解析幾何第四版知識題目解析

1、第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的準(zhǔn)線為：(x 1)2 (y 3)2 (z 2)225x y z 20且(1)母線平行于X軸；(2)母線平行于直線 x y, z c，試求這些柱面的方程。 解：(1)從方程(X 1)2 (y 3)2 (z 2)225x y z 202 2 2中消去 x，得到：(z y 3) (y 3) (z 2)25223即：y z yz 6y 5z 02上式中消去t后得到：x223z 2xy 8x 8y 8z 260此即為要求的柱面方程。(2)取準(zhǔn)線上一點(diǎn)Mo(Xo,yo,zo)，過Mo且平行于直線xy的直線方程為zcxXotxoxt

2、yyotyoytzZoZoz而Mo在準(zhǔn)線上，所以(xt1)2(yt 3)2 (z2)225x y z 2t 202此即為要求的柱面方程。而Mo在準(zhǔn)線上，所以:x ty2(z 2t)2x t2( z 2t)* *2 2 2消去 t，得到：4x 25y z 4xz 20x 10z0此即為所求的方程。3、求過三條平行直線 x y z, x 1 y z 1,與x 1 y 1 z 2的圓柱面方程。解：過又過準(zhǔn)線上一點(diǎn) 皿1(%,力，乙)，且方向?yàn)?,1,1的直線方程為：xx1t%x ty y1ty1y tz 乙tZ1z t將此式代入準(zhǔn)線方程，并消去 t得到:2 2 25( xy zxyyz zx) 2x

3、11y13z0此即為所求的圓柱面的方程。4、已知柱面的準(zhǔn)線為(u)x(u), y(u), z(u)，母線的方向平行于矢量S X,Y,Z試證明柱面的矢量式參數(shù)方程與坐標(biāo)式參數(shù)方程分別為：x Y(u) vS與xx(u)Xvyy(u)Yvzz(u)Zv式中的u, v為參數(shù)。證明：對柱面上任一點(diǎn) M(x,y,z)，過M的母線與準(zhǔn)線交于點(diǎn) M (x(u), y(u), z(u)，則,M M vS即21、求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為 x 2z 10, y z 10的錐面方程。解：設(shè)為錐面上任一點(diǎn) M (x, y,z)，過M與0的直線為：設(shè)其與準(zhǔn)線交于(X。，丫o ,Zo)，即存在t ,使XoXt ,Yoyt ,Z

4、ozt，將它們代入準(zhǔn)線方程，并消去參數(shù)t，得:x2 2z(zy)(zy)2即：x2 y2 z20此為所要求的錐面方程。2、已知錐面的頂點(diǎn)為(3,1,2)，準(zhǔn)線為1, xz 0，試求它的方程。解：設(shè)M(x, y,z)為要求的錐面上任一點(diǎn)，它與頂點(diǎn)的連線為：X 3Y1Z2x 3y1z2令它與準(zhǔn)線交于(Xo ,Yo ,Zo)，即存在t,使Xo3(x3)tYo1(y!)tZo2 (z 2)t將它們代入準(zhǔn)線方程，并消去 t得：2 2 23x 5y 7z 6xy 2yz 1oxz 4x 4y 4z 4 o此為要求的錐面方程。4、求對錐面上任一點(diǎn) M (x, y, z)，過M與頂點(diǎn)O的母線為：X YZxyz

5、令它與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為(Xo, Yo,Zo)，即存在t，使Xoxt,Yoyt ,Zozt，將它們代入準(zhǔn)線方程，并消去t得:xy yzzx o此即為要求的圓錐面的方程。5、求頂點(diǎn)為（1,2,4），軸與平面2x2y z 0垂直，且經(jīng)過點(diǎn)（3,2,1）的圓錐面的方程。X 1 y 2 解：軸線的方程為：2 2z 4T過點(diǎn)（3, 2, 1）且垂直于軸的平面為:即:2x 2y該平面與軸的交點(diǎn)為9要求圓錐面的準(zhǔn)線為:的徑矢為°X0,y°,Z02(xz 113) 2(y 2) (z 1)020 37,），它與（3,2,1）的距離為:99112202372(6 3) (6 2) (6 1).11

