橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、想一想v在我們實際生活中，同學(xué)們見過橢圓嗎？能舉出一些實例嗎？生活中的橢圓仙女座星系星系中的橢圓星系中的橢圓我們一起來看看我們一起來看看實驗操作實驗操作(1)在畫圖的過程中，細(xì)繩的兩端點的位置是固定的還是在畫圖的過程中，細(xì)繩的兩端點的位置是固定的還是運動的？運動的？(2)在畫圖的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？在畫圖的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？(3)在畫圖的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣在畫圖的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關(guān)系？的關(guān)系？ 思考思考v結(jié)合結(jié)合“探究探究1”1”以及以及“圓的定義圓的定義”, ,思思考討論一下應(yīng)該如何定義橢圓？考討論一下應(yīng)該

2、如何定義橢圓？f1f2m注意注意:橢圓定義中需要注意的四處地方橢圓定義中需要注意的四處地方：（1） 必須在必須在平面內(nèi)平面內(nèi);（2）兩個定點）兩個定點-兩點間距離兩點間距離確定確定;（3）定長）定長-軌跡上任意點到兩定點的軌跡上任意點到兩定點的距離和距離和確定確定.(4) 常數(shù)|f1f2|mf2f1 平面內(nèi)平面內(nèi)與兩個與兩個定點定點 的距離的和等于的距離的和等于常數(shù)常數(shù)（大于大于 ）的點的軌跡叫做）的點的軌跡叫做橢圓橢圓，這兩個定點，這兩個定點 叫做叫做橢圓的焦點橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距. . 2 21 1f f, ,f f12ff2 21 1f

3、f, ,f f 在橢圓的定義中，如果這個定長小于在橢圓的定義中，如果這個定長小于或等于或等于 ，動點，動點m m的軌跡又如何呢？的軌跡又如何呢？ 12f f當(dāng)常數(shù)當(dāng)常數(shù)= = 時時, ,動點動點m m軌跡為線段軌跡為線段f f1 1f f2 2；21ff當(dāng)常數(shù)當(dāng)常數(shù)2c221|=+pfxcy222|=-+pfx cy則：則：2222+-+= 2xcyx cya2222+= 2 -+xcyax cy2222222+= 4-4-+-+xcyaax cyx cy222-c =-+axax cy22222222-+=-acxa yaac設(shè)設(shè)222-= 0acbb得得即：即：2222+=1 0 xyab

4、abo方程方程: :2222+= 1 0 xyabab是是焦點在焦點在x軸上軸上橢圓的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程方程焦點坐標(biāo)為：焦點坐標(biāo)為： f1( -c , 0 )、f2( c , 0 )注注：橢圓的焦點在坐標(biāo)軸上，且兩焦：橢圓的焦點在坐標(biāo)軸上，且兩焦 點的中點為坐標(biāo)原點點的中點為坐標(biāo)原點.你能類比焦點在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，建立焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？思考思考3xof2f1y)0(12222babxay它表示它表示: 橢圓的焦點在橢圓的焦點在y軸軸 焦點是焦點是f1（0，-c）、）、 f2（0，c） c2= a2 - b2 （2 2）在橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有）在橢圓兩種標(biāo)準(zhǔn)方程

5、中，總有ab0ab0；（4 4）a a、b b、c c都有特定的意義，都有特定的意義，a a橢圓上任意一點橢圓上任意一點p p到到f f1 1、f f2 2距離和的一半；距離和的一半；c c半焦距半焦距. .有關(guān)系式有關(guān)系式 成立。成立。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程of1f2yx(3) 哪個變量下的分母大哪個變量下的分母大, ,焦點就在哪個軸上焦點就在哪個軸上（1）方程的左邊是兩項）方程的左邊是兩項平方和平方和的形式，等號的右邊是的形式，等號的右邊是1；222cba xof2f1y(1)因為因為x項的分母大，故橢圓的焦點在項的分母大，故橢圓的焦點在x軸上。其中軸上。其中a=5,b=4,c=3

