《函數(shù)的基本性質(zhì)》知識(shí)總結(jié)大全

1、函數(shù)的基本性質(zhì)知識(shí)總結(jié)大全沛縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)組張馳1.單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢(shì)，是研 究函數(shù)圖象在定義域內(nèi)的局部變化性質(zhì)。函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I匸A 如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的兩個(gè)值x, , x2，當(dāng)x, < x2時(shí)，都有f (xj f (x2),那么y = f (x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，|稱為y = f x的單調(diào)區(qū)間.如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的兩個(gè)值x, , x2，當(dāng)x, <x2時(shí)，都有f (x, ) f (x2)，那么y = f (x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為y = f (x)的單調(diào) 區(qū)間

2、如果函數(shù)y = f (x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么函數(shù)y二f (x)在區(qū)間I上具有.點(diǎn)評(píng)單調(diào)性的等價(jià)定義： f (x)在區(qū)間 M 上是增函數(shù)二- x,x2 M ,當(dāng)x,：:x2時(shí)，有 f(x,)f(x2) ：: 0f(X,) - f(X2)y：=(x, - x2) f (x,) - f (x2) 000 ;x, x 2Ax f (x)在區(qū)間M 上是減函數(shù)：=-X,x2 M ,當(dāng)x,：:x2時(shí)，有f(x,)- f(x2)0f (x,) f(X2)Ay(x, x2) f (x,) - f (x2) ： 000 ;x, -x2Ax函數(shù)單調(diào)性的判定方法 定義法；圖像法；復(fù)合函數(shù)法；導(dǎo)數(shù)

3、法；特值法(用于小題)，結(jié)論法等 定義法(取值作差變形定號(hào)結(jié)論) ：設(shè)x, x2 =a, b且x, x2 ,那f (x ) f ( x )么(x, - x2) f (x,) - f (x2) 0120u f (x)在區(qū)間a,b上是增函X, X2f (x ) f ( x )數(shù)；(x, - X2) f (x, ) - f (x2) ： 0,20= f (X)在區(qū)間a,b上是減函X, X2數(shù)。 導(dǎo)數(shù)法(選修)：在f (X)區(qū)間(a, b)內(nèi)處處可導(dǎo)，若總有 f'(x)A0 ( f'(x)V0 )，則 f (X)在區(qū)間(a, b)內(nèi)為增(減)函數(shù)；反之， f (X)在區(qū)間(a, b)內(nèi)

4、為增(減)函數(shù)，且 處處可導(dǎo)，則f'(x)色0 ( f '(x)蘭0 )。請(qǐng)注意兩者之間的區(qū)別，可以“數(shù)形結(jié)合法”研究。點(diǎn)評(píng) 判定函數(shù)的單調(diào)性一般要將式子f(X, ) - f (x2)進(jìn)行因式分解、配方、通分、分子(分母)有理化處理，以利于判斷符號(hào)；證明函數(shù)的單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。提醒 求單調(diào)區(qū)間時(shí)，不忘定義域；多個(gè)單調(diào)性相同的區(qū)間不一定能用符號(hào)“”連接；單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示。判定函數(shù)不具有單調(diào)性時(shí)，可舉反例。與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的一些結(jié)論 若f (X)與g (X)同增(減)，則f (X) + g(x)為增(減)函數(shù)，f (g(x)為增函數(shù); 若f

5、(x)增，g(x)為減,則f(x) g(x)為增函數(shù)，g(x) f (x)為減函數(shù)，f(g(x) 為減函數(shù)；1 若函數(shù)y二f(X)在某一范圍內(nèi)恒為正值或恒為負(fù)值，則y = f (x)與y 在相同f (x)的單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反； 函數(shù)y = f (x)與函數(shù)y = f (x) k(k =0)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間； 函數(shù)y = f (x)與函數(shù)y二kf(x)(k . 0)具有相同的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，函數(shù)y= f (x)與函數(shù)y =kf ( x)( k ： 0)具有相同單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反。2奇偶性函數(shù)的奇偶性是研究函數(shù)在定義域內(nèi)的圖象是否關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，還是關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，是研究函

6、數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；函數(shù)奇偶性的定義一般地，設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)锳 .如果對(duì)于的x E A，都有f (x) =，那么函數(shù)y = f (x)是偶函數(shù) 一般地，設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)锳 如果對(duì)于 的xA，都有f(-x)=，那么函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)如果函數(shù)y = f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么函數(shù) y = f (x)具有注意具有奇偶性的函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此，確定函數(shù)奇偶性時(shí)，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。圖象特征函數(shù)y = f (x)為奇(偶)函數(shù)函數(shù)y = f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)成中心(軸) 對(duì)稱圖形。注意 定義域含0的偶函數(shù)圖象不一定過

