（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù)專題探究課六學(xué)案 文 新人教A

1、1專題探究課六專題探究課六高考導(dǎo)航1.概率與統(tǒng)計(jì)是高考中相對(duì)獨(dú)立的一塊內(nèi)容， 處理問(wèn)題的方式、 方法體現(xiàn)了較高的思維含量.該類問(wèn)題以應(yīng)用題為載體，注重考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)及閱讀理解能力、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化能力；2.概率問(wèn)題的核心是概率計(jì)算，其中事件的互斥、對(duì)立是概率計(jì)算的核心.統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征.統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容相互滲透，背景新穎.熱點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例(教材 VS 高考)以統(tǒng)計(jì)圖表或文字?jǐn)⑹龅膶?shí)際問(wèn)題為載體，通過(guò)對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析、抽象概括，作出估計(jì)、判斷.常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識(shí)交匯考查，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)

2、處理能力與運(yùn)算能力及應(yīng)用意識(shí).【例 1】 (2016全國(guó)卷)如圖是我國(guó) 2008 年至 2014 年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線圖.注：年份代碼 17 分別對(duì)應(yīng)年份 20082014.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到 0.01)，預(yù)測(cè) 2016 年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：7i1yi9.32，7i1tiyi40.17，7i1（yiy）20.55， 72.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)rni1（tit） （yiy）ni1（tit）2ni1（yiy）2，回歸方程yabt中斜率和截距的最小二乘

3、估計(jì)公式分別為：2bni1（tit） （yiy）ni1（tit）2，aybt.解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得t4，7i1(tit)228，7i1（yiy）20.55.7i1(tit)(yiy)7i1tiyit7i1yi40.1749.322.89，r2.8922.6460.550.99.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為 0.99，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.(2)由y9.3271.331 及(1)得b7i1（tit） （yiy）7i1（tit）22.89280.103，aybt1.3310.10340.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為y0.920.

4、10t.將 2016 年對(duì)應(yīng)的t9 代入回歸方程得y0.920.1091.82.所以預(yù)測(cè) 2016 年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約為 1.82 億噸.教材探源1.本題源于教材(必修 3P90 例)有一個(gè)同學(xué)家開(kāi)了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：攝氏溫度/504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；(3)求回歸方程；(4)如果某天的氣溫是 2 ，預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù).2.(1)考題以形求數(shù)，教材是由

5、數(shù)到形再到數(shù)；(2)考題與教材都是“看圖說(shuō)話，回歸分析預(yù)測(cè)”， 但考題中以具體數(shù)字(相關(guān)系數(shù))說(shuō)明擬合效果， 突顯數(shù)學(xué)直觀性與推理論證的巧妙融合，進(jìn)一步考查考生的數(shù)據(jù)處理能力與運(yùn)算能力及應(yīng)用意識(shí)，源于教材，高于教材.【訓(xùn)練 1】 (2017全國(guó)卷)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每隔 30min 從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的 16 個(gè)零件的尺寸：3抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.13

6、10.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得x11616i1xi9.97，s11616i1（xix）2116（16i1x2i16x2）0.212，16i1（i8.5）218.439，16i1(xix)(i8.5)2.78，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i1，2，16.(1)求(xi，i)(i1，2，16)的相關(guān)系數(shù)r，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|0.25，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小).(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(x3s，x3s)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)

7、了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？在(x3s，x3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差(精確到 0.01).附：樣本(xi，yi)(i1，2，n)的相關(guān)系數(shù)rni1（xix） （yiy）ni1（xix）2ni1（yiy）2，0.0080.09.解(1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi，i)(i1，2，16)的相關(guān)系數(shù)r16i1（xix） （i8.5）16i1（xix）216i1（i8.5）22.780.212 1618.4390.18.由于|r|b的概率.解(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為15(9111

8、42031)17.由此估計(jì)A班學(xué)生平均觀看時(shí)間大約為 17 小時(shí)；B班數(shù)據(jù)的平均值為15(1112212526)19.由此估計(jì)B班學(xué)生平均觀看時(shí)間大約為 19 小時(shí)；則 1917.由此估計(jì)B班學(xué)生平均觀看時(shí)間較長(zhǎng).(2)A班的樣本數(shù)據(jù)不超過(guò) 19 的數(shù)據(jù)a有 3 個(gè)，分別為 9，11，14.B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過(guò) 21 的數(shù)據(jù)b也有 3 個(gè)，分別為 11，12，21，6從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)共有 9 種不同情況，分別為(9，11)，(9，12)，(9，21)，(11，11)，(11，12)，(11，21)，(14，11)，(14，12)，(14，21)，其中ab的情況有(14，