6、63，試證明錐面的矢量式參數(shù)方程與坐標(biāo)式參數(shù)方程分別為:umurv (u)(1uuv) 0式中，u,v為參數(shù)。vx(u) vy(u) vz(u)(1(1(1v)Xov)yov)zo證明：對錐面上任一點(diǎn)M（x,y,z）uuuu，令OMr，它與頂點(diǎn)A的連線交準(zhǔn)線于uuuuruuuurM (x(u), y(u), z(u)，即 OM (u)。uuuu uuuuuUUJUUQ AM /AM，且AM 0 (頂點(diǎn)不在準(zhǔn)線上)uuuuujujuAMvAMr uuuiuurur即0v( (u)0 )ruiuurUU亦即v (u) (1v) 0此為錐面的矢量式參數(shù)方程。若將矢量式參數(shù)方程用分量表示，即:x,y,

7、zvx(u), y(u), z(u)(1 v)x°,yo,z。x vx(u) (1 v)x0y vy(u) (1 v)y。z vz(u) (1 v)Zo此為錐面的坐標(biāo)式參數(shù)方程，u , v為參數(shù)。§ 4.3旋轉(zhuǎn)曲面x1y1z1 * xyz(1 )；繞_112 112(2 )；xyz1繞X _y_z 1旋轉(zhuǎn)2111 12(3)x 1yz繞z軸旋轉(zhuǎn)；1331、求下列旋轉(zhuǎn)曲面的方程:1旋轉(zhuǎn)2z x（4 ）空間曲線2 2 繞z軸旋轉(zhuǎn)。x y 1解: ( 1 )設(shè) M1 (捲,y1, n)x 1是母線 -1上任一點(diǎn)，過M1的緯圓為:(x2 xX1)2y(y %)(z 1)22(z2X

8、1zj2y10(乙 1)2(1)因M1在母線上,從（1）（ 3）消去為，,乙，得到:2 2 25x 5y 23z 12xy 24 yz24 xz24x24 y 46 z 230此為所求的旋轉(zhuǎn)面的方程。（3）對母線上任一點(diǎn) 皿1（為，丫1,乙），過該點(diǎn)的緯圓為:z(1)22 2 2 2 2xy zx1y1乙又M1在母線上，所以：X11y1w(3)13 3從（1）（3）消去為，如，乙，得到:9(x2 y2) 10z2 6z 90此為所求的旋轉(zhuǎn)面方程。（4 ）對母線上任一點(diǎn)M1(x1,y1, z,)，過 Mi 的緯圓為:zz12 2 2x y z(1)又M1在母線上,所以Z12X1x12%2 1(1

9、)從（消去，得到:y2 1即旋轉(zhuǎn)面的方程為:y2 1(0z 1)2、將直線-繞z軸旋轉(zhuǎn),1求這旋轉(zhuǎn)面的方程，并就可能的值討論這是什么曲面?解：先求旋轉(zhuǎn)面的方程式:任取母線上一點(diǎn)M1的緯圓為:(1)(3)從（1）3）消去為，,乙，得到:x2y22z220此即為所求旋轉(zhuǎn)面的方程。0,0時，旋轉(zhuǎn)面為圓柱面（以 z軸為軸）；當(dāng) 0,0時，旋轉(zhuǎn)面為圓錐面（以 z軸為軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)）0時，旋轉(zhuǎn)面變?yōu)閦軸;0,0時，旋轉(zhuǎn)面為單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。3、已知曲線的參數(shù)方程為x x(u), y y(u),z z(u)，將曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程。解：如圖，設(shè)M (x(u), y(u),z(u)為 上任一點(diǎn)

10、，則對經(jīng)過 M的緯圓上任一點(diǎn)z車P（x, y,z），§4.4橢球面1、做出平面2x20與橢球面42z1的交線的圖形。4解：平面2x0與橢球面41的交線為:2y9xz2，即2y27圖形為O2、設(shè)動點(diǎn)與點(diǎn)（1,0,0）的距離等于從這點(diǎn)到平面x 4的距離的一半，試求此動點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)動點(diǎn)M （x,y,z），要求的軌跡為，則條兩兩相互垂直的射線，分別交曲面P1, P2, P3，設(shè) 051,0卩2r2, op3 r3，試證:111111 r22 r32 a2 b2 c2證明：利用上題結(jié)果，有 4$iab2(i 123)ULW其中i , i, i是0Pi的方向余弦。uun若將op（i 1,2,