7、原點(diǎn)；定義域含0的奇函數(shù)圖象一定過原點(diǎn)；利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個(gè)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上，簡(jiǎn)化問題。點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件f (x) f (x)是奇函數(shù)：=f (x) = - f (x) ：= f ('X) f (x) = 01 f(x)f ( x) f(x)是偶函數(shù)=f (-x)二 f (x)= f (-x) - f(x) =01 f (x) 奇函數(shù)f (x)在原點(diǎn)有定義，則 f(0) = 0. 在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：(i)奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；(ii)奇函數(shù)有相反的最值(極值)，偶函數(shù)有相同的最值(極值) f (x

8、)是偶函數(shù) U f (| X I) = f (x) 奇偶性的判定方法若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先考慮其定義域并等價(jià)變形化簡(jiǎn)后，再判斷其奇偶性 法；圖像法；結(jié)論法等如判斷函數(shù)f (x)二的奇偶性。判定函數(shù)奇偶性方法如下：定義(等價(jià)定義)點(diǎn)評(píng) 定義法判定函數(shù)的奇偶性先求定義域，看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)稱，再求f ( -X),接著考察f (-x)與f(X)的關(guān)系，最后得結(jié)論判斷函數(shù)不具有奇偶性時(shí)，可用反 例。與函數(shù)的奇偶性有關(guān)的一些結(jié)論 若f (x)與g (x)同奇(偶)，則f (x) ±g(x)為奇(偶)函數(shù)，f (x) g(x)和丄兇 為g(x)偶函數(shù)，f(g(x)為奇(偶)函數(shù)

9、；f (x) 若f (x)與g (x) 一奇一偶，則f (x) g (x)和為奇函數(shù)，f(g(x)為偶函數(shù)；g(x) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)和的形式。函數(shù)按奇偶性分類奇函數(shù)非偶函數(shù)，偶函數(shù)非奇函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)。點(diǎn)評(píng)既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個(gè)。如f (x) = 0定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可。如函數(shù) f (x)=1 - X?. X -1。3. 周期性函數(shù)的周期性是研究一些函數(shù)圖象在定義域內(nèi)具有某種一定的周期變化規(guī)律；函數(shù)周期性的定義一般地，對(duì)于函數(shù) f (x)，如果存在一個(gè) 的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的 x值，都滿足f(x+T)= ，那么函數(shù)f (x)

10、稱為周期函數(shù)， 常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果一個(gè)周期函數(shù) f (x)的所有的周期中存在一個(gè) 的 數(shù)，那么這個(gè)數(shù)叫做函數(shù) f (x)的最小周期正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。點(diǎn)評(píng) 非零常數(shù)T是周期函數(shù)本身固有的性質(zhì)，與自變量x的取值無關(guān)；若非零常數(shù)T是函數(shù)f (x)的周期，則非零常數(shù) T的非零整數(shù)倍(nT , n Z，且n - 0)也是函數(shù) f (x)的周期；若函數(shù) f (x)的周期為T，則函數(shù)y =AfCxW')(其中A , ,：:為常 數(shù)，且A = 0，衛(wèi)0 )的周期為 :定義中的等式f (x T )二f (x)是恒等式；函 丨苗|數(shù)f (x)的周期是T二 f (

11、xT) = f (x)。三角函數(shù)的周期 y=si nx:T =2 二 ： y= cos x : T = 2 二 ： y = ta n x : T = 一：；2 y = A sin( x ? 1), y = A cosx ?丨)：T: y = tan x : T =禺|國(guó)|函數(shù)周期的判定定義法(試值)圖像法公式法(利用(2 )中結(jié)論)結(jié)論法。與周期有關(guān)的一些結(jié)論 f (x a) = f (x a)或 f (x 2a) = f (x)( a 0) = f (x)的周期為 2a ； f (x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線 x二a對(duì)稱=f (x)的周期為2|a| ； f (x)奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線

12、x二a對(duì)稱=f (x)的周期為4|a| ； f (x)關(guān)于點(diǎn)(a,0) , (b,0) (a =b)對(duì)稱=f (x)的周期為 2| a _b| ； f (x)的圖象關(guān)于直線x =a , x =b(a =b)對(duì)稱=函數(shù)f (x)的周期為2 |a -b | ; f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱，直線x=b軸對(duì)稱二f (x)周期為4 ab ;1 f (x)對(duì) X R 時(shí)，f(x a) - - f(x)或 f(x a)f (x)的周期為 2 |a| ；f (x) 函數(shù)f(x)滿足f(x - a) J f (x)，且a為非零常數(shù)=.f(x)的周期為4|a| ；1 - f (x) 函數(shù)f (x)滿

13、足f x 2a = f x a - f x ( a為非零常數(shù))=f (x)的周期6| a |。 點(diǎn)評(píng) 注意對(duì)稱性與周期性的關(guān)系。4. 對(duì)稱性函數(shù)的對(duì)稱性是研究函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(即函數(shù)圖象關(guān)于某一點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形或關(guān) 于某一條直線成軸對(duì)稱圖形)；函數(shù)對(duì)稱性的定義如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成對(duì)稱或點(diǎn)(a，b)成對(duì)稱，那么y = f(X)具有對(duì)稱性。注意利用函數(shù)的對(duì)稱性可以把研究整個(gè)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化到一半?yún)^(qū)間上，簡(jiǎn)化問題。函數(shù)圖象對(duì)稱性的證明證明函數(shù)y =f(x)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì) 稱點(diǎn)仍在圖像上；與對(duì)稱性性有關(guān)的一些結(jié)論 函數(shù)y = f (x)的

