《現(xiàn)代控制理論》第9講：可控性和能控標(biāo)準(zhǔn)型

1、現(xiàn)代控制理論現(xiàn)代控制理論（第（第9講講 2009年年4月月18日）日）可控性可控性/能控性定義能控性定義能控性判據(jù)能控性判據(jù)能控標(biāo)準(zhǔn)型能控標(biāo)準(zhǔn)型自動(dòng)化教研室自動(dòng)化教研室 譚功全譚功全四川理工自動(dòng)化教研室 為什么要有能控性為什么要有能控性/能觀性概念？能觀性概念？ 怎樣更好地了解和控制系統(tǒng)？怎樣更好地了解和控制系統(tǒng)？ 能控性能控性：控制變量對(duì)狀態(tài)變量的支配能力如何控制變量對(duì)狀態(tài)變量的支配能力如何?從任意初始狀態(tài)出發(fā)，在有限時(shí)間內(nèi)，通過施從任意初始狀態(tài)出發(fā)，在有限時(shí)間內(nèi)，通過施加控制作用，能否使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移至期望終態(tài)？加控制作用，能否使系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移至期望終態(tài)？ 能觀性能觀性：輸出變量對(duì)狀態(tài)變量的反

2、映能力如何輸出變量對(duì)狀態(tài)變量的反映能力如何?在有限時(shí)間內(nèi)，能否由輸出變量的測(cè)量值，計(jì)在有限時(shí)間內(nèi)，能否由輸出變量的測(cè)量值，計(jì)算出系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)？算出系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)？uxyuxxDCBADCBA：),(四川理工自動(dòng)化教研室 可控可控/能控性實(shí)例猜想能控性實(shí)例猜想ubxaxxax222221111)0(1x1x11a1x 2x22a2x )0(2xyu1c2c2b猜想：猜想：x1和和u無直接間接聯(lián)系，無直接間接聯(lián)系，不能用不能用u改變改變x1。 x2和和u有直接聯(lián)系，有直接聯(lián)系，u可可以控制以控制x2。四川理工自動(dòng)化教研室 可控可控/能控性實(shí)例猜想能控性實(shí)例猜想ubxaxxaxax22222212

3、1111猜想：猜想：x1和和u無直接聯(lián)系，無直接聯(lián)系，但但通過通過 x2和和u有間接聯(lián)有間接聯(lián)系，系，u也許可以控制也許可以控制x1。)0(1x1x11a1x 2x22a2x )0(四川理工自動(dòng)化教研室 可控可控/能控性實(shí)例猜想能控性實(shí)例猜想uxxxx1121122121xi和和u有聯(lián)系就可控嗎？猜想：有聯(lián)系就可控嗎？猜想： 當(dāng)聯(lián)系的通道不止當(dāng)聯(lián)系的通道不止一個(gè)時(shí)，各通道的控制作用之間是否抵消？一個(gè)時(shí)，各通道的控制作用之間是否抵消？如果抵如果抵消，則會(huì)造成消，則會(huì)造成u不能控制不能控制xi。)0(1x1x21x 2x22x )0(2xu1111ttttttttAteeeeeeeee333321

4、ttttApduedBuexx0)(0)(21)(11)(狀態(tài)方程中強(qiáng)迫響應(yīng)為狀態(tài)方程中強(qiáng)迫響應(yīng)為)()(21txtxpp強(qiáng)迫響應(yīng)僅是一維的，不能將初態(tài)控制到任意指定態(tài)。強(qiáng)迫響應(yīng)僅是一維的，不能將初態(tài)控制到任意指定態(tài)。四川理工自動(dòng)化教研室 能控能控/可控性定義可控性定義 在有限時(shí)間內(nèi)，控制作用能否使系統(tǒng)從初始在有限時(shí)間內(nèi)，控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到期望狀態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到期望狀態(tài)? 如果存在一個(gè)控制如果存在一個(gè)控制u u( (t t) )，能在有限時(shí)間間隔，能在有限時(shí)間間隔 t to o, ,t tf f 內(nèi)，使系統(tǒng)從其一初態(tài)內(nèi)，使系統(tǒng)從其一初態(tài)x(x(t to o) )轉(zhuǎn)移到任意指定轉(zhuǎn)移到

5、任意指定的終態(tài)的終態(tài)x(x(t tf f) ) ，則稱此狀態(tài)，則稱此狀態(tài)x(x(t to o) )是完全可控的，簡是完全可控的，簡稱系統(tǒng)可（能）控。（只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可控，稱系統(tǒng)可（能）控。（只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可控，則系統(tǒng)不可控）。則系統(tǒng)不可控）。 如果所有的初始狀態(tài)都是完全能控的，則稱系如果所有的初始狀態(tài)都是完全能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。四川理工自動(dòng)化教研室 能控能控/可控性評(píng)注可控性評(píng)注1. 初態(tài)取狀態(tài)空間任意點(diǎn)，終態(tài)取原點(diǎn)初態(tài)取狀態(tài)空間任意點(diǎn)，終態(tài)取原點(diǎn)，相當(dāng)于調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)問，相當(dāng)于調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)問題。初態(tài)取原點(diǎn)，終態(tài)取任意點(diǎn)，相當(dāng)于跟蹤可實(shí)現(xiàn)問題。題。初態(tài)取原點(diǎn)

