1989考研數(shù)一真題及解析

1、1989年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題、填空題(此題共5個(gè)小題，每題3分，總分值15分.)(1)f (3)2,那么limf(3h)f(3)h 02h設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù),且f(x)x120f (t)dt,那么 f (x)設(shè)平面曲線L為下半圓周y.12 x,那么曲線積分L(x2y2)ds向量場(chǎng)u(x, y, z)2 xy izyej xln(12z )k在點(diǎn)P(1,1,0)處的散度divu3 00100設(shè)矩陣A140 ,E010 ,那么逆矩陣(A2E)1=.0 03001、選擇題(此題共5個(gè)小題,每題3分,總分值15分.)1(1)當(dāng)x 0時(shí)，曲線yxsinx(A) 有且僅有水平漸近線(

2、B) 有且僅有鉛直漸近線(C) 既有水平漸近線,也有鉛直漸近線(D) 既無(wú)水平漸近線,也無(wú)鉛直漸近線(2)曲面z 4 X22 _y上點(diǎn)P處的切平面平行于平面2x 2y z 10,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是(A) (1,-1,2)(B) (-1,1,2)(C) (1,1,2)(D) (-1,-1,2)(3)設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)y1、y、y都是二階非齊次線性方程P(x)y q(x)y f (x)的解,C1、C2是任意常數(shù)，那么該非齊次方程的通解是(A) C1y1 C2 y2y3(B)C1 y1C2y2(C1C2)y3 設(shè)函數(shù)f (x) x2,0 x 1,而S(x)bnsin n x,n 1x,其中1bn2 0

3、f (x)sin n xdx, n 1,2,3,那么S( 1)等于2()(C) C1 y1 C2 y2 (1 C1 C2)y3(D)C1y1 C2 y2(1 C1 C2)y3同踵考敦肓嚴(yán)KUAKAO EDUCMIDN111(A) 丄 (B)-(C)-(D)244設(shè)A是n階矩陣，且A的行列式|A| 0,那么A中()(A) 必有一列元素全為 0(B) 必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的線性組合(D) 任一列向量是其余列向量的線性組合 三、(此題總分值15分，每題5分.)(1)設(shè)z f(2x y) g(x,xy),其中函數(shù)f(t)二階可導(dǎo)，g(u,v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)2z

4、設(shè)曲線積分xy2dx y (x)dy與路徑無(wú)關(guān)，其中(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且(0) 0,C(1 1)計(jì)算(oo)xy2dx y (x)dy 的值. 計(jì)算三重積分(x z)dV ,其中 是由曲面zx2y2與z , 1一x2y2所圍成的區(qū)域.四、(此題總分值6分.)將函數(shù)f(x)1 xarctan展為x的幕級(jí)數(shù).1 x五、(此題總分值7分.)x設(shè)f(x) sinxo (x t)f (t)dt ,其中f為連續(xù)函數(shù)，求f(x).六、(此題總分值7分.)證明方程In x 1e 0cos2xdx 在區(qū)間(0,)內(nèi)有且僅有兩個(gè)不冋實(shí)根七、(此題總分值6分.)問(wèn)為何值時(shí)，線性方程組xX34x1X22x326x

5、-|X24x323有解,并求出解的一般形式八、(此題總分值8分.)假設(shè) 為n階可逆矩陣 A的一個(gè)特征值,證明:1 .(1)為A 1的特征值；為A的伴隨矩陣A的特征值.九、(此題總分值9分.)設(shè)半徑為R的球面的球心在定球面 x2 y2 z2 a2(a 0)上，問(wèn)當(dāng)R為何值時(shí),球面 在定球面內(nèi)部的那局部的面積最大？ 十、填空題(此題總分值6分，每題2分.)(1)隨機(jī)事件 A的概率P(A)=0.5,隨機(jī)事件B的概率P(B)=0.6及條件概率P(B A)=0.8,那么和事件 AU B 的概率 P(AU B)=.(2)甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5.現(xiàn)目標(biāo)被命中那么它是

6、甲射中的概率為. 假設(shè)隨機(jī)變量在(1,6)上服從均勻分布，那么方程x2x 1 0有實(shí)根的概率是 十一、(此題總分值6分.)設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,且X服從均值為1、標(biāo)準(zhǔn)差(均方差)為、.2的正態(tài)分布，而丫服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布試求隨機(jī)變量Z 2X Y 3的概率密度函數(shù)1989年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題(此題共5個(gè)小題，每題3分，總分值15分.)(1)【答案】11 f (3 h) f (3)1【解析】原式=limf (3)1.2 h 0h2【答案】x 11【解析】由定積分的性質(zhì)可知 ，°f(t)dt和變量沒(méi)有關(guān)系，且f(x)是連續(xù)函數(shù)，故f (t)dt為一常數(shù)為簡(jiǎn)化計(jì)

