自考概率論整理

1、第一章 隨機(jī)事件與概率1.1隨機(jī)事件1.1.1隨機(jī)現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象1.1.2隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)：隨機(jī)試驗(yàn)的重復(fù)性，一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性，全部試驗(yàn)結(jié)果的可知性樣本空間樣本點(diǎn)w1.1.3隨機(jī)事件（事件）：在一次試驗(yàn)中，有可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件，叫隨機(jī)事件，習(xí)慣用A、B、C表示隨機(jī)事件?；臼录弘S機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果，也叫樣本點(diǎn)，習(xí)慣用表示基本事件。必然事件：在一次試驗(yàn)中，一定出現(xiàn)的事件，叫必然事件，習(xí)慣用表示必然事件。不可能事件：在一次試驗(yàn)中，一定不出現(xiàn)的事件叫不可能事件，而習(xí)慣用表示不可能事件。1.1.4隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算包含：若事件A發(fā)生則必然導(dǎo)致事件B發(fā)生

2、，就說事件B包含事件A，記作。所以A發(fā)生則必然導(dǎo)致B發(fā)生。顯然有相等：若，且就記A=B，即A與B相等，事件A等于事件B，表示A與B實(shí)際上是同一事件。和事件：事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件叫事件A與事件B的和事件，記作：或A+B。顯然有性質(zhì)若，則有A+B=BA+A=A積事件：事件A與事件B都發(fā)生的事件叫事件A與事件B的積事件，記作：AB或AB 顯然有性質(zhì)：若，則有AB=AAA=A差事件：事件A發(fā)生而且事件B不發(fā)生的事件叫事件A與事件B的差事件，記作（A-B）顯然有性質(zhì)：若，則有A-B=A-B=A-AB互不相容：若事件A與事件B不能都發(fā)生，就說事件A與事件B互不相容（或互斥）即AB=對(duì)立事件

3、：事件A不發(fā)生的事件叫事件A的對(duì)立事件。記作顯然，對(duì)立事件有性質(zhì)：注意：A與B對(duì)立，則A與B互不相容，反之不一定成立。下面圖1.1至圖1.6用圖形直觀的表示事件的關(guān)系和運(yùn)算，其中正方形表示必然事件或樣本空間。圖1.1表示事件事件A圖1.2陰影部分表示A+B圖1.3陰影部分表示AB圖1.4陰影部分表示A-B圖1.5表示A與B互不相容圖1.6陰影部分表示事件的運(yùn)算有下面的規(guī)律：  （1）A+B=B+A，AB=BA叫交換律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫結(jié)合律 （AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫對(duì)偶律1.2概率1.2.1

4、頻率與概率頻率：（1）在相同條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生了nA次，則事件A發(fā)生的次數(shù)nA叫事件A發(fā)生的頻數(shù)。（2）比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記作fn（A），即性質(zhì)：（1）0fn（A）1（2）fn（）=1，fn（）=0（3）若A與B互不相容，則fn（AUB）= fn（A）+ fn（B）性質(zhì)推廣：若A1，A2，An互不相容時(shí)，fn（k=1mAk）=k=1fn(Ak)概率：事件A出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值叫事件A發(fā)生的概率，記作P（A）概率是頻率的穩(wěn)定值。性質(zhì)：（1）0P（A） 1（2）P（）=1，P（）=0（3）若A與B互斥，即AB=，則有P（A+B）=P（A）+P（B）若A

5、1，A2，An互斥，則有P（k=1mAk）=k=1P(Ak)1.2.2古典概型（1）試驗(yàn)只有有限個(gè)不同的結(jié)果；（2）每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則這種試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒泄诺涓判?。設(shè)是古典概型的樣本空間，其中樣本點(diǎn)總數(shù)為n，A為隨機(jī)事件，其中所含的樣本點(diǎn)數(shù)為r則有公式：1.2.3概率的定義與性質(zhì)設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，對(duì)于E的每個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P（A），稱P（A）為事件A的概率，如果滿足下列條件：1) P（A）02) P（）=13) 設(shè)A1，A2，An互不相容，則有P（k=1Ak）=k=1P(Ak)性質(zhì)1：0P（A） 1，P（）=0性質(zhì)2：對(duì)于任意事件A,B有：P（AUB）=P（A）+P（B

6、）-P（AB）特別的，當(dāng)，互不相容時(shí)，P（AUB）=P（A）+P（B）推廣：對(duì)于任意事件A,B,C有：P（AUB）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+ P（ABC）當(dāng)A1，A2，An互不相容，則有P（A1A2An)）=P（A1）+ P（A2）+ P（An）,其中n為正整數(shù)。性質(zhì)3：P（B-A）=P（B）-P（AB）特別的，當(dāng)AB時(shí)，P（B-A）=P（B）-P（A），且P（A） P（B）性質(zhì)4：P（A）=1-P(A)補(bǔ)充：概率的加法公式:特別情形：（1）如果A與B互斥，即AB=則P（AB）=0這時(shí)（2）因?yàn)锳與有性質(zhì),所以概率的減法公式:因?yàn)?，而，而BA與明顯不相

