力學(xué)量隨時間的演化與對稱性課件

1、第四章第四章 力學(xué)量隨時間的演化與對稱性力學(xué)量隨時間的演化與對稱性 4.1 力學(xué)量隨時間的演化力學(xué)量隨時間的演化*( )( , )( , )A tx t Ax t dx在波函數(shù)在波函數(shù) (x,t)所描寫的態(tài)中，力學(xué)量所描寫的態(tài)中，力學(xué)量A的平均值為的平均值為 (1)dAdt*AdxA dxAdxttt (2) 一、力學(xué)量平均值隨時間的變化一、力學(xué)量平均值隨時間的變化 HtiHit1*)(1Hit由薛定諤方程，由薛定諤方程， *11()()dAAdxHA dxAHdxdttii因為因為是厄密算符是厄密算符dAdt*1()AdxAHHAdxti1 ,dAAA Hdtti (3) 這就是力學(xué)量這就是

2、力學(xué)量平均值隨時間平均值隨時間變化的公式。變化的公式。0At1 ,dAA Hdti若若不顯含不顯含t，即即: (4)則有則有:二、守恒量二、守恒量如果如果既不顯含時間，既不顯含時間， 又與又與對易對易則有則有0dAdt即這種力學(xué)量在任何態(tài)即這種力學(xué)量在任何態(tài) 之下的之下的平均值都不隨時間改變平均值都不隨時間改變。 (5) 在任意態(tài)在任意態(tài) 下，此時下，此時A的概率分布也不隨時間改變的概率分布也不隨時間改變。 我們稱這樣的力學(xué)量我們稱這樣的力學(xué)量A為為運動恒量或守恒量運動恒量或守恒量。, =0同時可以證明：同時可以證明：式中式中 即為守恒量即為守恒量 在在 態(tài)中的概率，態(tài)中的概率， nnnxtC

3、tx)()(),( 2)(tCnAdxtxxtCnn),()()(*證明守恒量證明守恒量F其概率分布不隨時間而變化其概率分布不隨時間而變化 ,0A H ,A H n因為因為 ，故，故 具有共同本征函數(shù)系具有共同本征函數(shù)系 ，任意狀態(tài)可表為任意狀態(tài)可表為且概率分布函數(shù)且概率分布函數(shù) 其中其中 為為 時力學(xué)量的概率分布函數(shù)，所以時力學(xué)量的概率分布函數(shù)，所以*( )( , )1( )( )( , )nnndC tx txdxx Hx t dxdttitiEnnneCtC)0()()0(nC0t22)0()(nnCtC故有故有所以所以*1()( , )( ) ( , )( )nnnnnEEHx t d

4、xxx t dxC tiii即守恒量即守恒量A的測量概率與時間無關(guān)，即概率分布不的測量概率與時間無關(guān)，即概率分布不隨時間而變化。隨時間而變化。概括起來講，對于概括起來講，對于Hamilton量量不含時的量子體系，如果不含時的量子體系，如果力學(xué)量力學(xué)量既不顯含時間，又與既不顯含時間，又與對易（對易（, =0），），則無則無論體系處于什么狀態(tài)（定態(tài)或非定態(tài)），論體系處于什么狀態(tài)（定態(tài)或非定態(tài)），A的平均值及其的平均值及其測量的概率分布均不隨時間改變。所以把測量的概率分布均不隨時間改變。所以把A稱為量子體系稱為量子體系的一個守恒量。的一個守恒量。守恒量有兩個特點：守恒量有兩個特點：(1) (1) 在

5、任何態(tài)在任何態(tài) ( (t)t)之下的平均值都不隨時間改變；之下的平均值都不隨時間改變； (2) (2) 在任意態(tài)在任意態(tài) ( (t)t)下下A A的概率分布不隨時間改變。的概率分布不隨時間改變。與經(jīng)典力學(xué)守恒量不同，量子體系的守恒量并不一定取確定與經(jīng)典力學(xué)守恒量不同，量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的狀態(tài)并不一定就是某個守恒量的本征態(tài)。值，即體系的狀態(tài)并不一定就是某個守恒量的本征態(tài)。 一個體系在某時刻一個體系在某時刻t是否處于某守恒量的本征態(tài)，要根據(jù)初始是否處于某守恒量的本征態(tài)，要根據(jù)初始條條件決定。若在初始時刻件決定。若在初始時刻(t=0)，守恒量守恒量A具有確定值，則以后具有確定值

