大學統(tǒng)計學 第4章 概率基礎

1、統(tǒng)計學導論統(tǒng)計學導論xxx xxx 主講主講4-2第四章第四章 概率基礎概率基礎n第一節(jié)第一節(jié) 隨機現(xiàn)象與隨機事件隨機現(xiàn)象與隨機事件 n第二節(jié)第二節(jié) 概率的性質及其計算概率的性質及其計算 n第三節(jié)第三節(jié) 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 n第四節(jié)第四節(jié) 幾種常用的概率分布幾種常用的概率分布4-3第一節(jié)第一節(jié) 隨機現(xiàn)象與隨機事件隨機現(xiàn)象與隨機事件n一、確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象一、確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象 n二、隨機事件二、隨機事件 4-4一、確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象一、確定性現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象 n確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象n在一定條件下必然出現(xiàn)（或不出現(xiàn)）某種結果的在一定條件下必然出現(xiàn)（或不出現(xiàn)）某種結果的現(xiàn)象現(xiàn)象

2、。n隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象n在給定的條件下不能確切預言其結果的現(xiàn)象在給定的條件下不能確切預言其結果的現(xiàn)象 。4-5二、隨機事件二、隨機事件 對隨機現(xiàn)象進行觀測又稱作隨機試驗。對隨機現(xiàn)象進行觀測又稱作隨機試驗。隨機試驗的每一種結果或隨機現(xiàn)象的每一隨機試驗的每一種結果或隨機現(xiàn)象的每一種表現(xiàn)稱作隨機事件，簡稱為事件，一般種表現(xiàn)稱作隨機事件，簡稱為事件，一般用大寫字母用大寫字母a,b,c,（必要時加下標）來（必要時加下標）來表示。有時，也可用大括號表示。有時，也可用大括號表示事表示事件，括號中寫明事件的內容。件，括號中寫明事件的內容。4-6（一）事件的種類（一）事件的種類 一個事件如果不能再被分解為兩個或兩

3、個以上一個事件如果不能再被分解為兩個或兩個以上事件，稱作基本事件。基本事件是試驗的最基本結事件，稱作基本事件?；臼录窃囼灥淖罨窘Y果：每次試驗必出現(xiàn)一個基本事件，任何兩個基本果：每次試驗必出現(xiàn)一個基本事件，任何兩個基本事件都不會同時出現(xiàn)。事件都不會同時出現(xiàn)。 由兩個或兩個以上基本事件所組成的事件稱作由兩個或兩個以上基本事件所組成的事件稱作復合事件。復合事件。 一項隨機試驗的所有基本事件的集合，稱作該一項隨機試驗的所有基本事件的集合，稱作該隨機試驗的基本事件空間。必然事件是每次試驗都隨機試驗的基本事件空間。必然事件是每次試驗都一定出現(xiàn)的事件，記作一定出現(xiàn)的事件，記作。任何一次試驗都不可能。任

4、何一次試驗都不可能出現(xiàn)的事件稱為不可能事件，記作出現(xiàn)的事件稱為不可能事件，記作。4-7（二）事件的關系和運算（二）事件的關系和運算 事件的關系有：包含和相等；事件的運算有：事件的關系有：包含和相等；事件的運算有：和（并），差，交（積），逆。和（并），差，交（積），逆。n（1）包含：關系式）包含：關系式 表示表示“若若a出出現(xiàn)，則現(xiàn)，則b也出現(xiàn)（反之則未必）也出現(xiàn)（反之則未必）”，稱作，稱作“b包含包含a”，或，或“a導致導致b”。 ba 4-8n（2）相等：關系式）相等：關系式a=b表示二事件表示二事件a和和b要么都出要么都出現(xiàn)，要么都不出現(xiàn)，稱作現(xiàn)，要么都不出現(xiàn)，稱作“事件事件a等于事件等于

5、事件b”或或“事件事件a和和b等價等價”。 n（3）和（并）：運算式）和（并）：運算式a+b或或ab讀作讀作“a加加b”，稱作稱作“a與與b的和（并）的和（并）”，表示，表示“a和和b至少出現(xiàn)至少出現(xiàn)一個一個”。對于多個事件。對于多個事件 , 或或 表示表示“諸事件中至少出現(xiàn)一個諸事件中至少出現(xiàn)一個”。 ）， 21( iiaiiaiia4-9n（4）差：運算式）差：運算式 ab或或ab讀作讀作“a減減b”，稱作，稱作“a與與b的差的差”，表示，表示“事件事件a出現(xiàn)但出現(xiàn)但b不出現(xiàn)。不出現(xiàn)。”n（5）交（積）：運算式）交（積）：運算式ab或或ab，稱作，稱作“a與與b的交（或的交（或積）積）”，

