有限單元法的幾個專題

1、6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 6.2 非線性問題的有限元法非線性問題的有限元法6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 在國民經濟和科學技術的發(fā)展中有著廣泛的應用領域。在國民經濟和科學技術的發(fā)展中有著廣泛的應用領域。最經常遇到的是結構動力學問題有兩類：最經常遇到的是結構動力學問題有兩類：一類是在一類是在運動狀態(tài)下工作的機械或結構運動狀態(tài)下工作的機械或結構：另一類是另一類是承受動力載荷作用的工程結構承受動力載荷作用的工程結構：這些結構的破裂、傾覆和垮塌將給人民的生命財產造成巨大的損失。這些結構的破裂、傾覆和垮塌將給人民的生命財產造成巨大的損失。如何保證它們運行的平穩(wěn)性

2、及結構的安全性，正確分析和設計這類結構，如何保證它們運行的平穩(wěn)性及結構的安全性，正確分析和設計這類結構，在理論和實際上也都是具有意義的課題。在理論和實際上也都是具有意義的課題。 高速電機、汽輪機、離心壓縮機，內燃機、沖壓機床，高速車輛、飛高速電機、汽輪機、離心壓縮機，內燃機、沖壓機床，高速車輛、飛行器等，它們承受著本身慣性及與周圍介質或結構相互作用的動力載荷。行器等，它們承受著本身慣性及與周圍介質或結構相互作用的動力載荷。承受強風、水流、地震以及波浪等各種動力載荷的作用的高層建筑、橋梁、承受強風、水流、地震以及波浪等各種動力載荷的作用的高層建筑、橋梁、核電站的安全殼海洋石油平臺等。核電站的安全

3、殼海洋石油平臺等。動力學研究的另一重要領域是動力學研究的另一重要領域是波在介質中的傳播問題波在介質中的傳播問題。)(21,ijjiijuu6.1.1 彈性動力學問題的基本方程：彈性動力學問題的基本方程：平衡方程平衡方程(or運動方程運動方程)：幾何幾何方程方程：物理方程：物理方程：邊界條件：邊界條件：初始條件初始條件：i,ti,ttijijuux,klijklijd力邊界：力邊界：iiijtn位移邊界：位移邊界：iiuu )(0)(x,y,zux,y,z,uii)(0)(t ,t ,x,y,zux,y,z,uii式中式中是質量密度，是質量密度，是是阻尼系數。阻尼系數。平衡方程中出現慣性力平衡方

4、程中出現慣性力和阻尼力這是彈性動力和阻尼力這是彈性動力學和靜力學相區(qū)別的基學和靜力學相區(qū)別的基本特點之一。本特點之一。位移、應變、應力也是位移、應變、應力也是時間的函數。也正因為時間的函數。也正因為如此，動力學問題的定如此，動力學問題的定解條件中還應包括初始解條件中還應包括初始條件。條件。6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 6.1.2 有限元法求解動力問題的基本步驟：有限元法求解動力問題的基本步驟：6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 在動力分析中引入了時間坐標。在有限元分析中一般采用部分離散的在動力分析中引入了時間坐標。在有限元分析中一般采用部分離散的方法，即只對空

5、間域進行離散，這樣一來，此步驟和靜力分析相同。方法，即只對空間域進行離散，這樣一來，此步驟和靜力分析相同。 2、構造插值函數、構造插值函數 1、連續(xù)區(qū)域的離散化、連續(xù)區(qū)域的離散化 eanu此時，此時，結點位移是時間的函數結點位移是時間的函數。 eetaa)(6.1.2 有限元法求解動力問題的基本步驟：有限元法求解動力問題的基本步驟：6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 3、形成系統的求解方程、形成系統的求解方程v,dv)(i,ti,ttijijuuxu0ds)(siiijtn平衡方程及力的邊界條件的等效積分形式為：平衡方程及力的邊界條件的等效積分形式為：分部積分，并代入物理方程，分

6、部積分，并代入物理方程，再將離散后的位移代入上式，注意到結點位移變分的任意性再將離散后的位移代入上式，注意到結點位移變分的任意性(請同學們課后自己證明請同學們課后自己證明)最終得到最終得到系統的求解方程系統的求解方程： ttttqakacam ttttqkaacam 如果忽略阻尼的影響，可簡化為如果忽略阻尼的影響，可簡化為: tttqakam )()()tt(tqkaam 系統的求解方程為系統的求解方程為： ttttqakacam m是系統的是系統的質量矩陣質量矩陣、c 是系統的是系統的阻尼矩陣阻尼矩陣、k是系統的是系統的剛度矩陣剛度矩陣、q(t)是是系統的系統的結點載荷向量結點載荷向量，分別

7、由各自的單元矩陣和向量集成。分別由各自的單元矩陣和向量集成。ttttqkaacam 6.1.2 有限元法求解動力問題的基本步驟：有限元法求解動力問題的基本步驟：6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 4、求解運動方程、求解運動方程 運動方程的求解方法是本章著重討論的內容。運動方程的求解方法是本章著重討論的內容。5、計算結構的應變和應力、計算結構的應變和應力6.1.2 有限元法求解動力問題的基本步驟：有限元法求解動力問題的基本步驟：6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 從以上各步驟可以看出：從以上各步驟可以看出： b、最后得到的求解方程不是代數方程組，而是最后得到的求解方程