6、，則以后任任何時刻它都具有確定值，即體系將保持在何時刻它都具有確定值，即體系將保持在的同一個本征態(tài)的同一個本征態(tài)。由于守恒量具有此特點，它的量子數(shù)稱為由于守恒量具有此特點，它的量子數(shù)稱為好量子數(shù)好量子數(shù)。但是，。但是，若初始時刻若初始時刻A并不具有確定值（這與經(jīng)典力學(xué)不同），即并不具有確定值（這與經(jīng)典力學(xué)不同），即 (0)并非并非的本征態(tài)，則以后的狀態(tài)也不是的本征態(tài)，則以后的狀態(tài)也不是的本征態(tài)，即的本征態(tài)，即A也不也不會具有確定值，但幾率分布仍不隨時間改變，其平均值也不會具有確定值，但幾率分布仍不隨時間改變，其平均值也不隨時間改變。隨時間改變。量子力學(xué)中的守恒量的概念，與經(jīng)典力學(xué)中守恒量子力學(xué)

7、中的守恒量的概念，與經(jīng)典力學(xué)中守恒量概念不同。這實質(zhì)上是不確定度關(guān)系的反映。量概念不同。這實質(zhì)上是不確定度關(guān)系的反映。(b) 量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值。量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值。 例如，中心力場中的粒子，角動量的三個分量都守例如，中心力場中的粒子，角動量的三個分量都守恒，但由于三個分量互相不對易，所以一般說來它們恒，但由于三個分量互相不對易，所以一般說來它們并不能同時取確定值（角動量等于零的態(tài)除外）。并不能同時取確定值（角動量等于零的態(tài)除外）。mPH22 0,1_ Hpidtpd三、舉例三、舉例1、自由粒子動量守恒、自由粒子動量守恒自由粒子的哈密頓算符：

8、自由粒子的哈密頓算符：所以自由粒子的動量是守恒量。所以自由粒子的動量是守恒量。 2( )2pHV rm2 , ,xyzll l l所以粒子在中心力場中運動時，角動量平方和角動量分量所以粒子在中心力場中運動時，角動量平方和角動量分量 2、 粒子在中心力場中運動：角動量守恒粒子在中心力場中運動：角動量守恒又，又，都是守恒量。都是守恒量。皆不顯含時間皆不顯含時間),(2zyxllll ),(0,0,2zyxlHlH 3、哈密頓不顯含時間的體系能量守恒、哈密頓不顯含時間的體系能量守恒HH 不顯含不顯含t0,HH又又,HHitHdtHd00tH即即 守恒（能量守恒）。守恒（能量守恒）。 即空間反演算符，

9、它的作用是把波函數(shù)中的即空間反演算符，它的作用是把波函數(shù)中的 它是厄米算符，它的本征值只有它是厄米算符，它的本征值只有 ， 即即),(),(trtrPzyxzyx,11P定宇稱得出另一態(tài)，稱其無確的態(tài)，稱寄宇稱的本征值對應(yīng)的態(tài)，稱偶宇稱的本征值對應(yīng)1P),(1P. ),(),(),(trtrtrtrP四、宇稱守恒四、宇稱守恒宇稱算符宇稱算符 態(tài)函數(shù)的宇稱態(tài)函數(shù)的宇稱: 宇稱守恒宇稱守恒 若體系哈密頓量具有空間反演不變性若體系哈密頓量具有空間反演不變性 則則 即即 ，亦即，亦即 是一個守恒量，或者說是一個守恒量，或者說 描寫的系統(tǒng)的宇稱是不變的，稱為宇稱守恒定律。描寫的系統(tǒng)的宇稱是不變的，稱為宇

10、稱守恒定律。)()(rHrHPHHP0,HPPH1956年以前，人們一直認(rèn)為自然界的各種基本相互作用過程都年以前，人們一直認(rèn)為自然界的各種基本相互作用過程都遵從宇稱守恒，但是，后來楊振寧、李政道和吳健雄證實了在遵從宇稱守恒，但是，后來楊振寧、李政道和吳健雄證實了在弱相互作用過程中宇稱不守恒，從而使人類對自然界的對稱性弱相互作用過程中宇稱不守恒，從而使人類對自然界的對稱性有了新的認(rèn)識。有了新的認(rèn)識。 宇稱守恒要求：狀態(tài)波函數(shù)的奇偶性不隨時間變化。宇稱守恒要求：狀態(tài)波函數(shù)的奇偶性不隨時間變化。四、能級簡并與守恒量的關(guān)系四、能級簡并與守恒量的關(guān)系定理：定理：設(shè)體系有兩個彼此不對易的守恒量，設(shè)體系有兩

11、個彼此不對易的守恒量，0, 0, , 0, GFHGHF但但即即則：體系能級一般是簡并的。則：體系能級一般是簡并的。 ,0,F HFHHEFF 由由于于與與 可可以以有有共共同同本本征征函函數(shù)數(shù) ，證明：證明： , 0,F GFGGFFGGFFGHE 由由于于，一一般般來來說說，即即不不是是 的的本本征征態(tài)態(tài)。但但 是是 的的本本征征態(tài)態(tài)，因因此此與與 不不是是同同一一個個量量子子態(tài)態(tài)。但但它它們們又又都都是是的的本本征征值值為為 的的本本征征態(tài)態(tài)，因因此此能能級級是是簡簡并并的的。 ,0,G HHGGHEGGHE 考考慮慮到到有有即即也也是是 的的本本征征態(tài)態(tài)，對對應(yīng)應(yīng)于于能能量量本本征征值