6、表示，表示“事件事件a和和b同時出現(xiàn)同時出現(xiàn)”。對于多個事件。對于多個事件 表示表示“諸事件諸事件 同時出現(xiàn)同時出現(xiàn)”。 n（6）逆事件：）逆事件： =a不出現(xiàn)不出現(xiàn)，稱作，稱作a的對立事件或逆事件。的對立事件或逆事件。顯然顯然a和和 互為對立事件，它們之間有下列關系：，互為對立事件，它們之間有下列關系：，a =。n（7）不相容：若）不相容：若ab=，即，即a與與b不可能同時出現(xiàn)，則稱不可能同時出現(xiàn)，則稱a和和b不相容。不相容。），21( iia aa），21( iiaiaaaa4-10第二節(jié)第二節(jié) 概率的性質及其計算概率的性質及其計算n一、概率的概念一、概率的概念n二、隨機事件的頻率與概率的

7、關系二、隨機事件的頻率與概率的關系n三、概率的性質三、概率的性質n四、概率的估計和計算四、概率的估計和計算4-11一、概率的概念一、概率的概念n 對于一個隨機事件來說，它在一次試驗中對于一個隨機事件來說，它在一次試驗中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。既然有可能性，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。既然有可能性，就有可能性大小問題。事件就有可能性大小問題。事件a在隨機試驗中出在隨機試驗中出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值度量，稱作概率。事件現(xiàn)可能性大小的數(shù)值度量，稱作概率。事件a的概率以的概率以p（a）表示。）表示。4-12二、隨機事件的頻率與概率的關系二、隨機事件的頻率與概率的關系n在相同條件下，重復進行同一隨機試驗，在相同

8、條件下，重復進行同一隨機試驗，a是是這個試驗的一個結果（事件）。設試驗的次這個試驗的一個結果（事件）。設試驗的次數(shù)為數(shù)為n，在，在n次重復試驗中次重復試驗中a出現(xiàn)的次數(shù)為出現(xiàn)的次數(shù)為na，則事件則事件a的頻率為的頻率為n通過大量觀測，可以發(fā)現(xiàn)：隨機試驗的頻率通過大量觀測，可以發(fā)現(xiàn)：隨機試驗的頻率具有隨試驗次數(shù)增加而趨向穩(wěn)定的性質，而具有隨試驗次數(shù)增加而趨向穩(wěn)定的性質，而頻率的穩(wěn)定值可以用來反映事件發(fā)生的可能頻率的穩(wěn)定值可以用來反映事件發(fā)生的可能性大小。因此，可以說頻率的穩(wěn)定值性大小。因此，可以說頻率的穩(wěn)定值p是事件是事件a發(fā)生的概率。即發(fā)生的概率。即p(a)=pnnapan)(4-13三、概率

9、的性質三、概率的性質n設事件設事件a的概率記作的概率記作p（a），則它應該具有），則它應該具有如下性質：如下性質：n性質性質1：非負性，即：非負性，即0p(a)1n性質性質2：規(guī)范性，即，對于必然事件：規(guī)范性，即，對于必然事件，有，有 p()=1n性質性質3：對于隨機事件：對于隨機事件ai(i=1，2，)，只要它，只要它 們兩兩互不相容，則有們兩兩互不相容，則有1)(1)(iapiapii4-14四、概率的估計和計算四、概率的估計和計算n（一）概率的直接計算（一）概率的直接計算 1.古典型概率古典型概率 如果一項隨機試驗的全部基本事件總數(shù)有限，如果一項隨機試驗的全部基本事件總數(shù)有限，并且各基本

10、事件出現(xiàn)的可能性都相同，事件并且各基本事件出現(xiàn)的可能性都相同，事件a由若干基本事件所組成，則由若干基本事件所組成，則a的概率可用下式的概率可用下式計算計算基本事件總數(shù)所含基本事件的個數(shù)aap)(4-15n【例【例4-1】 袋中盛有除顏色外其他完全相同的袋中盛有除顏色外其他完全相同的50個不同顏色的小球，其中有個不同顏色的小球，其中有10個白球。充個白球。充分混勻后隨意摸出一球。求所摸為白球的概分混勻后隨意摸出一球。求所摸為白球的概率。率。 解：記解：記a = 抽到白球抽到白球。該試驗總共有。該試驗總共有50個等個等可能的基本事件，可能的基本事件，a包含其中的包含其中的10個。因此個。因此 2

11、.05010)(ap4-16n2.幾何型概率幾何型概率 如果隨機試驗可模擬區(qū)域上隨機投點。如果隨機試驗可模擬區(qū)域上隨機投點。并且（并且（1）這個區(qū)域有明確界限，可以作長度、）這個區(qū)域有明確界限，可以作長度、面積、體積的幾何度量。（面積、體積的幾何度量。（2）隨機點落在這）隨機點落在這個區(qū)域任何一點上的可能性都相同，也就是個區(qū)域任何一點上的可能性都相同，也就是說，對于中的某一區(qū)域說，對于中的某一區(qū)域g，隨機點落在，隨機點落在g內的內的概率與概率與g的幾何度量成正比，同它的形狀以及的幾何度量成正比，同它的形狀以及在中的位置無關。在中的位置無關。4-17n對于這種隨機試驗，如果以對于這種隨機試驗，如

