有限單元法的幾個專題

1、6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 6.2 非線性問題的有限元法非線性問題的有限元法6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 在國民經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展中有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。在國民經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展中有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題有兩類：最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題有兩類：一類是在一類是在運(yùn)動狀態(tài)下工作的機(jī)械或結(jié)構(gòu)運(yùn)動狀態(tài)下工作的機(jī)械或結(jié)構(gòu)：另一類是另一類是承受動力載荷作用的工程結(jié)構(gòu)承受動力載荷作用的工程結(jié)構(gòu)：這些結(jié)構(gòu)的破裂、傾覆和垮塌將給人民的生命財產(chǎn)造成巨大的損失。這些結(jié)構(gòu)的破裂、傾覆和垮塌將給人民的生命財產(chǎn)造成巨大的損失。如何保證它們運(yùn)行的平穩(wěn)性

2、及結(jié)構(gòu)的安全性，正確分析和設(shè)計這類結(jié)構(gòu)，如何保證它們運(yùn)行的平穩(wěn)性及結(jié)構(gòu)的安全性，正確分析和設(shè)計這類結(jié)構(gòu)，在理論和實(shí)際上也都是具有意義的課題。在理論和實(shí)際上也都是具有意義的課題。 高速電機(jī)、汽輪機(jī)、離心壓縮機(jī)，內(nèi)燃機(jī)、沖壓機(jī)床，高速車輛、飛高速電機(jī)、汽輪機(jī)、離心壓縮機(jī)，內(nèi)燃機(jī)、沖壓機(jī)床，高速車輛、飛行器等，它們承受著本身慣性及與周圍介質(zhì)或結(jié)構(gòu)相互作用的動力載荷。行器等，它們承受著本身慣性及與周圍介質(zhì)或結(jié)構(gòu)相互作用的動力載荷。承受強(qiáng)風(fēng)、水流、地震以及波浪等各種動力載荷的作用的高層建筑、橋梁、承受強(qiáng)風(fēng)、水流、地震以及波浪等各種動力載荷的作用的高層建筑、橋梁、核電站的安全殼海洋石油平臺等。核電站的安全

3、殼海洋石油平臺等。動力學(xué)研究的另一重要領(lǐng)域是動力學(xué)研究的另一重要領(lǐng)域是波在介質(zhì)中的傳播問題波在介質(zhì)中的傳播問題。)(21,ijjiijuu6.1.1 彈性動力學(xué)問題的基本方程：彈性動力學(xué)問題的基本方程：平衡方程平衡方程(or運(yùn)動方程運(yùn)動方程)：幾何幾何方程方程：物理方程：物理方程：邊界條件：邊界條件：初始條件初始條件：i,ti,ttijijuux,klijklijd力邊界：力邊界：iiijtn位移邊界：位移邊界：iiuu )(0)(x,y,zux,y,z,uii)(0)(t ,t ,x,y,zux,y,z,uii式中式中是質(zhì)量密度，是質(zhì)量密度，是是阻尼系數(shù)。阻尼系數(shù)。平衡方程中出現(xiàn)慣性力平衡方

4、程中出現(xiàn)慣性力和阻尼力這是彈性動力和阻尼力這是彈性動力學(xué)和靜力學(xué)相區(qū)別的基學(xué)和靜力學(xué)相區(qū)別的基本特點(diǎn)之一。本特點(diǎn)之一。位移、應(yīng)變、應(yīng)力也是位移、應(yīng)變、應(yīng)力也是時間的函數(shù)。也正因?yàn)闀r間的函數(shù)。也正因?yàn)槿绱耍瑒恿W(xué)問題的定如此，動力學(xué)問題的定解條件中還應(yīng)包括初始解條件中還應(yīng)包括初始條件。條件。6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 6.1.2 有限元法求解動力問題的基本步驟：有限元法求解動力問題的基本步驟：6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 在動力分析中引入了時間坐標(biāo)。在有限元分析中一般采用部分離散的在動力分析中引入了時間坐標(biāo)。在有限元分析中一般采用部分離散的方法，即只對空

5、間域進(jìn)行離散，這樣一來，此步驟和靜力分析相同。方法，即只對空間域進(jìn)行離散，這樣一來，此步驟和靜力分析相同。 2、構(gòu)造插值函數(shù)、構(gòu)造插值函數(shù) 1、連續(xù)區(qū)域的離散化、連續(xù)區(qū)域的離散化 eanu此時，此時，結(jié)點(diǎn)位移是時間的函數(shù)結(jié)點(diǎn)位移是時間的函數(shù)。 eetaa)(6.1.2 有限元法求解動力問題的基本步驟：有限元法求解動力問題的基本步驟：6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 3、形成系統(tǒng)的求解方程、形成系統(tǒng)的求解方程v,dv)(i,ti,ttijijuuxu0ds)(siiijtn平衡方程及力的邊界條件的等效積分形式為：平衡方程及力的邊界條件的等效積分形式為：分部積分，并代入物理方程，分

