排隊(duì)模型(掌握mm1,mmc,mm1k)

1、編輯ppt1排隊(duì)模型凱里學(xué)院余英編輯ppt2模型要點(diǎn)模型要點(diǎn)1、掌握排隊(duì)模型的基本概念、掌握排隊(duì)模型的基本概念2、了解常見的分布函數(shù)及生滅過程、了解常見的分布函數(shù)及生滅過程3、掌握典型排隊(duì)系統(tǒng)模型的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用、掌握典型排隊(duì)系統(tǒng)模型的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用編輯ppt3排隊(duì)模型的基本概念排隊(duì)模型的基本概念1、什么是排隊(duì)模型（排隊(duì)論）？、什么是排隊(duì)模型（排隊(duì)論）？排隊(duì)論是研究擁擠現(xiàn)象的一門學(xué)科。它是在研究各種排隊(duì)系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上，解決有關(guān)排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)（靜態(tài)）和最優(yōu)控制（動(dòng)態(tài)）問題。一、引言一、引言編輯ppt4現(xiàn)實(shí)生活中的排隊(duì)系統(tǒng)現(xiàn)實(shí)生活中的排隊(duì)系統(tǒng)序序號(hào)號(hào)到達(dá)的顧客到達(dá)的顧客要求服務(wù)內(nèi)容要求服務(wù)內(nèi)

2、容服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)機(jī)構(gòu)1 1不能運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器不能運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器修理修理修理技工修理技工2 2修理技工修理技工領(lǐng)取修配零件領(lǐng)取修配零件發(fā)放修配零件的管理員發(fā)放修配零件的管理員3 3病人病人診斷或做手術(shù)診斷或做手術(shù)醫(yī)生醫(yī)生( (或包括手術(shù)臺(tái)或包括手術(shù)臺(tái)) )4 4電話呼喚電話呼喚通話通話交換臺(tái)交換臺(tái)5 5文件搞文件搞打字打字打字員打字員6 6提貨單提貨單提取存貨提取存貨倉庫管理員倉庫管理員7 7駛?cè)敫劭诘呢洿側(cè)敫劭诘呢洿b裝( (卸卸) )貨貨裝裝( (卸卸) )貨碼頭貨碼頭( (泊位泊位) )8 8上游河水進(jìn)入水庫上游河水進(jìn)入水庫 放水，調(diào)整水位放水，調(diào)整水位水閘管理員水閘管理員編輯ppt52、排隊(duì)論的

3、起源與應(yīng)用領(lǐng)域1）、20世紀(jì)初Bell電話公司為減少用戶呼叫， 研究電話線路合理配置問題；2）、1909年丹麥工程師A.K.Erlang受熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)平衡概念啟發(fā)發(fā)表論文概率論與電話交換，解決上述問題；3）、應(yīng)用于：通訊系統(tǒng)、交通運(yùn)輸、機(jī)器維修、庫存控制、計(jì)算幾設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。編輯ppt6二、排隊(duì)系統(tǒng)的特征及其組成1、排隊(duì)系統(tǒng)的特征即擁擠現(xiàn)象的共性1）、有請(qǐng)求服務(wù)的人或物2）、有為顧客服務(wù)的人或物3）、具有隨機(jī)性4）、服務(wù)的數(shù)量超過服務(wù)機(jī)構(gòu)的容量編輯ppt72、排隊(duì)系統(tǒng)的三大基本組成部分1）、輸入過程）、輸入過程(顧客到達(dá)的方式顧客到達(dá)的方式)a、顧客的總體（顧客源）的組成可能是有限的，也、顧客的總