7、容。特別地，若，則有AB=A所以當(dāng)其他：P(AB)= P(A)-P（AB）P(BA)= P(B)-P（AB）P(AB)=P(AB)=1- P（AUB）=1- P（A）+P（B）1.3條件概率1.3.1條件概率與乘法公式條件概率：符號(hào)叫在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。條件概率仍是事件A的概率，但是它有條件，條件是以B已經(jīng)發(fā)生為前提，或者是以B已經(jīng)發(fā)生為條件。事件A與事件不是同一事件,所以它們的概率不同,即。事件AB與事件也不相同。計(jì)算方法：一定義法：條件概率公式揭示了條件概率與事件概率P（B），P（AB）三者間的關(guān)系。顯然有：若P（A）>0則有二古典概型法：設(shè)樣本空間包含的基本

8、事件總數(shù)為n,事件B包含的基本事件數(shù)為 nB,事件AB所包含的基本事件數(shù)為 nAB，則有P（AB）= nAB nB = nAB/n nB/n =P(AB)P(B)概率的乘法公式：當(dāng)P（A）> 0時(shí)，有P（AB）= P（A）P（BA）當(dāng)P（B）> 0時(shí)，有P（AB）= P（B）P（AB）可以推廣為：當(dāng)P（AB）> 0時(shí)，有P（ABC）= P（A）P（BA）P（CAB）當(dāng)P（AC）> 0時(shí)，有P（ABC）= P（A）P（CA）P（BAC）當(dāng)P（BC）> 0時(shí)，有P（ABC）= P（B）P（CB）P（ABC）其他：P(A1A2A 3 )=P(A1) P(A2A1) P(

9、A3A1 A2)1.3.2全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式全概率公式定義：若事件組滿足條件（1）互不相容,且P(Ai) >0, i=0,1,2,n（2）在一次試驗(yàn)中，若A1A2A3An= , 事件組中至少發(fā)生一個(gè)， 就說事件組是樣本空間的一個(gè)劃分。每次事件有且只有其中的一個(gè)事件發(fā)生。全概率公式：設(shè)是樣本空間的一個(gè)劃分，B是任一個(gè)事件，則有：P(B)= i=1n PAiPBAi最簡(jiǎn)形式：當(dāng)0<P(A)<1時(shí)，P(B)=P(A) P (BA)+P(A) P (BA)是的一個(gè)劃分，所以貝葉斯公式：設(shè)是樣本空間的一個(gè)劃分，B是任一個(gè)事件，且PB>0,則P(AiB)=PAiP

10、(BAi)P(B)=PAiP(BAi)k=1nPAkP(BAk) , i=1,2, ，n.在使用貝葉斯公式時(shí)先利用全概率公式求出P(B)1.4事件的獨(dú)立性1.4.1定義一：若P（AB）=P（A）P（B），就說事件A與事件B相互獨(dú)立。性質(zhì)一：設(shè)P(A)>0, 則A與B相互獨(dú)立的充分必要條件P(B)=P(BA)設(shè)P(B)>0, 則A與B相互獨(dú)立的充分必要條件P(A)=P(AB)性質(zhì)二：若A與B相互獨(dú)立，則有與，與B，A與相互獨(dú)立一般的，A與B，A與，與B，與，只要有一組相互獨(dú)立，另外三組也各自相互獨(dú)立。另外，A與B相互獨(dú)立時(shí)，P(AUB)=1-P(A)P(B)定義二：設(shè)A，B，C為三個(gè)

11、時(shí)間，若滿足P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱A，B，C相互獨(dú)立。定義三：設(shè)A，B，C為三個(gè)時(shí)間，若滿足P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)則稱A，B，C兩兩獨(dú)立，但反之不然。定義四：設(shè)A1，A2，An 為n個(gè)事件，若對(duì)于任意整數(shù)k(1kn)和任意k個(gè)整數(shù)1i1<i2<ikn , 有 P(Ai1Ai2Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik), 則稱A1，A2，An 獨(dú)立。另外：對(duì)于n個(gè)相互獨(dú)立事件A1，A2，An 其和事件 A1

12、 U A2 UU An 的概率可通過下式計(jì)算：P(A1 U A2 UU An)=1-P(A1 A2 An )=1-P(A1)P(A2)P(An)1.4.2 n重貝努利（Bernoulli）試驗(yàn)定理一：在n重貝努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A的概率為P（0<P<1）,則事件A恰好發(fā)生k次的概率Pnk=C nkPk(1-p)n-k, k=0,1,2, n.A在指定的k次試驗(yàn)中發(fā)生，在其余n-k次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率為pk(1-p)n-k若記q=1-p，則Pnk=C nkPkqn-k ，k=0,1,2, n，q=1-p（二項(xiàng)式概率公式）第二章 隨機(jī)變量及其概率分布2.1離散型隨機(jī)變量（一）隨

