方程的根與函數(shù)的零點(第一課時)李進榮

1、 3.1.13.1.1方程的根與函數(shù)的零點方程的根與函數(shù)的零點芳草湖總場中學芳草湖總場中學 李進榮李進榮3.1.1方程的根與函數(shù)的零點約公元50-100年前編成的九章算術給出了一次方程、二次方程和正系數(shù)三次方程的求根方法13世紀，南宋數(shù)學家秦九韶秦九韶給出了求任意次代數(shù)方程的正根的解法3.1.1方程的根與函數(shù)的零點19世紀挪威數(shù)學家阿貝爾阿貝爾證明了五次及五次以上一般方程沒有求根公式阿拉伯數(shù)學家花拉子米花拉子米的還原與對消計算概要第一次給出了一元二次程的一般解法，并用幾何方法對這一解法給出了證明 3.1.1方程的根與函數(shù)的零點問題問題1 1：下列二次函數(shù)的圖象與下列二次函數(shù)的圖象與x x軸交點

2、和相應方程的根有何關系？軸交點和相應方程的根有何關系？x1=1,x2=3x1=x2=1無實數(shù)根無實數(shù)根(1,0)、(3,0)(1,0)無交點無交點xy01321121234xy0132112543yx012112x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1方程方程函數(shù)函數(shù)函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象方程的實數(shù)根方程的實數(shù)根函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與x軸的交點軸的交點x22x3=0y= x22x+3 3.1.1方程的根與函數(shù)的零點問題問題2 2：二次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象與x x軸交點和相應二次方程的根有何關系軸交點和相應二次方程的根有何關系? ?方程方程axax2 2 + +

3、bx+c=0bx+c=0(a(a 0)0)的根的根函數(shù)函數(shù)y= axy= ax2 2 +bx+bx+c(a+c(a 0)0)的圖象的圖象判別式判別式 =b =b2 24ac4ac0=00函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象與與 x x 軸的交點軸的交點有兩個相等的有兩個相等的實數(shù)根實數(shù)根x1 = x2xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)沒有交點沒有交點兩個不相等兩個不相等的實數(shù)根的實數(shù)根x1 、x2沒有實數(shù)根沒有實數(shù)根結論：結論：二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象與x x軸交點的橫坐標就是相應方程的實數(shù)根。軸交點的橫坐標就是相應方程的實數(shù)根。3.1.1方程的根與函數(shù)的零點3.1

4、.1方程的根與函數(shù)的零點一、函數(shù)零點的定義對于函數(shù)對于函數(shù)y=f(x)y=f(x)，我們把使，我們把使f(x)=0f(x)=0的的實數(shù)實數(shù)叫作函數(shù)叫作函數(shù)y=f(x)y=f(x)的零點的零點(zero point).(zero point).特別注意：零點不是點，零點是實數(shù)特別注意：零點不是點，零點是實數(shù)例例1、求下列函數(shù)的零點、求下列函數(shù)的零點2(1) (x)= -x -+f2x 3 2(2) f(x)=log x12= -3 x =1x=1x歸納：求零點的方法歸納：求零點的方法 （1）方程法）方程法 （2）圖象發(fā)）圖象發(fā) 3.1.1方程的根與函數(shù)的零點一、方程的根與函數(shù)零點的關系區(qū)別：零點

5、對于函數(shù)而言，根對于方程而言區(qū)別：零點對于函數(shù)而言，根對于方程而言3.1.1方程的根與函數(shù)的零點問題問題3 3：現(xiàn)在有兩組鏡頭（如圖所示），哪一組鏡頭能說明人的行現(xiàn)在有兩組鏡頭（如圖所示），哪一組鏡頭能說明人的行程一定曾渡過河程一定曾渡過河? ?第第組組第第組組河河 流流河河 流流河河 流流河河 流流3.1.1方程的根與函數(shù)的零點問題問題3 3：將河流抽象成x軸，將前后的兩個位置視為a、b兩點。請問當a、b與x軸怎樣的位置關系時，ab間的一段連續(xù)不斷連續(xù)不斷的函數(shù)圖象與x軸一定會有交點?x問題問題4 4：a a、b b與與x x軸的位置關系，如何用數(shù)學符號（式子）來表示軸的位置關系，如何用數(shù)學

6、符號（式子）來表示? ?( )( )0f af baboy3.1.1方程的根與函數(shù)的零點二、函數(shù)零點的存在性定理如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是上的圖象是連續(xù)不斷連續(xù)不斷的的一條曲線，并且有一條曲線，并且有f(a) f(b)0，那么，函數(shù)，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b) 內內有有零點零點即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，這個，這個c也就方程也就方程f(x)=0的根的根 xyoabc3.1.1方程的根與函數(shù)的零點辨析辨析1 1：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上不連續(xù)，但f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內一定沒有零點么？ （不一定

7、）（不一定）xabc1c2xabc1c2xab3.1.1方程的根與函數(shù)的零點辨析辨析3 3：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內一定只有一個零點么？（不一定，有幾個零點不確定）（不一定，有幾個零點不確定）xabxab思考：思考：增加什么條件時，函數(shù)在區(qū)間(a,b)上只有一個零點？（單調）（單調） 推論推論：在零點存在的條件下，如果函數(shù)在：在零點存在的條件下，如果函數(shù)在a , b上上具有單調性具有單調性，函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（a , b）上可存在）上可存在唯一唯一零點。零點。3.1.1方程的根與函數(shù)的零點辨析辨析4 4：若函數(shù)y=f(

8、x)在區(qū)間(a,b)內有零點，則一定能夠得出f(x)在a,b上連續(xù)，或者一定有f(a)f(b)0么？（不一定）（不一定）xabc1c2xabc1c2結論：函數(shù)零點存在性定理結論：函數(shù)零點存在性定理不可逆不可逆的。的。3.1.1方程的根與函數(shù)的零點例2、已知函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表: x 1 12 23 34 45 56 6 f(x)23239 9-7-71111-5-5-12-12問：那么函數(shù)在區(qū)間1 , 6上的零點至少有幾個，哪些區(qū)間上一定存在零點答案：答案：至少有3個零點 分別在區(qū)間 （2， 3），（3，4），（4，5）上3.1.1方程的根與函數(shù)的零點x 12345

9、6789f(x) 由表和圖可知由表和圖可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，說明這個函數(shù)在區(qū)間說明這個函數(shù)在區(qū)間(2,3)內有零點。內有零點。由于函數(shù)由于函數(shù)f(x)在定義域在定義域(0,+)內是內是增函數(shù)，所以它僅有一個零點。增函數(shù)，所以它僅有一個零點。4 1.30691.09863.38635.60947.79189.9459 12.079414.1972例3：求函數(shù)f(x)=lnx+2x6的零點個數(shù)。 (函數(shù)的部分取值和函數(shù)圖象已給出 )x0246105y2410861214876432193.1.1方程的根與函數(shù)的零點歸納總結，提高認識歸納總結，提高認識 1函數(shù)零點的定義函數(shù)零點的定義2函數(shù)的零點與方程的根的等價關系函數(shù)的零點與方程的根的等價關系3函數(shù)零點的存在