4、體（顧客源）的組成可能是有限的，也可能是無限的；可能是無限的；b、顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔可以是確定的，也可以、顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔可以是確定的，也可以是隨機(jī)的，對(duì)于隨機(jī)的情形，要知道單位時(shí)間內(nèi)的是隨機(jī)的，對(duì)于隨機(jī)的情形，要知道單位時(shí)間內(nèi)的顧客到達(dá)數(shù)或相繼到達(dá)的間隔時(shí)間的概率分布；顧客到達(dá)數(shù)或相繼到達(dá)的間隔時(shí)間的概率分布；c 、輸入過程可以是平穩(wěn)的（描述相繼到達(dá)的間隔時(shí)、輸入過程可以是平穩(wěn)的（描述相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布和所含參數(shù)（如期望值、方差等）都是與時(shí)間分布和所含參數(shù)（如期望值、方差等）都是與時(shí)間無關(guān)的），否則成為非平穩(wěn)的，我們研究平穩(wěn)的。間無關(guān)的），否則成為非平穩(wěn)的，我們研究平穩(wěn)的。編輯

5、ppt82、排隊(duì)系統(tǒng)的三大基本組成部分2）、排隊(duì)規(guī)則a、顧客到達(dá)時(shí)，如所有服務(wù)臺(tái)都被占用，在這種情形下，顧客可以隨即離去，也可以排隊(duì)等待，前者成為損失制，后者成為等待制，我們研究后者；其次還有混合制，它是介于等待制和損失制之間的；b、從占有的空間來看，有的系統(tǒng)要規(guī)定容量（即允許進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)的顧客數(shù)）的最大限，有的沒有這種限制編輯ppt92、排隊(duì)系統(tǒng)的三大基本組成部分3）、服務(wù)過程）、服務(wù)過程a、可以是沒有服務(wù)員，單個(gè)的，多個(gè)的，對(duì)于多個(gè)、可以是沒有服務(wù)員，單個(gè)的，多個(gè)的，對(duì)于多個(gè)的，它們之間可以是平行排列（并列）的，也可以的，它們之間可以是平行排列（并列）的，也可以是前后排列（串列）的，也可以

6、是混合的；是前后排列（串列）的，也可以是混合的；b、服務(wù)時(shí)間可以是確定的，也可以是隨機(jī)的，對(duì)于、服務(wù)時(shí)間可以是確定的，也可以是隨機(jī)的，對(duì)于后者要知道它的概率分布；后者要知道它的概率分布；c、服務(wù)時(shí)間可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的，我、服務(wù)時(shí)間可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的，我們研究前者；們研究前者；d、對(duì)于等待制，服務(wù)規(guī)則又可以分為先到先服務(wù)、對(duì)于等待制，服務(wù)規(guī)則又可以分為先到先服務(wù)（FCFS），后到先服務(wù)（），后到先服務(wù)（LCFS），隨機(jī)服務(wù)和有），隨機(jī)服務(wù)和有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)。優(yōu)先權(quán)的服務(wù)。編輯ppt10三、排隊(duì)模型的分類（符號(hào)表示） 我們采用Kendall記號(hào) 顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔分布/服務(wù)

7、時(shí)間分布/服務(wù)臺(tái)數(shù)目/排隊(duì)系統(tǒng)允許的最大顧客容量（系統(tǒng)容量）/顧客總體數(shù)量（顧客源數(shù)量）/排隊(duì)規(guī)則說明：如果說明：如果Kendall記號(hào)中略去后記號(hào)中略去后3項(xiàng)，表示項(xiàng)，表示x/y/z/FCFS相繼到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間分布的符號(hào)如下：相繼到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間分布的符號(hào)如下：M負(fù)指數(shù)分布負(fù)指數(shù)分布D確定型確定型Ekk階愛爾朗分布階愛爾朗分布GI一般相互獨(dú)立的時(shí)間間隔分布一般相互獨(dú)立的時(shí)間間隔分布G一般服務(wù)時(shí)間分布一般服務(wù)時(shí)間分布編輯ppt11四、排隊(duì)模型的數(shù)量指標(biāo)四、排隊(duì)模型的數(shù)量指標(biāo)1、平均隊(duì)長、平均隊(duì)長(Ls)： 指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)（包括正被服務(wù)的顧客指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)（包括正被服務(wù)的顧