12、值 。推論：如果體系有一個守恒量推論：如果體系有一個守恒量F，而體系的某條能級而體系的某條能級 不簡并（即對應(yīng)于某能量本征值不簡并（即對應(yīng)于某能量本征值E只有一個本只有一個本 征態(tài)），則征態(tài)），則 必為必為F的本征態(tài)。的本征態(tài)。E E EEEEHFFHFEEF證明證明：EEEEEEFHEEFFFFFF即也是 的本征值為的本征態(tài)。但已知能級 無簡并，所以與只能是同一個量子態(tài)。因此最多只能 相差一個常數(shù)因子，即，所以也是 的本征態(tài)（本征值）判斷下列提法的正誤判斷下列提法的正誤94頁。頁。mpH22p對于自由粒子，對于自由粒子， ，證明動量，證明動量 是守恒量。是守恒量。 例題例題1：例題例題2：例

13、題例題3：4.4 教材教材95頁。頁。1 ,dAA Hdti證明： 由于因此22211, ,d AdAHA HHdtidt 222 ,d AA HHdt可見：4.4守恒量與對稱性守恒量與對稱性德國數(shù)學(xué)家魏爾（德國數(shù)學(xué)家魏爾（H.Weyl,1885-1955）用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍蠲枋鰧ΨQ）用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)母拍蠲枋鰧ΨQ性性.他對上述現(xiàn)象作了如下表述：他對上述現(xiàn)象作了如下表述：若某圖形通過鏡面反射又回到自己，則該圖形對該鏡面是若某圖形通過鏡面反射又回到自己，則該圖形對該鏡面是反射反射對稱或雙向?qū)ΨQ的對稱或雙向?qū)ΨQ的.若某一圖形圍繞軸作任何轉(zhuǎn)動均能回到自身，則該圖形具有對若某一圖形圍繞軸作任何轉(zhuǎn)動均能回到自身，則該圖

14、形具有對軸的軸的轉(zhuǎn)動的對稱性轉(zhuǎn)動的對稱性.（一）關(guān)于對稱性（一）關(guān)于對稱性無論對藝術(shù)還是自然科學(xué)，對稱性都是重要的研究對象無論對藝術(shù)還是自然科學(xué)，對稱性都是重要的研究對象.20世紀(jì)初，人們認(rèn)識了世紀(jì)初，人們認(rèn)識了守恒定律和對稱性的關(guān)系守恒定律和對稱性的關(guān)系. 愛愛因斯坦在狹義相對論將反映時空對稱性的相對性原因斯坦在狹義相對論將反映時空對稱性的相對性原理從力學(xué)推廣于全部物理學(xué)，愛因斯坦用對稱性研理從力學(xué)推廣于全部物理學(xué)，愛因斯坦用對稱性研究引力究引力.20世紀(jì)中，人們還看到規(guī)范對稱性決定著各世紀(jì)中，人們還看到規(guī)范對稱性決定著各種相互作用的特征種相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右如粒子物

15、理弱相互作用下由左右不對稱，這意味著有對稱又有不對稱不對稱，這意味著有對稱又有不對稱.從上述中已能從上述中已能看到對稱性在現(xiàn)代物理學(xué)中的重要作用同時也看到看到對稱性在現(xiàn)代物理學(xué)中的重要作用同時也看到物理學(xué)中的對稱性已被研究得何等深入，包含了多物理學(xué)中的對稱性已被研究得何等深入，包含了多么博大深邃的人類的智慧，科學(xué)美與藝術(shù)美也統(tǒng)一么博大深邃的人類的智慧，科學(xué)美與藝術(shù)美也統(tǒng)一起來了起來了. 一個力學(xué)系統(tǒng)的對稱性就是它的運動規(guī)律的不變性。在量一個力學(xué)系統(tǒng)的對稱性就是它的運動規(guī)律的不變性。在量子力學(xué)中，運動規(guī)律是薛定諤方程，它決定于系統(tǒng)的哈密頓子力學(xué)中，運動規(guī)律是薛定諤方程，它決定于系統(tǒng)的哈密頓算符算

16、符 ，因此，因此，量子力學(xué)系統(tǒng)的對稱性表現(xiàn)為哈密頓算符量子力學(xué)系統(tǒng)的對稱性表現(xiàn)為哈密頓算符 的的不變性。不變性。 HH在量子力學(xué)中，我們將看到：在量子力學(xué)中，我們將看到：能量、動量、角動量的守恒與時空對稱性有密切關(guān)系能量、動量、角動量的守恒與時空對稱性有密切關(guān)系。空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒空間反演對稱性與宇稱守恒空間反演對稱性與宇稱守恒空間平移不變性與動量守恒空間平移不變性與動量守恒iHt設(shè)體系的狀態(tài)用 描述， 隨時間的演化遵守薛定諤方程：1(QQQ考慮某種線性變換存在逆變換），在此變換下 變化如下：體系對于變換的不變性體現(xiàn)為 和遵守相同的運動方程：iHtiQHQt即

