第06講矩陣特征值與特征向量的計(jì)算

1、2021-9-21矩陣特征值與特征向量矩陣特征值與特征向量2021-9-21矩陣的特征值問題矩陣的特征值問題2021-9-21最大特征值的冪法原理最大特征值的冪法原理2021-9-21冪法冪法2021-9-21冪法的算法設(shè)計(jì)冪法的算法設(shè)計(jì)2021-9-21冪法的程序設(shè)計(jì)冪法的程序設(shè)計(jì)1clear allclcA=2 -1 0; 0 2 -1; 0 -1 2;n=3;epsilon = 1.0e-3;N = 20;x=0; 0; 1;k=1;mu=0;2021-9-21冪法的程序設(shè)計(jì)冪法的程序設(shè)計(jì)2while kN alpha,r = max(abs(x); y = x/alpha; x = A

2、*y; lambda = x(r); if abs(lambda-mu)epsilon return; end k = k + 1; mu = lambda;end2021-9-21重特征值問題重特征值問題l前若干個(gè)特征值相同；l前兩個(gè)特征值絕對(duì)值相同、符號(hào)相反。2021-9-21冪法的局限冪法的局限l冪法只能求得絕對(duì)值最大的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。l用不同的初始向量迭代得到的結(jié)果是相同的。l即使在迭代向量中不包含“最大”特征向量的分量，由于舍入誤差，最終得到的也是絕對(duì)值最大的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。2021-9-21冪法的加速與反冪法冪法的加速與反冪法l原點(diǎn)移位法lAitken加速l反冪法2

3、021-9-21原點(diǎn)移位法原點(diǎn)移位法2021-9-21Aitken加速加速原理原理2021-9-21Aitken加速加速公式公式2211212kkkkkk 2021-9-21Aitken加速加速算法算法2021-9-21Aitken加速加速程序程序1n = 3;A=2 -1 0; 0 2 -1; 0 -1 2;x=0 0 1;eps = 1.0e-6;N = 100;k=1; alpha0=0; alpha1=0; lambda0=1;2021-9-21Aitken加速加速程序程序2while kN xm,r = max(abs(x); alpha = x(r); y = x/alpha; x

4、 = A*y; alpha2 = x(r); lambda = alpha0 - (alpha1-alpha0)2/(alpha2-2*alpha1+alpha0); if abs(lambda-lambda0) = epsilon) & (loop error imax = i; jmax = j; error = abs(A(i,j); end end end V = eye(n); phi = -atan2(2*A(imax,jmax),A(jmax,jmax)-A(imax,imax)/2; c = cos(phi); s = sin(phi); V(imax jmax, im

5、ax jmax) = c s; -s c; A = V*A*V; Q = Q*V;end2021-9-21矩陣乘法VAV的計(jì)算說明 1cossinsincos1iVjij OOO2021-9-21QR方法方法2021-9-21矩陣的矩陣的QR分解分解直接對(duì)滿陣A進(jìn)行QR分解計(jì)算特征值，計(jì)算量較大。用Schmit方法進(jìn)行矩陣的QR分解穩(wěn)定性較差。2021-9-21Household變換變換2021-9-21利用利用Household變換變換化一般矩陣為擬上三角矩陣化一般矩陣為擬上三角矩陣2021-9-21Household變換算例變換算例clcclear allA=5 -2 2*sqrt(2)

6、-3*sqrt(2) 1 0 5/sqrt(2) -1/sqrt(2) 0 -sqrt(2) 1 0 0 sqrt(2) -4 -1n = size(A,1);for k=1:n-1 x = A(k+1:end,k); y = zeros(n-k,1); y(1) = -sign(x(1)*norm(x); w = x - y; w = w/norm(w); H = eye(n-k)-2*w*w; H = eye(k) zeros(k,n-k) zeros(n-k,k) H; A = H*A*Hend2021-9-21Givens旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換2021-9-21Householder變換實(shí)施變換實(shí)施(對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 )2021-9-21Householder變換實(shí)施變換實(shí)施(一般矩陣一般矩陣 )2021-9-