8、客 和排隊(duì)等待的顧客）的期望值。和排隊(duì)等待的顧客）的期望值。2、平均排隊(duì)長、平均排隊(duì)長(Lq)： 指系統(tǒng)中排隊(duì)等候服務(wù)的顧客數(shù)指系統(tǒng)中排隊(duì)等候服務(wù)的顧客數(shù)的期望值的期望值。3、平均平均逗留時(shí)間逗留時(shí)間(Ws)：指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間期望值。期望值。 4、平均平均等待時(shí)間等待時(shí)間(Wq)：指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間的指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間的期望值。期望值。 Ls=Lq+正被服務(wù)的顧客數(shù)正被服務(wù)的顧客數(shù)Ws=Wq+服務(wù)時(shí)間服務(wù)時(shí)間5、忙期：、忙期：指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次空閑止指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次空閑止 這段時(shí)間

9、長度，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)繁忙的時(shí)間長度。這段時(shí)間長度，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)繁忙的時(shí)間長度。6、系統(tǒng)的狀態(tài)概率、系統(tǒng)的狀態(tài)概率Pn( t ) ：指系統(tǒng)中的顧客數(shù)為指系統(tǒng)中的顧客數(shù)為n的概率。的概率。7、穩(wěn)定狀態(tài)：、穩(wěn)定狀態(tài)：limPn(t)Pn編輯ppt12四、排隊(duì)模型的數(shù)量指標(biāo)8、n n 系統(tǒng)有系統(tǒng)有n n個(gè)顧客時(shí)的平均到達(dá)率個(gè)顧客時(shí)的平均到達(dá)率9 9、n n 系統(tǒng)有系統(tǒng)有n個(gè)顧客時(shí)的平均服務(wù)率個(gè)顧客時(shí)的平均服務(wù)率1010、 對(duì)任何對(duì)任何n都是常數(shù)的平均都是常數(shù)的平均到達(dá)到達(dá)率率1111、 對(duì)任何對(duì)任何n都是常數(shù)的平均服務(wù)率都是常數(shù)的平均服務(wù)率1212、 服務(wù)強(qiáng)度，或稱使用因子，平均到達(dá)率與服務(wù)強(qiáng)度，或

10、稱使用因子，平均到達(dá)率與服務(wù)臺(tái)與平均服務(wù)率的乘積的比值服務(wù)臺(tái)與平均服務(wù)率的乘積的比值13、系統(tǒng)的狀態(tài)、系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)中的顧客數(shù)，如果系統(tǒng)中有系統(tǒng)中的顧客數(shù)，如果系統(tǒng)中有n個(gè)顧客，就說系統(tǒng)的狀態(tài)是個(gè)顧客，就說系統(tǒng)的狀態(tài)是n，系統(tǒng)的狀態(tài)是隨著時(shí)間，系統(tǒng)的狀態(tài)是隨著時(shí)間在變化的在變化的14、pn(t):時(shí)刻時(shí)刻t系統(tǒng)狀態(tài)為系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率，穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的概率，穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)為為n的概率用的概率用pn表示。表示。編輯ppt13五、常見的分布函數(shù)及生滅過程常見的分布函數(shù)及生滅過程1、poisson流流定義：設(shè)定義：設(shè)N（t）為時(shí)間）為時(shí)間0，t內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)，如果滿足下內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)，如果滿

11、足下面三個(gè)條件：面三個(gè)條件： a、平穩(wěn)性：在、平穩(wěn)性：在t,t+t內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率為 t+o(t+o(t);); b、獨(dú)立性（無后效性）：任意兩個(gè)不相交區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)情、獨(dú)立性（無后效性）：任意兩個(gè)不相交區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)情況相互獨(dú)立；況相互獨(dú)立； c、普遍性：在、普遍性：在t,t+t內(nèi)多于一個(gè)顧客到達(dá)的概率為內(nèi)多于一個(gè)顧客到達(dá)的概率為o(o(t););則稱則稱N（t），），t0為為poisson流。流。2、poisson分布分布 設(shè)設(shè)N（t）為時(shí)間）為時(shí)間0，t內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)，則內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)，則N（t），），t0為為poisson流的充要條件是：流的充要條