6、部積分，并代入物理方程，再將離散后的位移代入上式，注意到結(jié)點(diǎn)位移變分的任意性再將離散后的位移代入上式，注意到結(jié)點(diǎn)位移變分的任意性(請同學(xué)們課后自己證明請同學(xué)們課后自己證明)最終得到最終得到系統(tǒng)的求解方程系統(tǒng)的求解方程： ttttqakacam ttttqkaacam 如果忽略阻尼的影響，可簡化為如果忽略阻尼的影響，可簡化為: tttqakam )()()tt(tqkaam 系統(tǒng)的求解方程為系統(tǒng)的求解方程為： ttttqakacam m是系統(tǒng)的是系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣、c 是系統(tǒng)的是系統(tǒng)的阻尼矩陣阻尼矩陣、k是系統(tǒng)的是系統(tǒng)的剛度矩陣剛度矩陣、q(t)是是系統(tǒng)的系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)載荷向量結(jié)點(diǎn)載荷向量，分別

7、由各自的單元矩陣和向量集成。分別由各自的單元矩陣和向量集成。ttttqkaacam 6.1.2 有限元法求解動力問題的基本步驟：有限元法求解動力問題的基本步驟：6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 4、求解運(yùn)動方程、求解運(yùn)動方程 運(yùn)動方程的求解方法是本章著重討論的內(nèi)容。運(yùn)動方程的求解方法是本章著重討論的內(nèi)容。5、計算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和應(yīng)力、計算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和應(yīng)力6.1.2 有限元法求解動力問題的基本步驟：有限元法求解動力問題的基本步驟：6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 從以上各步驟可以看出：從以上各步驟可以看出： b、最后得到的求解方程不是代數(shù)方程組，而是最后得到的求解方程

8、不是代數(shù)方程組，而是常微分方程組常微分方程組。其他計算步驟和靜力分析是完全相同的。其他計算步驟和靜力分析是完全相同的。 a、和靜力分析相比較，在動力分析中由于慣性力和阻尼力出現(xiàn)在和靜力分析相比較，在動力分析中由于慣性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程中，因此引入了平衡方程中，因此引入了質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣和和阻尼矩陣阻尼矩陣。6.1.3 單元質(zhì)量矩陣單元質(zhì)量矩陣6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 一致一致(協(xié)調(diào)協(xié)調(diào))質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣的導(dǎo)出和導(dǎo)出剛度矩陣所質(zhì)量矩陣的導(dǎo)出和導(dǎo)出剛度矩陣所根據(jù)的原理及所采用位移插值函數(shù)根據(jù)的原理及所采用位移插值函數(shù)是一致的，同時質(zhì)量分布也是按照是一致的，同

9、時質(zhì)量分布也是按照實(shí)際分布情況考慮的。實(shí)際分布情況考慮的。在有限元法中還經(jīng)常采用所謂在有限元法中還經(jīng)常采用所謂集中或團(tuán)聚集中或團(tuán)聚)質(zhì)量矩陣。它假質(zhì)量矩陣。它假定單元的質(zhì)量集中在結(jié)點(diǎn)上，定單元的質(zhì)量集中在結(jié)點(diǎn)上，這樣得到的質(zhì)量矩陣是對角線這樣得到的質(zhì)量矩陣是對角線矩陣。矩陣。集中質(zhì)量矩陣：集中質(zhì)量矩陣：以以3結(jié)點(diǎn)三角形單元為例：結(jié)點(diǎn)三角形單元為例：其中其中w =ta是單元的質(zhì)量是單元的質(zhì)量, t是單元的厚度。是單元的厚度。6.1.4 單元阻尼矩陣單元阻尼矩陣6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 1、基于和協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣的同樣理由稱為協(xié)調(diào)阻尼矩陣。它是假定阻尼、基于和協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣的同樣

10、理由稱為協(xié)調(diào)阻尼矩陣。它是假定阻尼力正比于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度的結(jié)果，通常均將介質(zhì)阻尼簡化為這種情況。力正比于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度的結(jié)果，通常均將介質(zhì)阻尼簡化為這種情況。這時單元阻尼矩陣比例于單元質(zhì)量矩陣。這時單元阻尼矩陣比例于單元質(zhì)量矩陣。 2、除此而外，還有比例于應(yīng)變速度的阻尼，例如由于材料內(nèi)摩擦引、除此而外，還有比例于應(yīng)變速度的阻尼，例如由于材料內(nèi)摩擦引起的結(jié)構(gòu)阻尼通?？珊喕癁檫@種情況，這時單元阻尼矩陣可表示成：起的結(jié)構(gòu)阻尼通?？珊喕癁檫@種情況，這時單元阻尼矩陣可表示成：此單元阻尼矩陣比例于單元剛度矩陣。此單元阻尼矩陣比例于單元剛度矩陣。evtedvnncevtedbdvbc6.1.5 直接積分法：直接