6、，終態(tài)取任意點(diǎn)，相當(dāng)于跟蹤可實(shí)現(xiàn)問題。2. 對(duì)線性定常系統(tǒng)說來，對(duì)線性定常系統(tǒng)說來，調(diào)節(jié)問題調(diào)節(jié)問題與跟蹤問題等價(jià)。與跟蹤問題等價(jià)。3. 對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)，可控的時(shí)間區(qū)間大小與初始時(shí)刻有關(guān)，對(duì)定對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)，可控的時(shí)間區(qū)間大小與初始時(shí)刻有關(guān)，對(duì)定常系統(tǒng)，可控時(shí)間區(qū)間與初始時(shí)刻無關(guān)。故后者不必強(qiáng)調(diào)特常系統(tǒng)，可控時(shí)間區(qū)間與初始時(shí)刻無關(guān)。故后者不必強(qiáng)調(diào)特定時(shí)間段。定時(shí)間段。4. 定義中的定義中的u是沒有限制條件的。是沒有限制條件的。5. 對(duì)線性系統(tǒng)作非奇異線性變換（也就是坐標(biāo)變換），狀態(tài)空對(duì)線性系統(tǒng)作非奇異線性變換（也就是坐標(biāo)變換），狀態(tài)空間的原點(diǎn)不變。狀態(tài)空間中某一點(diǎn)在變換前后分別為間的原點(diǎn)不變。狀態(tài)

7、空間中某一點(diǎn)在變換前后分別為x和和x，則則u在有限時(shí)間內(nèi)把在有限時(shí)間內(nèi)把x轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)也就意味著同樣的轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)也就意味著同樣的u可以把可以把x轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。即非奇異變換不改變系統(tǒng)的可控性。轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。即非奇異變換不改變系統(tǒng)的可控性。6. 對(duì)不完全可控系統(tǒng)，狀態(tài)空間可以分解為可控狀態(tài)子空間及對(duì)不完全可控系統(tǒng)，狀態(tài)空間可以分解為可控狀態(tài)子空間及其正交補(bǔ)空間（不可控狀態(tài)子空間）。其正交補(bǔ)空間（不可控狀態(tài)子空間）。7. 外擾不影響系統(tǒng)的可控性，輸出不涉及可控性。外擾不影響系統(tǒng)的可控性，輸出不涉及可控性。四川理工自動(dòng)化教研室 對(duì)角陣中的能控對(duì)角陣中的能控/可控性模態(tài)可控性模態(tài)ubb2121xx1x11x

8、2x22x ) 0 (2xu2b) 0(1x1bubxxubxx22221111同理。為不可控模態(tài)。不可控，稱時(shí)為可控模態(tài)；稱自有響應(yīng)可控，時(shí)。顯然，、對(duì)211112111001xexbexbtt控。維空間，顯然系統(tǒng)不可維的，不能充滿整個(gè)是維，其坐標(biāo)滿足可控子空間為是響應(yīng)分量之比永遠(yuǎn)。則兩模態(tài)相同，強(qiáng)迫、對(duì)21:1,:321212121bbxxbb意指定狀態(tài)。對(duì)任意初態(tài)可控制到任皆可控，和不為零時(shí)，和。當(dāng)、對(duì)四川理工自動(dòng)化教研室 約當(dāng)塊中的能控約當(dāng)塊中的能控/可控性模態(tài)可控性模態(tài)ubb211xxubxxubxxx2221211為不可控模態(tài)。不可控，稱時(shí)為可控模態(tài)；可控，稱時(shí)、對(duì)ttexbexb

9、2222001是可控的。仍然存在，故系統(tǒng)仍然響，模態(tài)受兩個(gè)通道影，則都可控；若和應(yīng)模態(tài)間接影響，兩自由響受，則時(shí)。若、ttttexbteexxbb11211200021x1x 2x2x ) 0 (2xu2b) 0(四川理工自動(dòng)化教研室 Agenda 能控性能控性/可控性定義可控性定義 能控性能控性/可控性判據(jù)可控性判據(jù) 變換為能控變換為能控/可控標(biāo)準(zhǔn)型可控標(biāo)準(zhǔn)型四川理工自動(dòng)化教研室 能控性判別矩陣能控性判別矩陣LTI連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是則系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是定義能控性判別矩陣定義能控性判別矩陣 思考思考：單輸入、多輸入情況下能控矩陣的維數(shù)：單輸入、多輸入情況下

10、能控矩陣的維數(shù)分別是什么？分別是什么？n 是系統(tǒng)的階數(shù)是系統(tǒng)的階數(shù)uxyuxxDCBADCBA：),(12BABAABBQnCnrankQC四川理工自動(dòng)化教研室 判斷對(duì)角型是否能控？判斷對(duì)角型是否能控？70021)05050017u xx70002)05050017u xx12700013)0504000175uu xx12700004)0504000175uu xx各個(gè)特征值不同各個(gè)特征值不同輸入矩陣中每行都不為零，系統(tǒng)能控。輸入矩陣中每行都不為零，系統(tǒng)能控。四川理工自動(dòng)化教研室 例題：求使系統(tǒng)能控的參數(shù)例題：求使系統(tǒng)能控的參數(shù)11 1221 211 122221 22det0 ccbbbb

