大一高等數(shù)考前輔導(dǎo)

1、1、 求極限問題求極限問題(1)、函數(shù)極限、函數(shù)極限(2)、數(shù)列極限、數(shù)列極限 l-hospital l-hospital 法則法則 heine heine原理原理 等價無窮小替換及等價無窮小替換及taylor公式公式 兩個重要極限兩個重要極限 其它：利用導(dǎo)數(shù)的定義、微分中值定理等其它：利用導(dǎo)數(shù)的定義、微分中值定理等 極限存在的兩個準(zhǔn)則：夾逼性、單調(diào)有界原理極限存在的兩個準(zhǔn)則：夾逼性、單調(diào)有界原理 利用定積分的概念利用定積分的概念第一章第一章1、極限、極限函數(shù)極限函數(shù)極限數(shù)列極限數(shù)列極限兩個準(zhǔn)則、定積分的概念兩個準(zhǔn)則、定積分的概念轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限l-hospital 法則法則知識點

2、：知識點：等價無窮小的運(yùn)算、洛必達(dá)法則、泰勒公式、等價無窮小的運(yùn)算、洛必達(dá)法則、泰勒公式、變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、定積分的定義、兩個準(zhǔn)則變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、定積分的定義、兩個準(zhǔn)則題型題型: 計算題、填空題計算題、填空題)121ln(1lim0 xxxbaxnnnnba)2(lim xxxxba10)2(lim 2ln1lim0 xxxbax 故原式故原式先取對數(shù)先取對數(shù)221lim0 xxxbax2lnlnlim0bbaaxxx abln ab 知識點：知識點：heineheine原理、等價無窮小替換、原理、等價無窮小替換、 l-hospital l-hospital 法則法則模擬模擬7易犯的錯誤：沒有取

3、回指數(shù)易犯的錯誤：沒有取回指數(shù)xxxsin0lim xxxlnsinlim0 故原式故原式先取對數(shù)先取對數(shù)xxxlnlim0 0 1 知識點：等價無窮小替換、知識點：等價無窮小替換、l-hospital l-hospital 法則法則模擬模擬4、5)0(0lnlim0 xxx)1sin(lim32xxxx )(! 3sin33tottt xxoxxx),1(! 3111sin33)1sin(lim32xxxx )1(! 311(lim3332xoxxxxx)1(! 31(lim33xoxx 01)1(lim33 xxox! 31 模擬模擬4知識點：知識點：taylor taylor 公式公式知

4、識點：等價無窮小替換、知識點：等價無窮小替換、l-hospital l-hospital 法則、法則、 變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))cos1()1arctan(lim300 xxdttxx 30020033)1arctan(lim22)1arctan(limxdttxxdttxxxx 223033)1arctan(lim2xxxx 21arctan2 模擬模擬3、1、2、4、5、7)12111(lim222nnnnn ,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 知識點：夾逼性知識點：夾逼性. 1)12111(l

5、im222 nnnnn知識點：定積分的概念知識點：定積分的概念)21(lim222222nnnnnnnn nninin1)(11lim21 10211dxx4|arctan10 x模擬模擬5nnnnnnnnn1)21(lim222222222 利用定積分的概念利用定積分的概念iinibaxfdxxf )(lim)(10 1, 1 , 0, 2 , 1,或或等等分分，即即通通常常情情況況下下，積積分分區(qū)區(qū)間間ninabianinabianabxiii 特別地特別地nnifdxxfnin1)(lim)(110 知識點：單調(diào)有界原理知識點：單調(diào)有界原理模擬模擬6nnnnnxxnxxx lim., 2

6、 , 1,111, 1010并求并求收斂，收斂，證明證明設(shè)設(shè)nnnxxx 111111 nnnxxx單調(diào)遞減單調(diào)遞減nx,11nnnxxx 兩邊取極限兩邊取極限.lim存存在在nnx axnn lim記記 有有界界且且nx根據(jù)單調(diào)有界原理根據(jù)單調(diào)有界原理,1 aaa 0 a解解得得2、連續(xù)性、連續(xù)性知識點：知識點：連續(xù)的定義、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)的定義、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)題型題型: 選擇題、證明題選擇題、證明題.0)()3(0)()2(0)() 1 (0, 00,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在為為何何值值時時，、處處可可導(dǎo)導(dǎo)；在在為為何何值值時時，、處處連連續(xù)續(xù)；在在為為何何值值時時，