11、積分法：6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 常微分方程組的解法，原則上可利用求解常微分方程組的常用方法常微分方程組的解法，原則上可利用求解常微分方程組的常用方法(例例如如runge-k utter方法方法)求解。求解。但是在有限元動力分析中，因?yàn)榫仃囯A數(shù)很高，用這些常用算法一般是但是在有限元動力分析中，因?yàn)榫仃囯A數(shù)很高，用這些常用算法一般是不經(jīng)濟(jì)的，所以只對少數(shù)有效的方法有興趣。這些方法可以分為兩類不經(jīng)濟(jì)的，所以只對少數(shù)有效的方法有興趣。這些方法可以分為兩類:直接積分法和振型疊加法直接積分法和振型疊加法。 直接積分是指在積分運(yùn)動方程之前不進(jìn)行方程形式的變換，而直接進(jìn)直接積分是指在

12、積分運(yùn)動方程之前不進(jìn)行方程形式的變換，而直接進(jìn)行逐步數(shù)值積分。行逐步數(shù)值積分。通常的直接積分法是基于兩個概念：通常的直接積分法是基于兩個概念：一、將在求解域一、將在求解域0tt內(nèi)的任何時刻內(nèi)的任何時刻t 都應(yīng)滿足運(yùn)動方程的要求，代之都應(yīng)滿足運(yùn)動方程的要求，代之以僅在一定條件下近似地滿足運(yùn)動方程，例如可以僅在相隔以僅在一定條件下近似地滿足運(yùn)動方程，例如可以僅在相隔ot的離散的的離散的時間點(diǎn)滿足運(yùn)動方程。時間點(diǎn)滿足運(yùn)動方程。二、在一定數(shù)目的二、在一定數(shù)目的t區(qū)域內(nèi)，假設(shè)區(qū)域內(nèi)，假設(shè)位移、速度、加速度的函數(shù)形式位移、速度、加速度的函數(shù)形式。 在以下的討論中，假定時間在以下的討論中，假定時間t =0的

13、位移、速度、加速度已知。并假定時間的位移、速度、加速度已知。并假定時間求解域求解域0-t被等分為被等分為n個時間間隔個時間間隔t=t/n，在討論具體算法時，假定，在討論具體算法時，假定0, t, 2t, t時刻的解已經(jīng)求得，目的在于計算時刻的解已經(jīng)求得，目的在于計算t+t時刻的解。時刻的解。6.1.5 直接積分法：直接積分法：6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 ：加速度和速度可以用位移表示為：加速度和速度可以用位移表示為：)2(t1tt2ttttaaaa )(t21tttttaaa 于是，時間于是，時間t+t的位移解答可由時間的位移解答可由時間t的運(yùn)動方程建立，即：的運(yùn)動方程建立

14、，即：ttttqkaacam 時間時間t的運(yùn)動方程成立，即：的運(yùn)動方程成立，即：t22t2)t21t1()t2()t21t1(ttttacmamkqacm6.1.5 直接積分法：直接積分法：6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 ： ：(略略,祥見祥見結(jié)構(gòu)動力學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué))其中其中是是n階向量，階向量，是向量是向量振動的頻率，振動的頻率，t是時間變量，是時間變量，t0是由初始條件確定的時間常數(shù)。是由初始條件確定的時間常數(shù)。6.1.6 振型疊加法：振型疊加法：6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 1、求解系統(tǒng)的固有頻率和固有振型求解系統(tǒng)的固有頻率和固有振型不考慮阻尼影響的系

15、統(tǒng)自由振動方程是不考慮阻尼影響的系統(tǒng)自由振動方程是)()()tt(tqkaam 它的解可以假設(shè)為以下形式它的解可以假設(shè)為以下形式)(sin)0tt(ta02mk將假設(shè)解代入上式，就得到一個廣義特征值問題將假設(shè)解代入上式，就得到一個廣義特征值問題:(略略,祥見祥見振動力學(xué)振動力學(xué)和和結(jié)構(gòu)動力學(xué)結(jié)構(gòu)動力學(xué))6.1.6 振型疊加法：振型疊加法：6.1 動力學(xué)問題的有限元法動力學(xué)問題的有限元法 求解以上方程可以確定求解以上方程可以確定和和 ，結(jié)果得到，結(jié)果得到n個特征解個特征解(1 , 1), (2,2), (3,3), (4,4), 其中特征值其中特征值代表系統(tǒng)的代表系統(tǒng)的n個固有頻率，個固有頻率，

