高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點撥 高考前排列組合與概率概率易錯問題辨析

1、高考前排列組合與概率概率易錯問題辨析一、 交點：圓內(nèi)還是圓外 例1. 圓周上有12個不同的點，過其中任意兩點作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點個數(shù)是_ 錯解：因為兩條直線相交有且只有一個交點，從12個點中任取2個可確定條直線，從剩下10個點中任取2個可確定條直線，根據(jù)乘法原理，有個交點。這里錯誤的原因在于這些直線所產(chǎn)生的交點有可能在圓外了，而題目要求這些交點在圓內(nèi)。 正解：因為兩條直線相交有且只有一個交點，任意一個凸四邊形在圓內(nèi)的交點即為兩條對角線的交點，有且只有一個。而要得到一個四邊形，需要從12個點中取出4個點，個，即有個交點。 問題：若“圓內(nèi)”改成“圓外”，其他不變，則交點個數(shù)是多少？（答案：）或

2、二、相鄰不相鄰問題：不重不漏 例2. 8人排成一隊，A、B、C三人互不相鄰，D、E兩人也互不相鄰的排法共有多少種？ 錯解：第一步：把除A、B、C、D、E的剩余F、G、H3人全排列，有種方法；第二步：前3人排好后，留下4個空檔，把A、B、C三人插入，有種方法；第三步：前6人排好后，留下7個空檔，把D、E兩人插入空檔，有種方法。由乘法原理，有種方法。 則題意，“ADB”排法也滿足題意，但按照以上排法，A、B之間早就有F或G或H了，而不可能出現(xiàn)“ADB”，違反“不重不漏”中的“不漏”原則。 正解：用排除法。除A、B、C外的5人先全排列，有種方法，這時在留下的6個空檔中插入A、B、C三人，有種插空方法

3、，共有種方法；其中應(yīng)排除D、E兩人相鄰的情形，把D、E（運用“捆綁法”看作一個個體），F(xiàn)、G、H（F、G、H為余下的三人）全排列，有種方法，這時在留下的5個空檔中插入A、B、C三人，有種方法，DE也可交換成ED，共有種方法。所求排法有14400288011520種。 例3. 有20個零件，其中16個是一等品，4個二等品。若從20個零件中任取3個，那么至少有1個是一等品的概率是_。 A. B. C. D. 以上都錯 錯解：選項A中表示只取1個一等品，而題目要求取一等品1個、或2個、或3個，有三種情形；C中表示只取2個一等品，表示只取3個一等品，即只取2個或3個一等品，與題目不符。 B中表示從16

4、個一等品中先取1個一等品，表示再從剩下的19個零件中取2個，這時似乎能保證所取的3個零件中至少有1個是一等品。若設(shè)1、2、16表示16個一等品，A、B、C、D表示4個二等品，可能出現(xiàn)1、2、A形式（先取一等品1，再從剩下的19個零件中取2、A），也可能出現(xiàn)2、1、A形式（先取一等品2，再從剩下的19個零件中取1、A），違反“不重不漏”中的“不重”原則。 正解：在選項A的基礎(chǔ)上增加先從16個一等品中取2個，再從4個二等品取1個，和從16個一等品中取3個，有種取法，答案應(yīng)為，選D。也可以運用排除法，“至少有1個是一等品”的反面是“沒有一個一等品”，即3個都是二等品，有，答案為，選D。三、抽取問題：

5、放回與不放回 例4. 從一批含有13只正品、2只次品的產(chǎn)品中，不放回地抽取3次，設(shè)抽得的次品數(shù)為，求E（51）。 錯解一：隨機變量服從二項分布B（n，p），這里獨立重復(fù)試驗的次數(shù)n3，在一次試驗中事件（次品）發(fā)生的概率，得 。 分析：若變量是離散型隨機變量，才服從二項分布，才會有公式E（）np，那么怎么樣的變量才是離散型的呢？對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，像這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。若在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)則是一個隨機變量。如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中某事件發(fā)生的概率是p，

6、那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率p(k)，其中k0；1，n，稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作B（n，p）。上面式子，形式上為二項式定理中的第項，所以稱服從二項分布。 由上可以看出，二項分布的必要條件是隨機變量必須是獨立的，而本題中變量與前后有關(guān)系，是不獨立的，所以題中的變量不服從二項分布，不能用E（）np來算。 錯解二：因為不放回地取，先組合再排列，所以， ， 得， 分析：對于1這種情形，表示從13只正品中取一只正品后（不放回），再接著從剩下的12只正品中取一只正品（不放回）。表示從2只次品取1只次品。這時，對這3只產(chǎn)品作全排列，得。其實，13只正品被抽取的機會是均等的，取

7、得的2只正品前后沒有關(guān)系，應(yīng)視作一種情形，只要看1只次品所取的位置，所以，同理 ， 問題：若原題中“不放回”改為“放回”，其他不變，求。 分析：對于這種情形，表示從13只正品中取一只正品（放回），再接著從13只正品中取一只正品（放回）。表示從2只次品中取1只次品。這時再考慮次品所取的位置，共有×3種取法，所以。同理： ， 四、倒球、顏色相同與不同 例5. 從裝有4粒大小、形狀相同、顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意倒出若干粒玻璃球（至少一粒），設(shè)倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率為a，設(shè)倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率為b，比較a與b大小關(guān)系。 錯解：因為倒出球的個數(shù)為1、2、3、4，恰好是兩個奇數(shù)兩個偶數(shù)，所