7、算和防止混淆1，令 0 f(t)dta ,那么有恒等式f (x) x 2a ,兩邊0到1積分得f(x)dx10(x 2a)dx,2a2a,1 1 1 a 0(x 2a)dx 0xdx 2a0dx1解之得 a ,因此f(x) x 2a x 1.2【答案】【解析】方法一：L的方程又可寫成x2 y21(y0),被積分函數(shù)在 L上取值，于是原積分=Jds (半徑為1的的半圓周長(zhǎng)).2 2L(x y )dsx cost y si nt(cos21t 0)sin 2t)x/Tos2tdt01 dt方法二：寫出L的參數(shù)方程【答案】2【解析】直接用散度公式divuP ;(xy2)(y2(yez)y2zx 2)

8、1 zl(xln(1 z2)(1,1,0) 12200TP2.【答案】20【解析】由于2E,也可用分塊求逆.為求矩陣的逆可有多種方法，可用伴隨，可用初等行變換1可以直接方法一：如果對(duì)A 2EME作初等行變換,那么由A 2EME EM|A 2E得出A 2E1.100100100100100120010020110010001001001001001此題中，第一行乘以加到第二行上;再第二行乘以丄,有2丄20從而知A 2E方法二：對(duì)于2階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律:,那么求A的伴隨矩陣如果A 0,這樣1ad bc c a再利用分塊矩陣求逆的法那么:此題亦可很容易求出(A 2E) 1110 .22001二、

9、選擇題(1)【答案】(此題共5個(gè)小題，每題3分,總分值15分.)(A)【解析】函數(shù)1 y xsin只有間斷點(diǎn)x 0.x1 1lim xsin ,其中sin是有界函數(shù)，而當(dāng)xx 0 xxlim yx 0小量和一個(gè)有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮小lim xsin x 0 x.1 sin lim x x10時(shí)，x為無(wú)窮小，而無(wú)窮所以 lim yx 0lim yx所以y 1為函數(shù)的水平漸近線0,故函數(shù)沒(méi)有鉛直漸近線.,所以答案為(A).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】鉛直漸近線：如函數(shù)y f (x)在其間斷點(diǎn)xX。處有 lim f (x),那么x x0x Xo是函數(shù)的一條鉛直漸近線;水平漸近線：當(dāng)lim f(x) a,(a為

10、常數(shù))，那么y a為函數(shù)的水平漸近線.x(2)【答案】(C)【解析】題設(shè)為求曲面 S: F (x, y,z) 0 (其中F(x, y,z) z x2 y24 )上點(diǎn)P使S在該點(diǎn)處的法向量n與平面2x2y z 10的法向量n02,2,1平行.S在P(x,y,z)處的法向量2x,2y,1 ,假設(shè)n/n0,那么nn0,為常數(shù)，即2x,2y,1.即 x 1,y1 .又點(diǎn) P(x,y,z) S,所以 z 4 x2(x,y) (1,1)2 24 112,故求得 P(1,1,2).因此應(yīng)選(C).(3)【答案】(D)【解析】由二階常系數(shù)非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)定理可知，y1 y3,y2 y3為方程對(duì)應(yīng)齊次方程

11、的特解,所以方程y p(x)y q(x)y f (x)的通解為y Ci(yi y3) c?® y?) %即 y Ci yi C2 y2 (1 G C2) y3,故應(yīng)選 D.【答案】(B)【解析】S(x)是函數(shù)f (x)先作奇延拓后再作周期為2的周期延拓后的函數(shù)的傅式級(jí)數(shù)11的和函數(shù)，由于S(x)是奇函數(shù)，于 是221 1 111當(dāng)x 時(shí)，f (x)連續(xù)，由傅式級(jí)數(shù)的收斂性定理，S()f ()().因此，2222411S().應(yīng)選(B).24【答案】(C)【解析】此題考查| A| 0的充分必要條件，而選項(xiàng)(A)、(B)、(D)都是充分條件，并不必要.因?yàn)閷?duì)矩陣A來(lái)說(shuō),行和列具有等價(jià)性，

