距離的計(jì)算 教案

1、§6距離的計(jì)算三維目標(biāo)1知識(shí)與技能(1)理解立體幾何中點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、點(diǎn)到平面的距離的概念(2)掌握各種距離的計(jì)算方法2過(guò)程與方法(1)通過(guò)空間中距離的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用算法化思想解決問(wèn)題的能力(2)通過(guò)對(duì)空間幾何圖形的探究，使學(xué)生會(huì)恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系3情感、態(tài)度與價(jià)值觀學(xué)生經(jīng)歷對(duì)空間圖形的研究從“定性推理”到“定量計(jì)算”的轉(zhuǎn)化過(guò)程，從而提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線(xiàn)、點(diǎn)到平面距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用難點(diǎn)：把空間距離轉(zhuǎn)化為向量知識(shí)求解引導(dǎo)學(xué)生探索空間距離的計(jì)算公式和計(jì)算方法，在探索中，深化學(xué)生對(duì)空間距離求法的認(rèn)識(shí)，通過(guò)具體例子，讓學(xué)生感知求空間距離時(shí)，綜合法的“

2、難”和向量法的“易”，體會(huì)向量法在研究空間問(wèn)題中的作用三、教學(xué)建議1引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題并解決問(wèn)題，比如，為什么引入空間距離？怎樣求空間距離？用向量法去求的優(yōu)越性是什么？教學(xué)中，要以問(wèn)題為主線(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)探索全過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，形成并深化對(duì)空間距離求法的認(rèn)識(shí)2在教學(xué)中，要滲透符號(hào)化、模型化、運(yùn)算化和程序化的思想3教學(xué)中，應(yīng)把立體幾何問(wèn)題作為學(xué)習(xí)向量法的載體，以向量法作為主要教學(xué)目標(biāo)教學(xué)流程設(shè)置情境引入課題空間距離的定義空間距離的計(jì)算公式通過(guò)例子，深化對(duì)空間距離的認(rèn)識(shí)比較綜合法的“難”，向量法的“易”通過(guò)練習(xí)進(jìn)行反饋矯正提煉思想方法：數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化，形成整體認(rèn)識(shí)課標(biāo)解讀1.理解

3、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、點(diǎn)到平面的距離的概念(重點(diǎn))2.掌握點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、點(diǎn)到平面的距離公式(重點(diǎn))3.通過(guò)轉(zhuǎn)化，會(huì)利用空間向量解決距離問(wèn)題，從而培養(yǎng)準(zhǔn)確的運(yùn)算能力(難點(diǎn))點(diǎn)到直線(xiàn)的距離【問(wèn)題導(dǎo)思】1如圖，已知向量s是直線(xiàn)l的方向向量，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，點(diǎn)A是空間中一點(diǎn)，則向量在s上的投影是什么？其幾何意義是什么？【提示】向量在s上的投影為·.作AAl于A，則投影·的幾何意義是有向線(xiàn)段PA的數(shù)量2如何利用在s上的投影求點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離？【提示】由勾股定理得，d.d.利用向量求點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離步驟：(1)找到直線(xiàn)l的方向向量s；(2)在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)P；(3)計(jì)算點(diǎn)P到點(diǎn)A

4、的距離|；(4)計(jì)算在向量s上的投影·s0；(5)計(jì)算點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離d.點(diǎn)到平面的距離【問(wèn)題導(dǎo)思】如圖，已知向量n是平面的法向量，點(diǎn)P在平面內(nèi)，點(diǎn)A是空間中一點(diǎn)，試用向量在n上的投影表示點(diǎn)A到平面的距離【提示】d|·|.利用向量求點(diǎn)A到平面的距離步驟：(1)找到平面的法向量n；(2)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)P；(3)計(jì)算在向量n上的投影·n0；(4)計(jì)算點(diǎn)A到平面的距離d|·n0|.求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，點(diǎn)F，G分別是AB，CC1的中點(diǎn)，求點(diǎn)D1到直線(xiàn)GF的距離【思路探究】建系求D1、F、G坐標(biāo)、的坐標(biāo)求在