12、件是：() ( )(1,2,.)!nttp N tnenn編輯ppt14五、常見的分布函數(shù)及生滅過程常見的分布函數(shù)及生滅過程3、負(fù)指數(shù)分布、負(fù)指數(shù)分布定理：設(shè)定理：設(shè)N（t）為時(shí)間）為時(shí)間0，t內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)，則內(nèi)到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)，則N（t），），t0為參數(shù)為為參數(shù)為 的的poisson流的充要條件是：流的充要條件是：相繼到達(dá)時(shí)間間隔服從相互獨(dú)立的參數(shù)為相繼到達(dá)時(shí)間間隔服從相互獨(dú)立的參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分的負(fù)指數(shù)分布。布。4、k階愛爾朗分布階愛爾朗分布設(shè)設(shè)v1, v2,., vk是是k個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從相同參數(shù)個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從相同參數(shù)k的負(fù)指數(shù)分布，那么的負(fù)指數(shù)分布，那么 T=

13、 T= v1+v2+.+ vk服從服從k階愛爾朗分布。階愛爾朗分布。編輯ppt15五、常見的分布函數(shù)及生滅過程常見的分布函數(shù)及生滅過程5、生滅過程定義：設(shè)N（t），），t0為一隨機(jī)過程，若為一隨機(jī)過程，若N（t）的概率）的概率分布具有以下性質(zhì)：分布具有以下性質(zhì)： a、假設(shè)、假設(shè)N（t）=n,則從時(shí)刻則從時(shí)刻t起到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻起到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻止的時(shí)間服從參數(shù)為止的時(shí)間服從參數(shù)為n的負(fù)指數(shù)分布，的負(fù)指數(shù)分布，n=0,1,2, b、假設(shè)假設(shè)、假設(shè)假設(shè)N（t）=n,則從時(shí)刻則從時(shí)刻t起到下一個(gè)顧客離去起到下一個(gè)顧客離去時(shí)刻止的時(shí)間服從參數(shù)為時(shí)刻止的時(shí)間服從參數(shù)為n的負(fù)指數(shù)分布，的負(fù)指數(shù)分布

14、，n=0,1,2, c、同一時(shí)刻時(shí)只有一個(gè)顧客到達(dá)或離去。、同一時(shí)刻時(shí)只有一個(gè)顧客到達(dá)或離去。 則稱則稱N（t），），t0為一個(gè)生滅過程。為一個(gè)生滅過程。編輯ppt16五、常見的分布函數(shù)及生滅過程常見的分布函數(shù)及生滅過程根據(jù)系統(tǒng)平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)根據(jù)系統(tǒng)平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)“流入流入=流出流出”原理，得到如原理，得到如下任一狀態(tài)下的平衡方程：下任一狀態(tài)下的平衡方程：0 1 1p p1 1= = 0 0p p0 01 1 0 0p p0 0+ + 2 2p p2 2= =（ 1 1+ + 1 1 ）p p1 12 2 1 1 p p1 1+ + 3 3p p3 3 = =（ 2 2+ + 2 2）p p2 2 n

15、-1 n-1 n-2n-2p pn-2 n-2 + + n np pn n = =（ n-1n-1+ + n-1n-1 ）p pn-1n-1n n n-1n-1p pn-1 n-1 + + n+1n+1p pn+1 n+1 = =（ n n+ + n n ）p pn n 生滅過程中Cn與p0的推導(dǎo)及應(yīng)用編輯ppt17五、常見的分布函數(shù)及生滅過程常見的分布函數(shù)及生滅過程由上述方程可求得0 p1 1 = p= p0 00/ 0/ 1 11 p1 p2 2 =1 1p p1 1/2 2+(+(1 1p p1 1- p- p0 00 0)/ )/ 2 2 =p =p0 00 01 1/(/(2 21

16、1) )2 p2 p3 3 =2 2p p2 2/3 3+(+(2 2p p2 2- p- p1 11 1)/)/3 3 =p =p0 02 21 10 0/(/(3 32 21 1) ) n-1 pn-1 pn n =n-1n-1p pn-1n-1/n n+(+(n-1n-1p pn-1n-1- p- pn-2n-2n-2n-2)/)/n n =p =p0 0n-2n-2n-1n-10 0/(/(n nn-1n-11 1) )n pn p3 3 =n np pn n/n+1n+1+(+(n np pn n- p- pn-1n-1n-1n-1)/)/n+1n+1 =p =p0 0n nn-1n

