二年級奧數(shù)上冊學(xué)生版

1、仁華學(xué)校奧林匹克數(shù)學(xué) 正值教育37第一講速算與巧算一、“湊整”先算1.計算：（1）24+44+56（2）53+36+47解：（1）24+44+56=24+（44+56）=24+100=124這樣想：因為44+56=100是個整百的數(shù)，所以先把它們的和算出來.（2）53+36+47=53+47+36=（53+47）+36=100+36=136這樣想：因為53+47=100是個整百的數(shù)，所以先把+47帶著符號搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出來.2.計算：（1）96+15（2）52+69解：（1）96+15=96+（4+11）=（96+4）+11=100+11=111這樣想：把15分

2、拆成15=4+11，這是因為96+4=100，可湊整先算.（2）52+69=（21+31）+69=21+（31+69）=21+100=121這樣想：因為69+31=100，所以把52分拆成21與31之和，再把31+69=100湊整先算.3.計算：（1）63+18+19（2）28+28+28解：（1）63+18+19=60+2+1+18+19=60+（2+18）+（1+19）=60+20+20=100這樣想：將63分拆成63=60+2+1就是因為2+18和1+19可以湊整先算.（2）28+28+28=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6=30+30+30-6=90-6=84這樣想：因為2

3、8+2=30可湊整，但最后要把多加的三個2減去.二、改變運算順序：在只有“+”、“-”號的混合算式中，運算順序可改變計算：（1）45-18+19（2）45+18-19解：（1）45-18+19=45+19-18=45+（19-18）=45+1=46這樣想：把+19帶著符號搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44這樣想：加18減19的結(jié)果就等于減1.三、計算等差連續(xù)數(shù)的和相鄰的兩個數(shù)的差都相等的一串數(shù)就叫等差連續(xù)數(shù)，又叫等差數(shù)列，如：1，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154

4、，8，12，16，20等等都是等差連續(xù)數(shù).1. 等差連續(xù)數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，它們的和等于中間數(shù)乘以個數(shù)，簡記成：（1）計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9=5×9 中間數(shù)是5=45 共9個數(shù)（2）計算：1+3+5+7+9=5×5 中間數(shù)是5=25 共有5個數(shù)（3）計算：2+4+6+8+10=6×5 中間數(shù)是6=30 共有5個數(shù)（4）計算：3+6+9+12+15=9×5 中間數(shù)是9=45 共有5個數(shù)（5）計算：4+8+12+16+20=12×5 中間數(shù)是12=60 共有5個數(shù)2. 等差連續(xù)數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，它們的和等于首數(shù)與末數(shù)之和乘以個數(shù)的一

5、半，簡記成：（1）計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×5=11×5=55共10個數(shù)，個數(shù)的一半是5，首數(shù)是1，末數(shù)是10.（2）計算：3+5+7+9+11+13+15+17=（3+17）×4=20×4=80共8個數(shù)，個數(shù)的一半是4，首數(shù)是3，末數(shù)是17.（3）計算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（2+20）×5=110共10個數(shù)，個數(shù)的一半是5，首數(shù)是2，末數(shù)是20.四、基準數(shù)法（1）計算：23+20+19+22+18+21解：仔細觀察，各個加數(shù)的大小都接近20，所以可以把每個加數(shù)先按20相加，然

6、后再把少算的加上，把多算的減去.23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=1236個加數(shù)都按20相加，其和=20×6=120.23按20計算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20計算多加了“1”，所以再減去“1”，以此類推.（2）計算：102+100+99+101+98解：方法1：仔細觀察，可知各個加數(shù)都接近100，所以選100為基準數(shù)，采用基準數(shù)法進行巧算.102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500方法2：仔細觀察，可將5個數(shù)重新排列如下：（實際上就是把有的加數(shù)帶有符號搬家）102+1

7、00+99+101+98=98+99+100+101+102=100×5=500可發(fā)現(xiàn)這是一個等差連續(xù)數(shù)的求和問題，中間數(shù)是100，個數(shù)是5.習題一1.計算：（1）18+28+72（2）87+15+13（3）43+56+17+24（7）28+44+39+62+56+212.計算：（1）98+67（2）43+28（3）75+263.計算：（1）82-49+18（2）82-50+49（3）41-64+294.計算：（1）99+98+97+96+95（2）9+99+9995.計算：（1）5+6+7+8+9（2）5+10+15+20+25+30+35（3）9+18+27+36+45+54（4

8、）12+14+16+18+20+22+24+26 （5）53+49+51+48+52+50（6）87+74+85+83+75+77+80+78+81+847.計算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5第二講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（一）例1 數(shù)一數(shù)，圖21和圖22中各有多少黑方塊和白方塊？解：仔細觀察圖21，可發(fā)現(xiàn)黑方塊和白方塊同樣多.因為每一行中有4個黑方塊和4個白方塊，共有8行，所以：黑方塊是：4×8=32（個）白方塊是：4×8=32（個）再仔細觀察圖22，從上往下看：第一行白方塊5個，黑方塊4個；第二行白方塊4個，黑方塊5個；

