2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)與解三角形第4節(jié)三角恒等變換學(xué)案含解析新人教A版

1、高考復(fù)習(xí)資料第四節(jié)三角恒等變換一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin .(2)cos(±)cos cos sin sin .(3)tan(±).兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的結(jié)構(gòu)特征和符號特點及關(guān)系：c(±)同名相乘，符號反；s(±)異名相乘，符號同；t(±)分子同，分母反2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.二倍角是相對的，

2、例如，是的二倍角，3是的二倍角3常用公式(1)降冪擴角公式：cos2，sin2.(2)升冪公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2.(3)公式變形：tan ±tan tan(±)(1tan ·tan )(4)輔助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中sin ，cos .4常見的配角技巧2()()，()，.二、基本技能·思想·活動體驗1判斷下列說法的正誤，對的打“”，錯的打“×”(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在實數(shù)，使等式sin()sin sin 成立()(3)公式tan()可以變形

3、為tan tan tan()(1tan tan )，且對任意角，都成立(×)(4)當(dāng)是第一象限角時，sin(×)(5)存在角，使得sin 22sin 成立()2sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°()abcdd題目解析：sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin(20°10°)sin 30°.故選d3cos2sin2_.題目解析

4、：根據(jù)二倍角公式有cos2sin2cos .4化簡：_.4sin 題目解析：原式4sin .5若tan ，tan()，則tan _.題目解析：因為tan ，tan()，所以tan tan().考點1公式的簡單應(yīng)用基礎(chǔ)性1(2020·山東九校聯(lián)考)已知點a在圓x2y24上，且xoa，則點a的橫坐標(biāo)為()abcda題目解析：設(shè)點a(x0，y0)，因為點a在圓上，所以xy4.因為xoa，coscoscos·cossinsin.又因為cos xoa，即cos ，所以x0.故選a2(2020·沈陽三模)被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法

5、”，在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用，0.618就是黃金分割比m的近似值，黃金分割比還可以表示成2sin 18°，則()a4b1c2d1c題目解析：由題意，2sin 18°m，所以m24sin218°，則2.3.()a4b2c2d4d題目解析：4.4(2020·全國卷)若sin x，則cos 2x_.題目解析：因為sin x，所以cos 2x12sin2x.應(yīng)用三角恒等變換公式化簡求值的策略(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用(3)注意配方

6、法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用考點2三角函數(shù)的化簡求值問題綜合性考向1給值求值問題(1)(2020·全國卷)已知(0，)，且3cos 28cos 5，則sin ()abcda題目解析：由3cos 28cos 5，得6cos28cos 80，即3cos24cos 40，解得cos 或cos 2(舍去)又因為(0，)，所以sin .故選a(2)(2020·山東師范大學(xué)附中高三質(zhì)評)若sin cos(2)，則tan 2()abcdc題目解析：因為sin cos (2)cos ，所以tan ，所以tan 2.故選c(3)若，且3cos 2sin，則sin 2的值為_題目解析：co

7、s 2sinsin2sincos.代入原式，得6sin·cossin.因為，所以cos，所以sin 2cos 2cos2 1.給值求值問題的求解思路(1)化簡所求式子(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值考向2給值求角問題已知cos ，cos()，且0<<<，則_.題目解析：因為0<<<，所以0<<.又因為cos()，所以sin().因為cos ，0<<，所以sin .所以cos cos()cos ·cos()sin sin()××.

8、因為0<<，所以.已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)根據(jù)條件確定所求角的范圍；(2)確定待求角的某種三角函數(shù)值，為防止增解，最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)；(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角1(2019·全國卷)已知，2sin 2cos 21，則sin ()abcdb題目解析：由2sin 2cos 21，得4sin cos 2cos2.又因為，所以2sin cos .又因為sin2cos21，所以sin .2已知tan ，tan 是方程x23x40的兩根，且，則()ab或c或dd題目解析：由題意得tan tan 30，tan tan 40，所以tan()，且tan 0

9、，tan 0.又由，得，所以(，0)，所以.3(2020·泰安高三一輪檢測)已知，sin()，sin，則cos_.題目解析：因為，所以，.因為sin ()，sin，所以cos()，cos，所以coscoscos()·cossin()sin××.考點3角的變換與式的變換綜合性考向1角的變換(1)(2020·全國卷)已知sin sin1，則sin()abcdb題目解析：因為sin sinsin sin cos cos sin sin sin cos sin cos sin 1，所以sin .故選b(2)(2020·濟南一模)已知cos，則

10、sin2的值為_題目解析：sin2.(3)化簡： _.1題目解析：1.本例(2)中條件改為“cos(75°)”，求cos(30°2)的值解：因為cos(75°)，所以sin(15°)cos(75°)，所以cos(30°2)12sin2(15°)12×.應(yīng)用角的變換求值策略解決此類問題應(yīng)明確各個角之間的關(guān)系(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角的變換技巧，及半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化，如：2()()，()()，40°60°20°，2×等考向2式的變換計算：sin 10

11、76;.解：原式sin 10°sin 10°·sin 10°·2cos 10°.應(yīng)用式的變換求值策略解決此類問題應(yīng)明確各個三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦函數(shù)化為正切函數(shù)，或者把正切函數(shù)化為正弦、余弦函數(shù)1(2020·石家莊模擬)若cos (1tan 10°)1，則的一個可能值為()a75°b50°c40°d10°c題目解析：因為cos (1tan 10°)1，所以cos cos 40°，所以的一個可能值為40°.

