兩圓方程相減的幾何意義_7333

1、精品資料歡迎下載方程 x 2y 2D1 xE1 yF10 與 x 2y2D 2 xE2 yF20相減后所得的直線方程的幾何意義在平常的學(xué)習(xí)中知道，如果把兩相交圓 O1 x 2y 2D1xE1 y F10和 O2：x 2y 2D 2 x E2 y F20的方程相減所得到的直線l：D 1D 2xE1E 2 yF1F20 表示兩圓公共弦所在直線方程。但很多同學(xué)在用這個(gè)結(jié)論時(shí)沒注意到前提條件必須是兩圓相交。如果兩圓不相交， 兩圓相減照樣可以得到直線l ，但 l 的幾何意義就改變了。因而有必要就兩圓的5 種位置關(guān)系進(jìn)行討論直線l的幾何意義。我就兩圓的5 種位置關(guān)系進(jìn)行研究。一兩圓相交設(shè) P1 x1 ,y

2、1 、 P2 x 2 , y 2是 兩 圓 的 交 點(diǎn) ， 則 有 x 12y 12D1 x 1 E1 y1F1 0和22D 1 x 2E 1y 2F10成 立 ， 即 P1 x 1 , y1、 P2 x 2 , y 2x 2y 2滿足方程( x 2y 2D 2 x E 2 y F2 ) ( x 2y 2D 1 x E1 y F1 ) 0即 D 1D 2xE1 E2yF1F20 。所以直線 l表示兩圓相交弦所在直線。二兩圓相切（內(nèi)切或外切）當(dāng)把兩相交的圓逐漸往兩側(cè)移動(dòng)時(shí)， 兩交點(diǎn)逐漸靠近， 最終重合為一點(diǎn)， 此時(shí)兩圓外切，同時(shí)與兩圓相交的直線 l 也就與兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)， 直線 l 成為兩外

3、切圓的過同一切點(diǎn)的公切線。因此，直線 l ： D 1D 2xE1E 2y F1 F20 表示兩外切圓的過同一切點(diǎn)的公切線。當(dāng)把兩相交的圓逐漸往中間移動(dòng)時(shí)，兩交點(diǎn)逐漸靠近，最終重合為一點(diǎn)，此時(shí)兩圓內(nèi)切， 同時(shí)，與兩圓相交的直線l 也就與兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線 l 成為兩內(nèi)切圓的過同一切點(diǎn)的公切線。因此，直線l ： D 1D 2xE1E 2 yF1F20 表示兩內(nèi)切圓的公切線。例如，圓O1 ： xa 2y 2a 2與圓 O2 ： xb2y 2b 2相切于原點(diǎn)，那么兩圓相減得：x0 ，該直線與兩圓相切于原點(diǎn)。下面就兩圓外切情況加以證明。設(shè)圓 O1 ，圓 O 2 的半徑分別為 r1 , r2，則 r

4、12D12E124F1 ， r22D 22E224F2 。44D1D 22E1E22由兩圓外切得：r 1 r 2，化簡得：22224r1r2D1 D 2 E1E22 F1F2即：D1D2E1E 2F1F22r1 r2又22精品資料歡迎下載r12D 12E124F1， r22D 22E 224F2， 即 ：D 12E122r122F1 ，4422D 22E 222r222F2 。利用直線 Ax+By+C=0分線段 A x 1 , y1B x 2 , y 2的比為22AxAx12ByBy12C分 O1O2的比， 那 么 直 線l為CD1D1E1E2E1F1F2D222D1D2D 2E1E2E2F1

5、F222D12E12D1D2E1E2F1F22r12=22222F1F1F22r1r2F1F2D 22E22D1D2E1 E22r222F2F1F22r1 r2F1F2F1F22222= r1 。又 k O1 O2k l1 ，所以 O1O2 l （當(dāng)直線 O1 O 2 與直線 l的斜率不存在時(shí)也成立） ；r2且 O1O2r1r2 ，所以點(diǎn) O1 到直線 l 的距離為 r1 ，點(diǎn) O2 到直線 l 的距離為 r2 。所以直線l 與兩圓相切。三兩圓相離這里首先得了解式子x 2y 2DxEy F的含義。因?yàn)閳A的方程有兩種表示，即x 2y 2DxEyFxx 02yy 2r 20 。當(dāng)點(diǎn) P（ x， y

6、）在圓外時(shí)，式子x2y 2DxEyFxx02yy02r 2 表示點(diǎn) P 到圓的切線長。因而，對(duì)直線方程(x 2y 2D 2 xE 2 yF2 )(x 2y 2D 1x E1 y F1 ) 0 可以變形為：x 2y 2D 2 xE 2 y F2x 2y 2D 1xE1 yF1 ，即點(diǎn) P 到兩圓的切線長相等。因此， 直線 l 的幾何意義是：到兩相離圓的切線長相等的點(diǎn)的集合。更進(jìn)一步，如果兩圓的半徑相等，直線 l 就是兩圓的對(duì)稱軸。四兩圓內(nèi)含同“三”易知，直線l 上的點(diǎn)到兩圓的切線長相等。（注：以上兩圓非同心圓）五范例例：已知圓 O1 與圓 O2 ： x2y 21 外切于點(diǎn) O，且兩圓的過點(diǎn)O的公切線為yxb ，精品資料歡迎下載已知圓O1 的圓心落在直線上xy4 ，求圓O1 的方程。解：易得b2。設(shè)圓O1：x 2y21xy2