第五章靜電場中的電介質(zhì)

1、第5章 靜電場中的電介質(zhì) 本章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解：電介質(zhì)的概念和分類；電介質(zhì)對電場的影響；電介質(zhì)的極化和極化電荷；D的高斯定理；電容器和電容的概念，電容器的能量。 本章教學(xué)內(nèi)容1電介質(zhì)對電場的影響2電介質(zhì)的極化3D的高斯定律4電容器和它的電容5電容器的能量 本章重點用D的高斯定理計算電介質(zhì)中靜電場的分布和電介質(zhì)的極化電荷密度；電容和電容器能量的計算。 本章難點電介質(zhì)的極化機制、電位移矢量。5. 1 電介質(zhì)對電場的影響如果介質(zhì)是均勻的，極化的介質(zhì)內(nèi)部仍然沒有凈電荷，但介質(zhì)的表面會出現(xiàn)面電荷，稱為極化電荷。極化電荷不是自由電荷，不能自由流動（有時也稱為束縛電荷），但極化電荷仍能產(chǎn)生一個附加電場使介質(zhì)中的

2、電場減小。介質(zhì)中的電場是自由電荷電場與極化電荷的電場迭加的結(jié)果。下面考慮一種比較簡單而常見的情況，即各向同性介質(zhì)均勻地充滿電場的情況來定量地說明這種迭加的規(guī)律。所謂介質(zhì)均勻地充滿電場，舉例來說，對于平板電容器，只需要一種各向同性的均勻介質(zhì)充滿兩板之間就夠了；而對于點電荷，原則上要充滿到無窮遠的地方。實驗證明，若自由電荷的分布不變，當(dāng)介質(zhì)均勻地充滿電場后，介質(zhì)中任一點的和場的電場強度E為原來真空中的電場強度的分之一，即其中為介質(zhì)的相對介電常量，取決于介質(zhì)的電學(xué)性質(zhì)。對于“真空”，對于空氣，近似有，對其它介質(zhì)，。加入介質(zhì)以后場強的變化是由于介質(zhì)中產(chǎn)生的極化電荷激發(fā)的附加電場參與迭加而形成的。在介質(zhì)

3、均勻地充滿電場這種簡單條件下，我們可以通過真空中的電場和介質(zhì)中的電場的比較，由自由電荷分布推算出極化電荷的分布。以點電荷為例，真空中的點電荷在其周圍空間任一點p激發(fā)的電場為充滿介質(zhì)以后，點電荷本身激發(fā)的場強并不會因極化電荷的出現(xiàn)而改變，即仍為上式。極化電荷是分布在介質(zhì)表面上，即介質(zhì)與點電荷交界面上。這是一個很小的范圍，從觀察p看去，極化電荷也是一個點電荷，設(shè)其電量為，它在p點激發(fā)的電場應(yīng)為介質(zhì)中的場強應(yīng)是與迭加的結(jié)果又由前式可知，介質(zhì)中點電荷電場中的合場強為真空中場強的，故有比較這兩式即可得到上式表示自由電荷和束縛電荷的總和等于自由電荷的。于是我們可解得點電荷周圍的極化電荷電量由于，故極化電荷

4、與自由電荷反號，這是預(yù)期中的結(jié)果。對于其它的電荷分布，只要是在介質(zhì)均勻地充滿電場的條件下，均可如此分析。按，可知場強總是為真空中自由電荷產(chǎn)生場強的，由之可以理解，這時每個地方的自由電荷和束縛電荷的總和均應(yīng)為自由電荷的，即有，于是我們依然可以得到。定義 為介質(zhì)的介電常量，則介質(zhì)中的點電荷電場為與點電荷在真空中的場強比較，公式形式不變，唯一的變化是把換成了。由于在所有的場強公式中，真空中的介電常量均在分母中，故在介質(zhì)均勻地充滿電場時，場強公式的形式都不會變，但必須把換作。上式中介質(zhì)中的場強比真空中要小，我們知道，這是由于極化電荷的場強影響的結(jié)果，但極化電荷在式子中并未出現(xiàn)，但它們影響已包含在之中了