17、：即：11QiQ HQt用運算得：1iQ HQtiHt1, ,0Q HQHQHHQQ H要求即或者這就使體系這就使體系Hamilton量在變換量在變換Q下的不變性的數(shù)學(xué)表達(dá)下的不變性的數(shù)學(xué)表達(dá) ,0Q H 表明和變換表明和變換 相聯(lián)系，必有一個守恒量。相聯(lián)系，必有一個守恒量。Q注意：注意： 一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，但它可以決定一個守恒量算符但它可以決定一個守恒量算符。Q凡滿足該式的變換稱為體系的對稱性變換凡滿足該式的變換稱為體系的對稱性變換考慮到概率守恒，要求考慮到概率守恒，要求( ,)(,)( ,)( , )QQQ Q 則則Q應(yīng)

18、為幺正變換（算符），即應(yīng)為幺正變換（算符），即Q QQ QI對于連續(xù)變換，可考慮無窮小變換，令對于連續(xù)變換，可考慮無窮小變換，令0 ,QIi F是刻畫無窮小變換的實參量。2()()()()Q QIi FIi FIiFFOI則，即要求即要求FFF為厄密算符，稱為變換為厄密算符，稱為變換Q的無窮小算符。的無窮小算符。由于其厄密性，可用它來定義一個與由于其厄密性，可用它來定義一個與Q變換相聯(lián)系的可觀測量變換相聯(lián)系的可觀測量將體系在將體系在Q變換下的不變性變換下的不變性 ,應(yīng)用到無窮小變換應(yīng)用到無窮小變換QIi F可導(dǎo)致可導(dǎo)致 ,0F H ,0Q H F就是體系的一個守恒量就是體系的一個守恒量一個體系

19、若存在一個守恒量，則反映體系有某種對稱性，一個體系若存在一個守恒量，則反映體系有某種對稱性，反之，不一定成立。對于幺正變換對稱性，的確存在相應(yīng)反之，不一定成立。對于幺正變換對稱性，的確存在相應(yīng)的守恒量的守恒量例例1. 空間平移不變性與動量守恒空間平移不變性與動量守恒xx考慮沿考慮沿 方向的無窮小平移方向的無窮小平移 ，則波函數(shù)的變化為，則波函數(shù)的變化為 .)()()(xxxxxx)(expxxx/expxpxixexxSxipx于是平移變換算符為：于是平移變換算符為： 其中：其中：為相應(yīng)的無窮小算符為相應(yīng)的無窮小算符/prireSipr對于三維空間的無窮小平移對于三維空間的無窮小平移 ，則有，

20、則有 其中：其中： 即動量算符。即動量算符。0,rSH0,pH如果體系對于平移具有不變性，即如果體系對于平移具有不變性，即 則有則有 根據(jù)力學(xué)量守恒條件可知：動量算符守恒。根據(jù)力學(xué)量守恒條件可知：動量算符守恒。例例2. 空間旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒?？臻g旋轉(zhuǎn)不變性與角動量守恒。z先考慮一個簡單情況：即體系繞軸旋轉(zhuǎn)無窮小角度先考慮一個簡單情況：即體系繞軸旋轉(zhuǎn)無窮小角度 則波函數(shù)的變化為則波函數(shù)的變化為 .)()()()(exp /expzLieS iLz于是繞于是繞z軸旋轉(zhuǎn)的變換算符為：軸旋轉(zhuǎn)的變換算符為： 其中：其中： 是大家熟知的角動量的是大家熟知的角動量的z分量算符分量算符 于是繞于是繞 軸

21、旋轉(zhuǎn)的變換算符為軸旋轉(zhuǎn)的變換算符為:現(xiàn)在來考慮三維空間中的繞某方向現(xiàn)在來考慮三維空間中的繞某方向 n（單位矢）的無窮小旋轉(zhuǎn)（單位矢）的無窮小旋轉(zhuǎn)rrrn)()()(rnrrrr.)()()(rrnr)()(rern 則波函數(shù)的變化為則波函數(shù)的變化為 n/)()(prnirneeS/)(prnie/Lnie rrrr其中：其中： prL是大家熟知的角動量算符。是大家熟知的角動量算符。0,SH0,LH如果體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，即如果體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性，即 則有則有 由力學(xué)量守恒條件可知：角動量守恒。由力學(xué)量守恒條件可知：角動量守恒。（1 1）全同粒子）全同粒子質(zhì)量質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完

