對數(shù)與對數(shù)運算教案-人教版高中數(shù)學(xué)必修一第二章221 第二課時

1、25人教版 高中數(shù)學(xué)教案 必修一 第二章 2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算 第二課時第二章 基本初等函數(shù)（）2.2 對數(shù)函數(shù)2.2.1.對數(shù)與對數(shù)運算 第二課時 對數(shù)運算1 教學(xué)目標(biāo)1.1 知識與技能：1 掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，能正確地利用對數(shù)的運算性質(zhì)進行對數(shù)運算；2 掌握對數(shù)換底公式的運用 .能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)。3 對數(shù)及其運算性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.2過程與方法：1 通過對數(shù)的運算性質(zhì)的探索及推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的“合情推理能力”、“等價轉(zhuǎn)化”和“演繹歸納”的數(shù)學(xué)思想方法，以及創(chuàng)新意識1.3 情感態(tài)度與價值觀：1 通過對數(shù)的運算法則的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì) .2 在學(xué)

2、習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生探究的意識.3 讓學(xué)生理解運算法則之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)分析、解決問題的能力. 通過“合情推理”、“等價轉(zhuǎn)化”和“演繹歸納”的思想運用，培養(yǎng)學(xué)生對立統(tǒng)一、相互聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化以及“特殊一般”的辯證唯物主義觀點，以及大膽探索，實事求是的科學(xué)精神2 教學(xué)重點/難點/易考點2.1 教學(xué)重點1 重點：對數(shù)式運算性質(zhì)及時推導(dǎo)過程；2 對數(shù)換底公式。3 對數(shù)及其運算性質(zhì)的綜合應(yīng)用2.2 教學(xué)難點1 難點：對數(shù)運算性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程及其證明；2 對數(shù)換底公式的證明和應(yīng)用。3 專家建議啟發(fā)學(xué)生從對數(shù)運算性質(zhì)入手，了解對數(shù)在數(shù)學(xué)史上的重要作用，了解對數(shù)對大數(shù)運算的簡化作用，降低運算的數(shù)量級，掌握一定量的

3、對數(shù)計算基本模型，在熟練運用對數(shù)運算性質(zhì)的基礎(chǔ)上以對數(shù)的思維模式去考慮和處理問題，加深對于運算性質(zhì)和換底公式的理解和運用，掌握對數(shù)運算的特殊性，為下一節(jié)學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)打好基礎(chǔ).高考中對數(shù)的考查方式一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。4 教學(xué)方法實驗探究歸納總結(jié)補充講解練習(xí)提高5 教學(xué)用具多媒體。6 教學(xué)過程6.1 引入新課【師】同學(xué)們好。從今天我們開始進入新一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)：對數(shù)與對數(shù)運算。 【板書】2.2.1.對數(shù)與對數(shù)運算 第二課時【師】我們知道了對數(shù)的基本定義和性質(zhì),請認(rèn)真回憶一下!【板書或投影】 對數(shù)基本知識點 1、對數(shù)的定義 其中 與 （負數(shù)與零沒有對數(shù)）； （文字表述:N為正數(shù)，a為非1正

4、數(shù)，b為任意實數(shù) ） 兩類特殊對數(shù)：（1）常用對數(shù)：以10為底，記作lgN (2)自然對數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828為底,記作lnN2、三組互化式3、兩個恒值 （1） （2） 4、兩個嵌套式（迭代式）（1）對數(shù)恒等式（2）5指數(shù)運算法則 【生】對數(shù)定義式是.,指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化.,對數(shù)恒等式,自然對數(shù)、常用對數(shù)【師】注意每個字母的取值范圍:底數(shù)，真數(shù)N>0;再回憶一下指數(shù)運算的幾個式子【板書或投影】 指數(shù)的運算性質(zhì) ; ; 6.2 新知介紹1 對數(shù)的運算性質(zhì)【師】下面請同學(xué)們自行推導(dǎo)對數(shù)的運算性質(zhì)！（5 分鐘）【板演/PPT】教師演示對數(shù)運算性質(zhì)三式的證明。 積、商、冪的對數(shù)運算法則