5、。5.2 電介質(zhì)的極化電介質(zhì)中幾乎沒有自由電荷，分子中的電荷由于很強的相互作用而被束縛在一個很小的尺度（1010m）之內(nèi)。在外電場的作用下，這些電荷也會在束縛的條件下重新分布，產(chǎn)生新的電荷分布來削弱介質(zhì)中的電場，但卻不能象導(dǎo)體那樣把場強減弱為零。下面我們就來討論這種現(xiàn)象，而且只討論均勻的、各向同性的介質(zhì)的情況。分子由等量的正、負電荷構(gòu)成，在一級近似下，可以把分子中的正、負電荷作為兩個點電荷處理，稱為等效電荷，等效電荷的位置稱為電荷中心。若分子的正、負電荷中心不重合，則等效電荷形成一個電偶極子，其電偶極矩稱為分子的固有電矩，這種分子叫有極分子。如HCl分子，H原子一端帶電，Cl原子一端帶電，形成

6、一個電偶極子，這是化學(xué)中典型的極性共價鍵。幾種分子的固有電矩見表9.1。若分子的正、負電荷中心重合，則分子的電偶極矩為零，這種分子叫無極分子。H2、O2、N2、CO2分子即屬于這一類情況，化學(xué)中稱為非極性共價鍵。 有極分子的極化示意圖有極分子在沒有外場作用時，由于熱運動，分子電矩?zé)o規(guī)則排列而相互抵消，介質(zhì)不顯電性，見上圖(a)。在有外場E0的作用時，分子將受到一個力矩的作用（見上圖(b)）而轉(zhuǎn)動到沿電場方向有序排列，如圖 (c)所示意，這稱為介質(zhì)的極化。有極分子的極化是通過分子轉(zhuǎn)動方向?qū)崿F(xiàn)的，稱為取向極化。若撤去外場，分子電矩恢復(fù)無規(guī)則排列，極化消失，介質(zhì)重新回到電中性。分子熱運動的

7、無規(guī)則性與分子極化時的取向性是矛盾的，一般說來，電場越強，溫度越低，則分子的排列越有序，極化的效應(yīng)也越顯著。無極分子極化的示意圖無極分子在沒有外場作用時不顯電性，見上圖(a)。有外場作用時，正負電荷中心受力作用而發(fā)生相對位移，形成一個電偶極矩，稱為感生電矩，見圖(b)。感生電矩沿電場方向排列，使介質(zhì)極化，見圖 (c)所示意。無極分子的極化是由于分子正負電荷中心發(fā)生相對位移來實現(xiàn)的，故稱為位移極化。若撤去外場，無極分子的正、負電荷中心重新重合，極化消失，介質(zhì)恢復(fù)電中性。顯然，位移極化的微觀機制與取向極化不同，但結(jié)果卻相同：介質(zhì)中分子電偶極矩矢量和不為零，即介質(zhì)被極化了。所以，如果問題不涉及極化的

8、機制，在宏觀處理上我們往往不必對它們刻意區(qū)分。5. 3 D的高斯定律一介質(zhì)中的高斯定律靜電場中的高斯定理是普遍成立的，式子右邊的q是閉合曲面S內(nèi)的凈電荷。當(dāng)電場中有介質(zhì)時，它應(yīng)當(dāng)是自由電荷與極化電荷的總和即，于是高斯定理可記作式子中的極化電荷一般情況下是一個未知量，在應(yīng)用時不方便，我們設(shè)法把它用自由電荷來表示。嚴(yán)格的推證很麻煩，我們用介質(zhì)均勻地充滿電場的情況來說明這個問題。按前面所述，介質(zhì)均勻地充滿電場時，極化電荷出現(xiàn)在自由電荷旁，每個地方自由電荷和極化電荷的總電量均為自由電荷的，即有，把它代入高斯定理有由于在電場E中只有一種介質(zhì)，于是有定義一個新的物理量叫電位移矢量，用D表示， 即在電場中的

9、任意一點，電位移矢量等于該點介質(zhì)的介電常數(shù)與電場強度E之積。于是高斯定理表示為這就是介質(zhì)中的高斯定理，簡稱為D高斯定理。介質(zhì)中的高斯定理表明，電場中通過任一閉合曲面的電通量等于閉合曲面圍住的凈自由電荷?？梢宰C明，介質(zhì)中的高斯定理對任意的電荷分布，任意的介質(zhì)分布都成立。若介質(zhì)就是“真空”或空氣，此時，介質(zhì)中的高斯定理將還原為高斯定理原來的形式。和電場強度E相似，電位移矢量D也在電場所在空間構(gòu)成一個矢量場，其矢量線稱為電力線，簡稱D線。D線的方向表示D的方向，D線的密度表示D的大小。D的通量稱為電通量或D通量，表示通過曲面S的D線條數(shù)。D高斯定理表明：在閉合面S上的D通量等于曲面S內(nèi)自由電荷的代數(shù)