12、果以a表示表示隨機點落隨機點落在區(qū)域在區(qū)域g中中這一事件，則其概率可用下式計這一事件，則其概率可用下式計算算的幾何度量的幾何度量gap)(4-18n【例【例4-2】 某農場有耕地某農場有耕地500畝，其中畝，其中1號地塊號地塊面積為面積為8畝。向畝。向500畝耕地隨機投點，隨機點畝耕地隨機投點，隨機點落在落在500畝耕地每一位置的可能性相等。求畝耕地每一位置的可能性相等。求1號地塊被抽中的概率。號地塊被抽中的概率。 4-19 解：隨機點落在解：隨機點落在1號地塊內的概率與地塊的號地塊內的概率與地塊的面積成正比。面積成正比。1號地塊的幾何度量為號地塊的幾何度量為8畝，整畝，整個區(qū)域幾何度量為個區(qū)

13、域幾何度量為500畝。記畝。記a=隨機點落在隨機點落在1號地塊號地塊=1號地塊被抽中號地塊被抽中，則，則016. 05008)(ap4-20n（二）用頻率估計概率（二）用頻率估計概率 在最一般情況下，用事件在大量重復試在最一般情況下，用事件在大量重復試驗中出現(xiàn)的頻率估計其概率的值。這樣做的驗中出現(xiàn)的頻率估計其概率的值。這樣做的依據(jù)是概率的穩(wěn)定性。就這一點前面已經(jīng)有依據(jù)是概率的穩(wěn)定性。就這一點前面已經(jīng)有所敘述。所敘述。4-21n（三）主觀概率（三）主觀概率 根據(jù)決策者綜合各種信息，并依靠其經(jīng)根據(jù)決策者綜合各種信息，并依靠其經(jīng)驗和判斷力對事件的概率做出估計，這種概驗和判斷力對事件的概率做出估計，這

14、種概率的估計值被稱為主觀概率。主觀概率不假率的估計值被稱為主觀概率。主觀概率不假定現(xiàn)象的可重復性，甚至可以根據(jù)一次性試定現(xiàn)象的可重復性，甚至可以根據(jù)一次性試驗做出判斷。例如，請資深體育評論員對即驗做出判斷。例如，請資深體育評論員對即將參賽的兩支足球隊的勝、負可能性進行估將參賽的兩支足球隊的勝、負可能性進行估計。在對事件出現(xiàn)的真實可能性缺乏有效估計。在對事件出現(xiàn)的真實可能性缺乏有效估計時，主觀概率法也可作為解決問題的一種計時，主觀概率法也可作為解決問題的一種方法。不過，目前對主觀概率法的應用理論方法。不過，目前對主觀概率法的應用理論界尚存在爭議。界尚存在爭議。4-22n（四）概率的計算（四）概率

15、的計算 1.概率的加法法則概率的加法法則 （1）任意事件的加法規(guī)則）任意事件的加法規(guī)則 任意兩個事件和（并）的概率，等于兩事件任意兩個事件和（并）的概率，等于兩事件概率的和再減去兩事件同時發(fā)生的概率。即概率的和再減去兩事件同時發(fā)生的概率。即 )()()()(abpbpapbap4-23（2）不相容事件的加法規(guī)則）不相容事件的加法規(guī)則 兩個不相容事件與的和兩個不相容事件與的和(并并)的概率，等于兩事件概率的概率，等于兩事件概率的和。即的和。即 對多個事件，這個規(guī)則也就是前面說過的概率的性對多個事件，這個規(guī)則也就是前面說過的概率的性質質3。 )()()(bpapbap4-24n2.條件概率和乘法公

16、式條件概率和乘法公式 在實際問題中，除了要知道事件發(fā)生概在實際問題中，除了要知道事件發(fā)生概率外，有時還需要知道在率外，有時還需要知道在“事件事件b已發(fā)生已發(fā)生”的的條件下，事件條件下，事件a發(fā)生的概率，這種概率稱為條發(fā)生的概率，這種概率稱為條件概率，記作件概率，記作 。)|(bap4-25n條件概率的下列一般定義：設，條件概率的下列一般定義：設，a,b是任意兩是任意兩個事件，且個事件，且p(b)0，則稱，則稱 為為“在事件在事件b發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件a發(fā)生的條發(fā)生的條件概率件概率”，簡稱，簡稱“a關于關于b的條件概率的條件概率”。n由這個定義，可得到概率的乘法公式：設由這個定義