5、：如果 a 0，a ¹ 1，M 0， N 0 有：【師】下面我們來證明第一條性質(zhì)。法：逆向推導(dǎo)于是，由對數(shù)的定義得到【師】請同學(xué)們用簡單的語言概括這個性質(zhì)。【生】可以用口訣來概括:同底對數(shù)相加，底數(shù)不變，真數(shù)相乘。法二：正向推導(dǎo)則，由對數(shù)的定義得到，【師】請同學(xué)們再來概括一下?！旧靠梢杂每谠E來概括:積的對數(shù)，等于各因數(shù)同底對數(shù)的和。【師】下面我們來證明第二條性質(zhì)?！景鍟蛲队啊客瑯拥兀瑒t，由對數(shù)的定義得到，【師】請同學(xué)們繼續(xù)概括。【生】1:可以概括為:商的對數(shù)，等于被除數(shù)與除數(shù)同底對數(shù)的差。【生】2:可以概括為:商的對數(shù)，等于分子分母同底對數(shù)的差?！編煛客瑢W(xué)們說說兩種說法的優(yōu)劣！哪

6、種說法更直觀，更利于記憶？【師】好，我們按多數(shù)人意見選第二種說法?！編煛亢?，我們來描述它的逆向表達式?！旧客瑯拥兀瑒t，由對數(shù)的定義得到，逆向表達式為:助記口訣;同底數(shù)對數(shù)的差等于底數(shù)不變，兩真數(shù)商的對數(shù)。【師】下面我們來證明第三條性質(zhì)?！景鍟蛲队啊吭O(shè)M=m 由對數(shù)定義可以得M=, =nm， 即證得=nM【師】請同學(xué)們繼續(xù)概括并統(tǒng)一答案?！旧靠梢杂每谠E來概括:冪的對數(shù)，冪指數(shù)可提前?！編煛空埻瑢W(xué)們繼續(xù)描述它的逆向表達式?！旧磕嫦虮磉_式為 nM= 可以用口訣來概括:對數(shù)的系數(shù)可以做真數(shù)的指數(shù)?！編煛肯旅嫖覀儼讶龡l對數(shù)運算性質(zhì)的口訣整理記錄下來?！景逖?PPT】教師提示并總結(jié)三個運算式共六個

7、應(yīng)用式的口訣。 1、 同底對數(shù)相加，底數(shù)不變，真數(shù)相乘。 2、 積的對數(shù)，等于各因數(shù)同底對數(shù)的和。 3、 商的對數(shù)，等于分子分母同底對數(shù)的差。 4、 同底數(shù)對數(shù)的差等于底數(shù)不變，兩真數(shù)商的對數(shù)。5、 =nM 冪的對數(shù)，冪指數(shù)可提前。 6、 nM= 對數(shù)的系數(shù)可以做真數(shù)的指數(shù)。注意事項：公式成立要求各分對數(shù)有意義，強調(diào)真數(shù)為積商狀態(tài)下方可分解?！編煛吭谶\用對數(shù)運算法則時要強調(diào)各對數(shù)式各自有意義。 【生】公式可以正用也可以逆用。【師】性質(zhì)（1）可不可以推廣？【生】探究后得到：性質(zhì)（1）可以推廣到n個正數(shù)的情形，即 loga（M1M2M3Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+logaMn

8、（其中a0，且a1，M1、M2、M3Mn0）.【師】接下來熟悉一下利用對數(shù)運算性質(zhì)進行運算。你們要多角度思考，探究，不明白的可以討論?！景逖?PPT】讓學(xué)生進行專項練習(xí)。請同學(xué)們一起將計算式化簡【例1】化簡：（1） （2）對公式正用逆用進行專項引導(dǎo)練習(xí)?！窘狻浚?）法一（正用公式） 原式 法二（逆用公式）原式（2） 原式 lg5(lg5+lg2)+lg2+2 1+2【師】解法總結(jié):對數(shù)式的化簡求值一般正用或逆用公式，對真數(shù)進行處理，有兩種方向：（1）“收”：將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積（商）的對數(shù)逆用公式（2）“拆”：將積（商）的對數(shù)拆成兩對數(shù)的和(差) 正用公式另：常用對數(shù)充分利用lg2+

