浙大寧波理工學(xué)院計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第四章 非線性模型的標(biāo)準(zhǔn)化補(bǔ)充

1、非線性回歸模型的線性化以上介紹了線性回歸模型。但有時(shí)候變量之間的關(guān)系是非線性的。例如 yt = a 0 + a1+ ut yt = a 0 + ut上述非線性回歸模型是無法用最小二乘法估計(jì)參數(shù)的?？刹捎梅蔷€性方法進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)過程非常復(fù)雜和困難，在20世紀(jì)40年代之前幾乎不可能實(shí)現(xiàn)。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)大大方便了非線性回歸模型的估計(jì)。專用軟件使這種計(jì)算變得非常容易。但本章不是介紹這類模型的估計(jì)。另外還有一類非線性回歸模型。其形式是非線性的，但可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化為線性模型，然后利用線性回歸模型的估計(jì)與檢驗(yàn)方法進(jìn)行處理。稱此類模型為可線性化的非線性模型。下面介紹幾種典型的可以做線性化處理的非線性模型

2、。 指數(shù)函數(shù)模型 yt = (4.1)b>0 和b<0兩種情形的圖形分別見圖4.1和4.2。顯然xt和yt的關(guān)系是非線性的。對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取自然對(duì)數(shù)，得 Lnyt = Lna + b xt + ut (4.2)令Lnyt = yt*, Lna = a*, 則 yt* = a* + bxt + ut (4.3)變量yt* 和xt已變換成為線性關(guān)系。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。 圖4.1 yt =, (b > 0) 圖4.2 yt =, (b < 0) 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 yt = a + b Ln xt + ut (4.4)b>0和b<0兩種情形的圖形分別見圖4.3和

3、4.4。xt和yt的關(guān)系是非線性的。令xt* = Lnxt, 則 yt = a + b xt* + ut (4.5)變量yt 和xt* 已變換成為線性關(guān)系。 圖4.3 yt = a + b Lnxt + ut , (b > 0) 圖4.4 yt = a + b Lnxt + ut , (b < 0) 冪函數(shù)模型 yt = a xt b (4.6)b取不同值的圖形分別見圖4.5和4.6。xt和yt的關(guān)系是非線性的。對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取對(duì)數(shù)，得 Lnyt = Lna + b Lnxt + ut (4.7)令yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 則上式表示為

4、yt* = a* + b xt* + ut (4.8)變量yt* 和xt* 之間已成線性關(guān)系。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。(4.7) 式也稱作全對(duì)數(shù)模型。 圖4.5 yt = a xt b 圖4.6 yt = a xt b 雙曲線函數(shù)模型1/yt = a + b/xt + ut (4.9)也可寫成，yt = 1/ (a + b/xt + ut) (4.10)b>0情形的圖形見圖4.7。xt和yt的關(guān)系是非線性的。令yt* = 1/yt, xt* = 1/xt，得 yt* = a + b xt* + ut 已變換為線性回歸模型。其中ut表示隨機(jī)誤差項(xiàng)。 圖4.7 yt = 1/ (a + b/

5、xt ), (b > 0) 圖4.8 yt = a + b/xt , (b > 0)雙曲線函數(shù)還有另一種表達(dá)方式，yt = a + b/xt + ut (4.11)b>0情形的圖形見圖4.8。xt和yt的關(guān)系是非線性的。令xt* = 1/xt，得 yt = a + b xt* + ut上式已變換成線性回歸模型。 多項(xiàng)式方程模型一種多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (4.12)其中b1>0, b2>0, b3>0和b1<0, b2>0, b3<0情形的圖形分別見圖4.9和4.10

6、。令xt 1 = xt，xt 2 = xt2，xt 3 = xt3，上式變?yōu)閥t = b0 +b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut (4.13)這是一個(gè)三元線性回歸模型。如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的總成本曲線與圖4.9相似。 圖4.9 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 圖4.10 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut另一種多項(xiàng)式方程的表達(dá)形式是yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut (4.14)其中b1>0, b2>0和b1<0, b2<0情形的圖形分別見圖

7、4.11和4.12。令xt 1 = xt，x t 2 = xt 2，上式線性化為，yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut (4.15)如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本曲線、平均成本曲線與圖4.11相似。 圖4.11 yt = b0 +b1xt + b2xt2 + ut 圖4.12 yt = b0 + b1xt + b2xt2 + ut 生長曲線 (logistic) 模型yt = (4.16)一般f(t) = a0 + a1 t + a2 t 2 + + an t n，常見形式為f(t) = a0 - a tyt = = (4.17)其中b = 。a > 0情形的圖形分別見圖4