9、第三、五、七行同第一行，第四、六、八行同第二行；但最后的第九行是白方塊5個，黑方塊4個.可見白方塊總數(shù)比黑方塊總數(shù)多1個.白方塊總數(shù)：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（個）黑方塊總數(shù)：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（個）再一種方法是：每一行的白方塊和黑方塊共9個.共有9行，所以，白、黑方塊的總數(shù)是：9×9=81（個）.由于白方塊比黑方塊多1個，所以白方塊是41個，黑方塊是40個.例2 圖23所示磚墻是由正六邊形的特型磚砌成，中間有個“雪花”狀的墻洞，問需要幾塊正六邊形的磚（圖24）才能把它補好？解：仔細觀察，并發(fā)揮想象力可得出答案，用七塊正六邊形的磚可把這個墻洞補好

10、.如果動手畫一畫，就會看得更清楚了.例3將8個小立方塊組成如圖25所示的“丁”字型，再將表面都涂成紅色，然后就把小立方塊分開，問：（1）3面被涂成紅色的小立方塊有多少個？（2）4面被涂成紅色的小立方塊有多少個？（3）5面被涂成紅色的小立方塊有多少個？解：如圖26所示，看著圖，想像涂色情況.當把整個表面都涂成紅色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接觸的面），沒有被涂色.每個小立方體都有6個面，減去沒涂色的面數(shù)，就得涂色的面數(shù).每個小立方體涂色面數(shù)都寫在了它的上面，參看圖26所示.（1）3面涂色的小立方體共有1個；（2）4面涂色的小立方體共有4個；（3）5面涂色的小立方體共有3個.例4如圖27

11、所示，一個大長方體的表面上都涂上紅色，然后切成18個小立方體（切線如圖中虛線所示）.在這些切成的小立方體中，問： （1）1面涂成紅色的有幾個？（2）2面涂成紅色的有幾個？（3）3面涂成紅色的有幾個？解：仔細觀察圖形，并發(fā)揮想像力，可知：（1）上下兩層中間的2塊只有一面涂色；（2）每層四邊中間的1塊有兩面涂色，上下兩層共8塊；（3）每層四角的4塊有三面涂色，上下兩層共有8塊.最后檢驗一下小立體總塊數(shù)：2+8+8=18（個）.習題二1.如圖28所示，數(shù)一數(shù)，需要多少塊磚才能把壞了的墻補好？2.圖29所示的墻洞，用1號和2號兩種特型磚能補好嗎？若能補好，共需幾塊？3.圖210所示為一塊地板

12、，它是由1號、2號和3號三種不同圖案的瓷磚拼成.問這三種瓷磚各用了多少塊？4.如圖211所示，一個木制的正方體，棱長為3寸，它的六個面都被涂成了紅色.如果沿著圖中畫出的線切成棱長為1寸的小正方體.求：（1）3面涂成紅色的有多少塊？（2）2面涂成紅色的有多少塊？（3）1面涂成紅色的有多少塊？（4）各面都沒有涂色的有多少塊？（5）切成的小正方體共有多少塊？5.圖212所示為棱長4寸的正方體木塊，將它的表面全染成藍色，然后鋸成棱長為1寸的小正方體.問：（1）有3面被染成藍色的多少塊？（2）有2面被染成藍色的多少塊？（3）有1面被染成藍色的多少塊？（4）各面都沒有被染色的多少塊？（5）鋸成的小正方體木

13、塊共有多少塊？6.圖213所示為一個由小正方體堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成綠色，那么當把“塔”完全拆開時，3面被涂成綠色的小正方體有多少塊？7.圖214中的小狗與小貓的身體的外形是用繩子分別圍成的，你知道哪一條繩子長嗎？（仔細觀察，想辦法比較出來）. 第三講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（二）例1 數(shù)一數(shù)，圖31中共有多少點？解：（1）方法1：如圖32所示從上往下一層一層數(shù)：第一層 1個第二層 2個第三層 3個第四層 4個第五層 5個第六層 6個第七層 7個 第八層 8個第九層 9個第十層 10個第十一層 9個第十二層 8個第十三層 7個第十四層 6個第十五層 5個第十六層 4個

14、第十七層 3個第十八層 2個第十九層 1個總數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已學(xué)過的知識計算）.（2）方法2：如圖33所示：從上往下，沿折線數(shù)第一層 1個第二層 3個第三層 5個第四層 7個第五層 9個第六層 11個第七層 13個第八層 15個第九層 17個第十層 19個總數(shù)：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已學(xué)過的知識計算）.（3）方法3：把點群的整體轉(zhuǎn)個角度，成為如圖34所示的樣子，變成為10行10列的點

15、陣.顯然點的總數(shù)為10×10=100（個）.想一想：數(shù)數(shù)與計數(shù)，有時有不同的方法，需要多動腦筋.由方法1和方法3得出下式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10即等號左邊這樣的一串數(shù)之和等于中間數(shù)的自乘積.由此我們猜想：1=1×11+2+1=2×21+2+3+2+1=3×31+2+3+4+3+2+1=4×41+2+3+4+5+4+3+2+1=5×51+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×61+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×71

