換元法與分部積分法課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 第三節(jié)不定積分一、定積分的換元法一、定積分的換元法 換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和 分部積分法 第五五章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、定積分的換元法一、定積分的換元法 定理定理1單值函數(shù))(tx滿足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t證證因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在 .,)()(的一個(gè)原函數(shù)是設(shè)xfxF是的原函數(shù) , 因此有則baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t則

2、, ,)(baCxf設(shè)函數(shù)所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: :1) 當(dāng) , 即區(qū)間換為，時(shí),定理 1 仍成立 .3) 換元公式也可反過(guò)來(lái)使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不換限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t2) 必需注意 , 原函數(shù)中的變量不必代回 .換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1 計(jì)算).0(d022axxaa解解 令令,sintax 則,dcosdttax ;0,0tx時(shí)當(dāng).,2tax時(shí) 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tt

3、a0242a20ttdcos2O22xayxyaS且目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2 計(jì)算520cosdcosxx 520cossind .xx x解解 令令cos ,tx則dsind ,txx ,0時(shí)當(dāng)x,2x時(shí)0.t 原式 =051dtt1606t16; 1t且 在該題解題過(guò)程中，若不寫(xiě)出新變量，則上下限也不要變更：520cossindxx x620cos6x 16目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3 計(jì)算3220sincos dxx x350sinsind .xx x350sinsindxx x解解52202sin5x35sinsinxx32sin(1 sin)xx在 上|cos |

4、cos ,xx,245在 上0,2|cos | cos ;xx32sin|cos |,xx5222sin5x所以322sin( cos )dxxx3220sind(sin )xx322sind(sin )xx由于注意：如果忽略 的正負(fù)變化，將導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.cosx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4 計(jì)算.d12240 xxx解解 令令, 12 xt則,dd,212ttxtx,0時(shí)當(dāng)x,4時(shí)x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5, ,)(aaCxf設(shè)證證 (1) 若, )()(xfxfaaa

5、xxfxxf0d)(2d)(則xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf則xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa時(shí))()(xfxf時(shí))()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6 設(shè) f (x) 是連續(xù)的周期函數(shù), 周期為T(mén), 證明：xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0解解 (1) 記記01 sin2 dnIx x,d)()(xxfaTaa)()()(afTafa0無(wú)關(guān)，與可見(jiàn)aa)(),0()(a因此),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa

6、并由此計(jì)算則即xxfxxfTTaad)(d)(0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2)xxfnTaad)(xxfTkTakTankd)(10 xxnd2sin10),(d)(d)()2(0NnxxfnxxfTnTaa并由此計(jì)算,) 1 (akTa中的看作將 )(d)(0NnxxfnT為是以x2sin1周期的周期函數(shù)周期的周期函數(shù)xxnd2sin10 xxnd2sin10 xxfxxfTTkTakTad)(d)(0則有xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxnxxnd2sin1d2sin100 xxxnd)sin(cos02xxxndsincos0 xxnd)

7、sin(2044 xt令ttndsin2454ttndsin20ttndsin20n22xxfxxfTTaad)(d)() 1 (0目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2, 0,( )1, -0,1 cosxxexf xxx202101tan22tte220dttet4211(2)d( )df xxf t t01d1 costt4111tan222e41(2)d .f xx例例 7設(shè)函數(shù)計(jì)算解解則dd ,tx當(dāng) 時(shí)，4x 2.t 當(dāng) 時(shí)，1x 1;t 且 2,xt設(shè)于是目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 定理定理2 , ,)(, )(1baCxvxu設(shè)則)()

8、(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(證證 )()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上積分兩端在,ba目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8 計(jì)算.darcsin210 xx解解 原式 =xx arcsin021210 xxxd1212)1 (d)1 (212022121xx1221)1 (2x02112231目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2(1)ee102( )tee1100d2dxtexte t11002(d )tttee

9、t2.10d .xex例例 9計(jì)算解解當(dāng) 時(shí)，1x 1.t 當(dāng) 時(shí)，0 x 0;t 且 ,xt設(shè)于是102d( )tte則d2 d ,xtt2,xt目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 20dcosttn20dcosxxn例例1020dsinxxInn證證 令20dcosxxn,22143231nnnnn 為偶數(shù),3254231nnnnn 為奇數(shù),2xt則20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 則,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn0證明Walls公式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2022d

10、cossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得遞推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所證結(jié)論成立 .0I1I22mI2232mm42mI 214312mI1222mm32mI 3254目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.提示提示: 令, txu_d)(sindd0100ttxxx則ttxxd)(sin0100ud0 xu100sinx100

11、sin目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè),0) 1 (,)(1fCtf,lnd)(31xttfx(e).f求解法解法1.31d)(lnxttfx) 1 ()(3fxf)(3xf,3xu 令3ln)(uuf得uln3131(e) f解法解法2. 對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo),xxfx132)(3,3xu 令uuf31)(得) 1 (d)(e)e1fuuffe1131duu31思考思考: 若改題為xttfxlnd)(313?(e) f提示提示: 兩邊求導(dǎo), 得331)(xxfe1d)(e)xxff得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3. 設(shè), 1 ,0)(連續(xù)在xf , 3)2(, 1)0(ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解解 xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2(分部積分分部積分)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 補(bǔ)充題補(bǔ)充題1. 證明 證證 2dsin)(xxxxxf是以 為周期的函數(shù).2dsin)(xxuuxf tu令2d)sin(xxtt2dsinxxtt2dsinxxxx)(xf)(xf是以