17、-10 0/(/(n+1n+1nn1 1) )編輯ppt18五、常見的分布函數(shù)及生滅過程常見的分布函數(shù)及生滅過程記則平穩(wěn)狀態(tài)的分布為pn=cnp0。由此可得生滅過程排隊(duì)系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)，即12010.(1,2,.).nnnnncn 0111nnpc0,(),qnqnqnn ceeelllnp lnc p ww其中 是整體平均到達(dá)率編輯ppt196、經(jīng)驗(yàn)分布、經(jīng)驗(yàn)分布例例1 1 某服務(wù)機(jī)構(gòu)單服務(wù)臺(tái)，先到先服務(wù)，對(duì)某服務(wù)機(jī)構(gòu)單服務(wù)臺(tái)，先到先服務(wù)，對(duì)4141顧客記錄到達(dá)顧客記錄到達(dá)時(shí)刻時(shí)刻 和服務(wù)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間s s（單位：分鐘）如下表，表中第（單位：分鐘）如下表，表中第1 1號(hào)顧客到號(hào)顧客到達(dá)時(shí)刻為

18、達(dá)時(shí)刻為0 0。全部服務(wù)時(shí)間為。全部服務(wù)時(shí)間為127127（分鐘）。（分鐘）。(1) i(2)i(3)si(4)ti(5)wi(1)i(2)i(3)si(4)ti(5)wi(1)i(2)i(3)si(4)ti(5)wi10520512271093612022743619435103827036156722346114552041191282631051247423五、常見的分布函數(shù)及生滅過程常見的分布函數(shù)及生滅過程編輯ppt20(1) i(2) i(3)si(4)ti(5)wi(1) i(2)i(3)si(4)ti(5)wi(1) i(2) i(3)si(4)ti(5)wi1349135238

19、6622331174471452293248854634121267156111025921373512712316622302695365361296121765150271012423713033718703202810521038133527197248129106131391352410208031030109250401394382181222311141204114219228333232116810編輯ppt21到達(dá)間隔分布表到達(dá)間隔分布表服務(wù)時(shí)間分布表服務(wù)時(shí)間分布表平均間隔時(shí)間：平均間隔時(shí)間：=142/40=3.55(分鐘分鐘/人人)平均到達(dá)率：平均到達(dá)率：41/142=0.2

20、8(人人/分鐘分鐘)平均服務(wù)率：平均服務(wù)率：41/127=0.32(人人/分鐘分鐘)平均服務(wù)時(shí)間：平均服務(wù)時(shí)間：127/41=3.12(分鐘分鐘/人人)到達(dá)間隔到達(dá)間隔(分鐘分鐘)次次數(shù)數(shù)12345678910以上以上61086322111合計(jì)合計(jì)40服務(wù)時(shí)間服務(wù)時(shí)間(分鐘分鐘)次次數(shù)數(shù)123456789以上以上10107542111合計(jì)合計(jì)41編輯ppt22六、典型排隊(duì)系統(tǒng)模型的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用六、典型排隊(duì)系統(tǒng)模型的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用M/M/C等待制排隊(duì)模型研究要點(diǎn)：a、系統(tǒng)意義b、狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖與狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度矩陣c、狀態(tài)概率方程d、系統(tǒng)的基本數(shù)量指標(biāo)編輯ppt23PassionPassion分布分布設(shè)設(shè)

21、N(t)表示在時(shí)間表示在時(shí)間0, t)內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)；內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)；令令Pn(t1, t2)表示在時(shí)間區(qū)間表示在時(shí)間區(qū)間t1, t2)（t2 t1）內(nèi)有）內(nèi)有n（ 0）個(gè)顧客到達(dá)的概率，即個(gè)顧客到達(dá)的概率，即Pn(t1, t2)=P N(t2) N(t1)=n （t2t1，n 0）Passion分布的三條件：分布的三條件：(1) 無后效性：不相重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)相互獨(dú)立無后效性：不相重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)相互獨(dú)立 1(2)( ,)()P t tttt 2(3)( ,)()nnP t ttt 編輯ppt24Pn(t+t)= Pn(t) ( 1-t+o(t) + Pn-1(t)t + o

