二維形式的柯西不等式

1、 二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式 人教人教a版選修版選修4-5一、教材分析一、教材分析目錄目錄 二、學情分析二、學情分析五、教學過程五、教學過程 四、教法學法四、教法學法三、目標定位三、目標定位 六、板書設計六、板書設計七、教學反思七、教學反思一、教材分析一、教材分析二二維維形形式式的的柯柯西西不不等等式式三角不等式不等式的證明基本不等式不等式的性質排序不等式n維柯西不等式二、學情分析二、學情分析學習了不等式學習了不等式的性質與證明的性質與證明，向量基礎知，向量基礎知識，掌握了不識，掌握了不等式變形方法等式變形方法以及數形結合以及數形結合基本方法。具基本方法。具備一定的觀察備一定的觀

2、察、分析、邏輯、分析、邏輯推理能力。推理能力。該班學生的優(yōu)點該班學生的優(yōu)點是性格活潑，是性格活潑， 好動腦筋，求知好動腦筋，求知欲強，善于并且欲強，善于并且樂于表達自己觀樂于表達自己觀點。點。該班學生的缺該班學生的缺點是懶惰，對點是懶惰，對前面所學知識前面所學知識遺忘比較多，遺忘比較多，頭腦中所建立頭腦中所建立的知識之間的的知識之間的聯系比較弱，聯系比較弱，因此數學綜合因此數學綜合能力不強。能力不強。三、目標定位三、目標定位知識與技能知識與技能：理解柯西不等理解柯西不等式的二維形式式的二維形式和變式以及向和變式以及向量形式，會簡量形式，會簡單應用柯西不單應用柯西不等式解決問題等式解決問題，理解

3、三角不，理解三角不等式和變式等式和變式過程與方法：通過類過程與方法：通過類比的方法，探索柯西比的方法，探索柯西不等式的形式，并通不等式的形式，并通過數形結合方法探索過數形結合方法探索柯西不等式的向量形柯西不等式的向量形式并證明，通過數形式并證明，通過數形結合方法探索三角不結合方法探索三角不等式并證明，通過觀等式并證明，通過觀察分析柯西不等式的察分析柯西不等式的形式簡單應用柯西不形式簡單應用柯西不等式解決證明問題和等式解決證明問題和最值問題最值問題情感態(tài)度與價值觀情感態(tài)度與價值觀：通過創(chuàng)設情境，：通過創(chuàng)設情境，提出問題，然后探提出問題，然后探索解決的辦法，培索解決的辦法，培養(yǎng)學生獨立思考、養(yǎng)學生

4、獨立思考、合作探究、積極探合作探究、積極探索的習慣和邏輯推索的習慣和邏輯推理能力，滲透數學理能力，滲透數學史的教育，使學生史的教育，使學生體會數學的史學價體會數學的史學價值和美學價值值和美學價值三、目標定位三、目標定位教學重點：教學重點：柯西不等式的證明和應用柯西不等式的證明和應用教學難點：教學難點：柯西不等式的發(fā)現、幾何法證柯西不等式的發(fā)現、幾何法證明柯西不等式、三角不等式的證明明柯西不等式、三角不等式的證明四、教法學法分析四、教法學法分析教法：教法：采取武漢市第四十九中學采取武漢市第四十九中學“主體探主體探究課堂教學模式究課堂教學模式”設置設置“問題串問題串”引導學引導學生展開探究生展開探

5、究學法：學法：以學生為中心，采取獨立思考和小以學生為中心，采取獨立思考和小組合作討論的方式進行探究式學習組合作討論的方式進行探究式學習五、教學過程五、教學過程創(chuàng)設情境，引入課題創(chuàng)設情境，引入課題新課探究，形成結論新課探究，形成結論例解應用，深化認識例解應用，深化認識回顧過程，反思小結回顧過程，反思小結教學流教學流程程五、教學過程五、教學過程創(chuàng)創(chuàng)設設情情境境，引引入入課課題題設計意圖：設計意圖：給學生指明探究給學生指明探究的方向的方向-要對要對(a2+b2)(c2+d2)進行配方，激發(fā)進行配方，激發(fā)了學習的熱情，了學習的熱情，也為后續(xù)要用幾也為后續(xù)要用幾何法證明柯西不何法證明柯西不等式和應用柯西

6、等式和應用柯西不等式做了鋪墊不等式做了鋪墊五、教學過程五、教學過程問題問題1：還有其他方法：還有其他方法證明柯西不等式嗎？證明柯西不等式嗎？探究探究1:1:類比類比 的的推導過程，請你猜想關于推導過程，請你猜想關于 的不等式的不等式222abab2222()()abcd新新課課探探究究，形形成成結結論論問題問題2：可以用幾何法：可以用幾何法證明柯西不等式嗎？證明柯西不等式嗎？類比配方類比配方作差法、分析法作差法、分析法向量法向量法問題問題3：向量法證明中等：向量法證明中等號成立的條件是什么？號成立的條件是什么？,平行平行五、教學過程五、教學過程探究探究1:1:類比類比 的的推導過程，請你猜想關

