平面與空間直線(2)課件

1、第三章第三章 平面與空間直線平面與空間直線主要內(nèi)容主要內(nèi)容1 1、平面的方程、平面的方程2 2、平面與點(diǎn)的相關(guān)位置、平面與點(diǎn)的相關(guān)位置3 3、兩平面的相關(guān)位置、兩平面的相關(guān)位置4 4、空間直線的方程、空間直線的方程5 5、直線與平面的相關(guān)位置、直線與平面的相關(guān)位置6 6、空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置、空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置7 7、空間兩直線的相關(guān)位置、空間兩直線的相關(guān)位置8 8、平面束、平面束第一節(jié)第一節(jié) 平面及其方程平面及其方程一、由平面上一點(diǎn)與平面的方位向量決定的平面的方程一、由平面上一點(diǎn)與平面的方位向量決定的平面的方程1 1、方位向量、方位向量 在空間給定一個(gè)點(diǎn)在空間給定一個(gè)點(diǎn)M0與兩個(gè)不共線

2、的向量與兩個(gè)不共線的向量a,ba,b，則，則通過點(diǎn)通過點(diǎn)M0且與且與a,ba,b平行的平面平行的平面 就被唯一確定。向量就被唯一確定。向量a,a,b b稱為平面稱為平面 的方位向量。的方位向量。 顯然，任何一對與平面顯然，任何一對與平面 平行的不共線向量都可作平行的不共線向量都可作為平面為平面 的方位向量。的方位向量。2 2、平面的向量式參數(shù)方程、平面的向量式參數(shù)方程 在空間，取標(biāo)架O；e1,e2,e3,并設(shè)點(diǎn)M0的徑矢OM0=r0,平面上的任意一點(diǎn)M的徑矢為OM=r，M0M=ua+vb又因?yàn)镸0M=r-r0所以r-r0= ua+vb即r=r0+ ua+vb （1）方程（1）稱為平面的向量式參

3、數(shù)方程向量式參數(shù)方程。bxyzaM0MOr0r顯然點(diǎn)M在平面上的充要條件為向量M0M與a,b,面，因?yàn)閍,b不共線，所以這個(gè)共面的條件可寫成：3 3、平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程、平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程若設(shè)M0，M的坐標(biāo)分別為(x0,y0,z0),(x,y,z),則r0=x0,y0,z0,r=x,y,z并設(shè)a=X1,Y1,Z1,b=X2,Y2,Z2則由（1）可得)2(210210210vZuZzzvYuYyyvXuXxx（2）式稱為平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程坐標(biāo)式參數(shù)方程。r=r0+ ua+vb （1）例1、已知不共線的三點(diǎn)M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求過這三

4、點(diǎn)的平面的方程。解：r2-r1=M1M2=x2-x1,y2-y1,z2-z1,因此，平面的向量式參數(shù)方程向量式參數(shù)方程為r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3)坐標(biāo)式參數(shù)方程坐標(biāo)式參數(shù)方程為)4()()()()()()(131211312113121zzvzzuzzyyvyyuyyxxvxxuxx設(shè)M(x,y,z)是平面上任意一點(diǎn)，已知點(diǎn)為Mi的徑矢為ri=OMi，則可取方位向量為r3-r1=M1M3=x3-x1,y3-y1,z3-z1,從（3），（4）中分別消去參數(shù)u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 （5）與)6(0131211312113121zzzzzzyy

5、yyyyxxxxxx或)7(01111333222111zyxzyxzyxzyx（5）（6）（7）都有叫做平面的三點(diǎn)式方程平面的三點(diǎn)式方程。特別地，若平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別 為M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc0,則平面的方程為)8(1czbyax稱為平面的截距式方程截距式方程。其中a,b,c分別稱為平面在三坐標(biāo)軸上的截距截距。xzyM1M2M3oxyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法向量法向量法向量的法向量的特征特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量n1. 法向量法向量

6、:注注: 1 對平面對平面 , 法向量法向量n不唯一不唯一;2 平面平面 的法向量的法向量n與與 上任一向量垂直上任一向量垂直.2. 2. 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程設(shè)平面過定點(diǎn) M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=A,B, C.對于平面上任一點(diǎn)M(x, y, z), 向量M0M與n垂直. yxzM0MnOn M0 M = 0而M0 M =x x0, y y0, z z0,得:A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0稱方程(1) 為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程.(1)例1: 求過點(diǎn)(2, 3, 0)且以 n = 1, 2, 3為法向量的平面的方程.解: 根據(jù)

