二項(xiàng)式定理解題技巧

1、精心整理歡迎下載二項(xiàng)式定理1二項(xiàng)式定理：(a b)nCn0anCn1an 1bC nr an r brC nn bn (n N ) ，2基本概念：二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(ab)n 的二項(xiàng)展開式。二項(xiàng)式系數(shù) : 展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C nr(r 0,1,2, , n) .項(xiàng)數(shù)：共 (r 1) 項(xiàng)，是關(guān)于 a 與 b 的齊次多項(xiàng)式通項(xiàng)：展開式中的第 r1 項(xiàng) C nr a n r b r叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用 Tr 1 Cnr an r br表示。3注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有( n 1) 項(xiàng)。順序：注意正確選擇 a , b , 其順序不能更改。(a b)n 與 (ba)n 是不同的

2、。指數(shù)： a 的指數(shù)從 n 逐項(xiàng)減到 0，是降冪排列。 b 的指數(shù)從 0逐項(xiàng)減到 n ，是升冪排列。 各項(xiàng)的次數(shù)和等于 n .系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是Cn0 , Cn1 , Cn2 , ,Cnr ,Cnn. 項(xiàng)的系數(shù)是 a 與 b的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）。4常用的結(jié)論：令 a1,bx,(1x) nC n0C n1 xCn2 x2C nr xrC nn x n ( nN )令 a1,bx,(1x)nC n0Cn1 xCn2 x2Cnr xr(1)n C nn x n (nN )5性質(zhì)：二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Cn0Cnn ，

3、··· CnkCnk 1二項(xiàng)式系數(shù)和：令a b 1, 則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C n0Cn1Cn2C nrCnn2n ，變形式 Cn1Cn2CnrCnn2n1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令a 1,b1，則 Cn0Cn1Cn2Cn3(1)n C nn(11)n0 ，從而得到： Cn0C n2C n4Cn2rCn1Cn3Cn2r112n2n 12奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和：精心整理歡迎下載(a x)nC0an x0C1a n 1x C2 an 2 x2C n a0 x na a x1ax2axnnnnn012n( x a)nC n0a0

4、 xnCn1ax n 1Cn2 a2 x n 2Cnn an x0an x na2 x2a1x1a0令 x1, 則 a0a1a2a3an(a 1)n令 x1,則 a0a1a2a3an( a 1)n得 , a0a2a4an( a1)n( a1)n (奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和 )2得 , a1a3a5an( a1)n( a1)n(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)2n 是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)n二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)Cn2 取得最大值。n1n 1如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)n 是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn2,Cn2 同時(shí)取得最大值。系數(shù)的最大項(xiàng)：求(abx )n 展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)

5、展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為 A1, A2, An 1，設(shè)第 r1 項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有Ar1Ar，從而解出 r 來。ArAr126二項(xiàng)式定理的十一種考題的解法：題型一：二項(xiàng)式定理的逆用；例： C n1Cn2 6 Cn3 62Cnn 6n 1.解： (1 6) nC n0Cn16Cn262Cn363C nn 6n 與已知的有一些差距，Cn1Cn2 6 C n3 62Cnn 6n 11 (C n1 6 Cn2 62Cnn 6n )61 (Cn0Cn16Cn262Cnn6n1)1 (16) n11 (7 n1)666練： C n13C n29C n33n 1C nn.解：設(shè) SnCn13Cn29Cn33n

6、1Cnn ，則3SnCn1 3 C n2 32Cn3 33Cnn 3nCn0C n1 3 C n2 32Cn3 33Cnn 3n1 (1 3)n1Sn(13)n14n133題型二：利用通項(xiàng)公式求xn 的系數(shù)；例：在二項(xiàng)式( 413 x2 ) n 的展開式中倒數(shù)第3 項(xiàng)的系數(shù)為 45 ，求含有 x3 的項(xiàng)的系數(shù)？x解：由條件知 Cnn 245，即 Cn245 ，n2n900 ，解得 n9(舍去 )或 n10 ，由精心整理歡迎下載C10r (x1210 r2 r10r2Tr 14 )10 r ( x 3 ) rC10r x43 ，由題意r 3, 解得 r6 ，43則含有 x3 的項(xiàng)是第7項(xiàng)T61