17、，可得到概率的乘法公式：設a與與是是b任意兩個事件，且任意兩個事件，且p(a)0，p(b)0，則，則 )()()|(bpabpbap)|()(bapbpabp)|()()(abpapabp4-26n【例【例4-4】 設一批產(chǎn)品共設一批產(chǎn)品共n件，其中有件，其中有m件次品，件次品，不放回地抽取兩件，求事件不放回地抽取兩件，求事件第一件抽到的是正品，第一件抽到的是正品，而第二件抽到的是次品而第二件抽到的是次品的概率。的概率。 解：記解：記a=第一件是正品第一件是正品，b=第二件是次品第二件是次品，所求事件為所求事件為ab。根據(jù)乘法公式，有。根據(jù)乘法公式，有 1)|()()(nmnmnabpapab

18、p4-27n3.全概率公式全概率公式 全概率公式可表述如下：全概率公式可表述如下： 設設 為個互不相容事件，且為個互不相容事件，且 ,則任一事件的概則任一事件的概 率為率為0)(ibpnbbb,21niib1),2,1(niniiibapbpap1)()()(4-284-294-30n4.貝葉斯公式貝葉斯公式4-314-32n5.事件的獨立性事件的獨立性 對于兩個事件對于兩個事件a和和b，假若事件，假若事件b的發(fā)生會對的發(fā)生會對事件事件a發(fā)生的概率產(chǎn)生影響，即發(fā)生的概率產(chǎn)生影響，即 ，稱，稱事件事件a與與b之間統(tǒng)計相依。假若事件之間統(tǒng)計相依。假若事件b的發(fā)生并不的發(fā)生并不影響事件影響事件a發(fā)生

19、的概率，稱事件發(fā)生的概率，稱事件a與與b之間統(tǒng)計之間統(tǒng)計獨立。在獨立。在a與與b獨立時顯然有獨立時顯然有 ，這時，這時，乘法公式式（乘法公式式（4.9）成為）成為)()()|()()(bpapbapbpabp)()|(apbap)()|(apbap4-33 通常把這個關系式作為事件獨立性的定義。即通常把這個關系式作為事件獨立性的定義。即設設a與與b是任意兩個事件，如果滿足是任意兩個事件，如果滿足 則稱事件則稱事件a與與b獨立，否則稱獨立，否則稱a與與b相依。相依。 在實際應用中，如果兩個事件相互間沒有影響，在實際應用中，如果兩個事件相互間沒有影響，則可以認為這兩個事件相互獨立。則可以認為這兩個

20、事件相互獨立。 )()()(bpapabp4-344-35n 應該指出，兩個事件相互獨立與互不相應該指出，兩個事件相互獨立與互不相容是兩個不同的概念。獨立性是指兩個事件容是兩個不同的概念。獨立性是指兩個事件的發(fā)生互不影響，互不相容是指兩個事件不的發(fā)生互不影響，互不相容是指兩個事件不能同時發(fā)生。兩個不相容事件一定是統(tǒng)計相能同時發(fā)生。兩個不相容事件一定是統(tǒng)計相依的，兩個獨立事件一定是相容的（除非其依的，兩個獨立事件一定是相容的（除非其中有一個事件的概率為中有一個事件的概率為0）。）。 4-364-37n【例【例4-8】 對同一目標進行對同一目標進行3次射擊，第一、二、三次射擊次射擊，第一、二、三次

21、射擊的命中概率分別是的命中概率分別是0.3、0.4、0.6，試求在這三次射擊中恰有，試求在這三次射擊中恰有一次命中的概率。一次命中的概率。n解：記解：記 ， （i=1，2，3），于是可以寫出：），于是可以寫出：中三次射擊中恰有一次命a次射擊命中第iai4-38中三次射擊中恰有一次命a 321321321aaapaaapaaapap顯然，這三個事件是兩兩不相容的。而 是這三個事件的和。根據(jù)不相容事件的加法法則，有由于三次射擊是彼此獨立的，即相互獨立，故有 4-394-40第三節(jié)第三節(jié) 隨機變量及其分布隨機變量及其分布n一、隨機變量的概念一、隨機變量的概念n二、隨機變量的概率分布二、隨機變量的概率

22、分布n三、隨機變量的數(shù)字特征三、隨機變量的數(shù)字特征4-41n一、隨機變量的概念一、隨機變量的概念（一）什么是隨機變量（一）什么是隨機變量 隨機變量就是其取值帶有隨機性的變隨機變量就是其取值帶有隨機性的變量。在給定的條件下，這種變量取何值事量。在給定的條件下，這種變量取何值事先不能確定，只能由隨機試驗的結果來定，先不能確定，只能由隨機試驗的結果來定，并且隨試驗的結果而變。并且隨試驗的結果而變。4-42n（二）隨機變量的種類（二）隨機變量的種類 如果隨機變量的全體可能取值能夠一一列如果隨機變量的全體可能取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機變量稱作離散型隨機變舉出來，這樣的隨機變量稱作離散型隨機變量（如