8、不是代數方程組，而是常微分方程組常微分方程組。其他計算步驟和靜力分析是完全相同的。其他計算步驟和靜力分析是完全相同的。 a、和靜力分析相比較，在動力分析中由于慣性力和阻尼力出現在和靜力分析相比較，在動力分析中由于慣性力和阻尼力出現在平衡方程中，因此引入了平衡方程中，因此引入了質量矩陣質量矩陣和和阻尼矩陣阻尼矩陣。6.1.3 單元質量矩陣單元質量矩陣6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 一致一致(協調協調)質量矩陣質量矩陣：質量矩陣的導出和導出剛度矩陣所質量矩陣的導出和導出剛度矩陣所根據的原理及所采用位移插值函數根據的原理及所采用位移插值函數是一致的，同時質量分布也是按照是一致的，同

9、時質量分布也是按照實際分布情況考慮的。實際分布情況考慮的。在有限元法中還經常采用所謂在有限元法中還經常采用所謂集中或團聚集中或團聚)質量矩陣。它假質量矩陣。它假定單元的質量集中在結點上，定單元的質量集中在結點上，這樣得到的質量矩陣是對角線這樣得到的質量矩陣是對角線矩陣。矩陣。集中質量矩陣：集中質量矩陣：以以3結點三角形單元為例：結點三角形單元為例：其中其中w =ta是單元的質量是單元的質量, t是單元的厚度。是單元的厚度。6.1.4 單元阻尼矩陣單元阻尼矩陣6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 1、基于和協調質量矩陣的同樣理由稱為協調阻尼矩陣。它是假定阻尼、基于和協調質量矩陣的同樣

10、理由稱為協調阻尼矩陣。它是假定阻尼力正比于質點運動速度的結果，通常均將介質阻尼簡化為這種情況。力正比于質點運動速度的結果，通常均將介質阻尼簡化為這種情況。這時單元阻尼矩陣比例于單元質量矩陣。這時單元阻尼矩陣比例于單元質量矩陣。 2、除此而外，還有比例于應變速度的阻尼，例如由于材料內摩擦引、除此而外，還有比例于應變速度的阻尼，例如由于材料內摩擦引起的結構阻尼通常可簡化為這種情況，這時單元阻尼矩陣可表示成：起的結構阻尼通常可簡化為這種情況，這時單元阻尼矩陣可表示成：此單元阻尼矩陣比例于單元剛度矩陣。此單元阻尼矩陣比例于單元剛度矩陣。evtedvnncevtedbdvbc6.1.5 直接積分法：直接

11、積分法：6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 常微分方程組的解法，原則上可利用求解常微分方程組的常用方法常微分方程組的解法，原則上可利用求解常微分方程組的常用方法(例例如如runge-k utter方法方法)求解。求解。但是在有限元動力分析中，因為矩陣階數很高，用這些常用算法一般是但是在有限元動力分析中，因為矩陣階數很高，用這些常用算法一般是不經濟的，所以只對少數有效的方法有興趣。這些方法可以分為兩類不經濟的，所以只對少數有效的方法有興趣。這些方法可以分為兩類:直接積分法和振型疊加法直接積分法和振型疊加法。 直接積分是指在積分運動方程之前不進行方程形式的變換，而直接進直接積分是指在

12、積分運動方程之前不進行方程形式的變換，而直接進行逐步數值積分。行逐步數值積分。通常的直接積分法是基于兩個概念：通常的直接積分法是基于兩個概念：一、將在求解域一、將在求解域0tt內的任何時刻內的任何時刻t 都應滿足運動方程的要求，代之都應滿足運動方程的要求，代之以僅在一定條件下近似地滿足運動方程，例如可以僅在相隔以僅在一定條件下近似地滿足運動方程，例如可以僅在相隔ot的離散的的離散的時間點滿足運動方程。時間點滿足運動方程。二、在一定數目的二、在一定數目的t區(qū)域內，假設區(qū)域內，假設位移、速度、加速度的函數形式位移、速度、加速度的函數形式。 在以下的討論中，假定時間在以下的討論中，假定時間t =0的

13、位移、速度、加速度已知。并假定時間的位移、速度、加速度已知。并假定時間求解域求解域0-t被等分為被等分為n個時間間隔個時間間隔t=t/n，在討論具體算法時，假定，在討論具體算法時，假定0, t, 2t, t時刻的解已經求得，目的在于計算時刻的解已經求得，目的在于計算t+t時刻的解。時刻的解。6.1.5 直接積分法：直接積分法：6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 ：加速度和速度可以用位移表示為：加速度和速度可以用位移表示為：)2(t1tt2ttttaaaa )(t21tttttaaa 于是，時間于是，時間t+t的位移解答可由時間的位移解答可由時間t的運動方程建立，即：的運動方程建立