7、C106 x3210 x3, 系數(shù)為210。練：求 ( x21 )9 展開式中 x9的系數(shù)？2x1 ) rC9r x18 2r ( 1 )r x r1)r x18 3r ，令 18 3r解： Tr 1C9r (x2 )9 r (C9r (9 , 則 r 32x22故 x9 的系數(shù)為 C93 (1 )321 。22題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式 (x21)10 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)？2x解： Tr 1 C10r (x2 )10 r ( 1 )rC10r( 1 )r205 rx22 x2，令5，得，所以81 845202r 0r 8T9C10(2)256練：求二項(xiàng)式(2 x1) 6 的展

8、開式中的常數(shù)項(xiàng)？2x1)r ( 11)r C6r 26 r ( 1 )r x6解： Tr 1C6r (2 x) 6r ()r(2 r ，令 62 r 0，得 r3 ，所以 T4( 1)3C63202x2練：若 ( x21 )n 的二項(xiàng)展開式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則 n_.x解： T5C n4 (x2 )n 4 ( 1 )4C n4 x2 n 12 ，令 2n 120 ，得 n 6 .x題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng)；例：求二項(xiàng)式(x3 x )9 展開式中的有理項(xiàng)？1127 r解： Tr 1C9r (x 2 ) 9 r ( x3 )r( 1)r C9r x 6 ，令 27rZ ,( 0

9、r 9 ) 得 r3或 r9 ，6所以當(dāng) r3時(shí)， 27r4 ， T4 ( 1)3 C93 x484 x4 ，6當(dāng) r9時(shí)， 27r3，T10( 1)3 C 99 x3x3 。6題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；例：若 (x21) n 展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為256 ，求 n .3x2解：設(shè) (x21) n 展開式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a0 , a1,an ,3x2令 x1 , 則有 a0a1an0, ， 令 x1 , 則有 a0 a1a2a3( 1)n an2n , 精心整理歡迎下載將 - 得： 2(a1a3a5)2n ,a1 a3a52n1,有題意得，2n 125628 ，n9

10、 。練：若 (31512 ) n 的展開式中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024 ，求它的中間項(xiàng)。xx解： Cn0Cn2Cn4C n2 rC n1Cn3C n2 r 12n1 ，2n 11024 ，解得 n11Cn5 ( 31 )6(5 12 )5x 461所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n6, n7， T51462，T6 1 462x 15xx題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；例：已知 (12x) n ，若展開式中第5 項(xiàng)，第 6 項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最2大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解： Cn4C n62Cn5 ,n221n980, 解出 n 7或n14，當(dāng) n7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最

11、大的項(xiàng)是T4和 T5T4的系數(shù)C73 (1)4 2335, ， T5的系數(shù)C74 (1)3 2470, 當(dāng) n14 時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)222最大的項(xiàng)是 T8 ， T8的系數(shù)C147(1)7 273432 。2練：在 ( ab) 2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)2n，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2 nTn1 ，也就是第 n1項(xiàng)。12練：在 ( x1)n 的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？23 x解：只有第5 項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則n15 ，即n 8, 所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于61 22C8 (2) 7例：寫出在 ( ab)

12、7 的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的冪指數(shù)7 是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)( 第 4,5項(xiàng) ) 的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有T4C 73 a4b3 的系數(shù)最小， T5C74 a3b4 系數(shù)最大。例：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求 (12x) n 的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？2(1( 1)12 (1解：由 C n0Cn1Cn279, 解出 n12 , 假設(shè) Tr 1項(xiàng)最大，2x)124x)1222Ar 1ArC12r 4rC12r 1 4r 1r10.4，又0r12 ， r10 ，展開式中系C12r 4r，化簡(jiǎn)得到 9.4Ar 1Ar 2C12r 1 4 r

13、1數(shù)最大的項(xiàng)為 T11 ,有 T11(1 )12 C1210 410 x1016896x102精心整理歡迎下載練：在 (12 x)10 的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：假設(shè) Tr 1項(xiàng)最大，Tr1C10r 2r xrAr1ArC10r 2 rC10r1 2 r1解得2(11r )r，化簡(jiǎn)得到 6.3k7.3，又0r10 ，C10r 2 rC10r1 2 rAr1Ar21 ,r12(10r )r7 ，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T8C107 27 x715360 x7 .題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)；例：求當(dāng) ( x23x2)5 的展開式中 x 的一次項(xiàng)的系數(shù)？解法： ( x23x2) 5( x 22)3