7、平面的點(diǎn)法式方程(1), 可得平面方程為:1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0即: x 2y + 3z 8 = 0 nM3M2M1解: 先找出該平面的法向量n.由于n與向量M1M2, M1M3都垂直.而M1M2=3, 4, 6 M1M3=2, 3, 1可取n = M1M2 M1M3132643kji= 14i + 9j k例2: 求過三點(diǎn)M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.所以, 所求平面的方程為:14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0即: 14x + 9y z 15 = 0 例3、已知兩點(diǎn)M1(

8、1,-2,3),M2(3,0,-1)，求線段的垂直平分面的方程。解：因?yàn)橄蛄縈1M2=2，2，-4=21，1，-2垂直于平面，所以平面的一個(gè)法向量為n=1,1,-2.又所求平面過點(diǎn)M1M2的中點(diǎn)M0(2,-1,1)，故平面的點(diǎn)法式方程為(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=01. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一個(gè)法向量是: n = A, B, C證: A, B, C不能全為0, 不妨設(shè)A 0, 則方程可以化為0)0()0()(zCyBADxA它表示過定點(diǎn))0,0,(0ADM注：一次方程: Ax +

9、By + Cz + D = 0 (2)稱為平面的一般方程.且法向量為 n = A, B, C的平面.例2: 已知平面過點(diǎn)M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.解: 所求平面與已知平面有相同的法向量n =2 3, 42(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0即: 2x 3y + 4z 4 = 02. 平面方程的幾種特殊情形(1) 過原點(diǎn)的平面方程由于O(0, 0, 0)滿足方程, 所以D = 0. 于是, 過原點(diǎn)的平面方程為:Ax + By + Cz = 0(2) 平行于坐標(biāo)軸的方程考慮平行于x軸的平面Ax + By + Cz + D =

10、0, 它的法向量n = A, B, C與x 軸上的單位向量 i =1, 0, 0垂直, 所以n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0于是:平行于x 軸的平面方程是 By + Cz + D = 0;平行于y 軸的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 軸的平面方程是 Ax + By + D = 0.特別: D = 0時(shí), 平面過坐標(biāo)軸.(3) 平行于坐標(biāo)面的平面方程平行于xOy 面的平面方程是平行于xOz 面的平面方程是平行于yOz 面的平面方程是.Cz + D = 0;By + D = 0;Ax + D = 0例3: 求通過x 軸和點(diǎn)(4, 3, 1)的平面方

11、程.解: 由于平面過x 軸, 所以 A = D = 0.設(shè)所求平面的方程是 By + Cz = 0又點(diǎn)(4, 3, 1)在平面上, 所以3B C = 0 C = 3B所求平面方程為 By 3Bz = 0即: y 3z = 0 例4: 設(shè)平面與x, y, z 軸的交點(diǎn)依次為P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三點(diǎn), 求這平面的方程.解: 設(shè)所求平面的方程為Ax + By + Cz + D = 0因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三點(diǎn)都在這平面上, 于是aA + D = 0bB + D = 0cC + D = 0解得: cDCb

12、DBaDAoyPxzQR所求平面的方程為:0DzcDybDxaD即:1czbyax(3)例例 5 5 求平行于平面求平行于平面0566 zyx而與三個(gè)坐而與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程標(biāo)面所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1,

13、6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為若平面上的一點(diǎn) 特殊地取自原點(diǎn)O 向平面 所引垂線的垂足，而 的法向量取單位向量 ，設(shè) ，那么由點(diǎn) 和法向量 決定的平面的向量式法式方程為：0M0n OPp 000nrpn 0M0n coscoscos0 xyzp平面的坐標(biāo)式方程，簡稱法式方程為平面的法式方程是具有下列兩個(gè)特征的一種一般方程：一次項(xiàng)的系數(shù)是單位法向量的坐標(biāo)，它們的平方和等于1；因?yàn)閜是原點(diǎn)O 到平面 的距離，所以常數(shù)0p22211nABC 2222222222220AxByCzDABCABCABCABCD326140 xyz第二節(jié)第二節(jié) 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置平面與點(diǎn)的