7、于推導過程，請你猜想關于 的不等式的不等式222abab2222()()abcd新新課課探探究究，形形成成結結論論設計意圖：設計意圖：這是一個開放式問題這是一個開放式問題，關，關(a2+b2)(c2+d2)的不等式有很多，但的不等式有很多，但是如果我們限定問題是如果我們限定問題是類比是類比 的推導過程的推導過程，那么學生就容易找，那么學生就容易找到正確的方向。到正確的方向。五、教學過程五、教學過程問題問題1：還有其他方法：還有其他方法證明柯西不等式嗎？證明柯西不等式嗎？新新課課探探究究，形形成成結結論論設計意圖：設計意圖：這是一個開放式問題這是一個開放式問題，我們剛剛學習了不，我們剛剛學習了不

8、等式的證明，有利于等式的證明，有利于學生打開思路，開闊學生打開思路，開闊思維，多角度探索不思維，多角度探索不同方法，同時也是對同方法，同時也是對不等式證明方法的復不等式證明方法的復習，也是與引入中的習，也是與引入中的 不同證明方法形成類不同證明方法形成類比和對照。比和對照。222abab五、教學過程五、教學過程新新課課探探究究，形形成成結結論論問題問題2：可以用幾何法：可以用幾何法證明柯西不等式嗎？證明柯西不等式嗎？設計意圖：設計意圖：這是本節(jié)課的重中之重這是本節(jié)課的重中之重，不僅與，不僅與存在幾何證明方法進行存在幾何證明方法進行了類比，而且引導學生了類比，而且引導學生從代數與幾何兩個角度從代

9、數與幾何兩個角度對柯西不等式進行了證對柯西不等式進行了證明，體現了數形結合的明，體現了數形結合的方法，同時得到了向量方法，同時得到了向量形式，而向量形式在推形式，而向量形式在推導導n維形式上起了很重要維形式上起了很重要的作用。的作用。222abab五、教學過程五、教學過程新新課課探探究究，形形成成結結論論設計意圖：設計意圖：展示學生的結果，展示學生的結果，共同討論，取長補共同討論，取長補短，查漏補缺。短，查漏補缺。展示學生的向量法證明展示學生的向量法證明五、教學過程五、教學過程新新課課探探究究，形形成成結結論論設計意圖：設計意圖：等號成立的條件是等號成立的條件是柯西不等式很重要柯西不等式很重要

10、的一部分，在向量的一部分，在向量背景下考慮等號成背景下考慮等號成立的條件，既為應立的條件，既為應用向量形式的柯西用向量形式的柯西不等式提供了依據不等式提供了依據，也對代數形式和，也對代數形式和向量形式進行了全向量形式進行了全方位的對比，體現方位的對比，體現數學的嚴密性。數學的嚴密性。問題問題3：向量法證明中等號成立的：向量法證明中等號成立的條件是什么？條件是什么？五、教學過程五、教學過程新新課課探探究究，形形成成結結論論設計意圖：設計意圖：在實際應用中，柯在實際應用中，柯西不等式的變式用西不等式的變式用得比較多，所以很得比較多，所以很有必要讓學生知道有必要讓學生知道，又由于時間有限，又由于時間

11、有限，所以采取師生共，所以采取師生共同探究的方法，顯同探究的方法，顯得主次分明。得主次分明。師生共同探究柯西不等式的兩種師生共同探究柯西不等式的兩種變式變式五、教學過程五、教學過程新新課課探探究究，形形成成結結論論設計意圖：設計意圖：柯西是近代史上非柯西是近代史上非常著名的數學家，常著名的數學家，在教學過程中介紹在教學過程中介紹柯西的成就，滲透柯西的成就，滲透數學史的教育，符數學史的教育，符合新課程要求。同合新課程要求。同時，提出要求，讓時，提出要求，讓同學們下課查閱柯同學們下課查閱柯西的相關資料，激西的相關資料，激發(fā)學習數學的興趣發(fā)學習數學的興趣。介紹柯西其人介紹柯西其人五、教學過程五、教學

12、過程例例解解應應用用，深深化化認認識識設計意圖：設計意圖：應用柯西不等式證明問題，類比了應用柯西不等式證明問題，類比了的應用，進一步認識柯西不等式形式上的特點的應用，進一步認識柯西不等式形式上的特點，體會柯西不等式在證明問題中的作用，學會，體會柯西不等式在證明問題中的作用，學會用柯西不等式證明問題。對于這個例題，采取用柯西不等式證明問題。對于這個例題，采取學生自主探究解決的方法，然后展示有代表性學生自主探究解決的方法，然后展示有代表性的結果，師生共同分析總結。的結果，師生共同分析總結。例1. 已知a、b為實數，證明(a4+b4)(a2+b2) (a3+b3)2.222abab五、教學過程五、教