14、x5， Tr1C5r ( x 22) 5r (3x)r，當(dāng)且僅當(dāng) r1時(shí)， Tr 1的展開式中才有 x 的一次項(xiàng)，此時(shí)Tr1T2C51 ( x22) 4 3x ，所以 x 得一次項(xiàng)為 C51C44 24 3x它的系數(shù)為 C51C 44 243240 。解法： ( x23x2) 5( x1)5 ( x2) 5(C50 x5C51x4C55 )(C50 x5C51x4 2C5525 )故展開式中含x 的項(xiàng)為 C54 xC55 25C54 x24240x ，故展開式中 x 的系數(shù)為 240.練：求式子 ( x12) 3 的常數(shù)項(xiàng)？x解： ( x12) 3(x1)6 ，設(shè)第 r1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則TrC

15、6r (1)r6 r( 1 )r( 1)6 C6r62r1xx，xxx得 6 2r 0 , r 3 ,T3 1( 1)3 C6320 .題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；例： 求(12 x)3 (1x) 4 展開式中 x2的系數(shù) .解： (12x) 3的展開式的通項(xiàng)是C3m(2 x) mC3m2mxm,(1 x)4的展開式的通項(xiàng)是C4n ( x)nC 4n1n xn, 其中 m0,1,2,3, n0,1,2,3, 4,令 mn2,則 m0且 n2, m 1且 n1,m2且 n0,因此 (12x)3 (1x)4的展開式中 x2的系數(shù)等于 C30 20 C42(1)2C3121C41( 1)1C3222C4

16、0 (1)06 .練： 求(13x )6 (141)10 展開式中的常數(shù)項(xiàng) .x1mn4m 3n解：(1 3x )6 (1)10 展開式的通項(xiàng)為 C6m x 3 C10nx 4C6mC10n x124 x精心整理歡迎下載其中m0,1,2,6, n0,1,2,當(dāng)且僅當(dāng)4m3n,即 m0,或 m3,或 m6,10,n0,n4,n8,時(shí)得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C60C100C63C104C66C1084246 .練： 已知(1xx2 )( x13 )n的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng) ,nN*且 2n8,則n_.x解： (x1 )n 展開式的通項(xiàng)為 Cnrxnrx 3rCnrxn 4r , 通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘

17、可得x3Cnrxn 4r ,C nrxn4r1,C nrxn4 r2,展開式中不含常數(shù)項(xiàng), 2n8n4r且 n4r1且 n4r2，即 n4,8且 n3,7 且n2,6,n5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例： 在 ( x2) 2006的二項(xiàng)展開式中 , 含 x的奇次冪的項(xiàng)之和為S,當(dāng) x2時(shí), S_.解： 設(shè)( x2) 2006 =a0a1x1a2 x2a3x3a2006 x2006 -( x2) 2006 =a0a1 x1a2 x2a3x3a2006x2006 - 得 2(a1xa3 x3a5 x5a2005 x2005 )( x2) 2006( x2) 2006(x2) 2006

18、 展開式的奇次冪項(xiàng)之和為 S( x)1 ( x2) 2006( x2) 2006 23 2006當(dāng) x2時(shí),S(2)122)2006(22)2006223008(222題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式 (3 3x1) n 的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p ，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s ,若xps272 , 則 n 等于多少？解：若 (3 3x1 )na0a1 xa2 x2an xn ，有 Pa0a1an ， SCn0Cnn2n ，x令 x1 得 P4n ，又 ps272 , 即 4n2n272(2 n17)(2 n16)0 解得2n16或 2n17(舍去 ) ，n4.n練：若3x1的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64 ，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少？x1n解：令 x1，則 3x的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為2n64 ，所以 n6 ，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為xC63(3x )3 (1)3540 .x精心整理歡迎下載例： 若(12x)2009a0a1x1a2 x2a3x3a2009 x2009( xR),則a1a2a2009的值為22220091 , 可得 a0a1a2a2009a1a2a20092解： 令x0,a022222200922222009在令 x 0可得 a01,因而 a1a2a20091.22222009練： 若 ( x2) 5a