11、bbbbbbbb QbAbQ系統(tǒng)狀態(tài)方程已知。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)方程已知。當(dāng)輸入矩陣如何取值時(shí)，輸入矩陣如何取值時(shí)，系統(tǒng)能控？系統(tǒng)能控？時(shí)系統(tǒng)能控時(shí)系統(tǒng)能控四川理工自動(dòng)化教研室 判斷判斷Jordan型是否能控？型是否能控？ 要求：各個(gè)要求：各個(gè)Jordan塊對(duì)應(yīng)的特征值不同塊對(duì)應(yīng)的特征值不同 找到每個(gè)找到每個(gè)Jordan塊的最后一行，找出輸入矩陣中與塊的最后一行，找出輸入矩陣中與之對(duì)應(yīng)的行之對(duì)應(yīng)的行 如果輸入矩陣中對(duì)應(yīng)的行不全為零，系統(tǒng)能控。如果輸入矩陣中對(duì)應(yīng)的行不全為零，系統(tǒng)能控。41001)04040023u xx12410422)0400000230uu 四川理工自動(dòng)化教研室 Agenda 能控

12、性能控性/可控性定義可控性定義 能控性能控性/可控性判據(jù)可控性判據(jù) 變換為能控變換為能控/可控標(biāo)準(zhǔn)型可控標(biāo)準(zhǔn)型四川理工自動(dòng)化教研室 第二能控標(biāo)準(zhǔn)型第二能控標(biāo)準(zhǔn)型4321043210,10000,10000010000010000010bbbbbaaaaaAcb3*2*1*12*1*101*10010001000044444aaaaAAQCbbb系統(tǒng)能控, 5CrankQ01223344501223344)()(asasasasasbsbsbsbsbsUsY四川理工自動(dòng)化教研室 第一能控標(biāo)準(zhǔn)型第一能控標(biāo)準(zhǔn)型TTTTAAaaaaaAbccbcb00001,100000100000100000105

13、432143210系統(tǒng)能控, 5CQrank01223344501223344)()(asasasasasbsbsbsbsbsUsY5432143210,00001,10000100001000010000TaaaaaAcb1000001000001000001000001CQ四川理工自動(dòng)化教研室 狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)能控性狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)能控性狀態(tài)變換狀態(tài)變換cxbxxyuAxxPxcbxxyuAxcbxxPyuPAPP11ccccQrankrankQQPQ1bbbb12ncAAAQbbbb12ncAAAQbbbmmAPPAPPAPPA1111)()(四川理工自動(dòng)化教研室 狀態(tài)變換圖示狀態(tài)變

14、換圖示bcAx uyxbcAxuyP1P1PP四川理工自動(dòng)化教研室 能控系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)型能控系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)型 如果系統(tǒng)能控，則一定能通過狀態(tài)變換，將如果系統(tǒng)能控，則一定能通過狀態(tài)變換，將系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)能控，即能控陣滿秩系統(tǒng)能控，即能控陣滿秩一定存在非奇異的線性變換一定存在非奇異的線性變換x = Px 使得變換后的系統(tǒng)使得變換后的系統(tǒng)成為能控標(biāo)準(zhǔn)型成為能控標(biāo)準(zhǔn)型cxbxxSISOyuAbbbb12ncAAAQxcbxxPyuPAPP四川理工自動(dòng)化教研室 變換為第一能控標(biāo)準(zhǔn)型變換為第一能控標(biāo)準(zhǔn)型1、求能控陣、求能控陣2、第一能控標(biāo)準(zhǔn)型為：、第一能控標(biāo)準(zhǔn)型為：PPA

15、PPAccbb11111cxbxxyuAbbbb12nCAAAQP四川理工自動(dòng)化教研室 變換為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型變換為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型1、求能控陣、求能控陣3、計(jì)算變換矩陣、計(jì)算變換矩陣PPAPPAccbb21212,bbbbAAAQnC212、求特征多項(xiàng)式、求特征多項(xiàng)式012211)(ssssAsIsnnn4、計(jì)算第二能控標(biāo)準(zhǔn)型、計(jì)算第二能控標(biāo)準(zhǔn)型111111nnCQP四川理工自動(dòng)化教研室 例題：化為第一能控標(biāo)準(zhǔn)型例題：化為第一能控標(biāo)準(zhǔn)型求能控標(biāo)準(zhǔn)型求能控標(biāo)準(zhǔn)型011,101,4142cbA解：解：1641810421,1684,4122cQPAAbbTPPAPTPA1231,001,四川理工自動(dòng)化教研室 例題：化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型例題：化為第二能控標(biāo)準(zhǔn)型323210)det(,1684,412232sssAsIAAbb168012181611032