23、擲一枚硬幣首次出現(xiàn)正面向上所需要量（如擲一枚硬幣首次出現(xiàn)正面向上所需要的投擲次數(shù)）；的投擲次數(shù)）； 如果隨機變量的全體可能取值不能一一如果隨機變量的全體可能取值不能一一列舉，其可能的取值在數(shù)軸上是連續(xù)的，則列舉，其可能的取值在數(shù)軸上是連續(xù)的，則該變量稱為連續(xù)型隨機變量（如可能出現(xiàn)的該變量稱為連續(xù)型隨機變量（如可能出現(xiàn)的測量誤差）測量誤差）。4-43二、隨機變量的概率分布二、隨機變量的概率分布n（一）概率分布的概念（一）概率分布的概念 隨機變量的一切可能值的集合（值域），隨機變量的一切可能值的集合（值域），及其相應的概率叫做隨機變量的概率分布。及其相應的概率叫做隨機變量的概率分布。隨機變量的統(tǒng)計

24、性質可由它的概率分布來表隨機變量的統(tǒng)計性質可由它的概率分布來表征。征。4-44n 1.離散型隨機變量的分布離散型隨機變量的分布【例【例4-9】 歷史上曾有不少人作過反復投擲均勻硬幣的試驗?，F(xiàn)歷史上曾有不少人作過反復投擲均勻硬幣的試驗。現(xiàn)在定義這樣一個隨機變量：在定義這樣一個隨機變量： 如果反面朝上如果正面朝上, 0, 1x表表4-1 投擲硬幣試驗結果的頻率分布投擲硬幣試驗結果的頻率分布試驗結果x試驗者：蒲 豐試驗者：皮爾遜試驗者：皮爾遜頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1（正面）0（反面）204819920.50690.4931601959810.50160.498412012119980.50050.

25、4995合 計40401.0000120001.0000240001.00004-45 綜上所述，離散型隨機變量綜上所述，離散型隨機變量x的每一個可的每一個可能的取值能的取值xi和隨機變量取該值的概率和隨機變量取該值的概率p（xi）之間所確立的對應關系稱作這個離散型隨機之間所確立的對應關系稱作這個離散型隨機變量的分布。變量的分布。p（xi）（）（i=1，2，3，）稱作）稱作隨機變量隨機變量x的概率分布或概率函數(shù)，它滿足下的概率分布或概率函數(shù)，它滿足下面的關系：面的關系：p（xi）0和和 。11)(iixp4-46 【例【例4-10】 袋中共有袋中共有50個球，其中記上個球，其中記上0號的號的5

26、個，個，記上記上k號的分別有號的分別有k個（個（ k = 1，2，9）?，F(xiàn)從袋）?，F(xiàn)從袋中任取一球。試做出所得號數(shù)的分布列。中任取一球。試做出所得號數(shù)的分布列。 解：記所取之球的號數(shù)為隨機變量解：記所取之球的號數(shù)為隨機變量x，由古典概率的，由古典概率的計算方法可知：計算方法可知：p(x=0)=5 / 50，p(x = k) = k / 50 ( k = 1，2，9)。于是，可做出分布列（見表。于是，可做出分布列（見表4-3）。）。 表表4-3 離散型隨機變量分布數(shù)列離散型隨機變量分布數(shù)列x = xi0123456789p(xi)0.10 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.1

27、2 0.14 0.16 0.184-47n2. 連續(xù)型隨機變量的分布連續(xù)型隨機變量的分布 【例【例4-11】檢查了在相同條件下生產(chǎn)的】檢查了在相同條件下生產(chǎn)的246件件汽車活塞，測得所切削之活塞孔對中心線的汽車活塞，測得所切削之活塞孔對中心線的偏差數(shù)據(jù)。因偏差尺寸屬于連續(xù)型變量，對偏差數(shù)據(jù)。因偏差尺寸屬于連續(xù)型變量，對這類變量觀測數(shù)據(jù)的整理應當采用組距式分這類變量觀測數(shù)據(jù)的整理應當采用組距式分組。把整理結果做成頻率分布表（見表組。把整理結果做成頻率分布表（見表4-4）和次數(shù)分布直方圖（見圖和次數(shù)分布直方圖（見圖4-1）。）。 4-48n表表4-4汽車活塞削孔對中心線偏差的頻率分布汽車活塞削孔對