10、和即凈自由電荷。D高斯定理的物理意義是D線發(fā)自于正的自由電荷，終止于負自由電荷。這與電場線即E線不同，E線始于正電荷，終于負電荷而無論這種電荷是自由的還是束縛的，見下圖。D線的起點和終點與極化電荷無關(guān)，但不能認(rèn)為D與極化電荷無關(guān)。場強E是由自由電荷和極化電荷共同產(chǎn)生的，故E與極化電荷的分布相關(guān)，故由E定義的D亦與極化電荷的分布相關(guān)。圖9-14是在一個均勻電場中放入一個介質(zhì)球前后的E線和D線的分布情況，極化電荷對電場的影響，特別是對E和D方向的影響是十分明顯的。E線和D線均勻電場中放入介質(zhì)球前后的E線和D線電位移矢量的單位是c/m2即庫倫每平方米，與電荷面密度的單位相同。二介質(zhì)中的高斯定理的應(yīng)用

11、介質(zhì)中高斯定理可以用于求解帶電系統(tǒng)和介質(zhì)都具有高度對稱性時產(chǎn)生的電場的場強。下面我們通過幾個例題來講解它的應(yīng)用。用介質(zhì)中的高斯定理求電場同樣要求電荷，包括自由電荷和極化電荷分布滿足一定的對稱性。這在實際的導(dǎo)體和介質(zhì)的靜電問題中，則是要求導(dǎo)體和介質(zhì)本身的形狀對稱，于是才可能有電荷分布的對稱及電場分布的對稱，從而能簡單地求出D和E來。【例1】若導(dǎo)體外有介質(zhì)，求證，導(dǎo)體表面附近的電位移矢量與導(dǎo)體表面電荷面密度的關(guān)系為?！咀C明】如圖所示在導(dǎo)體表面附近作一底面為S的閉合柱面S，其側(cè)面與導(dǎo)體表面垂直。按D高斯定理，柱面上的D通量 由于在導(dǎo)體內(nèi)故，所以柱的下底沒有D通量。由于導(dǎo)體表面是等勢面，表面附近E與表

12、面垂直，故D也與表面垂直。所以柱的側(cè)面也沒有D通量。只有柱面上底面有D通量。所以有 得到 故命題得證，同時還有 若為正電荷，D和E垂直于導(dǎo)體表面指向?qū)w外，否則垂直于表面指向?qū)w內(nèi)。若介質(zhì)為空氣，則回到原來的導(dǎo)體表面附近場強與電荷面密度的關(guān)系 【例2】半徑為r1的導(dǎo)體球帶電為，球外有一層內(nèi)徑為r1外徑為r2的各向同性均勻介質(zhì)，介電常量為，見下圖。求介質(zhì)中和空氣中的場強分布和電勢分布?！窘狻坑捎趯?dǎo)體和介質(zhì)都滿足球?qū)ΨQ性，故自由電荷和極化電荷分布也滿足球?qū)ΨQ性，因而電場的E和D分布也具有球?qū)ΨQ性，即其方向沿徑向發(fā)散，且在以O(shè)為中心的同一球面上D、E的大小相同。如圖在介質(zhì)中作一半徑為r的球面S1，按

13、D高斯定理 有 故 所以介質(zhì)中的場強 方向沿徑向發(fā)散。同理在介質(zhì)外作一球面S2，則仍然有 故介質(zhì)外的場強 方向沿徑向發(fā)散。介質(zhì)中距球心為r的一點的電勢為 空氣中距球心為r的一點的電勢為 電場中有介質(zhì)時，一般不宜用迭加原理來求場強E和電勢V，否則必須要考慮極化電荷單獨產(chǎn)生的那一部分場強和電勢。在一定的對稱條件下，用D高斯定理求出D，由得到E，進而用求出V是常用的方法。5.4 電容器和它的電容一電容器的概念導(dǎo)體可容納電荷，利用導(dǎo)體的這一性質(zhì)制成的電容器是電子技術(shù)中最基本的元件之一。我們把兩個導(dǎo)體定義為一個電容器，更復(fù)雜的情況可以用電容器的串聯(lián)、并聯(lián)等概念來處理。如下圖所示，有兩個導(dǎo)體A和B組成一個