14、相關(guān)位置 設(shè)P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn)，求點(diǎn)P0到平面的距離。 在平面上任取一點(diǎn)P1(x1, y1, z1)則 P1P0 =x0 x1, y0 y1, z0 z1過P0點(diǎn)作一法向量 n =A, B, C于是:01jPrPPdn|01nnPP222101010)()()(CBAzzCyyBxxA 1PNn0P 又 A(x0 x1) + B(y0 y1) + C(z0 z1) = Ax0 + By0 + Cz0 + D (Ax1 + By1 + C z1 + D) = Ax0 + By0 + Cz0 + D所以, 得點(diǎn)P0到平面Ax + By + Cz + D =

15、 0的距離:222000CBADCzByAxd(4)例如: 求點(diǎn)A(1, 2, 1)到平面: x + 2y + 2z 10 = 0的距離13322110122211222d第三節(jié) 兩平面的相關(guān)位置21212121DDCCBBAA1、設(shè)兩個(gè)平面的方程為：1：A1x+B1y+c1z+D1=0 (1)2：A2x+B2y+c2z+D2=0 (2)定理1：兩個(gè)平面（1）與（2）相交A1:B1:C1A2:B2:C2. 平行 重合 21212121DDCCBBAA（1）定義）定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. .,

16、 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 2、兩平面的夾角、兩平面的夾角（2 2）、兩個(gè)平面的交角公式）、兩個(gè)平面的交角公式 設(shè)兩個(gè)平面1，2間的二面角用(1,2)表示，而兩平面的法向量n1,n2的夾角記為=(n1,n2），顯然有(1,2)=或-因此cos),(cos21|2121nnnn 1n1n22222222212121212121|CBACBACCBBAA3 3、兩平面垂直的充要條件、兩平面垂直的充要條件兩平面(1)(2)垂直的充要條件為A1A2+B1B2+C1C2=0例5: 一平面通過兩點(diǎn)M1(1, 1, 1)和M2(0

17、, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程.解: 設(shè)所求平面的一個(gè)法向量 n =A, B, C已知平面 x+y+z = 0的法向量 n1=1, 1, 1 所以: n M1M2 且n n1 而 M1M2 = 1, 0, 2于是:A (1) + B 0 + C (2) = 0 A 1 + B 1 + C 1 = 0解得: B=CA= 2C取C = 1, 得平面的一個(gè)法向量n = 2, 1, 1所以, 所求平面方程是2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0即: 2x y z = 0例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：

18、013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.一、一、 填空題：填空題：1 1、 平面平面0 CzByAx必

19、通過必通過_， （其中（其中 CBA,不全為零） ；不全為零） ；2 2、平面、平面0 DCzBy_x軸；軸；3 3、平面、平面0 CzBy_x軸；軸；4 4、通過點(diǎn)、通過點(diǎn))1,0,3( 且與平面且與平面012573 zyx平平 行的平面方程為行的平面方程為 _ _；5 5、通過、通過),0,0()0,0()0,0,(cba、三點(diǎn)的平面方三點(diǎn)的平面方 _；6 6、 平面平面0522 zyx與與xoy面的夾角余弦為面的夾角余弦為_ _ _，與，與yoz面的夾角余弦為面的夾角余弦為_， 與與zox面的夾角的余弦為面的夾角的余弦為_；練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面

20、：指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：1 1、 0632 yx；2 2、 1 zy；3 3、 056 zyx. .三、三、 求過點(diǎn)求過點(diǎn))2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三點(diǎn)的三點(diǎn)的 平面方程平面方程 . .四、四、 點(diǎn)點(diǎn))1,0,1( 且平行于向量且平行于向量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的平面方程的平面方程 . .五五、 求求通通過過Z軸軸和和點(diǎn)點(diǎn))2,1,3( 的的平平面面方方程程 . .六六、 求求與與已已知知平平面面0522 zyx平平 行行且且與與 三三坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所構(gòu)構(gòu)成成的的四四面面體體體體積積為為 1 1 的的平平面面方方程程 . .一一、1