5、上的投影利用公式求解【自主解答】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，F(xiàn)(1,1,0)，G(0,2,1)，于是有(1，1，1)，(0，2,1)，所以，|，所以點(diǎn)D1到直線(xiàn)GF的距離d.用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：1點(diǎn)P可以在直線(xiàn)l上任意選取，因此可選取易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn)2直線(xiàn)l的方向向量可任意選取3點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式中s0是單位向量，在求得直線(xiàn)l的方向向量s后，要將其單位化已知ABCDEFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿(mǎn)足，則P到AB的距離為()A.BC.D【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則(1,

6、0,0)(0,1,0)(0,0,1)(，)又(1,0,0)，在上的投影為·，點(diǎn)P到AB的距離為.【答案】A求點(diǎn)到平面的距離圖261如圖261直三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱AA1，底面ABC中，C90°，ACBC1，求點(diǎn)B1到平面A1BC的距離【思路探究】建坐標(biāo)系確定向量的坐標(biāo)形式找出平面A1BC的一個(gè)法向量為n代入d|求解【自主解答】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得直棱柱各頂點(diǎn)坐標(biāo)如下：A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，)，B1(0,1，)，C1(0,0，)(1,1，)，(1,0，)，(1，1,0)設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為n(x，y，

7、z)，則即n(，0,1)，所以，點(diǎn)B1到平面A1BC的距離d.1本題是一個(gè)基本的點(diǎn)面距離的求解問(wèn)題，要從幾何角度作出表示這個(gè)距離的線(xiàn)段有很大的困難，利用向量方法求解較為容易2求點(diǎn)到平面的距離的步驟可簡(jiǎn)化為：(1)求平面的法向量；(2)求斜線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對(duì)值，即為點(diǎn)到平面的距離圖262如圖262所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，求點(diǎn)A1到平面AD1C的距離【解】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，設(shè)平面AD1C的一個(gè)法向量為n(x，y,1)，則得則n(1,1,1)，d.求直線(xiàn)與平面的距離圖263如圖263所示，在已知

8、直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為直角梯形，ABCD，且ADC90°，AD1，CD，BC2，AA12，E是CC1的中點(diǎn)求A1B1與平面ABE的距離【思路探究】求A1B1與平面ABE的距離，因?yàn)橹本€(xiàn)A1B1平行于平面ABE，所以直線(xiàn)A1B1上任意一點(diǎn)到平面ABE的距離相等，所以A1B1與平面ABE的距離等于點(diǎn)A1到平面ABE的距離，從而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解【自主解答】如圖所示，以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DD1所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，1)，過(guò)C作AB的垂線(xiàn)交AB于F，易得BF，B(1,2，0)，(0,2

9、，0)，(1，1)設(shè)平面ABE的法向量為n(x，y，z)，則由得y0，xz，不妨取n(1,0,1)直線(xiàn)A1B1平面ABE，直線(xiàn)A1B1到平面ABE的距離等于點(diǎn)A1到平面ABE的距離(0,0,2)，A1B1到平面ABE的距離為|·|.求直線(xiàn)與平面的距離，在直線(xiàn)與平面平行的條件下，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以求解最為簡(jiǎn)單為準(zhǔn)則，求直線(xiàn)到平面的距離的題目不多，因線(xiàn)面距可用點(diǎn)面距求解，但在求點(diǎn)到平面的距離時(shí)有時(shí)用直線(xiàn)到平面的距離過(guò)渡四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDDA2，F(xiàn)，E分別為AD，PC的中點(diǎn)(1)證明：DE平面PFB；(2)求

10、點(diǎn)E到平面PFB的距離【解】證明：(1)以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則P(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)，(1,0,2)，(1,2,0)，(0,1,1)，.平面PFB又D平面PFB，DE平面PFB(2)DE平面PFB，E到平面PFB的距離等于D到平面PFB的距離設(shè)平面PFB的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則令x2，得y1，z1.n(2，1,1)，(1,0,0)D到平面PFB的距離為d.利用向量求點(diǎn)到平面的距離的常見(jiàn)錯(cuò)誤在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2，以AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N，求點(diǎn)N