13、機(jī)變量定義1：若變量X取某些值表示隨機(jī)事件。就說變量X是隨機(jī)變量。習(xí)慣用英文大寫字母X,Y,Z表示隨機(jī)變量。（二）離散型隨機(jī)變量及其分布律定義2若隨機(jī)變量X只取有限多個(gè)值或可列的無限多個(gè)（分散的）值，就說X是離散型隨機(jī)變量。例如，本節(jié)中的引例一、引例二的X是離散型隨機(jī)變量。定義3若隨機(jī)變量X可能取值為且有（k=1,2,n,）或有 其中，第一行表示X的取值，第二行表示X取相應(yīng)值的概率。就說公式（k=1,2,n,）或表格是離散型隨機(jī)變量x的（概率）分布律，記作分布律有下列性質(zhì)（1）；（2）由于事件互不相容。而且是X全部可能取值。所以反之，若一數(shù)列具有以上兩條性質(zhì)，則它必可以作為某隨機(jī)變量的分布律。

14、（三）0-1分布與二項(xiàng)分布定義4若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值：0,1,且PX=1=p, PX=0=q其中0<p<1,q=1-p,則稱X服從0-1分布。X的分布律為在n重貝努利試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)只觀察A是否發(fā)生，定義隨機(jī)變量X如下：因?yàn)?，所以X服從0-1分布。0-1分布是最簡(jiǎn)單的分布類，任何只有兩種結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象，比如新生兒是男是女，明天是否下雨，抽查一產(chǎn)品是正品還是次品等，都可用它來描述。定義5若隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,n，而X的分布律為;其中，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為XB（n,p）。顯然，當(dāng)n=1時(shí)，X服從0-1分布，即0-1分布實(shí)際上是二項(xiàng)分布的特例。在n重貝

15、努利試驗(yàn)中，令X為A發(fā)生的次數(shù)，則;即X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布是一種常用分布，如一批產(chǎn)品的不合格率為p，檢查n件產(chǎn)品，n件產(chǎn)品中不合格品數(shù)X服從二項(xiàng)分布；調(diào)查n個(gè)人，n個(gè)人中的色盲人數(shù)Y服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，其中p為色盲率；n部機(jī)器獨(dú)立運(yùn)轉(zhuǎn)，每臺(tái)機(jī)器出故障的概率為p，則n部機(jī)器中出故障的機(jī)器數(shù)Z服從二項(xiàng)分布，在射擊問題中，射擊n次，每次命中率為p，則命中槍數(shù)X服從二項(xiàng)分布。泊松（Poisson）定理設(shè)>0是常數(shù)，n是任意正整數(shù)，且，則對(duì)于任意取定的非負(fù)整數(shù)k，有由泊松定理，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，有近似公式，其中=np.在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n20,p0.05時(shí)用上述近似公式效

16、果頗佳。（四）泊松分布定義6設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,n,，而X的分布律為其中>0，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，簡(jiǎn)記為Xp()即若Xp()，則有§2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)（一）分布函數(shù)的概念定義1設(shè)X為隨機(jī)變量，稱函數(shù)F(x)=PXx,x(-,+ ) 為X的分布函數(shù)。注意，隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義適應(yīng)于任意的隨機(jī)變量，其中也包含了離散型隨機(jī)變量，即離散型隨機(jī)變量既有分布律也有分布函數(shù)，二者都能完全描述它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。一般地，對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，它的分布函數(shù)F(x)在X的可能值處具有跳躍，跳躍值恰為該處的概率，F(xiàn)(x)的圖形是階梯形曲線，F(xiàn)(x)為分段函數(shù)，分段點(diǎn)仍是。（

17、二）分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)有以下基本性質(zhì)：（1）0F(x) 1.由于F(x) =PXx，所以0F(x) 1.（2）F(x)是不減函數(shù)，即對(duì)于任意的有因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即 從而（3）F(-)=0，F(xiàn)(+)=1，即從此，我們不作嚴(yán)格證明，讀者可從分布函數(shù)的定義F(x) =PXx去理解性質(zhì)（3）。（4）F(x)右連續(xù)，即已知X的分布函數(shù)F(x)，我們可以求出下列重要事件的概率：1°PXb=F(b).2°Pa<Xb=F(b)-F(a)，其中a<b.3°PX>b=1-F(b)§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度（一）連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義若隨機(jī)變量X

18、的分布函數(shù)為其中f(t)0。就是說X是連續(xù)型隨機(jī)變量，并且非負(fù)函數(shù)f(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。由連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度函數(shù)的定義知概率密度有下列性質(zhì)（1）（2）（3）（ab）（4）f(x)0對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X在區(qū)間上取值的概率的求法有兩種：（1）若F(x)已知，則P(a<Xb)=F(b)-F(a) （2）若f(x)已知，則P(a<Xb)=3.2均勻分布與指數(shù)分布定義2.若隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從區(qū)間a,b上的均勻分布，簡(jiǎn)記為XU（a,b）容易求得其分布函數(shù)為均勻分布的概率密度f（x）和分布函數(shù)F（x）的圖像分別見圖2.3和圖2.4均勻分布的概率

19、密度f（x）在a,b內(nèi)取常數(shù) ，即區(qū)間長(zhǎng)度的倒數(shù)。均勻分布的均勻性是指隨機(jī)變量X落在區(qū)間a,b內(nèi)長(zhǎng)度相等的子區(qū)間上的概率都是相等的。均勻分布的概率計(jì)算中有一個(gè)概率公式。設(shè)，則定義3.若隨機(jī)變量X的概率密度為其中0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，簡(jiǎn)記為，其分布函數(shù)為f（x）和F（x）的圖形分別見圖2.5和圖2.6指數(shù)分布常被用作各種“壽命”的分布，如電子元件的使用壽命、動(dòng)物的壽命、電話的通話時(shí)間、顧客在某一服和系統(tǒng)接受服務(wù)的時(shí)間等都可以假定服從指數(shù)分布，因而指數(shù)分布有著廣泛的應(yīng)用。（三）正態(tài)分布  定義4.若隨機(jī)變量X的概率密度為其中,2為常數(shù)，+，0，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分