12、所以單說(shuō)列或者單說(shuō)行滿足什么條件就構(gòu)成了|A| 0的必要條件，但是不具有任意性，只需要存在一列向量是其余列向量的線性組合.112以3階矩陣為例，假設(shè)A123134條件(A)必有一列元素全為0,(B)必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例均不成立,但有|A| 0 ,所以(A)、,可見(jiàn)(D)不正確.(B)不滿足題意，不可選.124 ,那么| A| 0,但第三列并不是其余兩列的線性組合這樣用排除法可知應(yīng)選(C).,可以先求 ，也可以先求 .xy三、(此題總分值15分，每題5分.)(1)【解析】由于混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān) 方法一：先求一Z ,由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法x二 f(2xy)g1 (x) g2 (xy)

13、2fg1yg2，xxxx再對(duì)y求偏導(dǎo)，得2z(2fgyg2)2f(2xy)x yyyg11 (x)g12 -(xy)g2yg21(x)yg22 (xy)yyyy2fgn0xg12g2yg21 0xyg222fxg2i g2 xyg22.方法二：先求-Z ,yf (2x y) gi(x) g2(xy) f xg?,y yy y再對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù),得2 2zz(fxg2)x yy xxf -(2xy)g2 xg21 (x)xg22 (xy)xxx2fg2xg21xyg22.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么:假設(shè)u u(x,y)和 vv(x, y)在點(diǎn)(x, y)處偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)z f (u,v)在對(duì)應(yīng)

14、點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)z f u(x, y), v(x, y)在點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，且zf uf vzfufvxu xvxyuyvy【解析】方法一：先求出(x),再求曲線積分.設(shè)P(x,y),Q(x1 y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在所給的單連通區(qū)域 D 上, LPdx Qdy與路徑無(wú)Q P2關(guān),那么在D上有，所以y (x) 2xy,即(x)2x, (x) x C.由(0)=0,得x y2C 0,即(X) x ,因此(1,1)21 (0,0) xy dx y0,1)2 2(x)dy (°,。)xy dx yx dy(1,1)y2dx2x2dy2(0,0)1 (1,1)2

15、 2d(x y )2 (0,0)或取特殊路徑如圖：2(x2y2)2(1,1)1(0,0)2Ixy2dxLyx2dy10 0gdx0ygi2dy1 22y方法二：不必求出(x),選取特殊的路徑,取積分路徑如圖(1,1) 2I(0,0) xy dx y (x)dy1 10y (0)dy0xdxz)dVzdV.(3)【解析】利用三重積分的性質(zhì)關(guān)于yz平面對(duì)稱，x對(duì)x為奇函數(shù),所以 xdV0,即(xz軸、半頂角為4的錐面所圍成.故可選用球坐標(biāo)變換，那么 ：02， ,04所以IzdVcos2 . sind d d是由球心在原點(diǎn)半徑為 1的上半球面與頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱軸為2d 4 cos0 0sin13dd

16、011324 sin 2 dd0 201141 4cos 220408 .四、(此題總分值6分.)【解析】直接展開(kāi)f (x)相比照擬麻煩,可f(X)容易展開(kāi)f (x)11 X (1 x) ( 1)1 ( )2(1 x)21 x2 1(1 x)2 (1 x)21 x21由1 t t2 L ( 1)ntn L1 t(1)ntn,(|t| 1),令 t x2 得五、此題總分值7分.【解析】先將原式進(jìn)行等價(jià)變換,再求導(dǎo)，試著發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律5f(x)sin xX0(X t)f (t)dtsin x xX0f(t)dtX0 tf (t )dt所給方程是含有未知函數(shù)及其積分的方程，兩邊求導(dǎo),得f (X)co

17、sxX0 f(t)dt xf(x)xf(x)cosxX0 f(t)dt,再求導(dǎo)，得f (X)sin xf(x),即f (X)f(x)sin x.這是個(gè)簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2 1 0 ,所以因此f (x)f(x)11 x211 x2X0 f (u)dun1) ux2 x4 L (n 2n /(1) X ,(| x|f(0),2ndu1)nn1) X1)arcta n -1 012n V(|X| 1)X2n2n 1均收斂,而左端1)n2n 1f (x) arctan2nf(x)2n 1，-n 2n 2(1) X ,(x1)n 01)nX 2n .u du