22、全相同的微觀粒子。電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。（2）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性）經(jīng)典粒子的可區(qū)分性經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個粒子，是可以區(qū)分的。因經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個粒子，是可以區(qū)分的。因為二粒子在運動中，有各自確定的軌道，在任意時刻都有確定的為二粒子在運動中，有各自確定的軌道，在任意時刻都有確定的位置和速度。位置和速度。軌軌道道速速度度位位置置 可判斷哪個是第一個粒子哪個是第二個粒子可判斷哪個是第一個粒子哪個是第二個粒子12124.5.1 全同粒子和全同性原理全同粒子和全同性原理4. 5 全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性全同粒子體系與波函數(shù)的交換對稱性（一）全同粒子

23、的交換對稱性（一）全同粒子的交換對稱性（3）微觀粒子的不可區(qū)分性）微觀粒子的不可區(qū)分性微觀粒子運動微觀粒子運動服從服從量子力學(xué)量子力學(xué)用用波函數(shù)描寫波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)在波函數(shù)重疊區(qū) 粒子是不可區(qū)分的粒子是不可區(qū)分的（4）全同性原理）全同性原理全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變的改變,即具有交換對稱性。即具有交換對稱性。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。對描述全同粒子體系的波函數(shù)帶來限制：對描述全同粒子體系的波函數(shù)帶來限制：要求描述全同粒子體系的波函數(shù)對于粒子交

24、換具有對稱性。要求描述全同粒子體系的波函數(shù)對于粒子交換具有對稱性。（1）Hamilton 算符的對稱性算符的對稱性N 個全同粒子組成的體系，其個全同粒子組成的體系，其Hamilton 量為：量為：個個粒粒子子的的坐坐標(biāo)標(biāo)和和自自旋旋。為為第第其其中中isrqqqVtqUtqqqqqHiiijiNjiiiNiNji,),(),(2),(22121 調(diào)換第調(diào)換第 i 和第和第 j 粒子，粒子， 體系體系 Hamilton 量不變。量不變。即：即：),(),(2121tqqqqqHtqqqqqHNjiNij 表明，表明，N 個全同粒子組成的體系的個全同粒子組成的體系的Hamilton 量具有交換對稱

25、性，量具有交換對稱性，交換任意兩個粒子坐標(biāo)（交換任意兩個粒子坐標(biāo)（q i , q j ) 后不變。后不變。（二）波函數(shù)的對稱性質(zhì)（二）波函數(shù)的對稱性質(zhì)（2）對稱和反對稱波函數(shù)）對稱和反對稱波函數(shù)考慮全同粒子體系的含時考慮全同粒子體系的含時 Shrodinger 方程方程),(),(),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNjiNjiNji 將方程中（將方程中（q i , q j ) 調(diào)換，得：調(diào)換，得：),(),(),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNijNijNij 由于由于 Hamilton 量對于量對于 （q i , q j ) 調(diào)換調(diào)換 不變

26、不變),(),(2121tqqqqqtqqqqqHNijNji 表明：表明： （q i , q j ) 調(diào)換前后的波函數(shù)都是調(diào)換前后的波函數(shù)都是Shrodinger 方程的解。方程的解。根據(jù)全同根據(jù)全同性原理：性原理： ),(),(2121tqqqqqtqqqqqNijNji描寫同一狀態(tài)。描寫同一狀態(tài)。因此，二者相差一常數(shù)因子。因此，二者相差一常數(shù)因子。),(),(2121tqqqqqtqqqqqNjiNij 再做一次（再做一次（q i , q j ) 調(diào)換調(diào)換),(),(),(2122121tqqqqqtqqqqqtqqqqqNjiNijNji 112 所所以以),(),(12121tqqq

27、qqtqqqqqNijNji 變變，即即二二粒粒子子互互換換后后波波函函數(shù)數(shù)不不 ),(),(12121tqqqqqtqqqqqNijNji 號號，即即二二粒粒子子互互換換后后波波函函數(shù)數(shù)變變 對稱波函數(shù)對稱波函數(shù)反對稱波函數(shù)反對稱波函數(shù)引入粒引入粒子坐標(biāo)子坐標(biāo)交換算交換算符符),(),(),(),(),(),(),(22jijijijijiijjiijijijijij 的的本本征征態(tài)態(tài)。本本征征值值反反對對稱稱波波函函數(shù)數(shù)是是的的本本征征態(tài)態(tài)；本本征征值值對對稱稱波波函函數(shù)數(shù)是是，所所以以111 ijij全同粒子體系波函數(shù)的這種對稱性不隨時間變化，即初始時刻全同粒子體系波函數(shù)的這種對稱性不隨