20、布，簡(jiǎn)記為XN（,2）f（x）的圖形見圖2.7習(xí)慣上，稱服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量為正態(tài)隨機(jī)變量，又稱正態(tài)分布的概率密度曲線為正態(tài)分布曲線。設(shè)XN（,2），則X的分布函數(shù)為特別地，當(dāng)0，1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）。為區(qū)別起見，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度和分布函數(shù)分別記為，即的圖象見圖2.8顯然，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在x=0處取得最大值。通常我們稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，它有下列性質(zhì)：（1） 由定積分的幾何意義及的對(duì)稱性可得 （2）由（1）知 （3）因?yàn)槭荴服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)即XN（0，1）時(shí)的分布函數(shù)，所以有當(dāng)上面公式中，不等式中是否有等號(hào)并不影響公式的正確性，原因是連續(xù)隨機(jī)變量X取一個(gè)數(shù)的概

21、率為0，即P（XK）0所以下面的公式同樣成立其中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的可用教材中的附表1求得，其中同樣有 正態(tài)分布有下面結(jié)果若XN（,2），則有（1）X的分布函數(shù)F（x） （2）公式：XN（,2）時(shí)提供了XN（,2）時(shí)，計(jì)算概率的方法。定義5.設(shè)XN（0,1）若ua滿足條件PXua，01，則稱點(diǎn)ua為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)第4節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布4.1離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為由于X的可能取值為x1x2xk，所以Y的可能取值為g（x1）, g（x2）g（xk）可見Y只取有限多個(gè)值或可列無窮多個(gè)值，故Y是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。當(dāng)g（x1）, g（x2）g（x

22、n）互不相等時(shí)，Y的分布律為當(dāng)g（x1）, g（x2）g（xk），有相等的情況時(shí)，則應(yīng)該把使g（xk）相等的那些xi所對(duì)應(yīng)的概率相加，作為Y取值g（xk）的概率，這樣得到Y(jié)的分布律。4.2連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布定理1.設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fx（x），設(shè)g（x）是一嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)椋ǎ?，且g'（x）0，記x=h（y）為yg（x）的反函數(shù)，由Yg（x）的概率密度fY（y）為：特別地，當(dāng)+時(shí)，第三章 多維隨機(jī)變量及概率分布3.1二維隨機(jī)變量的概念3.1.1二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)定義3.12個(gè)隨機(jī)變量X，Y組成的整體Z=（X，Y）叫二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向

23、量。定義3.2（1）二元函數(shù)F（x,y）=P（Xx,Yy）叫二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。記作（X，Y）F（x,y）。（2）二維隨機(jī)變量（X，Y）中，各分量X，Y的分布函數(shù)叫二維隨機(jī)變量（X，Y）的邊緣分布函數(shù)。因?yàn)閄<+，Y<+即-<X<+，-<Y<+，分別表示必然事件，所以有XFx（x）=P（Xx）=P（Xx，Y<+）=F（x,+）YFY（y）=P（Yy）=P（x<+，Yy）=F（+，y）公式可見X，Y的邊緣分布可由聯(lián)合分布函數(shù)求得。3.1.2二維離散型隨機(jī)變量定義3-3若二維隨機(jī)變量（X，Y）只取有限多對(duì)或可列無窮多對(duì)

24、（xi，yj），（i，j=1，2，），則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量。設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的所有可能取值為（xi，yj）（i，j=1，2，），（X，Y）在各個(gè)可能取值的概率為：PX=xi,Y=yj=Pij（i，j=1，2，），稱PX=xi,Y=yj=Pij（i，j=1，2，）為（X，Y）的分布律。（X，Y）的分布律還可以寫成如下列表形式：（X，Y）的分布律具有下列性質(zhì)：（1）pij0（i，j=1，2，）；（2）反之，若數(shù)集Pij（i，j=1，2，）具有以上兩條性質(zhì)，則它必可作為某二維離散型隨機(jī)變量的分布律。  定義3-4對(duì)于離散型隨機(jī)變量（X，Y），分量X（或Y）的分布律稱為

25、（X，Y）關(guān)于X（或Y）的邊緣分布律，記為Pi·（i=1，2，）（或P.j（j=1，2，），它可由（X，Y）的分布律求出，事實(shí)上，Pi·=PX=xi=PX=xi,Y=yj+PX=xi,Y=y2+PX=xi,Y=yj+=即（X，Y）關(guān)于X的邊緣分布律為：i=1，2，（3.1.2）同樣可得到（X，Y）關(guān)于Y的邊緣分布律為：j=1，2，（3.1.3）（X，Y）的邊緣分布律有下列性質(zhì)：pi·0，p·j0，（i，j=1，2，）3.1.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度和邊緣概率密度一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的可能取值為某個(gè)或某些區(qū)間，甚至是整個(gè)數(shù)軸，二維隨機(jī)變量（X，Y）的