11、3）所在的直線看成新的坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸，則3是坐標(biāo)矢量關(guān)于新坐標(biāo)系的方向余弦，從而1，同理，321所以，111-22r1r2r3丄丄丄2 r2 2 abc12a32)c2(32)1 1即：Ir1r21""2a1b212c5、一直線分別交坐標(biāo)面yoz, zox, xoy 于三點(diǎn)A,B,C，當(dāng)直線變動時，直線上的三定點(diǎn)p，它與三點(diǎn)的距離分別為A,B,C也分別在三個坐標(biāo)面上變動，另外，直線上有第四點(diǎn)a,b,c，當(dāng)直線按照這樣的規(guī)定（即保持A,B,C分別在三坐標(biāo)面上）變動，試求 p點(diǎn)的軌跡。解：設(shè) A（0,比，乙），B（X2,O, Z2）,C（X3, y3,0），則知:X2Z1Z

12、21X3, y3X2NZ1Z2Z1Z2Z2NZ2%-,0)Z2 Z1urnmuuuur又設(shè)P(x,y,z)，QPAa,PBb,PCcX2(y yJ2(zz)22 a(1)(X22X2)y(zz2)2b2(2)(XX2W )2(y劭1)22 z2 c(3)乙Z2z2乙又p在AB的連線上Xyy1zz1（4）X1y1z2Z1從（1） （4）消豈去,X2Z2，得到2 2 即：2(1豊)冷1b c2 2 .22 a c b27"22c b a b ，a2 c2c ' b2 a2滿足要求的平zz2、給定方程(AC 0)試問當(dāng)取異于A,B,C的各種數(shù)值時,它表示怎樣的曲面?解：對方程1 (

13、A B C 0)（*）1o、當(dāng)A時，（*）不表示任何實(shí)圖形;2o、當(dāng) AB時，（*）表示雙葉雙曲面;3o、當(dāng) BC時，（*）表示單葉雙曲面;4o、當(dāng) C時，（*）表示橢球面。222xyz一3、已知單葉雙曲面1，試求平面的方程，使這平面平行于 yoz面（或xoz面）494且與曲面的交線是一對相交直線。解：設(shè)所求的平面為 x k，則該平面與單葉雙曲面的交線為:(*)2y92 y_ 9為使交線（*）為二相交直線，則須:0,即卩k亦即所以，要求的平面方程為：x 2同理，平行于xoy的平面要滿足它與單葉雙曲面的交線為二相交直線，則該平面為：y 34、設(shè)動點(diǎn)與（4,0,0）的距離等于這點(diǎn)到平面 x 1的距

14、離的兩倍，試求這動點(diǎn)的軌跡。2 2解：x 20y24x 1160此即為要求的射影柱面方程。6、設(shè)直線|與m為互不垂直的兩條異面直線，C是I與m的公垂線的中點(diǎn)， A, B兩點(diǎn)分別在直線I，m上滑動，且 ACB 90o，試證直線 AB的軌跡是一個單葉雙曲面。證明：以I，m的公垂線作為z軸，C作為坐標(biāo)原點(diǎn)，再令 x軸與I，m的夾角均為，公 垂線的長為2c，若設(shè)tgy x 0 l :z cy x 0m:，則l，mz c* *令 A(Xi, %,c), B(X2, y2,c)，則有:y1X10, y2X202又AC CB，所以：X12y1(Xi2 2 2X2)(y1 y2)(2c)亦即X1X2y&quo