14、電容器，A、B稱為電容器的兩個極板。設(shè)兩個極板分別帶電和，若沒有外電場的影響，實驗證明，兩極間的電壓V與電量Q成正比電容器的概念這個結(jié)果可以這樣來理解。若每個極板的電量均增加一倍，則每個地方分布的電荷都應(yīng)是原來的兩倍。按場強迭加原理，電場中每一點的場強也應(yīng)是原來的兩倍，電壓是兩極間場強的積分，自然也應(yīng)是原來的兩倍了。上式中的比例常數(shù)，定義為電容器的電容。電容取決于電容器的結(jié)構(gòu)即兩導(dǎo)體的形狀、相對位置及導(dǎo)體周圍電介質(zhì)的性質(zhì)而與電容器的帶電狀態(tài)無關(guān)。電容描述電容器的容電能力，即電容器中有單位電壓時每個極板所帶的電量。實際上，如上圖所示的那樣兩個一般的導(dǎo)體構(gòu)成的電容器的電容很小，而且容易受到外電場的

15、干擾而影響到Q和U的正比例關(guān)系。通常的實用電容器是由兩個距離很近的導(dǎo)體板構(gòu)成（如平板電容器），或是把電容器的一個極板做成一個導(dǎo)體空腔，另一個極板放在空腔之內(nèi)形成屏蔽（如圓柱形電容器，和球形電容器），這樣做的好處是電容器的電容較大而且不容易受到外電場的影響。二、常見電容器及其電容的計算1、平板電容器平板電容器一般的平板電容器由夾有一層介質(zhì)的兩個平行而靠近的金屬薄板A、B構(gòu)成，見上圖。設(shè)A板帶電，B板帶電，忽略邊緣效應(yīng)，電荷將各自均勻地分布在兩板的內(nèi)表面，電荷面密度的大小為 。由D高斯定理可求得兩板間的電位移矢量兩板間的電場強度為其中為介質(zhì)的介電常量，場強方向由A板指向B板。兩板間的電壓為其中積分

16、沿場強的方向進行。故平板電容器的電容為顯然，平板電容器的電容取決于兩板的形狀（S）、相對位置（d）和介質(zhì)的性質(zhì)（）。平板電容器充滿介質(zhì)后與不充介質(zhì)時電容的比值即與相對介電常量成正比，因而又稱為介質(zhì)的相對電容率，為介質(zhì)的電容率，為真空的電容率。2、圓柱形電容器圓柱形電容器圓柱形電容器由兩個同軸的金屬圓筒A、B構(gòu)成，見上圖。兩個圓筒的長度均為L，內(nèi)筒的外徑為RA，外筒的內(nèi)徑為RB，它們之間的介質(zhì)的介電常量為，設(shè)A筒帶電，B筒帶電。忽略邊緣效應(yīng)，電荷應(yīng)各自均勻地分布在A筒的外表面和B筒的內(nèi)表面上，單位長度上的電量 。由D高斯定理可求得兩筒之間距離軸線為r的p點的電位移矢量進而求出電場強度場強方向沿半

17、徑方向由A筒指向B筒。將場強沿徑向積分可得到兩筒間的電壓故圓柱形電容器的電容單位長度上的電容為3、球形電容器球形電容器球形電容器由兩個同心的導(dǎo)體球殼A、B構(gòu)成，見上圖。設(shè)內(nèi)球的外徑為RA，外球的內(nèi)徑為RB，兩球間介質(zhì)的介電常量為。若內(nèi)球帶電，外球帶電，則電荷將形成兩個均勻帶電球面，通過D高斯定理可求得兩球之間距離球心為r的p點的的場強方向沿半徑方向。兩球之間的電壓故球形電容器的電容為一個孤立的導(dǎo)體球可當(dāng)作是球形電容器的一種特殊情況，即的情況。設(shè)若，此時B球上的電荷將均勻地分布在一個無窮大的球面上，實際上可以認(rèn)為該電荷分布已可忽略不計。此時B球在無窮遠處,電勢為零，A、B球之間的電壓就是A球的電

