨數(shù)的期望值.解: 設(shè)飛走的野鴨的期望值可表示為.又由于.因此.15.一個(gè)骰子擲10次,求得到的總點(diǎn)數(shù)的期望.解: 令表示第次擲骰子的點(diǎn)數(shù),于是總點(diǎn)數(shù)的期望可表示為.又.因此.16.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為 求:, .解: 關(guān)于X和Y的邊緣分布律為所以,.又因此.17.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求:, .解: .故.18.設(shè)隨機(jī)變量服從拉普拉斯分布,其概率密度為.(1)求和.(2)求與的協(xié)方差，并問與是否不相關(guān)?(3)問與是否相互獨(dú)立？ 解 (1),而,所

5、以.(2) ,故X與不相關(guān).(3),又,故.可見X與不相互獨(dú)立.19.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,且和,求二項(xiàng)分布的參數(shù)的值.解: 由,可得.由,可得.從而由上解得.20.某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為,各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立,當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格品時(shí)即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已產(chǎn)生了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X,求和.解: 記.而X可能取的值為全體自然數(shù).由題意得.于是.因?yàn)?,所以.又因?yàn)?.于是.故.21.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間上服從均勻分布,隨機(jī)變量求:和.解: 由題意,X的概率密度為則.故.故.22.設(shè)隨機(jī)變量X概率密度為對(duì)X獨(dú)立地觀察4次,用Y表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.解: 因?yàn)?

6、故,得.所以.23.設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,隨機(jī)變量求: (1)的分布律;(2) .解: 由已知,Y的概率密度為所有可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(1).(2) .24.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,求.解: 記,由,知.即.所以.25.已知隨機(jī)變量，且和的相關(guān)系數(shù)為設(shè)(1)求和；(2)求和的相關(guān)系數(shù)解 (1)由題意知, .而所以(2) ，因此和的相關(guān)系數(shù)為26.設(shè)為隨機(jī)事件，且，令，求：(1)二維隨機(jī)變量的分布律；(2)和的相關(guān)系數(shù)解 又 (1)故(X,Y)的分布律為 (2) 由(1)易得關(guān)于X,Y的邊緣分布律分別為故而由(X,Y)

7、的分布律,可知故得27將一枚硬幣重復(fù)擲次，以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，求和的相關(guān)系數(shù)解 因?yàn)?所以.故,所以X和Y的相關(guān)系數(shù)為.習(xí)題5解答1設(shè)為隨機(jī)變量，試估計(jì)解:由切比雪夫不等式,有.2某路燈管理所有20000只路燈，夜晚每盞路燈開的概率為0.6，設(shè)路燈開關(guān)是相互獨(dú)立的，試用切貝雪夫不等式估計(jì)夜晚同時(shí)開著的路燈數(shù)在11000-13 000盞之間的概率解: 記X為晚上開著的路燈數(shù)，則，因此 ,.由切比雪夫不等式有.3在重伯努利試驗(yàn)中，若已知每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率為0.75，請(qǐng)利用切貝雪夫不等式估計(jì)，使出現(xiàn)的頻率在0.74至0.76之間的概率不小于0.90.解:假設(shè), .,則, ,其

8、中,所以.解得.4某批產(chǎn)品合格率為06，任取10000件，其中合格品在5980件到6020件之間的概率是多少？解: 假設(shè)X表示任取10000件產(chǎn)品中,合格品的數(shù)量,則.即,根據(jù)中心極限定理,近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則.5某保險(xiǎn)公司有3000個(gè)同一年齡段的人參加人壽保險(xiǎn)，在一年中這些人的死亡率為0.1%參加保險(xiǎn)的人在一年的開始交付保險(xiǎn)費(fèi)100元，死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取10000元求：(1)保險(xiǎn)公司一年獲利不少于240000元的概率；(2)保險(xiǎn)公司虧本的概率解:假設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù),則.且,并根據(jù)中心極限定理, 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則(1)保險(xiǎn)公司一年內(nèi)獲利不少于240000元的概率為:

9、.(2)保險(xiǎn)公司虧本的概率為:.6計(jì)算器在進(jìn)行加法時(shí)，將每個(gè)加數(shù)舍入最靠近它的整數(shù)，設(shè)所有舍入誤差相互獨(dú)立且在上服從均勻分布，(1)將1500個(gè)數(shù)相加，問誤差總和的絕對(duì)值超過15的概率是多少？(2)最多可有幾個(gè)數(shù)相加使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.9？解: 假設(shè)表示每次計(jì)算時(shí),所得到的誤差,則,表示1500個(gè)數(shù)相加,所得到誤差總和,根據(jù)中心極限定理, 近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,(1) (2)假設(shè)最多可有n個(gè)數(shù)相加使得誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率不小于0.90:解得.7對(duì)敵人的防御地帶進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個(gè)均值為2，方差為1.69的隨機(jī)變量求在100次轟炸中

10、有180到220顆炸彈命中目標(biāo)的概率解:假設(shè),則表示100次轟炸中,擊中目標(biāo)的總次數(shù),則,根據(jù)中心極限定理, 近似服從正態(tài)分布,則有.8有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3米，現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取100根，求其中至少有30根短于3米的概率解: 設(shè),，則表示100根木柱中,短于3米的數(shù)目,且,.9分別用切比雪夫不等式與德莫弗-拉普拉斯定理確定：當(dāng)擲一枚硬幣時(shí)，需要擲多少次才能保證出現(xiàn)正面的頻率在0.4和0.6之間的概率不少于0.9？解: 設(shè),，則表示擲n次硬幣,正面向上的次數(shù),這里是出現(xiàn)正面的頻率下面分別用切比雪夫不等式和德莫弗-拉普拉斯定理估計(jì)n,(1)由切比雪夫不等式:.(2)

11、由德莫弗-拉普拉斯定理.,即n至少要取68.10已知在某十字路口，一周內(nèi)事故發(fā)生數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2.2，標(biāo)準(zhǔn)差為1.4，(1)以表示一年內(nèi)(52周計(jì))此十字路口事故發(fā)生數(shù)的算術(shù)平均，使用中心極限定理求的近似分布，并求；(2)求一年內(nèi)事故發(fā)生數(shù)小于100的概率解:(1)經(jīng)計(jì)算,根據(jù)中心極限定理, 近似服從期望為2.2,方差為的正態(tài)分布,即.且(2)一年內(nèi)事故發(fā)生數(shù)少于100的概率為: 11為檢驗(yàn)一種新藥對(duì)某種疾病的治愈率為80%是否可靠，給10個(gè)患該疾病的病人同時(shí)服藥，結(jié)果治愈人數(shù)不超過5人，試判斷該藥的治愈率為80%是否可靠解:假設(shè),.則,表示10個(gè)服用該藥的患者的治愈人數(shù),則根據(jù)德莫弗-拉普拉斯定理X近似服從,所以.由此可以看出假定治愈率為80%是不可靠的.12一公寓有200個(gè)住戶，一戶住戶擁有汽車輛數(shù)的分布律為0120.10.60.3問需要多少車位，才能使每輛汽車都有一個(gè)車位的概率至少為0.95？解：假設(shè)表示第i戶人家擁有的汽車數(shù)，則, ,根據(jù)中心極限定理, 近似服從,所以假設(shè)需要n個(gè)車位,才能使每輛汽車都具有一個(gè)車位的概率至