28、中心線偏差的頻率分布偏差尺寸分組（毫米）x = x頻數(shù)（件）頻率頻率密度453535252515155 55 515 1525 2535 3545 218355450442712 40.00810.07320.14230.21950.20320.17890.10970.04880.01630.000810.007320.014230.021950.020320.017890.010970.004880.001634-49偏差尺寸（毫米）圖圖4-1 活塞削孔對中心線的偏差的頻率分布活塞削孔對中心線的偏差的頻率分布4-50n 綜上所述，連續(xù)型隨機變量綜上所述，連續(xù)型隨機變量x的一系列的一系列取值區(qū)

29、間（例如，可以是由取值區(qū)間（例如，可以是由與實數(shù)軸上的與實數(shù)軸上的任意點所構成的一系列區(qū)間）和隨機變量在任意點所構成的一系列區(qū)間）和隨機變量在該區(qū)間取值的概率之間確立的對應關系，稱該區(qū)間取值的概率之間確立的對應關系，稱作這個連續(xù)型隨機變量的分布。作這個連續(xù)型隨機變量的分布。n 連續(xù)型隨機變量的分布可以用密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量的分布可以用密度函數(shù)來描述，隨機變量的密度函數(shù)記作來描述，隨機變量的密度函數(shù)記作 。 )(xp4-51n 次數(shù)分布直方圖是用各組的頻率密度作直條的次數(shù)分布直方圖是用各組的頻率密度作直條的高來畫圖的。當分組數(shù)無窮多，而組距（即直條的高來畫圖的。當分組數(shù)無窮多，而組距（即直條的

30、底邊長）趨近于底邊長）趨近于0時，直方圖演變成平滑的曲線時，直方圖演變成平滑的曲線(如如圖圖4-1)，這時，直條的高就成，這時，直條的高就成 為為 。n 連續(xù)型隨機變量在某一數(shù)值區(qū)間內取值的概率連續(xù)型隨機變量在某一數(shù)值區(qū)間內取值的概率等于豎立在該區(qū)間上的，以密度曲線為上底的曲邊等于豎立在該區(qū)間上的，以密度曲線為上底的曲邊梯形的面積。寫作梯形的面積。寫作)(xpbadxxpbxap)()(4-52n密度函數(shù)滿足下面兩個基本性質：密度函數(shù)滿足下面兩個基本性質：（1）密度函數(shù)的函數(shù)值不會是負數(shù)，從圖形看，密度）密度函數(shù)的函數(shù)值不會是負數(shù)，從圖形看，密度曲線在橫軸上方，以橫軸為漸近線；曲線在橫軸上方，

31、以橫軸為漸近線；（2）在整個實數(shù)軸上的密度函數(shù)值的和等于）在整個實數(shù)軸上的密度函數(shù)值的和等于1，從圖，從圖形看，密度曲線下覆蓋的總面積等于形看，密度曲線下覆蓋的總面積等于1。這兩個性質。這兩個性質用密度函數(shù)式寫作用密度函數(shù)式寫作0)(xp 1)(dxxp4-53三、隨機變量的數(shù)字特征三、隨機變量的數(shù)字特征n（一）隨機變量的數(shù)學期望（一）隨機變量的數(shù)學期望 隨機變量隨機變量x的數(shù)學期望是的數(shù)學期望是x的一切可能值的一切可能值以相應的概率為權數(shù)的加權算術平均數(shù)。今以相應的概率為權數(shù)的加權算術平均數(shù)。今后我們把后我們把x的數(shù)學期望記作的數(shù)學期望記作e(x)。4-54n若若x是離散型隨機變量，是離散型

32、隨機變量， e(x)=n若是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為若是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為p(x)，則則x的數(shù)學期望定義為的數(shù)學期望定義為 vixxpxvipxiiii11dxxxpxe)()(式中的定積分應絕對收斂。式中的定積分應絕對收斂。4-55 數(shù)學期望有下列性質：數(shù)學期望有下列性質：n性質性質 1 e（c）=c n性質性質 2 e（x+c）=e（x）+c n性質性質 3 e（cx）= ce（x） 4-56 n性質性質 4 e（xy）=e（x）e（y） 推廣推廣n性質性質5 若若x與與y獨立，獨立，e(xy)=e（x）e（y） 推廣推廣 若若x1,，xn獨立，有獨立，有 e（x1x

33、2xn）=e（x1）（x2）e（xn）niiniixexe114-57n（二）隨機變量的方差、標準差和變異系數(shù)（二）隨機變量的方差、標準差和變異系數(shù) 1.方差和標準差方差和標準差 隨機變量隨機變量x的方差，記作的方差，記作v(x)，是，是x與其與其數(shù)學期望的離差平方的數(shù)學期望。即數(shù)學期望的離差平方的數(shù)學期望。即v(x)=ex e( x )2 稱稱 為為x的標準差。的標準差。 方差還可以有下列表達式方差還可以有下列表達式 v(x)=e(x2)e( x )2 )(xv4-58n若若x是離散型隨機變量，其分布如表是離散型隨機變量，其分布如表4-5所示，所示，則則x的方差用下式計算。的方差用下式計算。