15、t;2(2)又設(shè)M (x, y,z)為AB上任一點(diǎn)，則從(1)XX1y y1X2X1y2 y1z c2c(3)中消去Xi,yi,X2, y2，得:2 2 2(1 )x2 2 (1 )y2z22c22y2 2cL2X即：一cLI不垂直m ,(4 )表示單葉雙曲面,即 AB的軌跡是單葉雙曲面。7、試驗(yàn)證單葉雙曲面與雙葉雙曲面的參數(shù)方程分別為:解為:asecucosvbsecus in vctgu2 y_ b22zatgucosv btgus in vcsecu令確定a與b(1,2,6)和(丄，1,1)均在該曲面上。3有:2a2a936一 536x26y2所以要求的橢圓拋物面的方程為：2 2即：18

16、x 3y 5z2、適當(dāng)選取坐標(biāo)系，求下列軌跡的方程：(1)到一定點(diǎn)和一定平面距離之比為定常數(shù)的點(diǎn)的軌跡;2z(2)與兩給定的異面直線等距離的點(diǎn)的軌跡, 已知兩異面直線間的距離為 2a，夾角為2解: ( 1)取定平面為xoy面，過定點(diǎn)且垂直于 xoy面的直線作為z軸，則定點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為y2(z a)2z(0,0,a)，而定平面即為z 0，設(shè)比值常數(shù)為c,并令所求的軌跡為，貝U點(diǎn) M (x, y, z)2 2 2. 2 2即 x y (1 c )z 2az ax軸，使其與二異面直線的夾此為的方程。(2 )取二異面直線的公垂線為軸，中點(diǎn)的坐標(biāo)為原點(diǎn)；再取角相等，則二異面直線的方程為：y tg x 0與

17、y tg x 0z az a設(shè)所求的軌跡為，則M (x, y, z)y z a tg 02x y1 tg2z a x0 1；| yz a2z ax2xy'tg0011tg2、1 tg2J tg2解：略。5、試驗(yàn)證橢圓拋物面與雙曲拋物面的參數(shù)方程可分別寫成:x aucosvx a(u v)y bus inv與y b(u v)1 2z 2uvz u2式中的u,v為參數(shù)。解：對方程x au cosvy busi nv1 2z u22 2消去參數(shù)u,v得：2 占 2za b這正是橢圓拋物面的方程。對方程x a(u v)y b(u v)z 2uv2 2x y消去參數(shù)u ,v得：一2 2 2za

18、b* *這正是雙曲拋物面的方程。§ 4.7單葉雙曲面與雙葉雙曲面的直母線1、求下列直紋面的直母線族方程:2 2 2 （1） x y z 0(2) z axy2y即：（x z）（xz) y yx 7亦即：ytyx z為了避免取極限，將上方程寫成：s(x(x若將原方程變形為2y2 z1若令u (tS)，vAx z ty(x z)t yz) tyz)t sy2u(y z) vxx，則可得到：v(y z) uxS)，則(2)便是(1)（1）（2）原曲面的直母線族是1 ），其中S,t不全為零。解：（1）從原方程得：x2 z2(2)2、求下列直線族所成的曲面（式中的為參數(shù)）（2 ）原方程變形為：

19、 ayx亦即：ay tx(1)z xtay tz axy得:z sy ax s（1）（ 2）即這原曲面的兩組直母線族方程。* *2x(1)1(2)2 y2y4z 4解：（i）原方程等價于從此式中消去，得: 此即為直母線（1 ）所形成的曲面。2x（2 ）從原方程中消去得：一16此即為（2）的直母線族所形成的曲面。3、在雙曲拋物面16422xy164xy42解：雙曲拋物面z的兩族直母線為:u2 y2xz上，求平行于平面3x2y4z0的直母線。/Xu(4第一族直母線的方向矢量為:2, 1,u第二族直母線的方向矢量為:2,1,v據(jù)題意，要求的直母線應(yīng)滿足:要求的直母線方程為:4u 04v 02x4、試

20、證單葉雙曲面a2 y b22 z2c1的任意一條直母線在xoy面上的射影,是其腰圓* *的切線。證明：單葉雙曲面的腰圓為2 x2 az2yb2o兩直母線為:它在xoy面內(nèi)的射影為xaz cv(1xz1 一(1acv2x1vavz0y 1 比v)(2)將（2）的第一式代入（的第一式得:1v -vv)2即：& (v fly?b v(丄vv)2上述方程的判別式為:2)24 (vb21)2(- v)2 ov v（2 ）與（1）相比，證畢。x 65、求與兩直線3y z 12 1z 4相交，而且與平面212x3y 5 o 平行的直線的軌跡。解：設(shè)動直線與二已知直線分別交于(Xo, yo,Zo),