16、+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×81+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×91+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10這樣的等式還可以一直寫下去，能寫出很多很多.同學(xué)們可以自己檢驗一下，看是否正確，如果正確我們就發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律.由方法2和方法3也可以得出下式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.即從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個數(shù)的自乘積.由此我們猜想：1+3=2×21+3+5=3×31+3+5+7=4

17、×41+3+5+7+9=5×51+3+5+7+9+11=6×61+3+5+7+9+11+13=7×71+3+5+7+9+11+13+15=8×81+3+5+7+9+11+13+15+17=9×91+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10還可往下一直寫下去，同學(xué)們自己檢驗一下，看是否正確，如果正確，我們就又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律.例2 數(shù)一數(shù)，圖35中有多少條線段？解：（1）我們已知，兩點間的直線部分是一條線段.以A點為共同端點的線段有：AB AC AD AE AF 5條.以B點為共同左端點的線段有：BC BD BE

18、 BF 4條.以C點為共同左端點的線段有：CD CE CF 3條.以D點為共同左端點的線段有：DE DF 2條.以E點為共同左端點的線段有：EF1條.總數(shù)5+4+3+2+1=15條.（2）用圖示法更為直觀明了.見圖36.總數(shù)5+4+3+2+1=15（條）.想一想：由例2可知，一條大線段上有六個點，就有：總數(shù)=5+4+3+2+1條線段.由此猜想如下規(guī)律（見圖37）：還可以一直做下去.總之，線段總條線是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比總數(shù)小1.我們又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律.它說明了點數(shù)與線段總數(shù)之間的關(guān)系.上面的事實也可以這樣說：如果把相鄰兩點間的線段叫做基本線段，那么一條大線段上的基本線

19、段數(shù)和線段總條數(shù)之間的關(guān)系是：線段總條數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本線段的條數(shù)（見圖38）.基本線段數(shù) 線段總條數(shù)還可以一直寫下去，同學(xué)們可以自己試試看.例3 數(shù)一數(shù)，圖39中共有多少個銳角？解：（1）我們知道，圖中任意兩條從O點發(fā)出的射線都組成一個銳角.所以，以O(shè)A邊為公共邊的銳角有：LAOB，AOC，AOD，AOE，AOF共5個.以O(shè)B邊為公共邊的銳角有：BOC，BOD，BOE，BOF共4個.以O(shè)C邊為公共邊的銳角有：COD，COE，COF共3個.以O(shè)D邊為公共邊的銳角有：DOE，DOF共2個.以O(shè)E邊為一邊的銳角有：EOF只1個.銳角總數(shù)5+4+3+2+115

20、（個）.用圖示法更為直觀明了：如圖310所示，銳角總數(shù)為：5+4+3+2+1=15（個）.想一想：由例3可知：由一點發(fā)出的六條射線，組成的銳角的總數(shù)=5+4+3+2+1（個），由此猜想出如下規(guī)律：（見圖31115）總之，角的總數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比射線數(shù)小1.同樣，也可以這樣想：如果把相鄰兩條射線構(gòu)成的角叫做基本角，那么有共同頂點的基本角和角的總數(shù)之間的關(guān)系是：角的總數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于基本角個數(shù).注意，例2和例3的情況極其相似.雖然例2是關(guān)于線段的，例3是關(guān)于角的，但求總數(shù)時，它們有同樣的數(shù)學(xué)表達式.同學(xué)們可以看出，一個數(shù)學(xué)式子

21、可以表達表面上完全不同的事物中的數(shù)量關(guān)系，這就是數(shù)學(xué)的魔力.習題三1.書庫里把書如圖316所示的那樣沿墻堆放起來.請你數(shù)一數(shù)這些書共有多少本？2.圖317所示是一個跳棋盤，請你數(shù)一數(shù)，這個跳棋盤上共有多少個棋孔？3.數(shù)一數(shù)，圖318中有多少條線段？4.數(shù)一數(shù)，圖319中有多少銳角？5.數(shù)一數(shù)，圖320中有多少個三角形？6.數(shù)一數(shù)，圖321中有多少正方形？  第四講 認識簡單數(shù)列我們把按一定規(guī)律排列起來的一列數(shù)叫數(shù)列.在這一講里，我們要認識一些重要的簡單數(shù)列，還要學(xué)習找出數(shù)列的生成規(guī)律；學(xué)會把數(shù)列中缺少的數(shù)寫出來，最后還要學(xué)習解答一些生活中涉及數(shù)列知識的實際問題.例1 找出下

22、面各數(shù)列的規(guī)律，并填空.（1）1，2，3，4，5，8，9，10.（2）1，3，5，7，9，15，17，19.（3）2，4，6，8，10，16，18，20.（4）1，4，7，10，19，22，25.（5） 5，10，15，20，35，40，45.注意：自然數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列也是等差數(shù)列.例2 找出下面的數(shù)列的規(guī)律并填空.1，1，2，3，5，8，13，55，89.解：這叫斐波那契數(shù)列，從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面的兩個數(shù)之和.這是個有重要用途的數(shù)列.8+13=21，13+21=34.所以：空處依次填：例3 找出下面數(shù)列的生成規(guī)律并填空.1，2，4，8，16，128，256.解：它叫等比數(shù)列，它