28、時間變化，即初始時刻是對稱的，以后時刻永遠(yuǎn)是對稱的；初始時刻是反對稱的，以是對稱的，以后時刻永遠(yuǎn)是對稱的；初始時刻是反對稱的，以后時刻永遠(yuǎn)是反對稱的。后時刻永遠(yuǎn)是反對稱的。證證方法方法 I 設(shè)全同粒子體系波函數(shù)設(shè)全同粒子體系波函數(shù) s 在在 t 時刻是對稱的，由體系時刻是對稱的，由體系哈密頓量是對稱的，所以哈密頓量是對稱的，所以 H s 在在t 時刻也是對稱的。時刻也是對稱的。sssShrodingeriHtt因 為 等 式 兩 邊 對 稱 性 應(yīng) 是 一 樣 的 ， 所 以方 程中 式 左 的是 對 稱 的 。在在 t+dt 時刻，波函數(shù)變化為時刻，波函數(shù)變化為dttss 對稱對稱對稱對稱二

29、對稱波函二對稱波函數(shù)之和仍是數(shù)之和仍是對稱的對稱的依次類推，在以后任何時刻，波函數(shù)都是對稱的。依次類推，在以后任何時刻，波函數(shù)都是對稱的。同理可證：同理可證：t 時刻是反對稱的波函數(shù)時刻是反對稱的波函數(shù) a ，在，在t 以后任何時刻都是反對稱的。以后任何時刻都是反對稱的。（三）波函數(shù)對稱性的不隨時間變化（三）波函數(shù)對稱性的不隨時間變化方法方法 II 變變。交交換換對對稱稱性性不不隨隨時時間間改改是是守守恒恒量量，即即ijijH 0,全同粒子體系哈全同粒子體系哈密頓量是對稱的密頓量是對稱的結(jié)論：結(jié)論：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反

30、對稱的，其對稱性不隨時間改變。如果體系在某一時刻處于對稱（或其對稱性不隨時間改變。如果體系在某一時刻處于對稱（或反對稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對稱（或反對稱）態(tài)上。反對稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對稱（或反對稱）態(tài)上。實驗表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完實驗表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。（1）Bose 子子凡自旋為凡自旋為 整數(shù)倍（整數(shù)倍（s = 0，1，2，) 的粒子，其多粒子波函數(shù)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換對于交換 2 個粒子總是對稱的，遵從個粒子

31、總是對稱的，遵從Bose統(tǒng)計，故稱為統(tǒng)計，故稱為 Bose 子子如：如： 光子光子 （s =1）；）； 介子介子 （s = 0）。）。（四）（四）Fermi Fermi 子和子和 Bose Bose 子子（2）Fermi 子子凡自旋為凡自旋為 半奇數(shù)倍（半奇數(shù)倍（s =1/2，3/2，) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換于交換 2 個粒子總是反對稱的，遵從個粒子總是反對稱的，遵從Fermi 統(tǒng)計，故稱為統(tǒng)計，故稱為Fermi 子。子。例如：電子、質(zhì)子、中子（例如：電子、質(zhì)子、中子（ s =1/2）等粒子。）等粒子。（3）由）由“基本粒子基本粒子”組成的復(fù)雜粒組成的復(fù)雜粒子

32、子如：如： 粒子（氦核）或其他原子核。粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所討論或過程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自如果在所討論或過程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類全同粒子來處理。全同粒子來處理。子子粒粒子子）是是（氘氘核核）和和例例如如：BoseHeH 242121偶數(shù)個偶數(shù)個 Fermi 子組成子組成子子是是（氚氚核核）和和例例如如：FermiHeH132131奇數(shù)個奇數(shù)個 Fermi子組成子組成奇數(shù)個奇數(shù)個 Fermi子組成子組成（1）對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成）對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成I 2 個

33、全同粒子個全同粒子Hamilton 量量)()()()(22201021222212qHqHqVqVH )()()()()222011100qqqHqqqHHiiiiii （設(shè)設(shè)其其不不顯顯含含時時間間，則則對對全全同同粒粒子子是是一一樣樣的的，II 單粒子波函數(shù)單粒子波函數(shù)稱稱為為單單粒粒子子波波函函數(shù)數(shù)。.)2 , 1()( nqni 4.5.2 兩個全同粒子波函數(shù)兩個全同粒子波函數(shù)III 交換簡并交換簡并粒子粒子1 在在 i 態(tài)，粒子態(tài)，粒子2 在在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為： )()(),2121qqqqEjiji （驗證：驗證：),),2121qqEqq

34、H（ 粒子粒子2 在在 i 態(tài)，粒子態(tài)，粒子1 在在 j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為： )()(),1212qqqqEjiji （。故故稱稱該該簡簡并并為為交交換換簡簡并并互互換換得得到到，狀狀態(tài)態(tài)可可通通過過兩兩種種能能量量是是簡簡并并的的，由由于于這這（和和（狀狀態(tài)態(tài)211221),),qqqqqq )()()()(),)()(212010212010qqqHqHqqqHqHji （)()()()()()(22012110qqHqqqqHjiji )()()()(2121qqqqjijjii )()()(21qqjiji ),21qqE（ IV 滿足對稱條件波函數(shù)的