26、可能取值范圍則為XOY平面上的某個(gè)或某些區(qū)域，甚至為整個(gè)平面，一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率特征為存在一個(gè)概率密度函數(shù)f（x），滿足：且分布函數(shù)定義3-5設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x,y）=P（Xx,Yy），若存在非負(fù)可積函數(shù)f（x,y），使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y，有則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量；并稱f（x,y）為（X，Y）的概率密度或X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)。按定義，概率密度f（x,y）有以下性質(zhì)：（1）f（x,y）0；（2）反之，任一定義在整個(gè)實(shí)平面上的二元函數(shù)，如果具有以上兩條性質(zhì)，則它必可作為某二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度。若f（x,y）在（x,y）處連續(xù)，則有（3.1.4）

27、 因而在f（x,y）連續(xù)點(diǎn)（x,y）處，可由分布函數(shù)F（x,y）求出概率密度f（x,y）。如果已知（X，Y）的概率密度f（x,y），則（X，Y）在平面區(qū)域D內(nèi)取值的概率為：（3.1.5）由二重積分的幾何意義知（3.1.5）式表明：隨機(jī)點(diǎn)（X，Y）落在平面區(qū)域D上的概率等于以平面區(qū)域D為底、以曲面z=f（x,y）為頂?shù)那斨w的體積。定義3-6設(shè)D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S>0，如果二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為則稱（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布（或稱（X，Y）在D上服從均勻分布），記作（X，Y）UD?？雌鋬蓚€(gè)特殊情形：（1）D為矩形區(qū)域axb.cyd.此時(shí)S=（b-a）（d

28、-c）（2）D為圓形區(qū)域，如（X，Y）在以原點(diǎn)為圓心、R為半徑的圓域上服從均勻分布，則（X，Y）的概率密度為定義3-7若二維隨機(jī)變量（X，Y）概率密度為（3.1.6）（-<x<+，-<y<+）,其中1，2，都是常數(shù)，且1>0, 2>0,|<1，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（1，2，）.二維正態(tài)分布N（1,2,）的圖形是圖3-4的曲面。圖3-4下面討論連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的邊緣分布。定義3.8對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y），分量X（或Y）的概率密度稱為（X，Y）關(guān)于X（或Y）的邊緣概率密度，簡(jiǎn)稱邊緣密度，記為fx（x）（或fY（y）求

29、出：公式3.2隨機(jī)變量的獨(dú)立性3.2.1兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義3-9設(shè)F（x,y）,FX（x）和FY（y）分別是二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)和兩個(gè)邊緣分布函數(shù)。若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，有F（x,y）=FX（x）FY（y），（3.2.1）則稱X與Y相互獨(dú)立。（3.2.1）式等價(jià)于對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，有PXx，Yy=PXxPYy。由此可知，隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，事件Xx與Yy相互獨(dú)立。3.2.2二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)（X，Y）為離散型隨機(jī)變量，其分布律為pij=PX=xi,Y=yj,i,j=1，2，邊緣分布律為3.2.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X

30、，Y）的概率密度為f（x,y）,fX（x）,fY（y）分別為（X，Y）關(guān)于X和Y的邊緣概率密度，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是：f（x,y）= fX（x）fY（y）（3.2.3）3.3兩個(gè)隨機(jī)變量之和函數(shù)的概率分布3.3.2兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量之和的概率分布兩個(gè)獨(dú)立連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y的和函數(shù)Z=X+Y的概率密度的計(jì)算公式為：若X，Y獨(dú)立，XfX（X），YfY（Y）則有 （不證）上面公式叫獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積公式定理：若X，Y獨(dú)立，第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1 隨機(jī)變量的期望4.1.1 離散型隨機(jī)變量的期望定義若X的分布律為 P（X=xi）=pi，i=1，2當(dāng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂時(shí)（即收斂）就說是離散

31、型隨機(jī)變量X的期望。記作EX，即說明：（1）若X取值為有限個(gè)x1，x2，xn則（2）若X取值為可列無限多個(gè)x1，x2，xn則這時(shí)才要求無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。很明顯，X的期望EX體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。4.1.2 下面介紹幾種重要離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。1.兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量X的分布律為其中0p1，有EX=0×（1-p）+1×p=p。2.二項(xiàng)分布設(shè)XB（n,p），即可以證明它的期望EX=np二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望np，有著明顯的概率意義。比如擲硬幣試驗(yàn)，設(shè)出現(xiàn)正面概率若進(jìn)行100次試驗(yàn)，則可以“期望”出現(xiàn)次正面，這正是期望這一名稱的來由。3.泊松分布設(shè)其分

32、布律為則X數(shù)學(xué)期望為EX=小結(jié)上面的結(jié)果，有下面公式分布EXX（0,1）XB（n,p）XP（）pnp今后在上面三種情形下，期望EX不必用定義計(jì)算，可以直接套用公式。例如 若 XB（10，0.8），則EX=10×0.8=8 若 XP（3），則EX=3。4.1.3下面介紹離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。定理4-1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX=xk=pk，k=1，2，。令Y=g（X），若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為特別情形4.1.4 連續(xù)型隨機(jī)變量的期望定義4-2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f（x），若廣義積分絕對(duì)收斂，則稱該積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望或均值），