23、的后一個數(shù)是前一個數(shù)的2倍.16×2=32，32×2=64，所以空處依次填：例4 找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空.1，2，4，7，11，29，37.解：這數(shù)列規(guī)律是：后一個數(shù)減前一個數(shù)的差是逐漸變大的，這些差是個自然數(shù)列：例5 找出下面數(shù)列的規(guī)律，并填空：1，3，7，15，31，255，511.解：規(guī)律是：后一個數(shù)減前一個數(shù)的差是逐漸變大的，差的變化規(guī)律是個等比數(shù)列，后一個差是前一個差的2倍.另外，原數(shù)列的規(guī)律也可以這樣看：后一個數(shù)等于前一個數(shù)乘以2再加1，即后一個數(shù)=前一個數(shù)×2+1.例6 找出下面數(shù)列的生成規(guī)律，并填空.1，4，9，16，25，64，81，100.

24、解：這是自然數(shù)平方數(shù)列，它的每一個數(shù)都是自然數(shù)的自乘積.如：1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，64=8×8，81=9×9，100=10×10.若寫成下面對應(yīng)起來的形式，就看得更清楚.自然數(shù)列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 自然數(shù)平方數(shù)列：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100例7 一輛公共汽車有78個座位，空車出發(fā).第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，車上坐滿乘客？（假定在坐滿以前，無乘客下車，見表四（1）方法2：由上表可知

25、，車上的人數(shù)是自1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，到第幾站后，就加到幾，所以只要加到出現(xiàn)78時，就可知道是到多少站了，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）可見第12站以后，車上坐滿乘客.例8 如果第一個數(shù)是3，以后每隔6個數(shù)寫出一個數(shù)，得到一列數(shù)：3，10，17，73.這里3叫第一項，10叫第二項，17叫第三項，試求73是第幾項？解：從第1項開始，把各項依次寫出來，一直寫到73出現(xiàn)為止（見表四（2）.可見73是第11項.例9 一天，爸爸給小明買了一包糖，數(shù)一數(shù)剛好100塊.爸爸靈機一動，又拿來了10個紙盒，接著說：“小明，現(xiàn)在你把糖往盒子里放，我要求你在第一個盒子里放2塊

26、，第二個盒子里放4塊，第三個盒子里放8塊，第四個盒子里放16塊，照這樣一直放下去.要放滿這10個盒，你說這100塊糖夠不夠？”小朋友，請你幫小明想一想？解：小朋友，你是不是以為100塊糖肯定能夠放滿這10個紙盒的了！下面讓我們算一算，看你想得對不對（見表四（3）.表四（3）放滿10個盒所需要的糖塊總數(shù)：可見100塊糖是遠遠不夠的，還差1946塊呢！這可能是你沒有想到的吧！其實，數(shù)學(xué)中還有很多很多奇妙無比的故事呢.習題四1. 從1開始，每隔兩個數(shù)寫出一個自然數(shù)，共寫出十個數(shù)來.2. 從1開始，每隔六個數(shù)寫出一個自然數(shù)，共寫出十個數(shù)來.3. 在習題一和習題二中，按題目要求寫出的兩個數(shù)列中，除1以外

27、出現(xiàn)的最小的相同的數(shù)是幾？4. 自2開始，隔兩個數(shù)寫一個數(shù)：2，5，8，101.可以看出，2是這列數(shù)的第一項，5是第二項，8是第三項，等等.問101是第幾個數(shù)？5. 如圖41所示，“階梯形”的最高處是4個正方形疊起來的高度，而且整個圖形包括了10個小正方形.如果這個“階梯形”的高度變?yōu)?2個小正方形疊起來那樣高，那么，整個圖形應(yīng)包括多少個小正方形？6. 如圖42所示，把小立方體疊起來成為“寶塔”，求這個小寶塔共包括多少個小立方體？7. 開學(xué)的第一個星期，小明準備發(fā)起成立一個趣味數(shù)學(xué)小組，這時只有他一個人.他決定第二個星期吸收兩名新組員，而每個新組員要在進入小組后的下一個星期再吸收兩名新組員，求

28、開學(xué)4個星期后，這個小組共有多少組員？8. 圖43所示為細胞的增長方式.就是說一個分裂為兩個，再次分裂變?yōu)?個，第三次分裂為8個，照這樣下去，問經(jīng)過10次分裂，一個細胞變成幾個？9. 圖44所示是一串“黑”、“白”兩色的珠子，其中有一些珠子在盒子里，問（1）盒子里有多少珠子？（2）這串珠子共有多少個？第五講自然數(shù)列趣題本講的習題，大都是關(guān)于自然數(shù)列方面的計數(shù)問題，解題的思維方法一般是運用枚舉法及分類統(tǒng)計方法，望同學(xué)們能很好地掌握它.例1 小明從1寫到100，他共寫了多少個數(shù)字“1”？解：分類計算：“1”出現(xiàn)在個位上的數(shù)有：1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10個；“1”