35、構(gòu)成滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成全同粒子體系要滿足對稱性條件，而全同粒子體系要滿足對稱性條件，而 (q1,q2) 和和 (q2,q1) 僅當(dāng)僅當(dāng) i = j 二態(tài)相同時，才是一個對稱波函數(shù)；二態(tài)相同時，才是一個對稱波函數(shù)； 當(dāng)當(dāng) i j 二態(tài)不同時，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。二態(tài)不同時，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。所以所以 (q1,q2) 和和 (q2,q1) 不能用來描寫全同粒子體系。不能用來描寫全同粒子體系。構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù)構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù)),),),),),),122121122121qqqqCqqqqqqCqqAS（ C 為歸一化系數(shù)為歸一化系數(shù)顯然顯然

36、S (q1,q2) 和和 A (q1,q2) 都是都是 H 的本征函數(shù)，本征值皆為的本征函數(shù)，本征值皆為 ：jiE V S 和和 A 的歸一化的歸一化若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的，若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的， 則則 (q1,q2) 和和 (q2 , q1) 也是正交歸一化的也是正交歸一化的證：證：1)()()()(),),222*111*21212*1*212121* dqqqdqqqdqdqqqqqdqdqqqqqjjiijiji （同理：同理：1),),211212* dqdqqqqq（0)()()()(),),222*111*21211*2*212112* dqqqdqqqdqdqqq

37、qqdqdqqqqqjiijjiji （而而同理：同理：0),),211221* dqdqqqqq（證畢證畢首先首先證明證明21122112*21*221*),),),),1dqdqqqqqqqqqCdqdqSS（ 然后考慮然后考慮 S 和和 A 歸一化歸一化211212*1221*2112*2121*2),),),),),),),),dqdqqqqqqqqqqqqqqqqqC（ 212100122 CCC則歸一化的則歸一化的 S),),21),122121qqqqqqS（ 同理對同理對 A 有：有：),),21),122121qqqqqqA（ （1）Shrodinger 方程的解方程的解上述

38、對上述對2個全同粒子的討論可以推廣到個全同粒子的討論可以推廣到N個全同粒子體系，個全同粒子體系，設(shè)粒子間無互作用，單粒子設(shè)粒子間無互作用，單粒子H0 不顯含時間，則體系不顯含時間，則體系)()()()(0102010nNnNqHqHqHqHH )()()()()()()022201110NkkNkNjjjiiiqqqHqqqHqqqH （ )()()(),(2121NkjiNkjiqqqqqqEEHShrodinger 其其解解為為：方方程程：體體系系單粒子本單粒子本征方程：征方程：4.5.3 N 個全同粒子體系波函數(shù)個全同粒子體系波函數(shù)（2）Bose 子體系和波函數(shù)對稱化子體系和波函數(shù)對稱化

39、)()()21),),21),1221122121qqqqqqqqqqjijiS （ 2 個個Bose 子體系，其對稱化波函數(shù)是：子體系，其對稱化波函數(shù)是：1，2 粒子在粒子在 i，j態(tài)中的一種排列態(tài)中的一種排列N 個個Bose 子體系，其對稱化波函數(shù)可類推是：子體系，其對稱化波函數(shù)可類推是：)()(),2121NkjipNSqqqpCqqq （ N 個個 粒子在粒子在 i，j k 態(tài)態(tài)中的一種排列中的一種排列歸一化系數(shù)歸一化系數(shù)對各種可能排列對各種可能排列 p 求和求和!1NnCkk 歸歸一一化化系系數(shù)數(shù)：nk 是單粒子態(tài)是單粒子態(tài) k 上的粒子數(shù)上的粒子數(shù)例例: N = 3 Bose 子體

40、系子體系,，設(shè)有三個單粒子態(tài)分別記為，設(shè)有三個單粒子態(tài)分別記為 1 、 2 、 3 ，求：該體系對稱化的波函數(shù)。求：該體系對稱化的波函數(shù)。1111231122331223311321321322311221331123321,)()()()()3!)()()()()()()()()Sqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq（I、n1=n2=n3=1II、n1=3，n2=n3=0 n2=3，n1=n3=0 n3=3，n2=n1=0)()(),312111321300qqqqqqS （ )()(),322212321030qqqqqqS （ )()(),332313321003qqqqqqS （

41、 III、n1=2，n2=1，n3=0。)()()()()()()! 3! 0 ! 1 ! 2),122131223111322111321210qqqqqqqqqqqqS （ 另外還有另外還有 5 種可能的狀態(tài)，分別是：種可能的狀態(tài)，分別是：n1=1，n2=0，n3=2)()()()()()()! 3! 2! 0 ! 1),132331331321332311321102qqqqqqqqqqqqS （ n1=0，n2=1，n3=2)()()()()()()! 3! 2 ! 1 ! 0),132332331322332312321012qqqqqqqqqqqqS （ n1=0，n2=2，n3=