9、lg5=1 多重對數(shù)由內(nèi)而外逐層化簡。性質(zhì)（1）可以推廣到n個正數(shù)的情形，即loga（M1M2M3Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+logaMn（其中a0，且a1，M1、M2、M3Mn0）。【師】下面我們做兩個強化訓(xùn)練：計算下列各式的值【生】學(xué)生同時做，并有學(xué)生板演。統(tǒng)一答案后公布：【解】（1）法一： 原式 法二： 原式 （2）原式 2+13【師】小結(jié)：以上各題的解答，體現(xiàn)對數(shù)運算法則的綜合運用，應(yīng)注意掌握變形技巧，每題的各部分變形要化到最簡形式，同時注意分子、分母的聯(lián)系，要避免錯用對數(shù)運算性質(zhì).2 對數(shù)換底公式【師】大家剛才都熟悉了對數(shù)的基本運算性質(zhì)，當(dāng)然還會遇到具體求值的問

10、題。人們通常使用換底公式來解決問題。看一下?lián)Q底公式如何簡化這個問題。【生】利用換底公式化成常用對數(shù)或自然對數(shù)的和與差來解決?！編煛肯旅嫖覀円黄鹜茖?dǎo)換底公式！ 先分析一下運算時各數(shù)的取值范圍。前提條件原對數(shù)的底數(shù)a的取值范圍a0 ,且a ¹ 1原對數(shù)的真數(shù)b的取值范圍b0換底后對數(shù)的底數(shù)c的取值范圍c0 ,且c ¹ 1公 式 證明對數(shù)換底公式： （由脫對數(shù)到取對數(shù)引導(dǎo)學(xué)生證明）證明：設(shè) b = x , 則 = b 兩邊取以c 為底的對數(shù)： 從而得： 注：公式成立的條件是a0 ,a ¹ 1 ，c0 ,c ¹ 1,b0【師】下面我們找一下?lián)Q底公式的兩種常用推論

11、并進行推導(dǎo)！【生】（1）， （） (2) （a,b0且均不為1）【師】請各小組合作證明并找代表板演?！旧孔C明：（1）； （2）【師】看看相應(yīng)的例題和練習(xí)讓我們體驗公式怎樣的美妙。【例題1】求的值;分析：利用換底公式統(tǒng)一底數(shù);解法（1）：原式解法（2）：原式【例題2】計算的值。分析：先利用對數(shù)運算性質(zhì)法則和換底公式進行化簡，然后再求值;解：原式【補充例題1】求證： 法一：注意到等式右邊是以x為底數(shù)的對數(shù)，故將化成以x為底的對數(shù)；證明： 法二：左邊各對數(shù)式均化成以常用對數(shù)； 注:在具體解題過程中，不僅能正用公式 ，還可以逆用公式，如 就是換底公式的逆用?！狙a充例題2】已知分析：已知對數(shù)和冪的底數(shù)

12、都是18，所以先將需求值的對數(shù)化為與已知對數(shù)同底的形式后再求解。解：【補充強化練習(xí)】（1）（2）（3）（4） 已知答案：（1） lg5+lg2 1（2） 原式 12（3） 原式 13（4）由，有，即，所以lg3= 3 對數(shù)運算的綜合運用【師】下面我們來學(xué)習(xí)對數(shù)運算性質(zhì)的綜合運用。涉及一些復(fù)合函數(shù)，里面運用了整體看待思想或者說換元的思想。我們要善于把握。 【例題3】若a,b是方程的兩個實根，求的值?！窘馕觥坑脫Q元法把對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求出a與b的關(guān)系式，可求結(jié)果?！窘狻吭匠炭苫癁?，設(shè)，則原方程可化為。 。由已知a,b是原方程的兩個根，則,即412 【生】練習(xí)并討論。【