33、記為EX，即1.均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X在a,b上服從均勻分布，其概率密度為則 在區(qū)間a,b上服從均勻分布的隨機(jī)變量的期望是該區(qū)間中點(diǎn)。2.指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布，其概率密度為解：在微積分中有 即指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為參數(shù)的倒數(shù)。3.正態(tài)分布設(shè)其概率密度為則X的期望E（X）=。（不證）上面三種情況列表如下（可以作為公式使用）分布EXXU（a,b）XE（）XN（，2）例如 XU（0,10） 則 XE（2） 則下面介紹連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。定理4-2 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fX（x），又隨機(jī)變量Y=g（X），則當(dāng)收斂時(shí)，有這一公式的好處是不必求出隨機(jī)變量Y

34、 的概率密度fY（x），而可由隨機(jī)變量X的概率密度fX（x）直接計(jì)算E（Y），應(yīng)用起來比較方便。特別情形4.1.5二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望定理4-3 （1）若（X，Y）為離散型隨機(jī)變量，若其分布律為pijPX=xi,Y=yi，邊緣分布律為則（2）其（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f（x,y）,fx（x）,fY（y）分別為（X，Y）的概率密度與邊緣概率密度，則證明略。定理4-4 設(shè)g（X，Y）為連續(xù)函數(shù)，對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y）的函數(shù)g（X，Y），（1）若（X，Y）為離散型隨機(jī)變量，級(jí)數(shù)收斂，則（2）若（X，Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，且積分收斂，則4.1.6期望的性質(zhì)性質(zhì)4-1 常數(shù)的期望等于這個(gè)常

35、數(shù)，即E（C）=C，其中C為常數(shù)。證明 常數(shù)C作為隨機(jī)變量，它只可能取一個(gè)值C，即PX=C=1，所以E（C）=C·1=C性質(zhì)4-2 常數(shù)與隨機(jī)變量X乘積的期望等于該常數(shù)與隨機(jī)變量X的期望的乘積，即E（CX）=C·E（X）。證明 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f（x），則有當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，請(qǐng)讀者自證。有E（CX+b）=CEX+b性質(zhì)4-3隨機(jī)變量和的期望等于隨機(jī)變量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）。證明 不妨設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，其概率密度為f（x,y）,Z=X+Y是（X，Y）的函數(shù)，有=E（X）+E（Y）。這一性質(zhì)可作如下推廣：E（C1X+C2

36、Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1，C2為常數(shù)。結(jié)合性質(zhì)4-2與性質(zhì)4-3可證此性質(zhì)。一般地，設(shè)X1，X2，,Xn為n個(gè)隨機(jī)變量，則有E（X1+X2+Xn）= EX1+ EX2+ EXnE（C1X1+C2X2+CnXn）=C1EX1+C2EX2+ CnEXn性質(zhì)4-4兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量乘積的期望等于期望的乘積，即若X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則E（XY）=E（X）E（Y）。證明 僅證連續(xù)型情況，因?yàn)閄，Y相互獨(dú)立，所以f（x,y）=fX（x）fY（y），=E（X）E（Y）由數(shù)學(xué)歸納法可證得：當(dāng)X1，X2，Xn相互獨(dú)立時(shí)有E（X1X2Xn）=E（X1）E（X2）E（Xn）。4.2.1

37、方差的概念定義4-3設(shè)隨機(jī)變量的期望存在，則稱為隨機(jī)變量X的方差，記作D(X),即D(X)稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差）。從隨機(jī)變量的函數(shù)的期望看，隨機(jī)變量X的方差D(X)即是X的函數(shù)的期望。由方差定義可知，當(dāng)隨機(jī)變量的取值相對(duì)集中在期望附近時(shí)，方差較??；取值相對(duì)分散時(shí)，方差較大，并且總有.若X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為則（4.2.1）若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),則（4.2.2）在計(jì)算方差時(shí)，用下面的公式有時(shí)更為簡(jiǎn)便；即X的方差等于的期望減去X的期望的平方。當(dāng)X是離散型隨機(jī)變量時(shí)，(4.2.4)當(dāng)X是連續(xù)型隨面變量時(shí)，(4.2.5)4.2.2常見隨機(jī)變量的方差1.0-1分布設(shè)X的

38、分布律為其中0P1,則X的方差D(X)=P(1-P).因?yàn)槎剩?）二項(xiàng)分布設(shè)XB(n,p) 則有 (不證)（3）泊松分布設(shè)XP(),則有 (不證)（4）均勻分布設(shè)XU(a,b),則有（5）指數(shù)分布設(shè)(6)正態(tài)分布可以證明，若下表是六種常見分布的期望和方差的結(jié)果。要求大家熟記下面公式。4.2.3方差的性質(zhì)性質(zhì)4-5常數(shù)的方差等于零，隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于隨機(jī)變量的方差，即D(C)=0,D(X+C)=D(X).性質(zhì)4-6常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的方差等于這個(gè)常數(shù)的平方與隨機(jī)變量方差的乘積，即，其中C為常數(shù)性質(zhì)4-7兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差等于它們方差之和，即若X，Y相互獨(dú)立，則D(X+Y)=D