8、.13和4.14。美國人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家Pearl和Reed廣泛研究了有機(jī)體的生長，得到了上述數(shù)學(xué)模型。生長模型（或邏輯斯諦曲線，Pearl-Reed曲線）常用于描述有機(jī)體生長發(fā)育過程。其中k和0分別為yt的生長上限和下限。= k, = 0。a, b 為待估參數(shù)。曲線有拐點(diǎn)，坐標(biāo)為（,），曲線的上下兩部分對(duì)稱于拐點(diǎn)。 圖4.13 yt = k / (1 +) 圖4.14 yt = k / (1 +)為能運(yùn)用最小二乘法估計(jì)參數(shù)a, b，必須事先估計(jì)出生長上極限值k。線性化過程如下。當(dāng)k給出時(shí)，作如下變換， k/yt = 1 + 移項(xiàng)， k/yt - 1 = 取自然對(duì)數(shù)，Ln ( k/yt - 1) =

9、 Lnb - a t + ut (4.18)令yt* = Ln ( k/yt - 1), b* = Lnb, 則 yt* = b* - a t + ut (4.19)此時(shí)可用最小二乘法估計(jì)b*和a。圖4.15 內(nèi)地5月1日至28日每天非典數(shù)據(jù)一覽 龔伯斯（Gompertz）曲線英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家最初提出把該曲線作為控制人口增長的一種數(shù)學(xué)模型，此模型可用來描述一項(xiàng)新技術(shù)，一種新產(chǎn)品的發(fā)展過程。曲線的數(shù)學(xué)形式是， yt = 圖4.15 yt =曲線的上限和下限分別為k和0，= k, = 0。a, b 為待估參數(shù)。曲線有拐點(diǎn)，坐標(biāo)為（,），但曲線不對(duì)稱于拐點(diǎn)。一般情形，上限值k可事先估計(jì)，有了k值

10、，龔伯斯曲線才可以用最小二乘法估計(jì)參數(shù)。線性化過程如下：當(dāng)k給定時(shí)，yt / k = ， k/yt = Ln (k/yt) = ， LnLn(k/yt) = Lnb - a t 令y*= LnLn(k/yt), b* = Lnb，則y* = b* - a t 上式可用最小二乘法估計(jì)b* 和 a。 Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)下面介紹柯布道格拉斯（Cobb-Douglas）生產(chǎn)函數(shù)。其形式是Q = k La C 1- a (4.24)其中Q表示產(chǎn)量；L表示勞動(dòng)力投入量；C表示資本投入量；k是常數(shù)；0 < a < 1。這種生產(chǎn)函數(shù)是美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家柯布和道格拉斯根據(jù)1899-1922年

11、美國關(guān)于生產(chǎn)方面的數(shù)據(jù)研究得出的。a的估計(jì)值是0.75，b的估計(jì)值是0.25。更習(xí)慣的表達(dá)形式是yt = (4.25)這是一個(gè)非線性模型，無法用OLS法直接估計(jì)，但可先作線性化處理。上式兩邊同取對(duì)數(shù)，得：Lnyt = Lnb0 + b1 Lnxt 1 + b2 Lnxt 2 + ut (4.26)取 yt* = Lnyt, b0* = Ln b0, xt 1* = Ln xt 1, xt 2* = Ln xt 2，有yt*= b0* +b1 xt 1* + b2 xt 2* + ut (4.27)上式為線性模型。用OLS法估計(jì)后，再返回到原模型。若回歸參數(shù) b1 + b2 = 1，稱模型為規(guī)模

12、報(bào)酬不變型（新古典增長理論）； b1 + b2 > 1，稱模型為規(guī)模報(bào)酬遞增型； b1 + b2 < 1，稱模型為規(guī)模報(bào)酬遞減型。對(duì)于對(duì)數(shù)線性模型，Lny = Lnb0 + b1 Lnxt1 + b2 Lnxt2 + ut ，b1和b2稱作彈性系數(shù)。以b1為例，b1 = = = = (4.28)可見彈性系數(shù)是兩個(gè)變量的變化率的比。注意，彈性系數(shù)是一個(gè)無量綱參數(shù)，所以便于在不同變量之間比較相應(yīng)彈性系數(shù)的大小。對(duì)于線性模型，yt = a0 + a1 xt1 + a2 xt2 + ut ，a1和 a2稱作邊際系數(shù)。以a1為例，a1 = (4.29)通過比較(4.28)和(4.29)式，可