29、出現(xiàn)在十位上的數(shù)有：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10個；“1”出現(xiàn)在百位上的數(shù)有：100共1個；共計10+10+1=21個.例2 一本小人書共100頁，排版時一個鉛字只能排一位數(shù)字，請你算一下，排這本書的頁碼共用了多少個鉛字？解：分類計算：從第1頁到第9頁，共9頁，每頁用1個鉛字，共用1×9=9（個）；從第10頁到第99頁，共90頁，每頁用2個鉛字，共用2×90=180（個）；第100頁，只1頁共用3個鉛字，所以排100頁書的頁碼共用鉛字的總數(shù)是：9+180+3=192（個）.例3 把1到100的一百個自然數(shù)全部寫出來，用到的所有數(shù)字的和是多

30、少？解：（見圖51）先按題要求，把1到100的一百個自然數(shù)全部寫出來，再分類進行計算：如圖51所示，寬豎條帶中都是個位數(shù)字，共有10條，數(shù)字之和是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10=45×10=450.窄豎條帶中，每條都包含有一種十位數(shù)字，共有9條，數(shù)字之和是：1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10+8×10+9×10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10=45×10450.另外100這個數(shù)的數(shù)字和是1+0+0=1.

31、所以，這一百個自然數(shù)的數(shù)字總和是：450+450+1=901.順便提請同學(xué)們注意的是：一道數(shù)學(xué)題的解法往往不只一種，誰能尋找并發(fā)現(xiàn)出更簡潔的解法來，往往標志著誰有更強的數(shù)學(xué)能力.比如說這道題就還有更簡潔的解法，試試看，你能不能找出來？習題五1.有一本書共200頁，頁碼依次為1、2、3、199、200，問數(shù)字“1”在頁碼中共出現(xiàn)了多少次？2.在1至100的奇數(shù)中，數(shù)字“3”共出現(xiàn)了多少次？3.在10至100的自然數(shù)中，個位數(shù)字是2或是7的數(shù)共有多少個？4.一本書共200頁，如果頁碼的每個數(shù)字都得用一個單獨的鉛字排版（比如，“150”這個頁碼就需要三個鉛字“1”、“5”和“0”），問排這本書的頁碼

32、一共需要多少個鉛字？5.像“21”這個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字“2”大于個位數(shù)字“1”，問從1至100的所有自然數(shù)中有多少個這樣的兩位數(shù)？6.像“101”這個三位數(shù)，它的個位數(shù)字與百位數(shù)字調(diào)換以后，數(shù)的大小并不改變，問從100至200之間有多少個這樣的三位數(shù)？7.像11、12、13這三個數(shù)，它們的數(shù)位上的各個數(shù)字相加之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.問自然數(shù)列的前20個數(shù)的數(shù)字之和是多少？8.把1到100的一百個自然數(shù)全部寫出來，用到的所有數(shù)字的和是多少？第六講 找規(guī)律（一）例1 觀察下面由點組成的圖形（點群），請回答：（1）方框內(nèi)的點群包含多少個點？（2）第（10）個點群中包含多少個

33、點？（3）前十個點群中，所有點的總數(shù)是多少？解：數(shù)一數(shù)可知：前四個點群中包含的點數(shù)分別是：1，4，7，10.可見，這是一個等差數(shù)列，在每相鄰的兩個數(shù)中，后一個數(shù)都比前一個數(shù)大3（即公差是3）.（1）因為方框內(nèi)應(yīng)是第（5）個點群，它的點數(shù)應(yīng)該是10+3=13（個）.（2）列表，依次寫出各點群的點數(shù)，可知第（10）個點群包含有28個點.（3）前十個點群，所有點的總數(shù)是：1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（個）例2 圖62表示“寶塔”，它們的層數(shù)不同，但都是由一樣大的小三角形擺成的.仔細觀察后，請你回答：（1）五層的“寶塔”的最下層包含多少個小三角形？（2）整個五層“寶塔”

34、一共包含多少個小三角形？（3） 從第（1）到第（10）的十個“寶塔”，共包含多少個小三角形？解：（1）數(shù)一數(shù)“寶塔”每層包含的小三角形數(shù)：可見1，3，5，7是個奇數(shù)列，所以由這個規(guī)律猜出第五層應(yīng)包含的小三角形是9個.（2）整個五層塔共包含的小三角形個數(shù)是：1+3+5+7+9=25（個）.（3）每個“寶塔”所包含的小三角形數(shù)可列表如下：由此發(fā)現(xiàn)從第（1）到第（10）共十個“寶塔”所包含的小三角形數(shù)是從1開始的自然數(shù)平方數(shù)列前十項之和：例3 下面的圖形表示由一些方磚堆起來的“寶塔”.仔細觀察后，請你回答：（1）從上往下數(shù)，第五層包含幾塊磚？（2）整個五層的“寶塔”共包含多少塊磚？（3）若另有一座這