39、(X)+D(Y)因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，有E(XY)=E(X)E(Y)，因而上式為零因此D(X+Y)=D(X)+D(Y)注意：證明過程中得到有用結(jié)論E(XE(X)(YE(Y)=E(XY)E(X)E(Y)這一性質(zhì)也可推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量情況：若相互獨(dú)立，則將這一性質(zhì)應(yīng)用于二項(xiàng)分布可知，二項(xiàng)分布隨機(jī)變量X能表示成n個(gè)相互獨(dú)立的兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量之和：，因?yàn)榈姆讲顬閜q,k=1，2，n，則4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.3.1協(xié)方差定義4-4設(shè)有二維隨機(jī)變量（X，Y），且E（X），E（Y）存在，如果存在，則稱此值為X與Y的協(xié)方差，記，即定義 （4.3.1）當(dāng)（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量時(shí)，其分布律為則

40、（4.3.2） 當(dāng)（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，為（X,Y)的概率密度（4.3.3）協(xié)方差有下列計(jì)算公式：（4.3.）協(xié)方差具有下列性質(zhì)：（1）（2），其中a,b為任意常數(shù)。（）（）若X，Y相互獨(dú)立，則4.3.2相關(guān)系數(shù)定義4-5若，稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記為即 （1）（1）時(shí)，說X，Y不相關(guān)（2）時(shí)，說X，Y完全相關(guān)且（不證)定理：若X，Y獨(dú)立，則X，Y不相關(guān)雖然在一般情況下，X，Y不相關(guān)不能得到X，Y一定獨(dú)立的結(jié)論，但如果XN，YN則X，Y不相關(guān)則是X，Y獨(dú)立的充分條件，即有若X，Y都正態(tài)分布，則有X，Y獨(dú)立的充分必要條件是X，Y不相關(guān)。性質(zhì)若（X，Y）N則（X，Y）的相關(guān)系數(shù)為，且有

41、X與Y獨(dú)立4.3.3矩、協(xié)方差矩陣定義4-7（1）設(shè)X為隨機(jī)變量，k為正整數(shù)，如果存在，則稱為X的k階原點(diǎn)矩，記，即（2）如果存在，則稱 為X的k階中心矩，記為即 顯然，一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望：，二階中心矩就是方差：.定義4.8矩陣叫（X，Y）的協(xié)方差矩陣第五章 大數(shù)定律及中心極限定理5.1切比雪夫Chebyshev不等式定理51（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X的期望E（X）及方差D（X）存在，則對(duì)任意小正數(shù)>0，有:或5.2大數(shù)定律5.2.1貝努利大數(shù)定律定理5-2 設(shè)m是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A的概率，則對(duì)任意正數(shù)，有貝努利大數(shù)定律說明，在大量試驗(yàn)同一事件A時(shí)，事

42、件A的概率是A的頻率的穩(wěn)定值。5.2.2獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的切比雪夫大數(shù)定律定理5-3設(shè)X1,X2,Xn,是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列E（Xi）=,D（Xi）=2（i=1,2）均存在，則對(duì)于任意>0有 這一定理說明：經(jīng)過算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量在統(tǒng)計(jì)上具有一種穩(wěn)定性，它的取值將比較緊密聚集在它的期望附近。這正是大數(shù)定律的含義。在概率論中，大數(shù)定律是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定性的深刻描述；同時(shí)，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要理論基礎(chǔ)。5.3 中心極限定理5.3.1獨(dú)立同分布序列的中心極限定理定理5-4 設(shè)X1,X2,Xn,是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且具有相同數(shù)學(xué)期望和方差E（Xi）=，D（Xi）=2（i=1

43、,2,）。記隨機(jī)變量的分布函數(shù)為Fn（x），則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有 其中（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。由這一定理知道下列結(jié)論：（1）當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的分布近似于正態(tài)分布N（n，n2）。我們知道，n個(gè)獨(dú)立同分布的正態(tài)隨機(jī)變量之和服從正態(tài)分布。中心極限定理進(jìn)一步告訴我們。 不論X1,X2,Xn,獨(dú)立同服從什么分布，當(dāng)n充分大時(shí)，其和Zn近似服從正態(tài)分布。（2）考慮X1,X2,Xn,的平均值，有它的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量為，即為上述Yn。因此的分布函數(shù)即是上述的Fn（x），因而有由此可見， 當(dāng)n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的平均值的分布近似于正態(tài)分布 5.3.2 棣莫弗（De Moivre）

44、-拉普拉斯（Laplace）中心極限定理定理5-5（棣莫弗拉普拉斯中心極限定理）設(shè)隨機(jī)變量Zn是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x其中q=1-p,（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。 由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理得到下列結(jié)論：（1）在貝努利試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生的概率為p。又設(shè)Zn為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù)，則當(dāng)n充分大時(shí)，Zn近似服從正態(tài)分布N（np,npq）。（2）在貝努利試驗(yàn)中，若事件中A發(fā)生的概率為p，為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率，則當(dāng)n充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布第六章 統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布6.1總體與樣本6.1.1總體與個(gè)體在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題