16、特征向量特征向量代表系統(tǒng)的代表系統(tǒng)的n個固有振型。個固有振型。02mk由于固有振型對于矩陣由于固有振型對于矩陣m是正交的是正交的02mk26.2 非線性問題的有限元法非線性問題的有限元法 以前討論的均是線性問題。線彈性力學(xué)基本方程的特點(diǎn)是：以前討論的均是線性問題。線彈性力學(xué)基本方程的特點(diǎn)是： 1. 幾何方程幾何方程(應(yīng)變和位移的關(guān)系應(yīng)變和位移的關(guān)系)是線性的。是線性的。 但是在很多重要的實(shí)際問題中。但是在很多重要的實(shí)際問題中。 上述線性關(guān)系不能保持。上述線性關(guān)系不能保持。 2. 物理方程物理方程(應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系)是線性的。是線性的。3. 平衡方程也是線性的。平衡方程也是線性的

17、。6.2.0 非線性問題非線性問題6.2 非線性問題的有限元法非線性問題的有限元法 例如：當(dāng)外載荷到達(dá)一定數(shù)值時某些部位首先進(jìn)入塑性，產(chǎn)生了不可恢復(fù)的變形，例如：當(dāng)外載荷到達(dá)一定數(shù)值時某些部位首先進(jìn)入塑性，產(chǎn)生了不可恢復(fù)的變形，這時在該部位線彈性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再適用，雖然結(jié)構(gòu)的其他大部分區(qū)域仍保這時在該部位線彈性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再適用，雖然結(jié)構(gòu)的其他大部分區(qū)域仍保持彈性。持彈性。又如：長期處于高溫條件下工作的結(jié)構(gòu)將發(fā)生蠕變變形，即在載荷或應(yīng)力保持不又如：長期處于高溫條件下工作的結(jié)構(gòu)將發(fā)生蠕變變形，即在載荷或應(yīng)力保持不變的情況下，變形或應(yīng)變?nèi)噪S著時間的進(jìn)展而繼續(xù)增長。變的情況下，變形或應(yīng)變?nèi)噪S

18、著時間的進(jìn)展而繼續(xù)增長。工程實(shí)際中還存在另一類所謂工程實(shí)際中還存在另一類所謂幾何非線性幾何非線性問題：問題：上述現(xiàn)象，都不是線彈性的物理方程所能描述的，上述現(xiàn)象，都不是線彈性的物理方程所能描述的，屬于屬于材料非線性材料非線性范疇內(nèi)所要研究的問題。范疇內(nèi)所要研究的問題。例如板殼的大撓度問題，材料鍛壓成型過程的大應(yīng)變問題等，這時需要采用例如板殼的大撓度問題，材料鍛壓成型過程的大應(yīng)變問題等，這時需要采用非線非線性的應(yīng)變和位移關(guān)系性的應(yīng)變和位移關(guān)系，平衡方程也必須建立于變形后的狀態(tài)以考慮變形對平衡的平衡方程也必須建立于變形后的狀態(tài)以考慮變形對平衡的影響影響。6.2.0 非線性問題非線性問題6.2 非線

19、性問題的有限元法非線性問題的有限元法 6.2.1 非線性問題有限單元法的求解方程：非線性問題有限單元法的求解方程：0pak無論物理非線性還是幾何非線性，最后都?xì)w結(jié)為求無論物理非線性還是幾何非線性，最后都?xì)w結(jié)為求解非線性方程組解非線性方程組 ：kvtdvdbb1、如果材料是非線性的，則彈性矩陣、如果材料是非線性的，則彈性矩陣d是非線性的，可寫成是非線性的，可寫成d=d(a)，那么，那么k= k(a)同樣是非線性的，這種非線性稱為物理非線性。同樣是非線性的，這種非線性稱為物理非線性。0)(paak2、如果材料是線性的，但是應(yīng)變位移矩陣、如果材料是線性的，但是應(yīng)變位移矩陣b與節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)位移a有關(guān)，即有關(guān)，即b=b(a)，是非線性的，是非線性的，那么那么k= k(a)同樣是非線性的，這種非線性稱為幾何非線性。同樣是非線性的，這種非線性稱為幾何非線性。6.2 非線性問題的有限元法非線性問題的有限元法 6.2.1 非線性問題有限單元法的求解方程：非線性問題有限單元法的求解方程： 對于線性方程組對于線性方程組6.2 非線性問題的有限元法非線性問題的有限元法 6.2.2 非線性方程組解答的