35、樣的十層寶塔，共包含多少塊磚？解：（1）數(shù)一數(shù)，“寶塔”每層包含的方磚塊數(shù)：可見各層的方磚塊數(shù)組成自然數(shù)平方數(shù)列，按此規(guī)律，第五層應(yīng)包含的方磚塊數(shù)是：5×5=25（塊）.（2）整個五層“寶塔”共包含的方磚塊數(shù)應(yīng)是從1開始的前五個自然數(shù)的平方數(shù)相加之和，即：1+4+9+16+25=55（塊）.（3）根據(jù)上面得到的規(guī)律，可求出十層寶塔所包含的方磚的塊數(shù)：習題六1.觀察圖64中的點群，請回答：（1）方框內(nèi)的點群包含多少個點？（2）第10個點群中包含多少個點？（3）前十個點群中，所有點的總數(shù)是多少？2.觀察下面圖65中的點群，請回答：（1）方框內(nèi)的點群包含多少個點？（2）推測第10個點群中包

36、含多少個點？（3）前10個點群中，所有點的總數(shù)是多少？3.觀察圖66中的點群，請回答：（1）方框內(nèi)的點群包含多少個點？（2）推測第10個點群包含多少個點？（3）前十個點群中，所有點的總數(shù)是多少？4.圖67所示為一堆磚.中央最高一摞是10塊，它的左右兩邊各是9塊，再往兩邊是8塊、7塊、6塊、5塊、4塊、3塊、2塊、1塊.問：（1）這堆磚共有多少塊？（2）如果中央最高一摞是10O塊，兩邊按圖示的方式堆砌，問這堆磚共多少塊？5.圖68所示為堆積的方磚，共畫出了五層.如果以同樣的方式繼續(xù)堆積下去，共堆積了10層，問：（1）能看到的方磚有多少塊？（2）不能看到的方磚有多少塊？第七講 找規(guī)律（二）例1仔細

37、觀察下面的圖形，找出變化規(guī)律，猜猜在第3組的右框空白格內(nèi)填一個什么樣的圖？解：仔細觀察圖71，可知：第1組左邊是個大菱形，右邊是個小菱形.第2組左邊是個大三角形，右邊是個小三角形.其規(guī)律是：每組中左右兩邊圖形的形狀相同，大小不同.都是左邊的圖形大，右邊的圖形小.猜出答案：第3組中右邊空白格內(nèi)應(yīng)填個小長方形.（如圖73）.仔細觀察圖72可知：第1組左邊是個圓，而且左半圓涂有陰影線.右邊是左邊的陰影半圓順時針旋轉(zhuǎn)后放置的.第2組左邊是個等腰三角形，而且左半部（直角三角形）涂有陰影線，右邊是左邊陰影直角三角形順時針旋轉(zhuǎn)后放置的.其規(guī)律是：每組的右邊格內(nèi)的圖形都是左邊圖形左邊的一半，順時針旋轉(zhuǎn)放置后成

38、為右邊圖形.猜出答案：第3組中右框內(nèi)應(yīng)填個陰影小長方形.如圖74示.例2按順序仔細觀察圖75、76的形狀，猜一猜第3組的“？”處應(yīng)填什么圖？解：圖75的？處應(yīng)填.注意觀察第1組和第2組，每組都是由三對小圖形組成；而每對小圖形都是由一個“空白”的和一個“黑色”的小圖形組成；而且它倆的排列順序都是“空白”的在左邊，“黑色”的在右邊.再按著第1、第2、第3組的順序觀察下去，可發(fā)現(xiàn)每對小圖形在各組中的位置的變化規(guī)律：它們都在向左移動，當一對小圖形移動到最左邊后，下一步它就回到了最右邊.按這個移動規(guī)律，可知圖75中第3組“？”處應(yīng)填：.圖76的？處應(yīng)填0.仔細觀察可發(fā)現(xiàn)第1組和第2組中間的部分都是由三個

39、小圖形構(gòu)成的.構(gòu)成的規(guī)律是：當你按照第1、第2、第3組的順序觀察時，6個小圖形都在向左移動，而且移動的同時又在重新分組和組合，但排列順序保持不變，當某一個小圖形移動到了最左邊時，下一步它就回到了最右邊.按這個規(guī)律可知圖76中第3組中間“？”處是：0.例3觀察圖77的變化，請先回答：在方框（4）中應(yīng)畫出怎樣的圖形？再答按（1）、（2）、（3）、的順序數(shù)下去，第（10）個方框中是怎樣的圖形？解：先按（1）、（2）、（3）、的順序仔細觀察，可發(fā)現(xiàn)：方框中的箭頭是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的；方框中的其他小圖形，如、和也都是按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的.也就是說，方框連同內(nèi)部的所有小圖形作為一個整體在按逆時針方向旋轉(zhuǎn).因