8、以ab。 分析：題中為什么要注出“顏色不同”？同樣是倒出一粒球，若顏色不同，則應(yīng)視作是不同的情形。 記倒出的玻璃球的個數(shù)為n，則當(dāng)n1時，種情形；當(dāng)n2時，有種情形；當(dāng)n3時，種情形；當(dāng)n4時，有種情形；現(xiàn)總樣本數(shù)為464115，所以，得。 練習(xí)1 某招呼站，每天均有3輛開往省城的分為上、中、下等級的客車，某天袁先生準(zhǔn)備在該招呼站乘車前往省城辦事，但他不知道客車的車況，也不知道發(fā)車順序，為了盡可能乘上上等車，他采取了如下策略：先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛。那么他乘上上等車的概率是多少？（用列舉法，） 練習(xí)2 排球比賽的規(guī)則是5盤3勝制，甲、乙兩隊每盤獲勝的概率分別

9、為。（1）若前兩盤中乙隊以2：0領(lǐng)先，求最后甲、乙各隊各自獲勝的概率；（2）求乙隊以3：2獲勝的概率。（1）P（甲勝），P（乙勝）；（2）P（乙以3：2勝）。用遞推法求概率 概率是高中數(shù)學(xué)新增的內(nèi)容。由于它在理論與實際中都有很重要的意義，因此已成為近年高考命題的一個熱點。下面介紹幾例出現(xiàn)在各地模擬試題中用遞推思想方法探求概率的問題，不僅體現(xiàn)數(shù)列與概率知識的交匯性，而且有利于培養(yǎng)同學(xué)們的解題能力和創(chuàng)新能力。 例1. A、B二人拿出兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)時，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)不是3的倍數(shù)時，就由對方接著擲。第一次由A開始擲，若第n次由A擲的概率為，

10、求。 解：第次由A擲這一事件，包括第n次由A擲、第次繼續(xù)由A擲這一事件以及第n次由B擲、第次由A擲這一事件。這兩個事件發(fā)生的概率分別是 由于這兩個事件是互斥的，則 易知 由遞推式得： 所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列。 所以 即 例2. 從原點出發(fā)的某質(zhì)點M，按向量移動的概率為，按向量移動的概率為，設(shè)質(zhì)點M可到達點（0，n）的概率為。 （1）求和的值； （2）求證； （3）求的表達式。 解：（1）由題意知： （2）證明M到達點（0，n+2）有兩種情況： 從點按向量移動，概率為； 從點（0，n）按向量移動，概率為。 故 從而有 （3）由（1）、（2）的遞推關(guān)系知：數(shù)列是以為首項，為公比的等比

11、數(shù)列。 所以 故 所以 所以 例3. 如圖，個不同的數(shù)隨機排成一個三角陣，設(shè)是從上往下數(shù)第K行中的最大數(shù)，求的概率。解：設(shè)所求的概率為的概率為，而最大數(shù)在第n行的概率為： 于是 又 以上各式相乘，得： 所以的概率 與幾何有關(guān)的概率問題4.平面上兩個質(zhì)點、分別位于（0，0），（2，2），在某一時刻同時開始，隔1秒鐘向上下左右任一方向移動1個單位，已知質(zhì)點A向左右移動的概率都是,向上下移動的概率分別是和,質(zhì)點B向各個方向移動的概率是.求：（1）4秒鐘后到達（1，1）的概率；（2）三秒鐘后，、同時到達（1，2）的概率.4. 用表示向上的概率等等，質(zhì)點A要在4秒鐘到達，必須用2秒鐘完成一次向上和向右的

12、移動，另外2秒用于完成一個左右或上下的來回移動，因此，質(zhì)點經(jīng)過4秒鐘到達的路線就對應(yīng)“上右上下”或“上右左右”的一個排列。反之容易驗證，上述任意一排列，都對應(yīng)經(jīng)過4秒鐘后到達的一條路線，而“上右上下”和“上右左右”的排列數(shù)都是，由此，所求的概率為：（2）仿（1）可知，經(jīng)過3秒A到達D的概率為；B到達D的概率為所以3秒后，A、B同時到達D的概率為5. 設(shè)棋子在正四面體ABCD的表面從一個定點移向另外三個定點是等可能的?，F(xiàn)拋擲骰子根據(jù)其點數(shù)決定棋子是否移動：若投出的點數(shù)是奇數(shù)，則棋子不動；若投出的點數(shù)是偶數(shù)，棋子移動到另一定點。若棋子的初始位置在定點A，回答下列問題。（1）投了2次骰子，棋子才到達

13、定點B的概率是多少？（2）投了3次骰子，棋子恰巧在頂點B的概率是多少？分析：依題意知棋子移與不移的概率都是1/2，移的情形中向另外三個頂點動的概率均為1/3。（1）“投了2次骰子，棋子才到達頂點B”包含兩種情況：“第一次不動，第二次移到點B”、“第一次移到C或D，第二次移到B”，所求概率為 P= ·· + ··· = （2）“投了3次骰子，棋子恰巧在頂點B”包含三種情況： “三次中棋子恰移到一次”、 “三次中棋子恰移到兩次” 、“三次中棋子恰移到三次”所求概率為 P = 3·（）3· + 3·（）3·2·