11、到平面ACM的距離【錯(cuò)因分析】(1)不知條件AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于N點(diǎn)如何使用(2)不知道轉(zhuǎn)化，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，增加了運(yùn)算量(3)求點(diǎn)到平面的距離公式d|P·n0|中n0是單位法向量而不是法向量【防范措施】(1)認(rèn)真分析圖形性質(zhì)；(2)進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；(3)掌握好公式，尤其是公式中各個(gè)量的幾何意義【正解】分別以AB、AD、AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)，A(2,4,0)，A(0,2,2)，設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量n(x，y，z)，由nA，nA，可得令z1

12、，則n(2，1,1)由已知得，ANNC，在RtPAC中，PA2PN·PC，所以PN，則NCPCPN，.所以所求距離為點(diǎn)P到平面ACM距離的，又點(diǎn)P到平面ACM的距離為|.所以點(diǎn)N到平面ACM的距離為.空間距離包括：點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線(xiàn)、點(diǎn)到面、線(xiàn)到線(xiàn)、線(xiàn)到面、面到面之間的距離其中以點(diǎn)到面的距離最為重要，其他距離，如線(xiàn)到面、面到面的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離.1已知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)A(2,3,1)，且方向向量為n(0,1,1)，則點(diǎn)P(4,3,2)到l的距離為()A.BC.D【解析】(2,0，1)，|，·，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d .【答案】A圖2642如圖264所示，正方體ABCDA1

13、B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是()A. BC. D【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，O(，1)，則(1,0,1)，(，0)，由題意知為平面ABC1D1的法向量，O到平面ABC1D1的距離為d.【答案】B3已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB6，BC4，BB13，則點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離為_(kāi)【解析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系， 則A1(4,0,3)，B1(4,6,3)，B(4,6,0)，C1(0,6,3)，(4,6,0)，(0,6，3)，(4,0,3)，(0,6,0)，設(shè)平面A1BC1的法向量為

14、n(x，y，z)，由解得n(1，)d.【答案】4已知棱長(zhǎng)為1的正方體AC1，E、F分別是B1C1、C1D1的中點(diǎn)(1)求證：E、F、D、B共面；(2)求點(diǎn)A1到平面的DBEF的距離【解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則知A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，E(，1,1)，F(xiàn)(0，1)(1)證明：由(1，1,0)，(，0)，得B，E，EFDB，E、F、D、B共面(2)設(shè)n(x，y，z)是平面DBEF的法向量由n，n，(1,1,0)，(0，1)得則令y1，得n(1,1，)，又(1,0,1)，則A1到平面DBEF的距離d1.一、選擇題1已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)

15、為a，則點(diǎn)A1與對(duì)角線(xiàn)BC1所在直線(xiàn)間的距離是()A.aBaC.aD【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)(0，a，a)，|a，(a,0，a)，|a.點(diǎn)A1到BC1的距離d 2)a.【答案】A2.圖265如圖265已知ABCA1B1C1是各條棱長(zhǎng)均等于a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)C1到平面AB1D的距離為()A.aBaC.a Da【解析】ABB1A1為正方形，A1BAB1，又平面AB1D平面ABB1A1，A1B面AB1D，是平面AB1D的一個(gè)法向量，由于C1DCD，所以C1到平面AB1D的距離等于C到平面AB1D的距離，設(shè)點(diǎn)C到平面

16、AB1D的距離為d，則da.【答案】A3正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點(diǎn)，EFBDG.則三棱錐B1EFD1的體積V等于()A.BC.D16【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則B1(2，2，4)，D1(0,0,4)，E(2，0)，F(xiàn)(，2，0)，(2，4)，(，2，4)，(2，2，0)，cos<，>，sin<，>，所以SD1EF|D|·|DF|·sin<D，D>×××5，又平面D1EF的法向量為n(1,1，)，點(diǎn)B1到平面D1EF的距離