13、師】大家有沒有問題？下面我給大家強調(diào)幾點：對數(shù)運算法則的綜合運用，應(yīng)掌握變形技巧：（1）各部分變形要化到最簡形式，同時注意分子、分母的聯(lián)系；（2）要避免錯用對數(shù)運算性質(zhì). (3) 換元法解題時要注意相應(yīng)答案的實際意義。4 小結(jié)：對數(shù)運算性質(zhì)、換底公式及其綜合運用【師】現(xiàn)在我們來總結(jié)一下，對數(shù)運算有哪些性質(zhì)、換底公式和兩個推論、綜合運用的技巧。【板書/PPT】對數(shù)運算性質(zhì)如果 a 0，a ¹ 1，M 0， N 0 有： 對數(shù)換底公式： ( a0 ,a ¹ 1 ，m0 ,m ¹ 1,N0)兩個常用的推論:， （a,b0且均不為1）5 課堂小結(jié)（投影，給出知識脈絡(luò)圖）小

14、結(jié)：1°對數(shù)的三條運算性質(zhì) 2°換底公式 3°綜合應(yīng)用化簡求值6.3 復(fù)習(xí)總結(jié)和作業(yè)布置1 課堂練習(xí)課本課本P79練習(xí)第1，2，3.(學(xué)生完成，老師組織學(xué)生進行課堂評價）解答：1.（1）lg（xyz）=lgx+lgy+lgz；（2）lg=lg（xy2）lgz =lgx+lgy2lgz =lgx+2lgylgz；（3）lg =lg（xy3）lg =lgx+lgy3lgz =lgx+3lgylgz；（4）lg =lglg（y2z） =lgxlgy2lgz =lgx2lgylgz.2.（1）7；（2）4；（3）5；（4）0.56.3.（1）log26log23=log2

15、=log22=1；（2）lg5lg2=lg；（3）log53+log5=log53×=log51=0；（4）log35log315=log3 =log3=log331=1.補充練習(xí)：若a0，a1，且xy0，NN，則下列八個等式：（logax）n=nlogx；（logax）n=loga（xn）；logax=loga（）；=loga（）；=logax；logax=loga；an=xn；loga=loga.其中成立的有_個. 補充練習(xí)答案：42 作業(yè)布置1、完成配套課后練習(xí)題2、預(yù)習(xí)提綱：2.2.2.對數(shù)函數(shù) 第一課時 對數(shù)函數(shù) 7 板書設(shè)計 2.2.1.對數(shù)與對數(shù)運算 第二課時 1、 對

16、數(shù)的運算性質(zhì)如果 a 0，a ¹ 1，M 0， N 0 有：二、對數(shù)換底公式及其推論 ( a0 ,a ¹ 1 ，m0 ,m ¹ 1,N0)兩個常用的推論:（1）， （2） （a,b0且均不為1）三、對數(shù)運算性質(zhì)綜合運用（略）例1 用，表示下列各式（1） （2）例1分析：利用對數(shù)運算性質(zhì)直接化簡.（1） （2） =小結(jié)：此題關(guān)鍵是要記住對數(shù)運算性質(zhì)的形式，要求學(xué)生不要記住公式.例2 求下列各式的值.（1） （2）例2解（1）（2）例3計算：（1）lg142lg+lg7lg18；（2）；（3）.例3（1）解法一：lg142lg+lg7lg18=lg（2×7）

17、2（lg7lg3）+lg7lg（32×2）=lg2+lg72lg7+2lg3+lg72lg3lg2=0.解法二：lg142lg+lg7lg18=lg14lg（）2+lg7lg18=lg=lg1=0.（2）解：=.（3）解：=.小結(jié)：以上各題的解答，體現(xiàn)對數(shù)運算法則的綜合運用，應(yīng)注意掌握變形技巧，每題的各部分變形要化到最簡形式，同時注意分子、分母的聯(lián)系，要避免錯用對數(shù)運算性質(zhì).四、備選例題例1 計算下列各式的值：（1）；（2）.【解析】（1）方法一：原式= = = =.方法二：原式=.（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3.【小結(jié)】易犯lg52 = (lg5)2的錯誤.這類問題一般有兩種處理方法：一種是將式中真數(shù)的積、商、方根運用對數(shù)的運算法則將它們化為對數(shù)的和、差、積、商，然后化簡求值；另一種方法是將式中的對數(shù)的和、差、積、商運用對數(shù)的運算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪、方根，然后化簡求值. 計算對數(shù)的值時常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.例2：（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg；（2）設(shè)logax = m，