40、此，方框（4）中的小圖形應(yīng)畫成圖78狀.再按已找到的規(guī)律，進一步可發(fā)現(xiàn)圖形的變化是有“周期性”的，也就是說，每過4個方框后，同樣的圖形又重新出現(xiàn)一次.如，你可看到第（1）和第（5）是完全一樣的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）個圖形應(yīng)當是完全一樣的.即第（10）個方框中的圖形應(yīng)是圖79所示的樣子.例4觀察圖710的變化，請先回答：第（4）、（8）個圖中，黑點在什么地方？第（10）、（18）個圖中，黑點在什么地方？解：（1）按圖710中（1）、（2）、（3）、的順序仔細觀察，可發(fā)現(xiàn)黑點位置的變化規(guī)律：在（1）中，黑點在最上面第一條橫線上；在（2）中，黑點下降了一格，在上面第二

41、條橫線上；在（3）中，黑點又下降了一格，在中間一條線上了.按黑點位置的這種變化可推測出：在（4）中，黑點又下降一格，它的位置應(yīng)如圖711所示.繼續(xù)觀察下去：在（5）中，黑點下降到最下面的一條橫線上；在（6）中，黑點開始往上升一格；在（7）中，黑點再上升一格，按著黑點位置的這種變化可推測出：在（8）中，黑點又上升一格，它的位置應(yīng)如圖712所示.（2）進一步仔細觀察圖710（1）（9），可發(fā)現(xiàn)黑點位置變化的“周期性”規(guī)律：也就是說，每隔8個小圖，黑點又回到原來的位置.因為2+8=10，2+8+8=18.所以第（10）、（18）個小圖中，黑點的位置應(yīng)與第（2）個小圖相同，見圖713所示.習題七1.仔

42、細觀察圖714，找找變化規(guī)律，猜猜在第3組的空白格內(nèi)填一個什么樣的圖？2.仔細觀察圖715，找找變化規(guī)律，猜猜在第3組的空白格內(nèi)填一個什么樣的圖？3.仔細觀察圖716，找找變化規(guī)律，猜猜在第3組的空白格內(nèi)填一個什么樣的圖？4.按順序仔細觀察下列圖形，猜一猜第3組的“？”處應(yīng)填什么圖？5.按順序仔細觀察下列圖形，猜一猜第3組的“？”處應(yīng)填什么圖？6.按順序仔細觀察下列圖形，猜一猜第3組的“？”應(yīng)填什么圖？7.按順序仔細觀察下列圖形，猜一猜第3組的“？”應(yīng)填什么圖？8.仔細觀察下列圖形的變化，請先回答：在方框（4）中應(yīng)畫出怎樣的圖形？再按（1）、（2）、（3）、的順序數(shù)下去，第（10）個方框是怎樣

43、的圖形？9.仔細觀察下列圖形的變化，請先回答：在方框（4）中應(yīng)畫出怎樣的圖形？再按（1）、（2）、（3）、的順序數(shù)下去，第（10）個方框是怎樣的圖形？第八講 找規(guī)律（三）數(shù)學(xué)家看問題，總想找規(guī)律.我們學(xué)數(shù)學(xué)，也要向他們學(xué)習.找規(guī)律，要從簡單的情況著手，仔細觀察，得到啟示，大膽猜想，找出一般規(guī)律，還要進行驗證，最后還需要證明（在小學(xué)階段不要求同學(xué)們進行證明）.例1 沿直尺的邊緣把紙上的兩個點連起來，這個圖形就叫做線段.這兩個點就叫線段的端點，如圖811所示.不難看出，線段也可以看成是直線上兩點間的部分.如果一條直線上標出11個點，如圖812所示，任何兩點間的部分都是一條線段，問共有多少條線段.解

44、：先從簡單的情況著手.（1）畫一畫，數(shù)一數(shù)：（見圖813）（2）試著分析：2個點，線段條數(shù)：1=13個點，線段條數(shù)：3=2+14個點，線段條數(shù)：6=3+2+15個點，線段條數(shù)：10=4+3+2+1（3）大膽猜想：一條直線上有若干點時線段的條數(shù)總是從1開始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的自然數(shù)比點數(shù)小1.（4）進行驗證：對于更多點的情況，對猜想進行驗證，看猜想是否正確，如果正確，就增加了對猜想的信心.如：6個點時：對不對？對.見圖 814.線段條數(shù)：5+4+3+2+1=15（條）.（5）應(yīng)用規(guī)律：應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問題.當直線上有11個點時，線段的條數(shù)應(yīng)是：10+9+8+7+6+5+4

45、+3+2+1=55（條）.例2 如圖82中（1）（5）所示兩條直線相交只有1個交點，3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點，那么，11條直線相交最多有多少交點？解：從簡單情況著手研究：（1）畫一畫、數(shù)一數(shù)圖8-2（2）試著分析：直線條數(shù) 最多交點數(shù)1 02 1=13 3=2+14 6=3+2+15 10=4+3+2+1（3）大膽猜想：若干條直線相交時，最多的交點數(shù)是從1開始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的自然數(shù)比直線條數(shù)小1.（4）進行驗證：見圖83.取6條直線相交，畫一畫，數(shù)一數(shù)，看一看最多交點個數(shù)與猜想的是否一致，若相符，則更增強了對猜想的信心.用猜想的算法進行計算：最多交