17、d，VB1EFD1·SEFD1·d×5×.【答案】C4ABC的頂點(diǎn)分別為A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，則AC邊上的高BD等于()A5 B C4 D2【解析】設(shè)，D(x，y，z)則(x1，y1，z2)(0,4，3)x1，y41，z23，(4,45，3)4(45)3(3)0，(4，)，| 5.【答案】A5正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為()A.aBaC.aDa【解析】由正方體的性質(zhì)易得平面AB1D1平面BDC1，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面AB1D1的距離明顯，A1C平面AB1D1

18、，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面AB1D1的一個(gè)法向量為n(1，1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，(0，a,0)，則兩平面間的距離d|·|a.【答案】D二、填空題6若平面平面，直線(xiàn)l，且平面與之間的距離為d，下面給出了四個(gè)命題：內(nèi)有且僅有一條直線(xiàn)與l的距離等于d；內(nèi)所有直線(xiàn)與l的距離等于d；內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與l的距離等于d；內(nèi)所有的直線(xiàn)與的距離都等于D其中正確的命題的序號(hào)為_(kāi)【解析】由面面平行的性質(zhì)可知正確【答案】7設(shè)A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為_(kāi)

19、【解析】設(shè)平面ABC的法向量n(x，y，z)，n·A0，n·A0，即令z2，則n(3,2，2)又A(7，7,7)，點(diǎn)D到平面ABC的距離為d|A·|.【答案】8設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是_【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)，設(shè)平面A1BD的法向量n(x，y，z)，則令x1，則n(1，1，1)，點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d.【答案】三、解答題9已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AD

20、1的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線(xiàn)BD的距離【解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)EFBD，F(xiàn)為垂足，由于F的位置未確定，設(shè)(R)，則F(，0)(，0，)，(，)，(1,1,0)，·0，即()0.(，)|，故點(diǎn)E到直線(xiàn)BD的距離為.10正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為BB1，CD的中點(diǎn)，試求點(diǎn)F到平面A1D1E的距離【解】取AB，AD，AA1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A1(0,0,1)，E(1,0，)，D(0,1,0)，F(xiàn)(，1,0)，D1(0,1,1)(1,0，)，A1D1(0,1,0)設(shè)平面A1D1E的一個(gè)法向量為n(x，y，z)則，即令z2

21、，則x1.n(1,0,2)又(，1，1)，點(diǎn)F到平面A1D1E的距離d.11如圖266已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1的交點(diǎn)(1)設(shè)AB1與底面A1B1C1D1所成角的大小為，二面角AB1D1A1的大小為.求證：tan tan ；(2)若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高圖266【解】設(shè)正四棱柱的高為h.(1)證明：連AO1，AA1底面A1B1C1D1，AB1A1是AB1與底面A1B1C1D1所成角，AB1A1.在等腰AB1D1中，AO1B1D1.又A1C1B1D1，AO1A1是二面角AB1D1A1的一個(gè)平面角，A

22、O1A1.在RtAB1A1中，tan h；在RtAO1A1中，tan h.tan tan .(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，有A(0,0，h)，B1(1,0,0)，D1(0,1,0)，C(1,1，h)，則(1,0，h)，(0,1，h)，(1,1,0)設(shè)平面AB1D1的法向量為n(u，v，w)n，n，n·0，n·0.由得uhw，vhw，n(hw，hw，w)令w1，得n(h，h,1)由點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為d，解得高h(yuǎn)2.(教師用書(shū)獨(dú)具)在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M，N，R分別為OA，BC，AD的中點(diǎn)，求：直線(xiàn)MN與平面OCD的距離，平面MNR與平面OCD的距離【思路探究】由題意得到MN平面OCD，平面MNR平面OCD，將線(xiàn)面距離、面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解【自主解答】因?yàn)镸，R分別為AO，AD的中點(diǎn)，所以MROD在正方形ABCD中，N，R分別為BC，AD的中點(diǎn)，所以NRCD又MRNRR，所以平面MNR平面OCD又MN平面MNR，所以MN平面OCD所以直線(xiàn)MN與平面OCD