6、11625122yx 164100222xy1、判斷下列各橢圓的焦點所在的坐標(biāo)軸并指出、判斷下列各橢圓的焦點所在的坐標(biāo)軸并指出a、b、c的值的值(2)因為因為y項的分母大，故橢圓的焦點在項的分母大，故橢圓的焦點在y軸上。其中軸上。其中a=10,b=8,c=6互動演練（學(xué)生講解，教師點評）（學(xué)生講解，教師點評）14922yx(1)11271622 yx(2)0 ,5(),0 ,5( )3 , 0(),3, 0( 116722yx在橢圓在橢圓 中中, a=_,b=_, 焦點位于焦點位于_軸上，焦點坐標(biāo)是軸上，焦點坐標(biāo)是_. 32x在橢圓在橢圓 中，中，a=_, b=_, 焦點位于焦點位于_軸上，焦

7、點坐標(biāo)是軸上，焦點坐標(biāo)是_. y472、填空：、填空：3、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：2)a=4,c=1，焦點在，焦點在y軸上；軸上； 1)a=4,b=1，焦點在，焦點在x軸上；軸上； 1151622 xy11622 yx192522yx192522xy5.已知已知f1、f2是橢圓是橢圓 的兩個焦點，的兩個焦點，過過f1的直線交橢圓于的直線交橢圓于m、n兩點，則三角形兩點，則三角形mnf2的周長為的周長為 . 192522yx20例例1 1 已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是已知橢圓的兩個焦點坐標(biāo)分別是(-2,0), (2,0), 并且經(jīng)過并且經(jīng)過點點 .求它的

8、標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .53(,)22 解解: :因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在x軸上軸上, ,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221 (0).xyabab由橢圓的定義知由橢圓的定義知222253532(2)()(2)()2 102222a 典例剖析所以所以10.a 又因為又因為 , ,所以所以2c 2221046.bac因此因此, , 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為221 .106xy思考：能用其他方法求它的方程嗎？思考：能用其他方法求它的方程嗎？解法二解法二: :因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在x軸上軸上, ,所以設(shè)它所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為: :222

9、21 (0).xyabab2c224ab22532222( )()1ab 又又由由已已知知聯(lián)立聯(lián)立,22106ab解解得得，因此因此, , 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: :221 .106xy( 2,0),(2,0) 又又焦點的坐標(biāo)為焦點的坐標(biāo)為例例 題題 演演 練練教師總結(jié)：橢圓方程的求解步驟教師總結(jié)：橢圓方程的求解步驟一定定焦點位置；二設(shè)設(shè)橢圓方程；三求求a、b的值.2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上平面內(nèi)到平面內(nèi)到兩兩個定點個定點f1，f2的距離的的距離的和和等等于于常數(shù)常數(shù)（大于大于f1

10、f2）的點的軌跡）的點的軌跡12- , 0 , 0，fcfc120,-0,，fcfc標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程相相 同同 點點焦點位置的判斷焦點位置的判斷不不 同同 點點圖圖 形形焦點坐標(biāo)焦點坐標(biāo)定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系1、根據(jù)所學(xué)知識完成下表、根據(jù)所學(xué)知識完成下表xyf1 1f2 2poxyf1 1f2 2poa2-c2=b2本課小結(jié)本課小結(jié)2、橢圓方程求法：、橢圓方程求法：一定定焦點位置；二設(shè)設(shè)橢圓方程；三求求a、b的值.方程221axby什么時候表示橢圓？什么時候表示什么時候表示橢圓？什么時候表示焦點在焦點在x軸上的橢圓？什么時候表示軸上的橢圓？什么時候表示焦點在焦點在y軸上的橢圓？軸上的橢圓？習(xí)題習(xí)題2.2 a2.2 a組組 1 1，2 2yxo),(yxpr設(shè)圓上任意一點設(shè)圓上任意一點p(x，y) 以圓心以圓心o為原點，建立直角坐標(biāo)系為原點，