9、11)，(14，12)兩種，故ab的概率P29.熱點(diǎn)三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題(規(guī)范解答)統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)相結(jié)合命制概率統(tǒng)計(jì)解答題已經(jīng)是一個(gè)新的命題趨向， 概率和統(tǒng)計(jì)初步綜合解答題的主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表， 正確認(rèn)識(shí)和使用這些圖表是解決問(wèn)題的關(guān)鍵， 在此基礎(chǔ)上掌握好樣本數(shù)字特征及各類概率的計(jì)算.【例 3】 (滿分 12 分)(2018豫北名校調(diào)研)某企業(yè)為了解下屬某部門(mén)對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問(wèn) 50 名職工，根據(jù)這 50 名職工對(duì)該部門(mén)的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為40，50)，50，60)，80，90)，90，100.(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)

10、該企業(yè)的職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分不低于 80 的概率；(3)從評(píng)分在40，60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取 2 人，求此 2 人的評(píng)分都在40，50)的概率.滿分解答(1)因?yàn)?0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.3 分(得分點(diǎn) 1)(2)由所給頻率分布直方圖知，50 名受訪職工評(píng)分不低于 80 的頻率為(0.0220.018)100.4.所以該企業(yè)職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分不低于 80 的概率的估計(jì)值為 0.4.5 分(得分點(diǎn) 2)(3)受訪職工中評(píng)分在50，60)的有：500.006103(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評(píng)分在40，50)的有：500.004102(人

11、)，記為B1，B2，8 分(得分點(diǎn) 3)從這 5 名受訪職工中隨機(jī)抽取 2 人，所有可能的結(jié)果共有 10 種，它們是A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2.711 分(得分點(diǎn) 4)又因?yàn)樗槿?2 人的評(píng)分都在40，50)的結(jié)果有 1 種，即B1，B2，故所求的概率為P110.12 分(得分點(diǎn) 5)得步驟分：步驟規(guī)范，求解完整，解題步驟常見(jiàn)的失分點(diǎn)，第(2)問(wèn)中，不能用頻率估計(jì)概率，第(3)問(wèn)中步驟不完整，沒(méi)有指出“基本事件總數(shù)”與“事件M”包含的基本事件個(gè)數(shù)，或者只指出事件個(gè)數(shù)，沒(méi)有一一列舉 10 個(gè)基本事件及事

12、件M包含的基本事件，導(dǎo)致扣3 分或 2 分.得關(guān)鍵分：如第(1)問(wèn)中，正確求得a0.006；第(3)問(wèn)中列出 10 個(gè)基本事件，錯(cuò)寫(xiě)或多寫(xiě)，少寫(xiě)均不得分.得計(jì)算分：如第(1)、(2)問(wèn)中，要理清頻率直方圖的意義，計(jì)算正確，否則導(dǎo)致后續(xù)皆錯(cuò)大量失分，第(3)問(wèn)中利用“頻數(shù)、樣本容量、頻率之間的關(guān)系”求得各區(qū)間的人數(shù)，準(zhǔn)確列出基本事件，正確計(jì)算概率.第一步：由各矩形的面積之和等于 1，求a的值.第二步：由樣本頻率分布估計(jì)概率.第三步：設(shè)出字母，列出基本事件總數(shù)及所求事件M所包含的基本事件.第四步：利用古典概型概率公式計(jì)算.第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.【訓(xùn)練 3】 (2018江西

13、九校聯(lián)考)某校為了解學(xué)生對(duì)正在進(jìn)行的一項(xiàng)教學(xué)改革的態(tài)度，從500 名高一學(xué)生和 400 名高二學(xué)生中按分層抽樣的方式抽取了 45 名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，結(jié)果可以分成以下三類：支持、反對(duì)、無(wú)所謂，調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：支持無(wú)所謂反對(duì)高一年級(jí)18x2高二年級(jí)106y(1)求出表中的x，y的值；從反對(duì)的同學(xué)中隨機(jī)選取 2 人進(jìn)一步了解情況，求恰好高一、高二各 1 人的概率；(2)根據(jù)表格統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，完成下面的 22 列聯(lián)表，并判斷是否有 90%的把握認(rèn)為持支持態(tài)度與就讀年級(jí)有關(guān)(不支持包括無(wú)所謂和反對(duì)).8高一年級(jí)高二年級(jí)總計(jì)支持不支持總計(jì)附：K2n（adbc）2（ab） （cd） （ac） （bd），其

14、中nabcd.P(K2k0)0.100.050.01k02.7063.8416.635解(1)由題意x45900500(182)5，y45900400(106)4.假設(shè)高一反對(duì)的同學(xué)編號(hào)為A1，A2，高二反對(duì)的同學(xué)編號(hào)為B1，B2，B3，B4，則選取兩人的所有結(jié)果為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15 種情況.可得恰好高一、高二各一人包含(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(