18、0arcta n 11,1).此特征方程的根為ri ,而右邊的sinx可看作e x sin x, i i為特征根，因此非齊次方程有特解 Y xasinx xbcosx.1 x代入方程并比較系數(shù)，得a 0, b -,故Y cosx,所以2 2f (x) gcosx c2sinxcosx,21 1x又因?yàn)?f (0) 0, f (0) 1,所以 q 0,c2,即 f (x)si nxcosx.2 22六、(此題總分值7分.)【解析】方法一：判定方程f(x) 0等價(jià)于判定函數(shù)y f(x)與x的交點(diǎn)個(gè)數(shù).xf (x) ln x1 cos2xdx ,cos2x在(0,)非負(fù),故e 0其中0.1 cosh

19、dx是定積分,為常數(shù),且被積函數(shù)10 cos2xdx 0,為簡(jiǎn)化計(jì)算,令 0''1 cos2xdxk 0,即 f(x)ln x - k,e1 1那么其導(dǎo)數(shù)f (x),令f (x)0解得唯一駐點(diǎn)xx ee,f (x) 0,0 x f (x)0,e x所以xe是最大點(diǎn),最大值為f (e)ln e又因?yàn)閘imx 0f(x)lim (ln xx 0k),由連續(xù)函數(shù)的介值定理知在(0,e)與(e,)limxf(x)lim (In xxk)各有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(不相同),故方程ln x0 -1 cos2xdx 在(0,)有且僅有兩個(gè)不同實(shí)根.方法二:因?yàn)楫?dāng)0、1 cos2xdx0時(shí)，sinx

20、 0,所以° sin 2xdx,其它同方法0 -2sin 訟20sinxdx .2 cog 2&0,6分.)七、(此題總分值【解析】對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換第一行分別乘以有6加到第二行和第三行上,再第二行乘以1加到第三行上，有101M101 M101 M412M 2012M32012M32 .614M?3012M43000 M1由于方程組有解的充要條件是r(A)r(A),故僅當(dāng)10,即1時(shí),方程組有解.此時(shí)秩r(A) r(A) 2 n 3,符合定理的第二種情況，故方程組有無(wú)窮多解由同解方程組 cX3X22X31,令X3 t,解得原方程組的通解1,Xi2t1,1, 其中t

21、為任意常數(shù).X3t,【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)A是m n矩陣，線性方程組 Ax b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣A A Mb的秩，即是rAr A或者說(shuō)，b可由A的列向量1,2丄,n線表出亦等同于1, 2:,L , n 與1,2 , L,n,b是等價(jià)向量組設(shè)A是mn矩陣,線性方程組Ax b,那么1有唯一解r(A) r(A) n.2有無(wú)窮多解r(A) r(A) n.3無(wú)解r(A) 1r(A).b不能由A的列向量1, 2,L ,n線表出八、此題總分值8分.)【解析】1由為A的特征值可知,存在非零向量使A,兩端左乘A :，得A 1.因?yàn)?,故0,于是有A 1丄按

22、特征值定義知丄是A1的特征值.2由于逆矩陣的定義 A 1A百據(jù)第1問(wèn)有| a |A,按特征值定義，即兇為伴隨矩陣A的特征值.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè) 是矩陣列向量X使得AX 向量X成立,那么稱A是n階矩陣，假設(shè)存在數(shù)及非零的n維A的特征值，稱非零向量 X是矩陣A的特征九、此題總分值9分.【解析】由球的對(duì)稱性,不妨設(shè)球面的球心是0,0, a,是的方程是x22 2y (z a)R2.0先求 與球面的交線2 x2 x2y2y(z2za)2a2,R2,c222a R2a代入上式得的方程R2R44a2 .它在平面xOy上的投影曲線b2,b2R2R4荷(o R 2a),0,相應(yīng)的在平面

23、xOy上圍成區(qū)域設(shè)為 Dxy,那么球面在定球面內(nèi)部的那局部面積S(R)£ z：dxdy.Dxy將的方程兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)得所以 S(R)、1 z z：dxdyDxyV1Dxyz)y 2()dxdy a zDxy(x )2a zy 2()dxdy a zDxyR2=dxdy .y2利用極坐標(biāo)變換(02 ,0b)有S(R)Dxy ： R2dxdy極坐標(biāo)變換0 一 R2R =d2代入b2 R22 R(R210 , R22 22d(R22)2)2 R( R2 b2R)R42,化簡(jiǎn)得S(R)4a這是一個(gè)關(guān)于 R的函數(shù),求S(R)在(0,2 a)的最大值點(diǎn),S( R)兩邊對(duì)R求導(dǎo)，并令S(R)0 ,得 S(R) 4R丄0,得R色a3S(R) 0,0R 2a4S (R)0, a34a時(shí)S(R)取極大值，也是最大值.34a因此,當(dāng)R 時(shí)球面 在定球面內(nèi)部的那局部