22、(t)情情況況0, t)t, t+t )0, t+t )個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)概率概率個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)概率概率個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)概率概率(A)(B)(C)nn-1n-2n-30Pn(t)Pn-1(t)Pn-2(t)Pn-3(t)P0(t)0123n1-t+o(t)to(t)nnnnnPn(t) ( 1-t+o(t)Pn-1(t)to(t) 在上述條件下，研究顧客到達(dá)數(shù)在上述條件下，研究顧客到達(dá)數(shù) n 的概率分布的概率分布編輯ppt25 Pn(t+t)= Pn(t)(1-t )+Pn-1(t)t+ o(t)Pn(t+t)-Pn(t)/t =-Pn(t)+Pn-1(t)+o(t)/t 令令t0d Pn(t)/dt= -Pn(t)

23、 +Pn-1(t)Pn(0)=0（n 1）d P0(t)/dt= -P0(t)P0(0)=1（n=0） P0(t)=e -t Pn(t)=(t)n e -t /n t 0, n=0，1，2編輯ppt26負(fù)指數(shù)分布負(fù)指數(shù)分布fT（t）=e -t ， t 00 ，t0 1 ttttttttE Ttedttedttdeteedtedtedte( )（）（） 0000000011 ttttV TE TE Ttedtt etedttedt（ ）（）（ ） 2222022200022211122211 編輯ppt27一、一、M/M/1 M/M/1 模型模型1 1、假設(shè)、假設(shè)（1）顧客到達(dá)的間隔時(shí)間滿足參數(shù)

24、為）顧客到達(dá)的間隔時(shí)間滿足參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布的負(fù)指數(shù)分布（2）服務(wù)時(shí)間滿足參數(shù)為）服務(wù)時(shí)間滿足參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布（的負(fù)指數(shù)分布（ ）（3）服務(wù)機(jī)構(gòu)是單服務(wù)臺(tái)）服務(wù)機(jī)構(gòu)是單服務(wù)臺(tái)（4）顧客源是無限的，顧客相互獨(dú)立）顧客源是無限的，顧客相互獨(dú)立（5）單隊(duì)排列，且對(duì)隊(duì)長沒有限制）單隊(duì)排列，且對(duì)隊(duì)長沒有限制第三節(jié) 單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析編輯ppt282 2、P Pn n的計(jì)算的計(jì)算O表示發(fā)生（表示發(fā)生（1個(gè)）個(gè)） ， 表示沒有發(fā)生表示沒有發(fā)生Pn(t+t)= Pn(t)(1-t)(1- t) + Pn+1(t)(1-t)t + Pn-1(t)t(1- t) + Pn(t)tt情況情況在時(shí)刻在

25、時(shí)刻t顧客數(shù)顧客數(shù)在區(qū)間（在區(qū)間（t, t+t）在時(shí)刻在時(shí)刻t+t顧客數(shù)顧客數(shù)到達(dá)到達(dá)離去離去(A)(B)(C)(D)nn+1n-1nOOOOnnnn編輯ppt29整理得：整理得：Pn(t+t)=Pn(t)(1-t-t)+Pn+1(t)t+Pn-1(t)t+o(t)Pn(t+t)-Pn(t)/t =Pn-1(t)+Pn+1(t)-(+)Pn(t) (1)t0 dPn(t)/dt=Pn-1(t)+Pn+1(t)(+)Pn(t)考慮考慮P0(t)的情況：的情況：P0(t+t)=P0(t)(1-t)+P1(t)(1-t)tt0 dP0(t)/dt=-P0(t)+P1(t) (2)由由dPn(t)/d

