食譜設計與優(yōu)化問題

1、食譜設計與優(yōu)化問題設計總說明（摘要）每個人都希望一日三餐的食物能夠既有營養(yǎng)又價格合理。所以我們在分 析食物的營養(yǎng)成分，選擇不同食物的組合作為食譜的一般想法是，以最小的 費用來滿足對基本營養(yǎng)的需求。所以我們必須從營養(yǎng)學家那里知道什么才是 基本營養(yǎng)要素需求（可能因人而異）。另外，我們在選擇食物的時候，為了 保持食物種類的多樣性避免對單一營養(yǎng)食物的厭倦，生活中我們應該考慮一 個很長的可供選擇食物的名單。根據(jù)營養(yǎng)學家的建議，一個人每天對蛋白質、維生素A、鈣和碳水化合 物的需求如下，50g蛋白質,400011（國際單位）維生素A、lOOOmg鈣和1050g 碳水化合物?，F(xiàn)在提供蘋果，香蕉，紅棗，雞蛋和胡

2、蘿卜5種日常食物的營 養(yǎng)成分表，我們便可通過線型規(guī)劃建立模型并用計算機求解出我們對營養(yǎng)的 攝取最佳的飲食搭配數(shù)量和最少的花費，設計出最優(yōu)的食譜搭配方案。關鍵詞：運籌學，線性規(guī)劃，基本營養(yǎng)需求，最少花費，合理搭配目錄1問題：食物設計與優(yōu)化問題3緒論 3研究的背景3研究的主要內容與目的3研究的意義4研究的主要方法和思路 4理論方法的選擇 5所研究問題的特點5擬釆用的運籌學理論方法的特點5模型的建立 6基礎數(shù)據(jù)的建立6變量的設定7目標函數(shù)的建立7限制條件的確定7模型的建立8模型的求解及解的分析8模型的求解8模型的分析與評價10結論與建議11研究結論11建議與對策112參考文獻113致謝154附錄11

3、1問題：食譜設計與優(yōu)化問題緒論1.1.1研究的背景健康問題已經(jīng)成為當前人們最關心的問題之一，在當今普遍具有健康意識的 時代，每個人都希望每天能夠有合理的飲食習慣，希望所吃的食物能夠既不單調, 而且還要充滿營養(yǎng)，價格合理。所以我們在分析食物的營養(yǎng)成分，選擇不同食物 的組合作為食譜的一般想法是，以最小的費用來滿足對基本營養(yǎng)的需求。所以我 們必須從營養(yǎng)學家那里知道什么才是基本營養(yǎng)需求（可能因人而異）。另外，我 們在選擇食物的時候，為了保持食物種類的多樣性避免對單一營養(yǎng)食物的厭倦， 生活中我們應該考慮一個很長的可供選擇食物的名單。按營養(yǎng)學家的建議，一個人一天對蛋白質、各類維生素、鈣，鐵，鋅等微量 元素

4、和碳水化合物等等各種身體必需營養(yǎng)物質的需求都有一定的需求量。我們需 要考慮我們每天所吃食物營養(yǎng)的構成，如何搭配生活中的食物數(shù)量而使我們每天 所需求的營養(yǎng)數(shù)達到健康的需求標準，而且所需要的花費是最少的呢，這便是一 個值得我們去研究的問題，這種研究對我們自身的健康有著重要的作用。1. 1.2研究的主要內容與目的現(xiàn)在有資料表明一個人一天對蛋白質、維生素A、鈣和碳水化合物的需求如 下，50g蛋白質，400011；（國際單位）維生素A、lOOOmg鈣和1050g碳水化合物。 現(xiàn)在提供4種食物構成的食譜：生的帶皮蘋果.香蕉、生的胡蘿卜。切碎的去核 的棗和新鮮的生雞蛋。并且我們已知這4種食物中蛋白質，維生素