45、中，我們把研究對(duì)象的全體稱為總體，構(gòu)成總體的每個(gè)成員稱為個(gè)體。6.1.2樣本為了了解總體的分布，我們從總體中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體，記其指標(biāo)值為x1，x2，xn，則x1，x2，xn稱為總體的一個(gè)樣本，n稱為樣本容量，或簡(jiǎn)稱樣本量，樣本中的個(gè)體稱為樣品。當(dāng)總體容量N很大但樣本容量n較小時(shí)，不放回抽樣可以近似地看做放回抽樣，即可近似看做獨(dú)立隨機(jī)抽樣。“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”有如下兩個(gè)要求：（1）樣本具有隨機(jī)性，即要求總體中每一個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì)被選入樣本，這便意味著每一樣品xi與總體X有相同的分布。（2）樣本要有獨(dú)立性，即要求樣本中每一樣品的取值不影響其他樣品的取值，這意味著x1，x2，xn相互獨(dú)立。用簡(jiǎn)單隨

46、機(jī)抽樣方法得到的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，也簡(jiǎn)稱樣本。除非特別指明，本書中的樣本皆為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。于是，樣本x1，x2，xn可以看成是相互獨(dú)立的具有同一分布的隨機(jī)變量，其共同分布即為總體分布。設(shè)總體X具有分布函數(shù)F（x）, x1，x2，xn為取自該總體的容量為n的樣本，則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為：若總體具有密度函數(shù)f（x），則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為若總體X為離散型隨機(jī)變量，則樣本的（聯(lián)合）概率函數(shù)為顯然，通常說的樣本分布是指多維隨機(jī)變量（x1，x2，xn）的聯(lián)合分布。6.2統(tǒng)計(jì)量及其分布6.2.1 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布定義6-1 設(shè)x1，x2，xn為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)TT（x1，x2，xn）中不含有

47、任何未知參數(shù)，則稱T為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。按照這一定義，若x1，x2，xn為樣本，則，都是統(tǒng)計(jì)量，而當(dāng)，2未知時(shí)， 等均不是統(tǒng)計(jì)量。6.2.2樣本均值及其抽樣分布定義6-2 設(shè)x1，x2，xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用表示，即。定理6-1設(shè)x1，x2，xn是來自某個(gè)總體X的樣本， 為樣本均值。（1）若總體分布為N（2），則的精確分布為；（2）若總體X分布未知（或不是正態(tài)分布），且E（X）=，D（X）=2，則當(dāng)樣本容量n較大時(shí)，的漸近分布為，這里的漸近分布是指n較大時(shí)的近似分布。6.2.3樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差定義6-3設(shè)x1，x2，xn為取自某總體的樣本，

48、則它關(guān)于樣本均值的平均偏差平方和稱為樣本方差，其算術(shù)根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。相對(duì)樣本方差而言，樣本標(biāo)準(zhǔn)差通常更有實(shí)際意義，因?yàn)樗c樣本均值具有相同的度量單位。在上面定義中，n為樣本容量，稱為偏差平方和，它有3個(gè)不同的表達(dá)式：事實(shí)上，偏差平方和的這3個(gè)表達(dá)式都可用來計(jì)算樣本方差。定理6-2設(shè)總體X具有二階矩，即E（x）=,D（X）=2<+x1，x2，xn為從該總體得到的樣本，和s2分別是樣本均值和樣本方差，則 此定理表明，樣本均值的均值與總體均值相同，而樣本均值的方差是總體方差的。值得讀者注意的是：本定理的結(jié)論與總體服從什么分布無關(guān)。6.2.4樣本矩及其函數(shù)樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本

49、矩，這是一類常見的統(tǒng)計(jì)量。定義6-4設(shè)x1，x2，xn是樣本，則統(tǒng)計(jì)量（6.3.5）稱為樣本k階原點(diǎn)矩，特別地，樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本均值。統(tǒng)計(jì)量 （6.3.6） 稱為樣本k階中心矩。常見的是k=2的場(chǎng)合，此時(shí)稱為二階樣本中心矩。本書中我們將其記為sn2，以區(qū)別樣本方差S2。 6.2.5極大順序統(tǒng)計(jì)量和極小順序統(tǒng)計(jì)量定義6-5設(shè)總體X具有分布函數(shù)F（x），分布密度f（x）, x1，x2，xn為其樣本，我們分別稱X（1）=minx1,x2,xn,x（n）=maxx1,x2,xn為極小順序統(tǒng)計(jì)量和極大順序統(tǒng)計(jì)量。定理6-3若x(1),x(n)分別為極小、極大順序統(tǒng)計(jì)量，則（1）x(1)的分布函數(shù)F1(x)=1-(1-F（x)n,x（1）的分布密度f1(x)=n-(1-F(x)n-1f(x) （2）x（n）的分布函數(shù)Fn(x)=F(x)n,x(n)的分布密度fn(x)=nF(x)n-1f(x)6.2.6正態(tài)總體的抽樣分布1. x2分布（卡方分布）定義6-6設(shè)X1，X2，Xn獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則x2=x12+xn2的分布稱為自由度為n的x2分布，記為x2 x2（n）。x2（n）分布的密度函數(shù)見圖6-4當(dāng)隨機(jī)變量x2 x2（n）時(shí)，對(duì)給定