18、勢。設(shè)介質(zhì)為空氣，則A球電勢為其中R即A球半徑，孤立導(dǎo)體球的電容為顯然，此式也可由前面的式子直接取而來。從以上三種電容器的計算結(jié)果可以看出，兩個極板間距越小,電容的值越大。但間距小了也會產(chǎn)生另一個問題，即電容器容易擊穿。對于額定的電壓，兩板間距越小，介質(zhì)中的場強越強，當(dāng)場強超過一定的限度（擊穿場強）時，分子中的束縛電荷能在強電場的作用下變成自由電荷，這時電介質(zhì)將失去絕緣性能而轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體，電容器被破壞。三電容的聯(lián)接在實際應(yīng)用中，若已有的電容器的電容或耐壓值不滿足要求時，可以把幾個電容聯(lián)接起來構(gòu)成一個電容器組，聯(lián)接的基本方式有并聯(lián)和串聯(lián)兩種。1、并聯(lián)電容器下圖表示幾個電容器的并聯(lián)。充電以后，每個電

19、容器兩個極板間的電壓相等，設(shè)為U，有U也就是電容器組的電壓。電容器組所帶總電量為各電容器電量之和所以電容器組的等效電容為由于為每個電容器的電容，所以有即并聯(lián)電容器的等效電容等于每個電容器電容之和。電容器的并聯(lián)2、串聯(lián)電容器下圖表示n個電容器的串聯(lián)，充電后，由于靜電感應(yīng)，每個電容器都帶上等量異號的電荷和，這也是電容器組所帶電量，故有電容器組上的總電壓為各電容器的電壓之和為了方便，我們計算等效電容的倒數(shù)即有此式表示串聯(lián)電容器的電容的倒數(shù)等于各電容器電容的倒數(shù)之和。電容器的串聯(lián)【例1】平行板電容器兩板面積均為S。在兩板間平行地重迭地放置兩塊面積也是S，厚度分別為d1和d2，介電常量分別為和的介質(zhì)板，

20、見下圖，求電容器的電容?！窘狻吭O(shè)兩個極板A、B分別帶電和，面電荷密度。忽略邊緣效應(yīng)，兩種介質(zhì)中分別出現(xiàn)均勻電場，場強E和電位移矢量D均垂直于平板向下。如圖，作兩個底面積分別為S1和S2的柱形高斯面S1和S2，兩底與平板平行，側(cè)面與平板垂直。由于它們的上底在導(dǎo)體板內(nèi)，E=0，D=0，所以D通量為零。側(cè)面與D線平行，所以D通量也為零，所以只有下底有D通量。注意下底分別在兩種介質(zhì)中，由D高斯定理 有 得到 即此時兩種介質(zhì)中的D是相等的。兩種介質(zhì)中的場強 兩板之間的電壓 所以電容器的電容為 或記作 可見當(dāng)平板電容器中平行的重迭放置兩種介質(zhì)時，其電容相當(dāng)于兩個平板電容器的串聯(lián)。這兩個電容器的板面積仍為S

21、，板距分別為d1和d2，其中介質(zhì)的介電常量分別為和。5. 5 電容的能量一、電容器的能量電容器充電對外力作功一個電容器在沒充電的時候是沒有電能的，在充電過程中，外力要克服電荷之間的作用而作功，把其它形式的能量轉(zhuǎn)化為電能。如上圖所示，一電容器正在充電，在充電過程中，無論是用什么裝置、什么方法，總是要不斷地把電荷從一個極板輸運到另一個極板，從而使兩個極板帶上等量異號的電荷。設(shè)輸運的電荷為正電荷，在某一個微元過程中，有數(shù)量為dq的電荷從負極輸運到了正極A。若此時電容器帶電量為q，兩極板間電壓為U，則該微元過程中外力克服電場力作功為若在整個充電過程中電容器上的電量由0變化到Q，則外力的總功為按能量轉(zhuǎn)換并守恒的思想，一個系統(tǒng)擁有的能量，應(yīng)等于建立這個系統(tǒng)時所輸入的能量。在電容器充電的過程中，能量是通過作功輸入到電容器中的，外力的功表現(xiàn)為能量轉(zhuǎn)換的量度。于是我們可以肯定，一個電量為Q，電壓為U的電容器貯存的電能應(yīng)該為圖中形式上是一個平板電容器，但我們討論的過程中并沒有涉及到平板電容器的特