46、點數(shù)應(yīng)是5+4+3+2+1=15（個）.（5）應(yīng)用規(guī)律：應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問題.當有11條直線相交時，最多的交點數(shù)應(yīng)是：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（個）.例3 如圖84所示，一張大餅，切1刀最多切成2塊，切2刀最多切成4塊，切3刀最多切成7塊，問切10刀最多切成多少塊？解：從最簡單情況著手研究.（1）畫一畫、數(shù)一數(shù)（2）試著分析：所切刀數(shù) 切出的塊數(shù)0 11 2=1+12 4=1+1+23 7=1+1+2+34 11=1+1+2+3+4（3）大膽猜想：把一張大餅切若干刀時，切成的最多塊數(shù)等于從1開始的一串自然數(shù)相加之和加1.其中最大的自然數(shù)等于切的刀數(shù).（4）進行

47、驗證：見圖85對大餅切5刀的情況用兩種方法求解，看結(jié)果是否一致，若一致則更增強了對猜想的信心.數(shù)一數(shù)：16塊.算一算：1+1+2+3+4+5=16（塊）.（5）應(yīng)用規(guī)律：把大餅切10刀時，最多切成的塊數(shù)是：1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=1+55=56（塊）.習題八1.如圖86所示，直線上有13個點，任意兩點間的部分都構(gòu)成一條線段，問共構(gòu)成多少條線段？2.如圖87所示，兩條直線最多有一個交點，三條直線最多有三個交點，四條直線最多有六個交點，問十三條直線最多有幾個交點？3.圖88所示為切大餅示意圖，已知切1刀最多切成2塊，切2刀最多切成4塊，切3刀最多切成7塊，問切12刀最多切成多

48、少塊？4.如圖89所示，將自然數(shù)從小到大沿三角形的邊成螺旋狀，排列起來，2在第一個拐彎處，4在第二個拐彎處，7在第三個拐彎處，問在第十個拐彎處的自然數(shù)是幾？5.如圖810所示為切大餅的示意圖.切一刀只有一種切法，切兩刀有2種切法，切三刀有4種切法，問切十一刀有多少種切法（規(guī)定：三刀或三刀以上不能切在同一點上，如圖811所示）？第九講 填圖與拆數(shù)填圖是一種運算游戲，它要求把一些數(shù)字按照一定的規(guī)則填進各類圖形.這不僅可以提高運算能力，而且更能促使你積極地去思考問題、分析問題，使你的智力得到更好地發(fā)展.例1 請你把1、2、3這三個數(shù)填在圖9.1中的方格中，使每行、每列和每條對角線上的三個數(shù)字之和都相

49、等.解：這樣想，如果每行的三個數(shù)分別是1、2、3，每列的三個數(shù)也分別是1、2、3，那么自然滿足每行、每列的三個數(shù)之和相等這個條件的要求.試著填填看.有圖92、圖93和圖94三種不同的填法，檢查一下，只有圖94的填法，滿足對角線上的三個數(shù)之和與每行、每列三數(shù)之和相等這個條件的要求.例2 請把19九個數(shù)字填入圖95中，要求每行、每列和每條對角線上三個數(shù)的和都要等于15.解：從19這九個數(shù)字中，5是處于中間的一個數(shù)，而4與6，3與7，2與8，1與9之和都正好是10.所以5應(yīng)當填在中心的空格中，而其他八個數(shù)字應(yīng)當填到周邊的方格中.上面圖96就是一個符合要求的解答，把5填在中心空格后，嘗試幾次是不難得出

50、這種答案的.例3 如下面圖99所示有八張卡片.卡片上分別寫有1、2、3、4、5、6、7、8八個數(shù).現(xiàn)在請你重新按圖 910進行排列，使每邊三張卡片上的數(shù)的和等于：13，15.解：要使每邊三張卡片上的數(shù)相加之和等于13時，就要將13分拆成三個數(shù)之和.以上的分拆是分兩步進行的.可以看出，因為8+5=13，所以8和5不能填在同一邊（若把8和5填在同一邊，再加上第三個數(shù)時必然會大于13，這不符合題目要求），也就是說，要把8和5分別填在相對的兩個角上的方格里.如圖911所示.要使每邊三張卡片上的數(shù)相加之和等于15時，就要將15分拆成三個數(shù)之和：以上的分拆也是分兩步進行的.可以看出，因為8+7=15，所以8和7不能填在同一邊，也就是說，要把8和7分別填在相對的兩個角的方格里，如圖912所示.例4 圖913是由八個小圓圈組成的，每個小圓圈都有直線與相鄰的小圓圈相接連.請你把1、2、3、4、5、6、7、8八個數(shù)字分別填在八個小圓圈內(nèi)，但相鄰的兩個數(shù)不能填入有直線相連的兩個小圓圈（例如，你在最上頭的一個小圓圈中填了5，那么4和6就不能填在第二層三個小圓圈中了）.解：答案如圖914所示.中間的兩個圈只能填1和8，是這樣分析出來的：在1、2、3、4、5、6、7、8這八個數(shù)字中，只有“1”和“8”這兩個數(shù)，各有一個相鄰的數(shù)，也就是有六個不相鄰的數(shù).中間的兩個小圓圈，每個都