12、故選c2(2020·百校聯(lián)盟1月聯(lián)考)已知，都是銳角，cos()，sin()，則sin ()abcda題目解析：因為，都是銳角，所以0<<，<<.又因為cos()，sin()，所以sin()，cos()，則cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()××.因為cos 212sin2，所以sin2.因為sin >0，所以sin .故選a考點4三角恒等變換的綜合應(yīng)用應(yīng)用性已知函數(shù)f (x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求函數(shù)f (x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若(0，)，且f ，求tan的值

13、解：(1)因為f (x)(2cos2x1)·sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，所以函數(shù)f (x)的最小正周期t.令2k4x2k，kz，得x，kz.所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，kz.(2)因為f ，所以sin1.又(0，)，所以.所以.故.因此，tan2.三角恒等變換綜合應(yīng)用的解題思路(1)將f (x)化為asin xbcos x的形式(2)構(gòu)造f (x).(3)和角公式逆用，得f (x)sin(x)(其中為輔助角)(4)利用f (x)sin(x)研究三角函數(shù)的性質(zhì)(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范1(20

14、20·北京卷)若函數(shù)f (x)sin(x)cos x的最大值為2，則常數(shù)的一個取值為_題目解析：因為f (x)cos sin x(sin 1)cos xsin(x)，其中tan ，所以2，解得sin 1，故可取.2已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點p(3，)(1)求sin 2tan 的值；(2)若函數(shù)f (x)cos(x)cos sin(x)·sin ，求函數(shù)g(x)f 2f 2(x)在區(qū)間上的值域解：(1)因為角的終邊經(jīng)過點p(3，)，所以sin ，cos ，tan .所以sin 2tan 2sin cos tan .(2)因為f (x)cos(x

15、)cos sin(x)sin (cos xcos sin xsin )·cos (sin xcos cos xsin )sin cos x·cos2cos xsin2cos x，所以g(x)cos2cos2xsin 2x1cos 2x2sin1.因為0x，所以2x.所以sin1.所以22sin11.故函數(shù)g(x)在區(qū)間上的值域是2,1.已知，求sin的值四字程序讀想算思求sin的值1.解答本題可能會用到哪些公式？2.條件中既有“切”又有“弦”，如何處理？三角恒等變換1.轉(zhuǎn)化與回歸；2.數(shù)形結(jié)合1.兩角和的正弦、正切公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系等；2.通常要切化弦s

16、in(sin 2cos 2)1.弦切互化及“1”的代換；2.拆角湊角；3.構(gòu)造圖形思路參考：利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值解：由，解得tan 或tan 2.當(dāng)tan 時，可能為第二象限角或第四象限角若為第二象限角，sin ，cos ，所以sin 2，cos 2.若為第四象限角，則sin ，cos ，sin 2，cos 2.把sin 2，cos 2代入求值，得sin(sin 2cos 2).當(dāng)tan 2時，可能為第一象限角或第三象限角若為第一象限角，則sin ，cos ，所以sin 2，cos 2.若為第三象限角，則sin ，cos ，所以sin 2，cos 2.把sin 2，cos 2代入求值，si

17、n(sin 2cos 2).所以sin.思路參考：根據(jù)萬能公式sin 2，cos 2求值解：由，解得tan 或tan 2.根據(jù)公式sin 2，cos 2，可得當(dāng)tan 時，sin 2，cos 2；當(dāng)tan 2時，sin 2，cos 2，兩種情況的結(jié)果都是sin(sin 2cos 2).思路參考：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系中“1”的代換解：由，解得tan 或tan 2.sin(sin 2cos 2)(2sin cos cos2sin2)××.將tan 或tan 2代入上式均有sin.思路參考：把正切轉(zhuǎn)化為正弦、余弦的比值，得到與的正余弦值的關(guān)系解：因為，所以sin coscos ·sin.又，所以sinsinsincos cossin .由，得sin cos，cos sin，把2拆分為，可得sinsinsin coscos ·sin.思路參考：令，則2.將原問題進行轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造幾何圖形求解解：令，則2.原題可轉(zhuǎn)化為：已知，求sin()的值如圖，構(gòu)造rtabc，其中bc1，cd2，ad1，tan ，tan ，sin()sin ，滿足題意在abd中，bd，ab，ad1，由余弦定理得cos .所以sin()sin .1本題考查兩角和的正弦、正切公式，三角恒等變換，基本解題方法是利用有關(guān)