14、圖象關(guān)于直線 x=a成軸對(duì)稱：二f (a - x) = f (a x)。特別地，當(dāng) a = 0時(shí)，函數(shù)y = f( x)為偶函數(shù)。 函數(shù)y = f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a, b)成中心對(duì)稱 u f (a - x) f (a x) = 2b。特別 地，當(dāng)a = 0且b = 0時(shí)，函數(shù)y二f (x)為奇函數(shù)。點(diǎn)評(píng)函數(shù)奇偶性是函數(shù)對(duì)稱性的特殊情況。 若y = f (x)對(duì)x R時(shí)，f (a x) = f (b -x)恒成立,則y = f (x)圖像關(guān)于直線a 亠bx二 對(duì)稱；2k 函數(shù)y =bk = 0的圖象關(guān)于點(diǎn)a，b中心對(duì)稱。x -a5. 有界性函數(shù)的有界性是研究函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中的上下

15、界情況，重點(diǎn)是通過研究函數(shù) 的最大(小)值(值域)來研究有界性問題。函數(shù)最大(小)值的定義一般地，設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)锳 .如果存在X。乏A，使得對(duì)于的x E A ,都有f (x)f (x0)，那么稱f(X。)為y = f (x)的最大值，記為 ;如果存在X。 A，使得對(duì)于的x A，都有f (x)f (x。)，那么稱f (x。)為y = f (x)的最小值，記為.注意函數(shù)最大(小)值應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值；函數(shù)最大(小)值應(yīng)該是所有函數(shù)值 中最大(小)的，最大(小)值不同于極大(小)值。值域與最值注意函數(shù)的最值與函數(shù)的值域的區(qū)別和聯(lián)系，理解值域和最值是考察函數(shù)的有界性問題。與函數(shù)最值

16、有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論 若函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a, b上為單調(diào)增函數(shù)，則 ymin = f (a) , ymax = f (b)； 若函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a，b上為單調(diào)減函數(shù)，則 ymin = f (b)，ymax = f (a)； 若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間a, c上為單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間c, b上為單調(diào)減函數(shù)，則 ymax =f(C)； 若函數(shù)y = f(x)在區(qū)間a, c上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間c, b上為單調(diào)增函數(shù)，則 ymin 二 f (c)。恒成立問題的處理方法恒成立問題的處理方法：分離參數(shù)法(最值法)；轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題。 如：方程k = f (x)有解二k三D

17、 ( D為f (x)的值域)：不等式a _ f (x)恒成立=a _ f (x)最大值，不等式a乞f (x)恒成立=a _ f(x)最小值。6. 極值函數(shù)的極值是研究函數(shù)在其定義域內(nèi)的某一局部上的性質(zhì)。這與函數(shù)的最值所研究的問 題角度有所不同。極值的定義設(shè)函數(shù)y二f (x)在x =x0及其附近有定義，如果f (x0)的值比X。附近的所有各點(diǎn)的函數(shù) 值都大(小)，則稱f(X。)是函數(shù)y = f (x)的一個(gè)極大(小)值。極大值和極小值統(tǒng)稱為極 值。取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的取值，極值是指函數(shù)值。極值的求法圖像法；導(dǎo)數(shù)法。7. 零點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)7.1函數(shù)的零點(diǎn)定義 一般地，我們把使

18、函數(shù) y = f (x)的值為的實(shí)數(shù)x稱為函數(shù)y = f (x)的零占八、-點(diǎn)評(píng)函數(shù)y = f (x)的零點(diǎn)就是方程f (x) = 0的實(shí)數(shù)根。從圖象上看，函數(shù)y = f (x)的零點(diǎn)，就是它的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。利用函數(shù)的零點(diǎn)、 方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的 橫坐標(biāo)這三者之間的聯(lián)系，可以解決很多函數(shù)與方程的問題。這就是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容一一函數(shù)與方程的思想運(yùn)用。函數(shù)零點(diǎn)的存在性一般地，若函數(shù)y =f(x)在區(qū)間a, b上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，且f(a) f (b) <，則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c E (a, b),使得f (c) =0，此時(shí)實(shí)數(shù)c為函數(shù)y = f (x)的零點(diǎn)點(diǎn)評(píng)若函數(shù)y = f (x)在區(qū)間a, b上的圖象是一條連續(xù)不間斷的單調(diào)曲線，且f(a) f (b) <0,則有惟一的實(shí)數(shù)c (a, b),使得f(c) =0。7.2不動(dòng)點(diǎn)方程f ( x) = x的根叫做函數(shù)y = f (x)的不動(dòng)點(diǎn)，也是函數(shù) y = f