21、(x1,y1,z1)，則xo63yo2Zo11Xi屮 8 乙 42 21又動直線與平面2x 3y 50平行，所以,2(Xoxj 3(yoyj對動直線上任一點(diǎn) M (x, y, z)，有:XXoXiXoyyoyiyozZoZiZo2 2X y從(1) ( 4)消去 Xo,yo,Zo,Xi,yi,Zi，得到：4z946、求與下列三條直線x i x i 一X 2 y i z 2，與y z y z345都共面的直線所構(gòu)成的曲面。解：動直線不可能同時平行于直線X iX及直線yzy不妨設(shè)其與第一條直線交于p(i,)注p(i,)與第二條直線的平面為：(x i) (y z) o過p與直線(x i) 3( y

22、z)3(x i) (y z) o動直線的方程為：(X 1) (y z) o(x 1) 3(y z) 3(x 1) (y z)0從上式中消去參數(shù)，得：x2 y2 z2 i此為所要求的軌跡方程。7、試證明經(jīng)過單葉雙曲面的一直母線的每個平面一定經(jīng)過屬于另一族直母線的一條直母線，并舉一反例，說明這個命題與雙曲拋物面的情況下不一定成立。證明：單葉雙曲面2y_b22 z2 c1的一族直母線為:/XZy、u( )v(1)acbv(X Z)u(1 右acbU(1和x z過該族中一條直母線的平面為:Su( ) v(1a c即：su（-）a c另一族直母線為：sv(1 ) tv(- b ax zm( )n(1a

23、cx z n( )m(1a c自 tU(1 0(1)過該族中一條直母線的平面為:km（i自n（1訥1叫自m（1訓(xùn)0XzyxZ即 km( ) kn(1 ) nl( ) ml(1acbac(2)對照（1 ）、（2）得，只要令m s, ku,n t,l v ,得（2）便是（1）了亦即過u族每一直母線的任一平面都經(jīng)過v族中的一條直母線,同理，對v族的直母線也有類似性質(zhì)。x2 y2對雙曲拋物面：7 2za b其族直母線為：xy2uabxyu(-)zab(*)x取其中的一條（即取定 u），顯然平面一a1 2u通過直母線b*），但該平面不通過 v族直母線中的任何一條，這是因?yàn)?v族直母線的方向矢量為丄，1,

24、2b a ab1111門2v2門而-0 -0abbaabab平面xy2u不能通過v族中的任何直母線。ab8、試求單葉雙曲面2 x2 a2 2y2 z21上互相垂直的兩條直母線交點(diǎn)的軌跡方程。b c解：由于過單葉雙曲面上每點(diǎn)僅有一條U母線和一條v母線,所以它的同族直母線不能相交，設(shè)單葉雙曲面的二垂直相交的直母線為:x zyu(_)w(1a cbxzyt()v(1)acbxzyv()t(1)acba( uw)a(t2 v2)X2vty2 buwc (z a(v2 t2)2vtya(v2 t2)2bvtc(v2 t2)將兩方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，得:由此求出二直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為:a(uv wt)x rr，yb

25、(vw ut)vw utc(uv wt)vw ut又二直線垂直，a2 (u2 w2 )(v2 t2) 4b2uvwt c2 (u2 w2)(v2 t2)02 2 2 2 2 222 _2a (uv wt) b (vw ut) c (uv wt)x y z2(vw ut)2,222,2、 ，2,222, 2、2,222, 22 , 2 2、 ,a(uv wt)b(vw ut)c(uv wt) 2(a b c )uvwt(vw ut)2(u vw t )(a c )b (v wu t )2( abc )uvwt(vw ut)2(ac )(w vu t )b (v wu t )2(abc )uvwt4b uvwt(vw ut)22 2 2 2 2 2 2(a b c )(w v u t 2uvwt