13、知線性模型中的回歸系數(shù)（邊際系數(shù)）是對(duì)數(shù)線性回歸模型中彈性系數(shù)的一個(gè)分量。 例1：此模型用來評(píng)價(jià)臺(tái)灣農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率。用臺(tái)灣1958-1972年農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值（yt），勞動(dòng)力（xt1），資本投入（xt2）數(shù)據(jù)（見表4.1）為樣本得估計(jì)模型， = -3.4 + 1.50 Lnxt1 + 0.49 Lnxt2 (4.30) (2.78) (4.80) R2 = 0.89, F = 48.45還原后得， = 0.713 xt11.50 xt20.49 (4.31)因?yàn)?.50 + 0.49 = 1.99，所以，此生產(chǎn)函數(shù)屬規(guī)模報(bào)酬遞增函數(shù)。當(dāng)勞動(dòng)力和資本投入都增加1%時(shí)，產(chǎn)出增加近2%。例2：用天津市工業(yè)

14、生產(chǎn)總值（Yt），職工人數(shù)（Lt），固定資產(chǎn)凈值與流動(dòng)資產(chǎn)平均余額（Kt）數(shù)據(jù) (1949-1997) 為樣本得估計(jì)模型如下： Ln Yt = 0.7272 + 0.2587Ln Lt + 0.6986 LnKt (3.12) (3.08) (18.75) R2 = 0.98, s.e. = 0.17, DW = 0.42, F = 1381.4因?yàn)?.2587 + 0.6986 = 0.9573，所以此生產(chǎn)函數(shù)基本屬于規(guī)模報(bào)酬不變函數(shù)。例3：硫酸透明度與鐵雜質(zhì)含量的關(guān)系（摘自數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理1988.4, p.16）某硫酸廠生產(chǎn)的硫酸的透明度一直達(dá)不到優(yōu)質(zhì)指標(biāo)。經(jīng)分析透明度低與硫酸中金屬雜質(zhì)的

15、含量太高有關(guān)。影響透明度的主要金屬雜質(zhì)是鐵、鈣、鉛、鎂等。通過正交試驗(yàn)的方法發(fā)現(xiàn)鐵是影響硫酸透明度的最主要原因。測量了47個(gè)樣本，得硫酸透明度（y）與鐵雜質(zhì)含量（x）的散點(diǎn)圖如下(file:nonli01)： （1） y = 121.59 - 0.91 x (10.1) (-5.7) R2 = 0.42, s.e. = 36.6, F= 32（2） 1/y = 0.069 - 2.37 (1/x) (18.6) (-11.9) R2 = 0.76, s.e. = 0.009, F= 142 （3）y = -54.40 + 6524.83 (1/x) (-7.2) (16.3) R2 = 0.8

16、6, s.e. = 18.2, F= 266（4）Lny = 1.99 + 104.5 (1/x) (22.0) (21.6) R2 = 0.91, s.e. = 0.22, F= 468還原，Lny = Ln(7.33) + 104.5 (1/x)y = 7.33 （5）非線性估計(jì)結(jié)果是 y = 8.2965 R2 = 0.96,EViews命令Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X)例4 中國鉛筆需求預(yù)測模型（非線性模型案例，file:nonli6）中國從上個(gè)世紀(jì)30年代開始生產(chǎn)鉛筆。1985年全國有22個(gè)廠家生產(chǎn)鉛筆。產(chǎn)量居世界首位（33.9億支），占世界總產(chǎn)量的1/3。改革開放以后，

17、鉛筆生產(chǎn)增長極為迅速。1979-1983年平均年增長率為8.5%。鉛筆銷售量時(shí)間序列見圖4.21。1961-1964年的銷售量平穩(wěn)狀態(tài)是受到了經(jīng)濟(jì)收縮的影響。文革期間銷售量出現(xiàn)兩次下降，是受到了當(dāng)時(shí)政治因素的影響。1969-1972年的增長是由于一度中斷了的中小學(xué)教育逐步恢復(fù)的結(jié)果。1977-1978年的增長是由于高考正式恢復(fù)的結(jié)果。1981年中國開始生產(chǎn)自動(dòng)鉛筆，對(duì)傳統(tǒng)鉛筆市場沖擊很大。1979-1985年的緩慢增長是受到了自動(dòng)鉛筆上市的影響。初始確定的影響鉛筆銷量的因素有全國人口、各類在校人數(shù)、設(shè)計(jì)人員數(shù)、居民消費(fèi)水平、社會(huì)總產(chǎn)值、自動(dòng)鉛筆產(chǎn)量、價(jià)格因素、原材料供給量、政策因素等。經(jīng)過多次