34、 v( x ) =n若是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為，若是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為，則的方差用下式計算。則的方差用下式計算。vipxexii1)(2dxxpexxxv)()(2)(4-59n方差有下列性質：方差有下列性質： 性質性質 1 v（c）= 0 性質性質 2 v（x+c）= v（x） 性質性質 3 v（cx）= c2v（x） 性質性質 4 若若x與與y獨立，有獨立，有 若若x1，xn獨立，有獨立，有 性質性質 5 若若x與與y獨立，有獨立，有 )()()(yvxvyxvniiniixvxv11)()()()()(yvxvyxv4-60n2.變異系數(shù)變異系數(shù)n隨機變量的變異系

35、數(shù)是隨機變量的標準差與隨機變量的變異系數(shù)是隨機變量的標準差與數(shù)學期望的比率。隨機變量數(shù)學期望的比率。隨機變量x的變異系數(shù)寫作的變異系數(shù)寫作 (x)= )()(xexv4-61第四節(jié)第四節(jié) 幾種常用的概率分布幾種常用的概率分布n一、兩點分布一、兩點分布n二、二項分布二、二項分布n三、超幾何分布三、超幾何分布n四、正態(tài)分布四、正態(tài)分布n五、五、 分布分布n六、六、f分布分布n七、七、t分布分布24-62一、兩點分布一、兩點分布n如果隨機變量如果隨機變量x只取只取1和和0兩個值，取兩個值，取1的概率是的概率是，取取0的概率是的概率是1-，我們稱，我們稱x服從兩點分布或服從兩點分布或0-1分布，分布，

36、是是x的參數(shù)。的參數(shù)。n兩點分布的數(shù)字特征如下：兩點分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學期望：數(shù)學期望：e(x)= ； 方差：方差：v(x) = ( 1)4-63n【例【例4-12】 已知在已知在20件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5件是二等件是二等品?，F(xiàn)在從中任意抽取品。現(xiàn)在從中任意抽取1件（每件產(chǎn)品都有件（每件產(chǎn)品都有相等的可能性被抽到），寫出抽取結果（是相等的可能性被抽到），寫出抽取結果（是二等品、不是二等品）的分布列。二等品、不是二等品）的分布列。 解：用隨機變量解：用隨機變量x表示抽取結果。若結果是表示抽取結果。若結果是二等品，記二等品，記x = 1；若結果不是二等品，記；若結果不是二等品，記x = 0。

37、分布列如表。分布列如表4-6。表表4-6兩點分布的分布列兩點分布的分布列x = x10p(x = x)0.250.754-64二、二項分布二、二項分布n如果把一個貝努里試驗在完全相同的條件下如果把一個貝努里試驗在完全相同的條件下獨立地重復獨立地重復n次，稱作次，稱作n重貝努里試驗。重貝努里試驗。n重貝重貝努里試驗應符合下列三個條件：努里試驗應符合下列三個條件： （1）每次試驗只有）每次試驗只有“成功成功”和和 “失敗失敗”兩兩種對立的結局；種對立的結局； （2）各次試驗）各次試驗“成功成功”的概率相同（都為）；的概率相同（都為）； （3）各次試驗相互獨立。）各次試驗相互獨立。4-65n以隨機變

38、量以隨機變量x表示表示n重貝努里試驗中重貝努里試驗中“成功成功”的次數(shù)，的次數(shù)，它服從參數(shù)為（它服從參數(shù)為（n，）的二項分布。二項分布的概）的二項分布。二項分布的概率函數(shù)為率函數(shù)為 （k=0，1，n） 其中，其中，k是是n重貝努里試驗中重貝努里試驗中“成功成功”的次數(shù)。的次數(shù)。n二項分布的數(shù)字特征如下：二項分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學期望：數(shù)學期望：e(x)= n ； 方差：方差： v（x）= n( 1)knkknckxp14-66n【例【例4-13】 例例4-12中，如果以還原方式抽取中，如果以還原方式抽取4次次（即每次抽取后，把所抽取的產(chǎn)品放回），寫出（即每次抽取后，把所抽取的產(chǎn)品放回），寫

39、出抽到二等品件數(shù)的分布列。抽到二等品件數(shù)的分布列。 解：用隨機變量解：用隨機變量x表示經(jīng)過表示經(jīng)過4次抽取，抽到二等品次抽取，抽到二等品的件數(shù)。它可能的取值是的件數(shù)。它可能的取值是0，1，2，3，4。分布列。分布列如表如表4-7。 表表4-7二項分布的分布列二項分布的分布列 表中，表中，x取取0，1，2，3，4各數(shù)值的概率是用式各數(shù)值的概率是用式（4.35）算出的，其中，）算出的，其中，n = 4， = 5 / 20 = 0.25， k= 0，1，2，3，4。 x = k01234p(x = k)0.31640.42190.21090.04690.0394-67三、超幾何分布三、超幾何分布n超