13、學過程例例解解應應用用，深深化化認認識識設計意圖：設計意圖：應用柯西不等式求最值問題，類比了應用柯西不等式求最值問題，類比了的應用，進一步認識柯西不等式形式上的特點的應用，進一步認識柯西不等式形式上的特點，體會柯西不等式在求最值問題中的作用，學，體會柯西不等式在求最值問題中的作用，學會用柯西不等式解最值問題。對于這個例題，會用柯西不等式解最值問題。對于這個例題，采取學生自主探究解決的方法，然后展示有代采取學生自主探究解決的方法，然后展示有代表性的結果，師生共同分析總結。表性的結果，師生共同分析總結。例2. 222abab.6453的最大值求函數xxy五、教學過程五、教學過程例例解解應應用用，深

14、深化化認認識識探究探究2 2：根據根據 的邊長關系，你能發(fā)現的邊長關系，你能發(fā)現 這這4個個實數蘊涵著何種大小關系嗎？實數蘊涵著何種大小關系嗎？12opp1,1,22,x y xy設計意圖：設計意圖：從形出發(fā)，得到結從形出發(fā)，得到結論，體現數形結合論，體現數形結合的方法，從幾何關的方法，從幾何關系中得到三角不等系中得到三角不等式，得到四個實數式，得到四個實數的另一種大小關系的另一種大小關系。五、教學過程五、教學過程例例解解應應用用，深深化化認認識識問題問題4 4：你能證明三角不等式嗎？：你能證明三角不等式嗎？設計意圖：設計意圖：由圖形得出三角不等式，由圖形得出三角不等式，再由代數法進行證明，充

15、再由代數法進行證明，充分體現數形結合思想。而分體現數形結合思想。而三角不等式也是一個經典三角不等式也是一個經典不等式，跟柯西不等式一不等式，跟柯西不等式一樣，體現四個實數的不等樣，體現四個實數的不等關系，它的證明需要用到關系，它的證明需要用到不等式的基本變形技巧和不等式的基本變形技巧和柯西不等式的變式，是柯柯西不等式的變式，是柯西不等式變式應用的重要西不等式變式應用的重要體現。證明難度大，采取體現。證明難度大，采取學生獨立思考，教師個別學生獨立思考，教師個別輔導的方式，再共同研究輔導的方式，再共同研究，給了學生充分的思維空，給了學生充分的思維空間和時間。間和時間。五、教學過程五、教學過程例例解

16、解應應用用，深深化化認認識識問題問題5 5：介紹三角不等式變式，你能給出幾何解釋嗎？：介紹三角不等式變式，你能給出幾何解釋嗎？設計意圖：設計意圖：三角不等式是經典不等式三角不等式是經典不等式，它的變式也是經典不等，它的變式也是經典不等式，體現式，體現6個實數的不等個實數的不等關系，從數得到，再由形關系，從數得到，再由形來說明，又一次體現了數來說明，又一次體現了數形密不可分。形密不可分。五、教學過程五、教學過程回回顧顧過過程程，反反思思小小結結問題問題6 6：你學到了什么？有什么收獲？還有什么困惑？：你學到了什么？有什么收獲？還有什么困惑？設計意圖：設計意圖：自己反思的學習過程，不自己反思的學習

17、過程，不僅有利于對數學思想方法僅有利于對數學思想方法的掌握，更加培養(yǎng)了學生的掌握，更加培養(yǎng)了學生反思問題的能力和總結歸反思問題的能力和總結歸納的學習習慣，提高了學納的學習習慣，提高了學生自主學習的能力。此外生自主學習的能力。此外，培養(yǎng)了學生表達交流的，培養(yǎng)了學生表達交流的能力，在學習中學會學習能力，在學習中學會學習與分享。與分享。五、教學過程五、教學過程回回顧顧過過程程，反反思思小小結結設計意圖：設計意圖：延伸課堂，為下一節(jié)課做延伸課堂，為下一節(jié)課做鋪墊，廣泛了解柯西不等鋪墊，廣泛了解柯西不等式的背景和應用，認識柯式的背景和應用，認識柯西不等式的重要作用，提西不等式的重要作用，提高學習興趣，培養(yǎng)自學能高學習興趣，培養(yǎng)自學能力。力。作業(yè)布置：作業(yè)布置：1.寫出三維形式的柯西不寫出三維形式的柯西不等式及其三角不等式；等式及其三角不等式；2.寫出寫出n維形式的柯西不維形式的柯西不等式；等式；3.搜集柯西不等式的應用搜集柯西不等式的應用以及柯西不等式的不同形以及柯西不等式的不同形式。式。六、板書設計六、板書設計設計意圖：設計意圖：凸顯本節(jié)課的知識重點和凸顯本節(jié)課的知識重點和方法重點，同時，板書方方法重點，同時，板書方便學生解題應用公式。便學生解題應用