18、篩選、組合和逐步回歸分析，最后確定的被解釋變量是yt（鉛筆年銷售量，千萬支）；解釋變量分別是xt1（自動(dòng)鉛筆年產(chǎn)量，百萬支）；xt2（全國人口數(shù)，百萬人）；xt3（居民年均消費(fèi)水平，元）；xt4（政策變量）。因政策因素影響鉛筆銷量出現(xiàn)大幅下降時(shí)，政策變量取負(fù)值。例如1967、1968年的xt4值取-2，1966、1969-1971、1974-1977年的xt4值取-1）。由圖4.22知中國自生產(chǎn)自動(dòng)鉛筆起，自動(dòng)鉛筆產(chǎn)量與鉛筆銷量存在線性關(guān)系。由圖4.23知全國人口與鉛筆銷量存在線性關(guān)系。說明人口越多，對(duì)鉛筆的需求就越大。由圖4.24知居民年均消費(fèi)水平與鉛筆銷量存在近似對(duì)數(shù)的關(guān)系。散點(diǎn)圖說明居民

19、年均消費(fèi)水平越高，則鉛筆銷量就越大。但這種增加隨著居民消費(fèi)水平的增加變得越來越緩慢。圖4.25顯示政策變量與鉛筆銷量也呈線性關(guān)系。鉛筆銷售量時(shí)間序列（1961-1985）（文件名nonli6） Y, X1散點(diǎn)圖 Y, X2散點(diǎn)圖Y, X3散點(diǎn)圖 Y, X4散點(diǎn)圖基于上述分析建立的模型形式是yt = b0 + b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 Ln (xt 3) + b4 xt 4 + ut (4.40)yt與xt 3呈非線性關(guān)系。估計(jì)結(jié)果如下。 = -907.94 - 2.95 xt 1 + 0.31 xt 2 + 170.19 Ln xt 3 + 45.51 xt 4 (4.41

20、) (-6.4) (-3.7) (4.8) (4.4) (12.6) R 2 = 0.9885, DW = 2.09, F = 429, s.e. = 10.34上式說明，在上述期間自動(dòng)鉛筆年產(chǎn)量每增加1百萬支，平均使鉛筆的年銷售量減少2950萬支。全國人口數(shù)每增加1百萬人，平均使鉛筆的年銷售量增加310萬支。對(duì)數(shù)的居民年均消費(fèi)水平每增加1個(gè)單位，平均使鉛筆的年銷售量增加17億支。一般性政策負(fù)面變動(dòng)使鉛筆的年銷售量減少4.551億支。當(dāng)政策出現(xiàn)大的負(fù)面變動(dòng)時(shí)，鉛筆的年銷量會(huì)減少9.102億支。 當(dāng)yt 對(duì)所有變量都進(jìn)行線性回歸時(shí)（見下式），顯然估計(jì)結(jié)果不如(4.41)式好。 = -254.26

21、 - 3.29 x t 1 + 0.42 x t 2 + 0.66 x t 3 + 40.74 x t 4 (4.42) (-12.0) (-3.0) (8.6) (3.5) (11.7) R 2 = 0.9857, DW = 1.77, F = 346, s.e. = 11.5例5 1982-1998年中國GDP與外國直接投資數(shù)據(jù)（多項(xiàng)式模型, file:nonli8）附數(shù)據(jù)：年GDPFDI年GDPFDI19822801.06.4919914063.543.6619832997.29.1619924834.5110.0719843077.712.5819936012.9275.1519853049.116.6119945424.5337.6719862957.218.7419957003.482375.2119873215.723.1419968169.0417.2519884013.031.9419978982.2452.5719894485.233.9219989588.9454.6319903880.334.87例6 中國人口發(fā)展曲線（公元前1046公元2000，file:logit3）中國人口數(shù)據(jù)（中華民國元年以前為推定數(shù)據(jù)）中國紀(jì)年公元人口（億人, popu）武王克商（