7、、設(shè)設(shè) xxfxxfxxfxxxxxf )(lim)00( 0 xffx xxx1sinlim0 0 處處連連續(xù)續(xù)在在當(dāng)當(dāng)0)(, 0 xxf xfxffx)0()(lim)0(0 xxx1sinlim10 0)0(,0)(, 1 fxxf處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在當(dāng)當(dāng) 00lim)(lim)00( ).1 (00 xxxff)0()00()00(fff xfxffx)0()(lim)0( ).2(0 0 )(lim0 xfx 處處連連續(xù)續(xù)在在當(dāng)當(dāng)0)(, 2 xxf xxxxx1cos1sinlim210 )1(1cos1sin)(0 21xxxxxxfx 時時，當(dāng)當(dāng)xxxx1cos1sin21 0)

8、(0 ).3( xfx時，時，當(dāng)當(dāng)0)(lim0 xfx知識點：連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的定義，求導(dǎo)法則知識點：連續(xù)和導(dǎo)數(shù)的定義，求導(dǎo)法則第二章第二章導(dǎo)數(shù)的計算導(dǎo)數(shù)的計算求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則利用導(dǎo)數(shù)的定義求特殊點處的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的定義求特殊點處的導(dǎo)數(shù)知識點：知識點：導(dǎo)數(shù)的定義、復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則、隱函導(dǎo)數(shù)的定義、復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、對數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法、數(shù)的求導(dǎo)法則、對數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法、變限函數(shù)的求導(dǎo)法變限函數(shù)的求導(dǎo)法題型題型: 計算題、填空題、選擇題計算題、填空題、選擇題)(),sin()()(xfxxfxfxf 求求二階可導(dǎo)，二階可導(dǎo)，設(shè)設(shè)模擬模擬6、5知識點：鏈?zhǔn)角?/p>

9、導(dǎo)法知識點：鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法cossin)sin()(xxxxxfxf 2cossin)sin()(xxxxxfxf sincoscos)sin(xxxxxxf 0,2)( xxydxdydxdyyxexyy及及求求所確定所確定由方程由方程設(shè)設(shè)模擬模擬7、1知識點：隱函數(shù)的求導(dǎo)知識點：隱函數(shù)的求導(dǎo)法法方程兩邊直接導(dǎo)方程兩邊直接導(dǎo)yyxyexy 2)(xyxyyeyyxe 212 xyxyxeyey10 yx時，時，當(dāng)當(dāng)11120 xy02,01 tydxdyytettx求求設(shè)設(shè)模擬模擬4、1、5、6知識點：參數(shù)方程的求導(dǎo)法知識點：參數(shù)方程的求導(dǎo)法方程兩邊直接導(dǎo)方程兩邊直接導(dǎo),21 tdtdx0 yy

10、eteyy1 yyetey1, 00 yxt時，時，當(dāng)當(dāng)dtdxdtdydxdtdtdydxdyt 010211 etetetyy xxtdtedxd022求求模擬模擬3、1、2、4、5、6、7知識點：變限函數(shù)的求導(dǎo)法知識點：變限函數(shù)的求導(dǎo)法 xtxxxtdteedte002222 xxtdtedxd022 xtxdteedxd02222220)2(xxxtxeedtexe 1)2(022 xtxdtexe, txu _d)(sindd0100 ttxxx則則ttxxd)(sin0100 ud 0 xu100sinx100sinuuxdsin0100 知識點：變限函數(shù)的求導(dǎo)法、換元公式知識點：

11、變限函數(shù)的求導(dǎo)法、換元公式y(tǒng)yxx 求求設(shè)設(shè),2模擬模擬7、3、2知識點：對數(shù)求導(dǎo)法、鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則知識點：對數(shù)求導(dǎo)法、鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則uxyxu2, 則則設(shè)設(shè)dxdududydxdy dxduu 2ln2xxulnln 兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù)方程兩邊直接導(dǎo)方程兩邊直接導(dǎo)xxxuu1ln 1ln xxux 1ln2ln2 xxyxxx易犯的錯誤：如果求易犯的錯誤：如果求dy,漏寫漏寫dx)(),65ln()()(2xfxxxfn求求設(shè)設(shè) 模擬模擬2、3、4知識點：高階導(dǎo)數(shù)知識點：高階導(dǎo)數(shù))3ln()2ln()( xxxfnnnaxnax)()!1()1()ln(1)( )3(1)2(1)!1()1()

12、(1)(nnnnxxnxf 第三章第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)作圖導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)作圖微分中值定理微分中值定理知識點：知識點：微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、曲線的凹凸性、微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、曲線的凹凸性、函數(shù)的極值與最值、拐點、漸近線函數(shù)的極值與最值、拐點、漸近線題型題型: 作圖題、填空題、選擇題、證明題作圖題、填空題、選擇題、證明題. 0)(),1 , 0(, )0()(3)1 , 0(1 , 0)(132 ffdxxfxf使得使得證明存在證明存在且且內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)設(shè) ).()()(),(),(,)( fbaffbababaxf 使使內(nèi)至少存在