21、1、( (0 0, ,0 0, ,0 0) )； 2 2、平平行行于于； 3 3、通通過過； 4 4、04573 zyx； 5 5、1 czbyax； 6 6、32,32,31 . .二二、1 1、平平行行于于軸軸z的的平平面面； 2 2、平平行行于于軸軸x的的平平面面； 3 3、通通過過原原點(diǎn)點(diǎn)的的平平面面 . .三三、023 zyx. . 四四、43 zyx. .五五、03 yx. . 六六、33222 zyx. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案 已知直線l通過定點(diǎn)M0(x0,y0),且與非零矢量v =X,Y共線，求直線l的方程。解：設(shè)M(x,y)為直線l上任意一點(diǎn)，并設(shè)OM=r，OM0=r0，則點(diǎn)

22、M在l上的充要條件為矢量M0M與v共線，即M0M=tv(t為隨M而定的實(shí)數(shù)）又因?yàn)镸0M=r-r0所以r-r0=tv（1）矢量式參數(shù)方程為 r=r0+tv (t+)（2）矢量式參數(shù)方程為)2(00YtyyXtxx故得l的 第四節(jié)第四節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程注1：參數(shù)t的幾何意義：當(dāng)v是單位矢量時(shí)，|t|為點(diǎn)M與M0之間距離。事實(shí)上，|MM0|=|tv|=|t|注2：直線的方向矢量：與直線l共線的非零矢量 v 稱為直線l的方向矢量。（3）：直線的對稱式方程由直線的參數(shù)方程（2）中消去參數(shù)t可得：YyyXxx00對稱式方程xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成

23、兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程1、方位向量的定義：、方位向量的定義： 如果一非零向量如果一非零向量s =m, n, p,平行于一條已知直線，這個(gè)向平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的量稱為這條直線的方位向量方位向量二、空間直線的對稱式方程二、空間直線的對稱式方程 而而s 的坐標(biāo)的坐標(biāo)m, n, p稱為直線稱為直線L的一組的一組方向數(shù)方向數(shù).sM0L2. 2. 直線的對稱式方程直線的對稱式方程已知直線L過M0(x0,

24、y0, z0)點(diǎn)方位向量 s =m, n, p所以得比例式pzznyymxx000(2)稱為空間直線的對稱式方程或點(diǎn)向式方程.,LM sMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM ),(zyxMxyzosL0M M 三、三、 空間直線的參數(shù)式方程空間直線的參數(shù)式方程得:稱為空間直線的參數(shù)方程.(3)tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方位向量的余弦稱為方位向量的余弦稱為直線的直線的方向余弦方向余弦.例1: 寫出直線x + y + z +1 = 02x y + 3z + 4 = 0的對稱式方程.解: (1) 先找出直線上的一點(diǎn)M0(

25、x0, y0, z0)令z0 = 0, 代入方程組, 得x + y +1 = 02x y + 4 = 0解得: 32 ,3500yx)0,32,35(0M所以, 點(diǎn) 在直線上.(2) 再找直線的方位向量 s .由于平面1: x + y + z +1 = 0的法線向量n1=1, 1, 1平面2: 2x y+3z+4 = 0的法線向量n2=2,1, 3所以, 可取312111kji= 4i j 3k于是, 得直線的對稱式方程:3132435zyx21nns例2: 求通過點(diǎn)A(2, 3, 4)與B(4, 1, 3)的直線方程.解: 直線的方位向量可取 AB = 2, 2, 1所以, 直線的對稱式方程

26、為142322zyx 第五節(jié)第五節(jié) 直線與平面的相關(guān)位置直線與平面的相關(guān)位置)1 (:000ZzzYyyXxxl設(shè)直線和平面的方程分別為)2(0:DCzByAx一、直線與平面的位置關(guān)系的充要條件一、直線與平面的位置關(guān)系的充要條件定理1 直線(1)與平面(2)的相互位置關(guān)系有下列的充要條件：1o 相交：AX+BY+CZ02o 平行AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D03o 重合AX+BY+CZ=0Ax0+By0+CZ0+D=0證：將直線方程改與為參數(shù)式)3(000ZtzzYtyyXtxx將（3）代入（2）并整理得(AX+BY+CZ)t= -(Ax0+By0+Cz0+D) （4）因此，當(dāng)