14、，即：ttttqkaacam 時間時間t的運動方程成立，即：的運動方程成立，即：t22t2)t21t1()t2()t21t1(ttttacmamkqacm6.1.5 直接積分法：直接積分法：6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 ： ：(略略,祥見祥見結構動力學結構動力學)其中其中是是n階向量，階向量，是向量是向量振動的頻率，振動的頻率，t是時間變量，是時間變量，t0是由初始條件確定的時間常數。是由初始條件確定的時間常數。6.1.6 振型疊加法：振型疊加法：6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 1、求解系統的固有頻率和固有振型求解系統的固有頻率和固有振型不考慮阻尼影響的系

15、統自由振動方程是不考慮阻尼影響的系統自由振動方程是)()()tt(tqkaam 它的解可以假設為以下形式它的解可以假設為以下形式)(sin)0tt(ta02mk將假設解代入上式，就得到一個廣義特征值問題將假設解代入上式，就得到一個廣義特征值問題:(略略,祥見祥見振動力學振動力學和和結構動力學結構動力學)6.1.6 振型疊加法：振型疊加法：6.1 動力學問題的有限元法動力學問題的有限元法 求解以上方程可以確定求解以上方程可以確定和和 ，結果得到，結果得到n個特征解個特征解(1 , 1), (2,2), (3,3), (4,4), 其中特征值其中特征值代表系統的代表系統的n個固有頻率，個固有頻率，

16、特征向量特征向量代表系統的代表系統的n個固有振型。個固有振型。02mk由于固有振型對于矩陣由于固有振型對于矩陣m是正交的是正交的02mk26.2 非線性問題的有限元法非線性問題的有限元法 以前討論的均是線性問題。線彈性力學基本方程的特點是：以前討論的均是線性問題。線彈性力學基本方程的特點是： 1. 幾何方程幾何方程(應變和位移的關系應變和位移的關系)是線性的。是線性的。 但是在很多重要的實際問題中。但是在很多重要的實際問題中。 上述線性關系不能保持。上述線性關系不能保持。 2. 物理方程物理方程(應力和應變的關系應力和應變的關系)是線性的。是線性的。3. 平衡方程也是線性的。平衡方程也是線性的

17、。6.2.0 非線性問題非線性問題6.2 非線性問題的有限元法非線性問題的有限元法 例如：當外載荷到達一定數值時某些部位首先進入塑性，產生了不可恢復的變形，例如：當外載荷到達一定數值時某些部位首先進入塑性，產生了不可恢復的變形，這時在該部位線彈性的應力應變關系不再適用，雖然結構的其他大部分區(qū)域仍保這時在該部位線彈性的應力應變關系不再適用，雖然結構的其他大部分區(qū)域仍保持彈性。持彈性。又如：長期處于高溫條件下工作的結構將發(fā)生蠕變變形，即在載荷或應力保持不又如：長期處于高溫條件下工作的結構將發(fā)生蠕變變形，即在載荷或應力保持不變的情況下，變形或應變仍隨著時間的進展而繼續(xù)增長。變的情況下，變形或應變仍隨

18、著時間的進展而繼續(xù)增長。工程實際中還存在另一類所謂工程實際中還存在另一類所謂幾何非線性幾何非線性問題：問題：上述現象，都不是線彈性的物理方程所能描述的，上述現象，都不是線彈性的物理方程所能描述的，屬于屬于材料非線性材料非線性范疇內所要研究的問題。范疇內所要研究的問題。例如板殼的大撓度問題，材料鍛壓成型過程的大應變問題等，這時需要采用例如板殼的大撓度問題，材料鍛壓成型過程的大應變問題等，這時需要采用非線非線性的應變和位移關系性的應變和位移關系，平衡方程也必須建立于變形后的狀態(tài)以考慮變形對平衡的平衡方程也必須建立于變形后的狀態(tài)以考慮變形對平衡的影響影響。6.2.0 非線性問題非線性問題6.2 非線

19、性問題的有限元法非線性問題的有限元法 6.2.1 非線性問題有限單元法的求解方程：非線性問題有限單元法的求解方程：0pak無論物理非線性還是幾何非線性，最后都歸結為求無論物理非線性還是幾何非線性，最后都歸結為求解非線性方程組解非線性方程組 ：kvtdvdbb1、如果材料是非線性的，則彈性矩陣、如果材料是非線性的，則彈性矩陣d是非線性的，可寫成是非線性的，可寫成d=d(a)，那么，那么k= k(a)同樣是非線性的，這種非線性稱為物理非線性。同樣是非線性的，這種非線性稱為物理非線性。0)(paak2、如果材料是線性的，但是應變位移矩陣、如果材料是線性的，但是應變位移矩陣b與節(jié)點位移與節(jié)點位移a有關，即有關，即b=b(a)，是非線性的，是非線性的，那么那么k= k(a)同樣是非線性的，這種非線性稱為幾何非線性。同樣是非線性的，這種非線性稱為幾何非線性。6.2 非線性問題的有限元法非線性問題的有限元法 6.2.1 非線性問題有限單元法的求解方程：非線性問題有限單元法的求解方程： 對于線性方程組對于線性方程組6.2 非線性問題的有限元法非線性問題的有限元法 6.2.2 非線性方程組解答的