26、t=0得到得到-P0+P1=0 (3)Pn-1+Pn+1-(+)Pn=0 (4)編輯ppt30 nnPP ()P200111111 nnPPn01(1),1 1 PP0 由式由式(3)得得, 0 1 2nnPPn（ ）， ，0 通過求解可得通過求解可得 單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的平均顧客數(shù)單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的平均顧客數(shù) 單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)的平均顧客數(shù)單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)的平均顧客數(shù) 服務(wù)強(qiáng)度服務(wù)強(qiáng)度參數(shù)意義：參數(shù)意義：編輯ppt313 3、M/M/1M/M/1參數(shù)計(jì)算參數(shù)計(jì)算（1）系統(tǒng)中平均顧客數(shù)（）系統(tǒng)中平均顧客數(shù)（Ls） SnnLnP230(1)2(1)3(1) 23(1)(23)S S232342323 S23

27、(1)1 sL1 記記編輯ppt32（2）隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)（）隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)（Lq） 2111(1)()qnnnsnnnLnPnPPL （3）顧客逗留時(shí)間（）顧客逗留時(shí)間（Ws）sWE W1（4）隊(duì)列中顧客等待時(shí)間（）隊(duì)列中顧客等待時(shí)間（Wq）1()qsWW 編輯ppt33它們的相互關(guān)系如下：它們的相互關(guān)系如下：, , 1ssqqsqsqLWLWWWLL 其中其中稱為稱為little公式，它是排隊(duì)論中的一個(gè)重要公式。公式，它是排隊(duì)論中的一個(gè)重要公式。, ssqqLWLW 編輯ppt34例例3 100個(gè)工作小時(shí)內(nèi)每小時(shí)個(gè)工作小時(shí)內(nèi)每小時(shí)來就診的病人數(shù)來就診的病人數(shù)n出現(xiàn)次數(shù)如下出現(xiàn)

28、次數(shù)如下 100個(gè)完成手術(shù)的病例所用時(shí)間個(gè)完成手術(shù)的病例所用時(shí)間v(小時(shí)小時(shí))出現(xiàn)的次數(shù)如下出現(xiàn)的次數(shù)如下到達(dá)的病到達(dá)的病人數(shù)人數(shù)n出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次數(shù)tn0123456102829161061合計(jì)合計(jì)100為病人完成手術(shù)為病人完成手術(shù)時(shí)間時(shí)間v(小時(shí)小時(shí))出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次數(shù)tv0.0-0.20.2-0.40.4-0.60.6-0.80.8-1.01.0-1.21.2以上以上3825179650合計(jì)合計(jì)100編輯ppt35解：解：)/( 1 . 2100)1(小時(shí)小時(shí)人人病人平均到達(dá)率病人平均到達(dá)率 nnf)/(4 . 0100人人小小時(shí)時(shí)每每次次手手術(shù)術(shù)平平均均時(shí)時(shí)間間vvf)/(5 . 24 .

29、 01小小時(shí)時(shí)人人平平均均服服務(wù)務(wù)率率）每每小小時(shí)時(shí)完完成成手手術(shù)術(shù)人人數(shù)數(shù)（ 0.842.52.1 5 . 2 , 1 . 2)2( 則則取取)(25. 51 . 25 . 21 . 2)3(人人 sL)( 1 . 21 . 25 . 284. 0小小時(shí)時(shí)qW)(5 . 21 . 25 . 21小小時(shí)時(shí)sW)(41. 425. 584. 0人人qL編輯ppt36 假定系統(tǒng)最大容量為假定系統(tǒng)最大容量為N N，單服務(wù)臺(tái)情形排隊(duì)等待的顧客，單服務(wù)臺(tái)情形排隊(duì)等待的顧客最多為最多為N-1N-1，下面只考慮穩(wěn)態(tài)情形：，下面只考慮穩(wěn)態(tài)情形： nnnNNPPPPPnNPP10111(),1n 1 nN Nn

30、NPP0111111 二、二、M/M/1/N/ M/M/1/N/ 模型模型解得：解得：編輯ppt37根據(jù)上式我們可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)：根據(jù)上式我們可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)：有效到達(dá)率有效到達(dá)率e=(1-PN)可以驗(yàn)證：可以驗(yàn)證：1-P0= e /qsW1W (4) 顧客等待時(shí)間顧客等待時(shí)間qsNLLPPt01W11（）（）(3) 顧客逗留時(shí)間顧客逗留時(shí)間 NNnNnNnP1s101L, 111 （）(1) 隊(duì)長隊(duì)長 NnsonnPLPq1L11 （）（）(2) 隊(duì)列長隊(duì)列長編輯ppt38例例4 4 單人理發(fā)館有六個(gè)椅子接待客人。當(dāng)單人理發(fā)館有六個(gè)椅子接待客人。當(dāng)6 6個(gè)椅子都坐滿時(shí)，個(gè)椅子