27、且僅當(dāng)AX+BY+CZ0時(shí)，（4）有唯一解CZBYAXDCzByAxt000這時(shí)直線與平面有唯一公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D0時(shí)方程（4）無解，這時(shí)直線與平面有沒有公共點(diǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)AX+BY+CZ=0，Ax0+By0+Cz0+D=0時(shí)方程（4）有無數(shù)個(gè)解，這時(shí)直線在平面內(nèi)。定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns二、直線與平面的夾角二、直線與平面的夾角 0.2 222222|si

28、npnmCBACpBnAm （1）直線與平面的夾角公式）直線與平面的夾角公式（2）直線與平面的）直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 |snsn s / n s n例1: 判定下列各組直線與平面的關(guān)系. 3224:37423:)1(zyxzyxL和解: L的方位向量 s =2, 7, 3 的法向量 n =4, 2, 2s n = (2) 4 + (7) (2) + 3 (2) = 0又M0(3, 4, 0)在直線L上, 但不滿足平面方程,所以L與 平行, 但不重合.81446:723:)2(zyxzyxL和解:

29、L的方位向量 s =3, 2, 7 的法向量 n =6, 4, 14 L 與 垂直. 3:431232:)3(zyxzyxL和解: L的方位向量 s =3, 1, 4 的法向量 n =1, 1, 1s n = 3 1 + 1 1 + (4) 1 = 0又L上的點(diǎn) M0(2, 2, 3)滿足平面方程,所以 , L 與 重合.解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角第六節(jié)第六節(jié) 空間兩直線的位置關(guān)系空間兩直線的位置關(guān)系一、空間兩直線的位置關(guān)系一、空間兩直線的位置關(guān)系1、

30、位置關(guān)系：共面異面相交平行重合2、相關(guān)位置的判定：設(shè)兩直線L1, L2的方程為, :1111111pzznyymxxLs1 =m1, n1, p1, :2222222pzznyymxxLs2 =m2, n2, p2定理1判定空間兩直線L1，L2的相關(guān)位置的充要條件：（1）異面0222111121212pnmpnmzzyyxx（2）共面=0相交：m1:n1:p1m2:n2:p2平行：m1:n1:p1=m2:n2:p2(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)重合： m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)定義: 兩直線的方位向量間的夾角稱為兩直線的夾

31、角, 常指銳角.s1s2已知直線L1, L2的方程, :1111111pzznyymxxLs1 =m1, n1, p1, :2222222pzznyymxxLs2 =m2, n2, p21. L1與 L2的夾角的余弦為:cos2. L1垂直于 L2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 03. L1平行于 L2 .212121ppnnmm| ),cos(|21ss2222222121212121212121|pnmpnmppnnmmssss.1222:13411:121的夾角和求直線例zyxLzyxL解: 直線L1, L2的方位向量 s1=1, 4, 1 s2=2, 2, 1有:|2

32、121ssss22)1()2(21)4(1| )1(1)2()4(21 |2222224 所以:cos| ),cos(|21ss解解設(shè)所求直線的方位向量為設(shè)所求直線的方位向量為,pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程解解先作一過點(diǎn)先作一過點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點(diǎn)交點(diǎn))73,713,72( N取所

33、求直線的方位向量為取所求直線的方位向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx三、兩異面直線間的距離與公垂線的方程三、兩異面直線間的距離與公垂線的方程1、兩異面直線間的距離、兩異面直線間的距離設(shè)兩異面直線L1，L2與其公垂線L0的交點(diǎn)為N1，N2，則L1與L2之間的距離|Pr|21210MMjNNdL|Pr|2121MMjss | )(|212121ssssMML0L1L2N1N2M1M2s1s2所以兩異面直線L1，L2的距離為222112221122211222111121212nmnmmpmppnpnpnmpnmzzyyxxd2、兩直線的公垂線方程、兩直線的公垂線方程 公垂線可看為由過L1上的點(diǎn)M1，以v1,v1v2為方位向量的平面與過L2上的點(diǎn)M2，以v2,v1v2為方位向量的平面的交線，因此，公垂線的方程為：00222222111111ZYXZYXzzyyxxZYXZYXzzyyxx其中X，Y，Z為v1v2 的分量。例1 求通過點(diǎn)P(1,1,1)且與兩直線431221:321:21zyxlzyxl都相