期中試試題答案

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 濟(jì)南大學(xué)濟(jì)南大學(xué)2012-2013學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期期中考試試卷期中考試試卷班級(jí)班級(jí)姓名姓名 學(xué)號(hào)學(xué)號(hào) 考試成績(jī)：考試成績(jī)：課程課程 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)d目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) 時(shí), 一、一、 求下列極限（每小題求下列極限（每小題1010分，共分，共4040分）分） 211lim;2xxxx 1.2.3.4.2lim(1) ;xxx 01 coslim;sinxxxx 2131lim().11xxxxx 二、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（每小題二、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（每小題 15 分，共分，共 30分）分）1. 求由方程sin()2xyxyy)(xyy 確定

2、的隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，并求在(0,0)點(diǎn)處的切線方程. 2. 設(shè)222arcsin24,yxxxx22ddxy三、三、(15分分)求函數(shù)求函數(shù)323910yxxx四、四、(15分分)證明證明:0 x (1)ln(1).xxx求 . 和極值和極值. 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、 求下列極限（每小題求下列極限（每小題1010分，共分，共4040分）分） 211lim;2xxxx 1.1.311lim21xx解解: 原式 解法二解法二: 原式 1.311lim(2)(1)xxxx11lim2xx10分 4分 8分 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.2lim(1) ;xxx

3、 2e.2122lim (1)xxx解解: 原式 解法二解法二: 原式 2ln(1)limxxxe2lim()xxxe2e .解法三解法三: 原式 2ln(1)limxxxe122212lim1xxxxe2ln(1)lim1xxxe2lim21xxe2e .10分 4分 8分 10分 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: 原式 1.222012limxxx3.01 coslim;sinxxxx 解法二解法二: 原式 1.20sinlimsincosxxxxx0coslimcoscossinxxxxxx10分 4分 8分 10分 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4.2131lim().11xxxx

4、x 221(1)31lim()11xx xxxx解解: 原式 22141lim1xxxx22110lim0414xxxx4分 8分 10分 22141lim1xxxx 原式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（每小題二、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（每小題 15 分，共分，共 30分）分）1. 求由方程sin()2xyxyy)(xyy 確定的隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，并求在(0,0)點(diǎn) 處的切線方程.解：解：cos()(1)2yxyxyyy 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得解解得得cos().2cos()yxyyxxy 因 x = 0 時(shí) y = 0 , 故1.0yx 故切線方程為.yx 6分 10分 15

5、分 8分 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè) 求 . 222arcsin214,yxxxx22ddxy解解: : 2224 arcsin2214dyxxxdxx 2222244241414darcsindyxxxxxx24 arcsin214xxx6分 10分 15分 13分 2241414xxxx 244214arcsinxxx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、(15分分)求函數(shù)求函數(shù)323910yxxx的單調(diào)區(qū)間和極值的單調(diào)區(qū)間和極值. 3(1)(3).xx對(duì)應(yīng)1215,17yy 解解: 1) 求y 2369yxx 2) 求駐點(diǎn)和和不可導(dǎo)點(diǎn)令0y 得121,3,xx 3) 列表判別

6、(, 1) ( 1,3)(3,)y xy13001517故該函數(shù)在(, 1) (3,)及上單調(diào)增加,單調(diào)減少 ,極大值為(3)17.f( 1,3)在上增增減( 1)15f 5分 15分 9分 ，極小值為4)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、(15分分)求函數(shù)求函數(shù)323910yxxx的單調(diào)區(qū)間和極值的單調(diào)區(qū)間和極值. 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) 時(shí), 當(dāng) 時(shí), 四、四、(15分分)證明證明:0 x (1)ln(1).xxx證證: 設(shè)11( )()ln()xxxx , 則00( ). 111( )ln()xx 00().x故0 x時(shí), )(x單調(diào)增加 , 從而0)0()(x即11()l

7、n().xxx1ln()x0 x5分 10分 15分 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) 時(shí), 四、四、(15分分)證明證明:0 x (1)ln(1).xxx證證: 設(shè)11( )ln(),xf xxx21111()( )()xxfxxx因此應(yīng)有2,0.(1)xxx故 當(dāng) 時(shí), 11()ln().xxx0 x6分 8分 15分 12分 故0 x時(shí), 單調(diào)增加 , 從而( )(0)0f xf( )f x目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) 時(shí), 四、四、(15分分)證明證明:0 x (1)ln(1).xxx證證: 設(shè)11( )()ln(),f ttt.拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 條 件)0()(

8、fxfxxf0, )0)(因此應(yīng)有0( ) , f tx則則在在上上滿滿足足即(1)ln(1)xx(ln(1)1) ,0 xx因?yàn)?ln(1)1)x x故當(dāng) 時(shí), 11()ln().xxx0 x6分 8分 15分 12分 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) 時(shí), 四、四、(15分分)證明證明:0 x (1)ln(1).xxx證證: 設(shè)1( )ln(),f tt.拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 條 件)0()(fxfxxf0, )0)(因此應(yīng)有0( ) , f tx則則在在上上滿滿足足即ln(1) x,0(1)xx因?yàn)?1)x(1)xx故當(dāng) 時(shí), 11()ln().xxx0 x6分 8分 15分 12分 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng) 時(shí), 四、四、(15分分)證明證明:0 x (1)ln(1).xxx證證: 設(shè)11( )()ln(),f ttt.柯 西 日 中 值 定 理 的 條 件( )(0)( )(