31、都坐滿時(shí)，后來的顧客不進(jìn)店就離開。顧客平均到達(dá)率為后來的顧客不進(jìn)店就離開。顧客平均到達(dá)率為3 3人人/ /小時(shí)，理發(fā)小時(shí)，理發(fā)需時(shí)平均需時(shí)平均1515分鐘。則：分鐘。則： N=7為系統(tǒng)中最大的顧客數(shù)，為系統(tǒng)中最大的顧客數(shù)，=3=3人人/ /小時(shí)，小時(shí)，=4=4人人/ /小時(shí)小時(shí)（1）求某顧客一到達(dá)就能理發(fā)的概率。）求某顧客一到達(dá)就能理發(fā)的概率。2778. 04/314/31P 80）（概概率率為為相相當(dāng)當(dāng)于于沒沒有有顧顧客客，所所求求（2）求需要等待的顧客數(shù)的期望值。）求需要等待的顧客數(shù)的期望值。11. 2)4/3(1)4/3(84/314/3L88s39. 1)2778. 01(11. 2)

32、1(L0qPLs編輯ppt39（3）求有效到達(dá)率。）求有效到達(dá)率。e P0(1)4(10.2778)2.89 分分鐘鐘小小時(shí)時(shí)8 .4373. 089. 2/11. 2/s esLW（4）求一顧客在理發(fā)館內(nèi)逗留的時(shí)間。）求一顧客在理發(fā)館內(nèi)逗留的時(shí)間。（5）在可能到達(dá)的顧客中有百分之幾不等待就離開。）在可能到達(dá)的顧客中有百分之幾不等待就離開。7 P7788311/34() ()( ) ()3.7%31(/)41( )4 （人（人/ /小時(shí)）小時(shí)）編輯ppt40一、一、M/M/cM/M/c.,.1,率率或或服服務(wù)務(wù)機(jī)機(jī)構(gòu)構(gòu)的的平平均均利利用用這這個(gè)個(gè)系系統(tǒng)統(tǒng)的的服服務(wù)務(wù)強(qiáng)強(qiáng)度度稱稱它它為為列列時(shí)時(shí)

33、才才不不會(huì)會(huì)排排成成無無限限的的隊(duì)隊(duì)只只有有當(dāng)當(dāng)令令 cc () (c) 101111(1)() ,1() ,nnnnnnPPnPPn Pn cc PPcPn.110 ，且且這這里里iiP第四節(jié) 多服務(wù)臺(tái)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析規(guī)定各服務(wù)臺(tái)工作相互獨(dú)立且平均分配服務(wù)率相同，即規(guī)定各服務(wù)臺(tái)工作相互獨(dú)立且平均分配服務(wù)率相同，即1=2=c= 整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為c, (nc) n, (n c) 編輯ppt41用遞推法解上述差分方程，可求得狀態(tài)概率。用遞推法解上述差分方程，可求得狀態(tài)概率。-1-1n-1 () !1 ()! 1 ()! 0000111ckcknnncP()kc!() PncnP() Pncc c根據(jù)上式我們可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)：根據(jù)上式我們可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)： 021(),()(1)！csqqnn ccLLLnc PPc右邊右邊）（！）（因?yàn)橐驗(yàn)?0111PcccnPnPcncnnnncncnn qsqsLLWW， 編輯ppt42例例6 6 某售票所有三個(gè)窗口，顧客到達(dá)服從某售票所有三個(gè)窗口，顧客到達(dá)服從PassionPassion過程，平均到過程，平均到達(dá)率每分鐘達(dá)率每分鐘=0.9(=0.9(人人),),服務(wù)服務(wù)(