15、A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)共 8 種情況.所以所求概率P815.(2)如圖 22 列聯(lián)表：高一年級(jí)高二年級(jí)總計(jì)支持181028不支持71017總計(jì)252045K2的觀測(cè)值為k45（18070）2281725202.2882.706.所以有 90%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān).3.(2018北京東城區(qū)質(zhì)檢)某單位附近只有甲、乙兩個(gè)臨時(shí)停車場(chǎng)，它們各有 50 個(gè)車位，為了方便市民停車， 某互聯(lián)網(wǎng)停車公司對(duì)這兩個(gè)停車場(chǎng)在某些固定時(shí)刻的剩余停車位進(jìn)行記錄，如下表：時(shí)間8 時(shí)10 時(shí)12 時(shí)14 時(shí)16 時(shí)18 時(shí)11停車場(chǎng)甲停車場(chǎng)10312612

16、17乙停車場(chǎng)13432619如果表中某一時(shí)刻剩余停車位數(shù)低于該停車場(chǎng)總車位數(shù)的 10%，那么當(dāng)車主驅(qū)車抵達(dá)單位附近時(shí)，該公司將會(huì)向車主發(fā)出停車場(chǎng)飽和警報(bào).(1)假設(shè)某車主在以上六個(gè)時(shí)刻抵達(dá)單位附近的可能性相同，求他收到甲停車場(chǎng)飽和警報(bào)的概率；(2)從這六個(gè)時(shí)刻中任選一個(gè)時(shí)刻，求甲停車場(chǎng)比乙停車場(chǎng)剩余車位數(shù)少的概率；(3)當(dāng)乙停車場(chǎng)發(fā)出飽和警報(bào)時(shí)，求甲停車場(chǎng)也發(fā)出飽和警報(bào)的概率.解(1)事件“該車主收到甲停車場(chǎng)飽和警報(bào)”只有 10 時(shí)這一種情況， 該車主抵達(dá)單位的時(shí)刻共有六種情況，所以該車主收到甲停車場(chǎng)飽和警報(bào)的概率為P16.(2)事件 “甲停車場(chǎng)比乙停車場(chǎng)剩余車位數(shù)少”有 8 時(shí)、10 時(shí)、1

17、8 時(shí)三種情況，一共有六個(gè)時(shí)刻，所以甲停車場(chǎng)比乙停車場(chǎng)剩余車位數(shù)少的概率為P3612.(3)事件“乙停車場(chǎng)發(fā)出飽和警報(bào)”有 10 時(shí)、12 時(shí)、14 時(shí)三種情況，事件“甲停車場(chǎng)也發(fā)出飽和警報(bào)”只有 10 時(shí)一種情況，所以當(dāng)乙停車場(chǎng)發(fā)出飽和警報(bào)時(shí)，甲停車場(chǎng)也發(fā)出飽和警報(bào)的概率為P13.4.(2016全國(guó)卷)某公司計(jì)劃購(gòu)買 1 臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè) 200 元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè) 500 元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了 100 臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易

18、損零件數(shù)，得下面柱狀圖：記x表示 1 臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示 1 臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)，n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).(1)若n19，求y與x的函數(shù)解析式；(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于 0.5，求n的最小值；12(3)假設(shè)這 100 臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買 19 個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購(gòu)買 20 個(gè)易損零件，分別計(jì)算這 100 臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購(gòu)買1 臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買 19 個(gè)還是 20 個(gè)易損零件？解(1)當(dāng)x19 時(shí)，y3 800；當(dāng)x19 時(shí)，y3 800500(

19、x19)500 x5 700.所以y與x的函數(shù)解析式為y3 800，x19，500 x5 700，x19(xN N).(2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于 18 的頻率為 0.46，不大于 19 的頻率為 0.7，故n的最小值為 19.(3)若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買 19 個(gè)易損零件，則這 100 臺(tái)機(jī)器中有 70 臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為 3 800，20 臺(tái)的費(fèi)用為 4 300，10 臺(tái)的費(fèi)用為 4 800，因此這 100 臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100(3 800704 300204 80010)4 000，若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買 20 個(gè)易損零件， 則這 1

20、00 臺(tái)機(jī)器中有 90 臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為 4 000，10 臺(tái)的費(fèi)用為 4 500，因此這 100 臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100(4 000904 50010)4 050.比較兩個(gè)平均數(shù)可知，購(gòu)買 1 臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買 19個(gè)易損零件.5.已知向量a a(2，1)，b b(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為 1，2，3，4，5，6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足a ab b1 的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1，6上取值，求滿足a ab b0 的概率.解(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為 6636(個(gè))；由a ab b1，得2xy1，用A表示事件“a ab b1”，A包含的基本事件為(1，1)，(2，3)，(3，5)，共 3 種情形.故P(A)336112.(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1，6上取值，則全部基本事件的結(jié)果為(x，y)|1x6，1y6；13滿足a ab b0 的基本事件的結(jié)果為A(x，y)|1x6，1y6 且2xy