42、1)()()()()()()! 3! 1 ! 2 ! 0),132232233212332212321021qqqqqqqqqqqqS （ n1=1，n2=2，n3=0)()()()()()()! 3! 0 ! 2! 1),122231321221322211321120qqqqqqqqqqqqS （ n1=2，n2=0，n3=1)()()()()()()! 3! 1 ! 0 ! 2),132131233111332111321201qqqqqqqqqqqqS （ 附注：附注：關(guān)于重復(fù)組合問題關(guān)于重復(fù)組合問題從從m 個不同元素中每次取個不同元素中每次取 n 個元素（元素可重復(fù)選?。┎还芘帕许槀€

43、元素（元素可重復(fù)選?。┎还芘帕许樞驑?gòu)成一組稱為重復(fù)組合，記為：序構(gòu)成一組稱為重復(fù)組合，記為： （m 可大于、等于或小于可大于、等于或小于n ）nmC)!1( !)!1(1 mnnmCCnnmnm重復(fù)組合與重復(fù)組合與通常組合不通常組合不同，其計算同，其計算公式為：公式為：通常組合計算公式：通常組合計算公式：)!( !nmnmCnm 重復(fù)組合計算公式表明：重復(fù)組合計算公式表明： 從從m個不同元素中每次取個不同元素中每次取n個元素的重復(fù)個元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從（組合的種數(shù)等于從（m+n-1）個不同元素）個不同元素中每次取中每次取n個元素的普通組合的種數(shù)。個元素的普通組合的種數(shù)。應(yīng)用重復(fù)組合，計算

44、全應(yīng)用重復(fù)組合，計算全同同Bose 子體系可能狀子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的。態(tài)總數(shù)是很方便的。如上例，求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問如上例，求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問題實質(zhì)上就是一個從題實質(zhì)上就是一個從 3 個狀態(tài)中每個狀態(tài)中每次取次取3 個狀態(tài)的重復(fù)組合問題。個狀態(tài)的重復(fù)組合問題。10)!35( !3!535313333 CCC（3）Fermi 子子體系和波函數(shù)反對稱化體系和波函數(shù)反對稱化2 個個Fermi 子體系，其反對稱化波函數(shù)是：子體系，其反對稱化波函數(shù)是：)()()()(21),),21),2121122121qqqqqqqqqqjjiiA （行列式的性質(zhì)保證行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對稱化了

45、波函數(shù)反對稱化推廣到推廣到N 個個Fermi 子子體系：體系：)()()()()()()()()(!1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq （兩點討論兩點討論I。行列式展開后，每一項都是單粒子波函數(shù)乘積形式，。行列式展開后，每一項都是單粒子波函數(shù)乘積形式，因而因而 A 是是 本征方程本征方程 H = E 的解的解.II。交換任意兩個粒子，等價于行列式中相應(yīng)兩列對調(diào)，。交換任意兩個粒子，等價于行列式中相應(yīng)兩列對調(diào)，由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號，故由行列式性質(zhì)可知，行列式要變號，故是反對稱是反對稱化波函數(shù)。此行列式稱為化波函數(shù)。此行列式稱為 Slater 行

46、列式。行列式。（1）二）二 Fermi 子子體系體系其反對稱化波函數(shù)為：其反對稱化波函數(shù)為：)()()()(21)()()21),2121122121qqqqqqqqqqjjiijijiA （若二粒子處于相同態(tài)，例如都處于若二粒子處于相同態(tài)，例如都處于 i 態(tài)，則態(tài)，則0)()()21),122121 qqqqqqiiiiA （)()()()(212121qqqqiiii 寫成寫成 Slater 行列式行列式兩行相同，兩行相同，行列式為行列式為 0（2）N Fermi 子子體系體系)()()()()()()()()(!1),21212121NkkkNjjjNiiiNAqqqqqqqqqNqqq （三）（三）Pauli 原理原理0)()()()()()()()()(!1),21212121 NkkkNiiiNiiiNAqqqqqqqqqNqqq （如果如果 N 個單粒子態(tài)個單粒子態(tài) i j k 中有兩個相同，則行列中有兩個相同，則行列式中有兩行相同，于是行列式為式中有兩行相同，于是行列式為0，即，即兩行兩行同態(tài)同態(tài)上述討論表明，上述討論表明，N FermiN Fermi 子子體系中，不能有體系中，不能有 2 2 個或個或 2 2 個以上個以上Fermi Fermi 子子處于同一狀態(tài)，這一結(jié)處于同一狀態(tài)，這一結(jié)論稱為論稱為 Pauli Pauli 不相容原理