5、A,鈣和水化 合物的含量。如何對以上5種食物進行搭配，確定每種食物的用量，以最小費用滿足推薦 的每日定額，從而達到最佳的食譜優(yōu)化。1. 1.3研究的意義能夠使我們對每天生活中所需求的最少量營養(yǎng)成分得到滿足，讓我們每天都 能合理飲食，從而保持身體的營養(yǎng)和健康。同時也可以讓我們利用最少的花費從 而得到最佳的飲食搭配，既有營養(yǎng)又便宜。1. 1. 4研究的主要方法和思路 研究的主要方法：利用線性規(guī)劃理論解決實際問題，所謂線性規(guī)劃，是求線性函數(shù)在線性（不 等式或等式）約束下達最（小或大）值的問題。線性規(guī)劃廣泛應用于工農業(yè)、軍事、 交通運輸、決策管理與規(guī)劃、科學實驗等領域。%線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類

6、問題中得到應用，一是在人力、物力、資 金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務， 如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務。常 見的問題在：物資調運問題、產(chǎn)品安排問題、下料問題。思路：利用所搜集的數(shù)據(jù)建立模型，寫出目標函數(shù)和線性約束條件，再利用計算機 軟件LINDO求解。理論方法的選擇1.2. 1所研究問題的特點1. 這一個問題是一組非負的未知變量構成的；2. 有一個欲求的目標，這個目標是一組未知變量的線性函數(shù)，要求實現(xiàn)目標問 題的最小值(MIN),而且未知變量為非負數(shù)；3. 存在一定的約束限制條件，該約束限制條件是由一組線性不等式組成的；

7、4. 題目中可以提出隱含假設條件。1.2.2擬采用的運籌學理論方法的特點線性規(guī)劃是運籌學中研究較早、發(fā)展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分 支它是輔助人們進行科學管理的一種數(shù)學方法在經(jīng)濟管理、交通運輸、工農業(yè) 生產(chǎn)等經(jīng)濟活動中，提高經(jīng)濟效果是人們不可缺少的要求，而提高經(jīng)濟效果一般 通過兩種途徑：一是技術方面的改進，例如改善生產(chǎn)工藝，使用新設備和新型原 材料本題目采用的是第二種：對生產(chǎn)組織與計劃的改進，即合理安排人力物力 資源線性規(guī)劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力物力等資源，如何能 夠使經(jīng)濟效果達到最好。1. 2. 3理論方法的適用性及有效性論證最近50多年來，線性規(guī)劃無論是在深度還

8、是在廣度方面都取得了巨大進展。 例如，橢球方法、Karmarkar方法和內點法等。隨著計算機技術日新月異不斷發(fā) 展，使成千上萬個約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問題能夠迅速的求解，更為線 性規(guī)劃在經(jīng)濟等各個領域的廣泛應用提供了極其有利的條件o在經(jīng)濟管理和實際 問題中大量的問題是線性的，有的可以轉化成線性的，從而是線性規(guī)劃有了極大 的應用價值。線性規(guī)劃已經(jīng)成為現(xiàn)代化管理的一個重要手段。仔細分析發(fā)現(xiàn)問題的實質是線性規(guī)劃問題，解決此問題的關鍵就是找到問題 中隱含的約束條件，即滿足每天的基本營養(yǎng)需求。另外，模型的求解是有關一 個最優(yōu)解的問題，找出問題的目標函數(shù)，即在滿足基本營養(yǎng)需求的前提下，使花 費在食物

9、上的費用最小。并利用線型規(guī)劃來進行數(shù)學建模。I而在解決該食譜搭配問題的同時也需要一定的模型假設。為了討論問題方 便，對問題進行一些簡化，我們應該做岀如下假設：（1）假定食物都是新鮮而且營養(yǎng)成分充足的，避免了同一種食物之間營養(yǎng)含量 的差別。（2）對營養(yǎng)的需求可以適量過剩，而不可以不足。（3）根據(jù)實際情況，變量的求解盡量取整數(shù)。模型的建立1.3. 1基礎數(shù)據(jù)的建立一個人一天對蛋白質、維生素A、鈣和碳水化合物的需求如下，50g蛋白質, 4000IU （國際單位）維生素A、lOOOmg鈣和1050g碳水化合物。5種食物的營養(yǎng)成分表如下:食物單位蛋白質/g維生素A/IC鈣/m窩碳水化合物/g價格/元蘋果

