典型例題三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、學習必備歡迎下載圖象和性質(zhì)例題分析例 1 畫出下列函數(shù)的簡圖：(1) y1sin x,x0,2(2) ysin x ,x0,2分析：這兩個例題的作用是鞏固和熟練“五點畫圖法及運用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)畫出與它們有關(guān)系的一些函數(shù)圖象”解：（1）按五個關(guān)鍵點列表：x03222sin x010101+sin x12101利用正弦函數(shù)的性質(zhì)描點畫圖（如圖4-24）這里利用正弦函數(shù)的性質(zhì)主要是它的單調(diào)性因為正弦函數(shù)ysin x, x0,和x3, 2上都是增函數(shù)，所以函數(shù)y1sin x ，在這22兩個區(qū)間上也是增函數(shù)，從而描點畫圖時要用光滑曲線畫成上升的曲線，同理在x , 3 上要畫成下降的曲線2 2注

2、：函數(shù) y 1 sin x 與 ysin x ，在 x 0,2上有什么關(guān)系呢？我們把后者的圖象用虛線畫在（圖4-24）中，可見函數(shù) y1 sin x ， x0,2 的圖象是通過把函數(shù) y sin x， x0,2的圖象上的每點向上平行移動1 個單位長度而得到這個例題還告訴我們，形如ysin xm ， x0,2的函數(shù)圖象當 m>0 時，學習必備歡迎下載可將正弦函數(shù) ysin x ，x0,2 的圖象整體向上平行動 m 個長度單位當 m<0時，可將 ysin x， x0,2的圖象整體向下平行移動 |m|個長度單位（2）按五個關(guān)鍵點列表x03222sin x01010 sin 1010x0利

3、用正弦函數(shù)的性質(zhì)描點畫圖（如圖4-25）這里利用正弦函數(shù)的性質(zhì)主要是它的單調(diào)性，因為正弦函數(shù)ysin x 在 x0,和2x 3 ,2 上都是增函數(shù)，而從2列表中可看出函數(shù)ysin x 在這兩個區(qū)間上都是減函數(shù)，所以要用光滑曲線畫成下降的曲線又因為正弦函數(shù)ysin x 在 x, 3上是減函數(shù)，而從列表中可以看到函2 2數(shù) y sin x 在這個區(qū)間上是增函數(shù)，所以要用光滑曲線畫成上升的曲線注，函數(shù) ysin x 與正弦函數(shù) ysin x 在 x0,2上有什么關(guān)系呢？我們將后者的圖象用虛線畫在 （圖 4-8-7）中可見函數(shù) ysin x ，x 0,2上的圖象上的每一個點都是正弦函數(shù) ysin x

4、，x0,2上的每一個對應(yīng)點關(guān)于x 軸的對稱點由此可知欲畫函數(shù)ysin x ， x0,2的圖象，只要將正弦函數(shù)ysin x ，x 0, 2 沿 x 軸整體翻轉(zhuǎn) 1800 即可例 2求使下列函數(shù)取得最大值和最小值時的自變量 x 的集合，并說出最大和最小值是什么（1） y2sin x , xR ；（2） ysin 2x , xR學習必備歡迎下載分析：這兩個小題都是與正弦函數(shù) y sin x的最大值和最小值有關(guān)的問題，我們可以利用正弦函數(shù)的最大值和最小值的結(jié)論來解決這些問題解：（1）函數(shù) y2sin x , 的解析式是由常量 2 與變量 sin x 的差組成當 x2k(kZ ) 時，變量 sin x

5、取得最大值 1，而一個常量減去一個最2大值得到的差是最小值，所以 y 2 sin x , 的最小值是 y 2 11當 x2k(kZ ) 時， sin x 取得最小值是 1，而一個常量減去一個2最小值得到的差是最大值，所以 y2 sin x 的最大值是 y 2( 1)3 x | x22k, k Z ，函數(shù) y2 sin x 的最大值是3， x | x2k, kZ ，函數(shù) y 2sin x 的最小值是 1；2（2）解決本題的關(guān)鍵是用輔助未知數(shù)法令 z 2x ，因為 xR ，所以 zR 又使函數(shù) ysin z， z R 取得最大值的 的集合是： z | z2k, kZ ，2再由 z 2x2k，則 x

6、k, k Z 這就是說，使函數(shù) ysin 2x ，24x R 取得最大值時的 x 的集合是 x | xk , k Z ，此時函數(shù)的最大值是41同理，使函數(shù) ysin 2x ， xR 取得最小值時的 x 的集合是： x | xk, kZ ，此時函數(shù)的最小值是 14例 3 不通過求值，指出下列各式大于0 還是小于 0（1） sin() sin() ；（2） cos11sin 10181089分析：本題實際上是兩個三角函數(shù)值的比大小問題，這種問題需要用正弦函數(shù)的單調(diào)性來比大小 對于同名的三角函數(shù)比大小，只要角在同一個單調(diào)區(qū)間上學習必備歡迎下載就可以直接比大小， 若不然則需用誘導(dǎo)公式將它們化到同一個單

7、調(diào)區(qū)間上再比大小對于非同名的三角函數(shù)比大小， 則需用誘導(dǎo)公式將它們化為同名函數(shù)再按上面的辦法比大小解：（1）1018，且函數(shù) ysin x ， x,是增函數(shù)2222 sin()sin()1018 sin()sin()01810（ 2）由誘導(dǎo)公式：cos11sin(11) sin7sin 2(7)sin 98288881093且函數(shù) ysin x ， x2, 3上是減函數(shù)29822 sin10sin9，即 sin10cos119898 cos11sin 10089本小題也可以按下面的解法：由誘導(dǎo)公式sin 10sin()sin；999cos11cos(3 )cos 3cos()sin888288 098，且函數(shù) ysin