40、幾何分布的試驗背景是：對有限總體進行不還原超幾何分布的試驗背景是：對有限總體進行不還原方式（每次抽取后，所抽單位不再放回，稱之為不方式（每次抽取后，所抽單位不再放回，稱之為不還原方式）的簡單隨機抽樣，觀察樣本中具有某種還原方式）的簡單隨機抽樣，觀察樣本中具有某種特征的單位數(shù)目。如果有限總體單位數(shù)目為特征的單位數(shù)目。如果有限總體單位數(shù)目為n，其，其中具有某種特征的單位數(shù)目為中具有某種特征的單位數(shù)目為m，對這個總體進行，對這個總體進行n次不還原簡單隨機抽樣，用隨機變量次不還原簡單隨機抽樣，用隨機變量x表示樣本中表示樣本中具有某種特征的單位的數(shù)目，則具有某種特征的單位的數(shù)目，則x服從參數(shù)為（服從參數(shù)

41、為（n，m，n）的超幾何分布。超幾何分布的概率函數(shù)是）的超幾何分布。超幾何分布的概率函數(shù)是 （k=0，1，min n，m ）其中，）其中，k是樣本中具有是樣本中具有某種特征的單位的數(shù)目。某種特征的單位的數(shù)目。nnknmnkmccckxp)(4-68n超幾何分布的數(shù)字特征如下：超幾何分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學期望：數(shù)學期望：e(x)= n （這里，（這里， =m/n） 方差：方差： = n( 1) 1nnn)(xv4-69n【例【例4-14】例】例4-13中，如果改為不還原地抽取中，如果改為不還原地抽取4次，寫出抽次，寫出抽到二等品件數(shù)的分布列。到二等品件數(shù)的分布列。 解：用隨機變量解：用隨機變

42、量x表示經(jīng)過表示經(jīng)過4次抽取，抽到二等品的件數(shù)。次抽取，抽到二等品的件數(shù)。它可能的取值是它可能的取值是0，1，2，3，4。分布列如表。分布列如表4-8。 表表4-8超幾何分布的分布列超幾何分布的分布列 表中取表中取0，1，2，3，4各數(shù)值的概率是用式（各數(shù)值的概率是用式（4.36）算出的。）算出的。式中，式中，n =20，m =5，n = 4。x = x01234p(x = x)0.28170.46960.21670.03100.00104-70四、正態(tài)分布四、正態(tài)分布n 令隨機變量令隨機變量x是在一個隨機試驗中被測量是在一個隨機試驗中被測量的結果，并且，決定這項試驗結果的是大量的結果，并且，

43、決定這項試驗結果的是大量偶然因素作用的總和，每個因素的單獨作用偶然因素作用的總和，每個因素的單獨作用相對均勻地小，那么，相對均勻地小，那么，x的分布就近似于正態(tài)的分布就近似于正態(tài)分布。分布。4-71n正態(tài)分布的密度函數(shù)是正態(tài)分布的密度函數(shù)是n正態(tài)分布的數(shù)字特征如下：正態(tài)分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學期望：數(shù)學期望：e(x)= 方方 差：差：v(x) =2 xxpx222e214-72圖圖4-2 正態(tài)分布概率密度曲線正態(tài)分布概率密度曲線4-73n正態(tài)分布的密度函數(shù)有兩個參數(shù)：正態(tài)分布的密度函數(shù)有兩個參數(shù)：和和2。從密度函。從密度函數(shù)的圖形來說，數(shù)的圖形來說，決定著曲線在橫軸上的位置，決定著曲線在橫軸

44、上的位置， 越越大，圖形位置越靠右；大，圖形位置越靠右；2決定著曲線的形狀，決定著曲線的形狀，2越越大，圖形越大，圖形越“矮胖矮胖”（見圖（見圖4-3）。）。 圖圖4-3 正態(tài)分布概率密度曲線中正態(tài)分布概率密度曲線中 的參數(shù)作用的參數(shù)作用4-74 把隨機變量與它的數(shù)學期望相減之差把隨機變量與它的數(shù)學期望相減之差除以該隨機變量的標準差（方差的平方除以該隨機變量的標準差（方差的平方根），稱作隨機變量的標準化。標準化能根），稱作隨機變量的標準化。標準化能簡化正態(tài)分布概率的計算簡化正態(tài)分布概率的計算. 4-754-76n應用應用excel工具中的下列函數(shù)可以直接進行正工具中的下列函數(shù)可以直接進行正態(tài)分布下的變量值與概率的相互計算：態(tài)分布下的變量值與概率的相互計算