10、中等大小一個（138g）7301香蕉中等大小一個（118g）96026紅棗一盒(178g)890571036雞蛋中等大小一個（44g）2792206胡蘿卜中等大小一個（72g）2025191.3.2變量的設定設變量xl, x2, x3, x4, x5均為決策變量。其中：xl為蘋果每天的需求個數(shù)；x2為香蕉每天的需求個數(shù)；x3為紅棗每天的需求盒數(shù)；x4為雞蛋每天的需求個數(shù)；x5為胡蘿卜每天的需求個數(shù)。1. 3. 3目標函數(shù)的建立我們設每日對五種食物的需求個數(shù)分別為X1,X2,X3,X4,X5,并且5種食物的價 格也為已知，所以確定目標函數(shù)：minZ=lXl+6X3+1.3.4限制條件的確定由于4

11、種營養(yǎng)要素的日需求最小量給出，同時5種食物的需求量必定為非負 數(shù)，得目標函數(shù)的約束條為：+卄 $50730x1+960x2+890x3+279x4+2025x524000+57x3+220x4+19x51000+26x2+103x3+6x4+21050Xl>0X2>0X3>0X4>0X5>01.3.5模型的建立 根據(jù)目標函數(shù)和限制條件，建立模型為：廠 MinZ=lxl+6x3+ (+N50J730x1+960x2+890x3+279x4+2025x54000|+57x3+220x4+19x51000匸+26x2+103x3+6x4+21050ST Xl>0X

12、2>0X3>0* X4>0X5>0<模型的求解及解的分析1.4.1模型的求解LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4OBJECTIVE FUNCTION VALUE1)VARIABLEVALUEREDUCED COSTXIX2X3X4X5ROW SLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2)3)4)5)6)7)8)9)10)NO. ITERATIONS二RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED：OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLEC

13、OEFINCREASEDECREASEXIINFINITYX2X3X4X5INFINITYRIGHTHAND SIDE RANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERUSINCREASEDECREASE23INFINITY456INFINITY7INFINITY8INFINITY9INFINITY10INFINITY最優(yōu)解為:xl= x2=x3=x4=x5=1.4.2模型的分析與評價規(guī)劃的最優(yōu)解為元，所表示的含義就是為了滿足我們每天對4種營養(yǎng)的最低 需求，我們每天最少的花費就是元。而根據(jù)現(xiàn)實情況來說，所得出的5個解都是 小數(shù)，這樣的話在現(xiàn)實中比較不實際，所以應該把解取為

14、整數(shù)，所以當我們每人 每天吃6個香蕉，8盒紅棗，2個雞蛋的時候，滿足了我們每天日常生活所需要 的最基本的營養(yǎng)要素，而且所花費的資金數(shù)是最少的，使我們能夠花費最少的錢 而獲得保持身體健康每日對營養(yǎng)的需求。靈敏度分析：RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED：OBJ COEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEXIINFINITYX2X3X4X5INFINITYRIGHTHAND SIDE RANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSIN

15、CREASEDECREASE23INFINITY456INFINITY7INFINITY8INFINITY9INFINITY10INFINITY結論與建議1.5. 1研究結論通過此次課程設計的題目，我們得出結論當我們每人每天吃6個香蕉，8盒 紅棗，2個雞蛋的時候，以最小費用滿足推薦的每日 定額，從而達到最佳的 食譜優(yōu)化，且最少的費用為元。通過以上數(shù)據(jù)表明整個設計研究工作符合實際情 況，最終得到總體結論和主要成果，使得提岀的問題得到了較好的解決。本次課程設計研究為我們提供了一份花費最少費用獲得最基本必需營養(yǎng)的 食物搭配方案。為我們以后針對自身的健康狀況。合理的選擇食物搭配從而為了 保持每日身體營養(yǎng)需求提供了一個很好的例子，這樣既能花費降到最低，而且能 夠在對食物攝取上更加符合營養(yǎng)需求標準。1.5.2建議與