13、一點內(nèi)至少存在一點證明在證明在內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)2題題 結(jié)論等價于結(jié)論等價于0)()()( bfaff0)()()( xbxfafxf )()()()(xbafxfxf 構(gòu)造輔助函數(shù)，驗證構(gòu)造輔助函數(shù)，驗證rolle定理滿足定理滿足分析分析: 1題難點在于尋求區(qū)間，而題難點在于尋求區(qū)間，而2題難點在于構(gòu)造合適題難點在于構(gòu)造合適 的輔助函數(shù)，要求相應(yīng)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上滿足的輔助函數(shù)，要求相應(yīng)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上滿足 rolle定理的條件定理的條件知識點：知識點：rollerolle定理、積分中值定理定理、積分中值定理0)()( ),(. 0)()(),( ,)( ff

14、babfafbabaxf使使證證明明至至少少存存在在一一點點內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)0)()( xfxf)()(xfexfx 0)(2)( xfxf)()(22xfexfx 0)()( xfxf )()(xfexfx 0)()( xxfxf)()(2xfexfx 0)()( xfxfx)()(xxfxf 0)()()( xgxfxf xadttgexfxf)()()(0)()()( xgxfxf)()()(xfexfxg 該構(gòu)造輔助函數(shù)的方法稱為指數(shù)因子法該構(gòu)造輔助函數(shù)的方法稱為指數(shù)因子法1)()( . . ),1 , 0(, )2( ;)( . . ),1 ,21( )1( .

15、 1)21( , 0)1(, 0)0( )1 , 0(),1 , 0()( fftsftsfffcxf證明：證明：內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且在在設(shè)設(shè)提示提示(2):0)(1)( ff等價于等價于0)()( ff輔助函數(shù)輔助函數(shù))()(xxfexfx 知識點：知識點：rollerolle定理、介值性定理、介值性baababbaabeabebaeabababbaaba ,1 )3()(4lnln , (2)1lnln2 ,0 )1(222222設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)證明不等式證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式的問題，關(guān)鍵在于利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式的問題，關(guān)鍵在于通過要證明的不等式構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)通過要

16、證明的不等式構(gòu)造相應(yīng)的輔助函數(shù)模擬模擬2、3、4知識點：方程實根的個數(shù)知識點：方程實根的個數(shù)個實根個實根有有則方程則方程上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) bxxadttfdttfxfbaxf)()(. 0)(,)( bxxadttfdttfxf)()()(0)(2)()()( xfxfxfxf0)()( badttfaf0)()( badttfbf由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性知：方程至少有一個由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性知：方程至少有一個實根，再根據(jù)單調(diào)性知實根是唯一的實根，再根據(jù)單調(diào)性知實根是唯一的模擬模擬2、3、4知識點：函數(shù)的極值、曲線的凹凸、拐點和漸近線知識點：函數(shù)的極值、曲線的凹凸、

17、拐點和漸近線填表并作圖填表并作圖設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)2(1xexy 第四章第四章不定積分的計算不定積分的計算分部積分公式分部積分公式換元公式換元公式知識點：知識點：換元公式、分部積分公式換元公式、分部積分公式題型題型: 計算題計算題模擬模擬17知識點：分部積分公式知識點：分部積分公式 dxx2)(arcsin求求 dxx2)(arcsin xdxxxxxarcsin12arcsin22 221arcsin2arcsinxxdxx dxxxxx21arcsin2arcsin22cxxxxx 21arcsin2arcsin22易犯的錯誤：漏寫任意常數(shù)易犯的錯誤：漏寫任意常數(shù)c模擬模擬17知識點：換元公

18、式知識點：換元公式 dxxxx)1(arctan22求求第五、六章第五、六章定積分定積分反常積分的斂散性判別反常積分的斂散性判別定積分的計算定積分的計算知識點：知識點：牛頓牛頓-萊布尼茨公式、換元公式、分部積分公萊布尼茨公式、換元公式、分部積分公式、奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分性質(zhì)、反常式、奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分性質(zhì)、反常積分?jǐn)可⑿缘谋容^判別法、求面積和體積積分?jǐn)可⑿缘谋容^判別法、求面積和體積題型題型: 計算題、填空題、選擇題、證明題計算題、填空題、選擇題、證明題牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式換元公式、分部積分公式換元公式、分部積分公式定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 面積、體積面積、體積模擬模擬2、3、4、5、6、7 10323)1(1dxxx求求txtan 令令 40233secsec1tan tdttt 403cos)1(tan tdtt 4023)coscossin( dtttt 402222coscossin tdtt 402222coscoscos1 tdtt2204cos04cos1 tt)12(2 模擬模擬3、2知識點：換元公式知識點：換元公式 2040)(,)2(sin)( dxxfdxxfxxxf求求設(shè)設(shè)模擬模擬17知識點：反常積分的