極限的計算、兩個重要極限課件

1、 第一章第一章 第二節(jié)第二節(jié)機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 極限的計算、兩個重要極限極限的計算、兩個重要極限二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則 三、三、 計算極限舉例計算極限舉例 一一 、無窮小運算法則、無窮小運算法則 四、四、 兩個重要極限兩個重要極限 時時, 有有 12min, 一、一、 無窮小運算法則無窮小運算法則定理定理2.4. 有限個無窮小的和還是無窮小有限個無窮小的和還是無窮小 .證證: 考慮兩個無窮小的和考慮兩個無窮小的和 . 設設,0lim0 xx,0lim0 xx0, 10, 當當010 xx 時時 , 有有2 20, 當當020 xx

2、 時時 , 有有2 取取則當則當00 xx 22因此因此.0)(lim0 xx這說明當這說明當0 xx 時時,為無窮小量為無窮小量 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 說明說明: 無限個無窮小之和不一定是無窮小無限個無窮小之和不一定是無窮小 !例如，例如，22212limnnnnn 1.2 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 類似可證類似可證: 有限個有限個無窮小之和仍為無窮小無窮小之和仍為無窮小 . 定理定理2.5 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 證證: 設設, ),(10 xxMu 又設又設,0lim0

3、 xx即即,0,02當當),(20 xx時時, 有有M取取,min21則當則當),(0 xx時時 , 就有就有uuMM故故,0lim0uxx即即u是是0 xx 時的無窮小時的無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 oyx例例1. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理利用定理 2 可知可知.0sinlimxxxxxysin說明說明 : y = 0 是是xxysin的漸近線的漸近線 .機動機動

4、目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則lim( ), lim ( ),xxf xAg xB 則有則有(1) lim ( )( )xf xg x lim( )lim ( )xxf xg x AB 定理定理 3 . 若若機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (2) lim ( ) ( )xf x g x lim( )lim ( )xxf xg xAB (3) 若又有若又有 B0 , 則則( )lim( )xf xg x lim( )lim ( )xxf xg x BA說明說明: 可推廣到有限個函數(shù)相加、減、乘的情形可推

5、廣到有限個函數(shù)相加、減、乘的情形 .推論推論 1 .lim( )lim( )xxCf xCf x ( C 為常數(shù) )推論推論 2 .lim ( ) lim( ) nnxxf xf x ( n 為正整數(shù) )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設設 n 次多項式次多項式,)(10nnnxaxaaxP試證試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例2. 設有分式函數(shù)設有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多項式

6、多項式 ,0)(0 xQ試證試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說明說明: 若若,0)(0 xQ不能直接用商的運算法則不能直接用商的運算法則 . 若若例例3 . 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時時3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 x = 3 時分母為時分母為 0 !31lim3xxx例例4.934lim223xxxx)3)

7、(3() 1)(3(lim3xxxxx6231機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 “ 約分約分” x = 9 時分母為時分母為 0 !91lim3xx 例例5.93lim9xxx 9(3)(3)lim(9)(3)xxxxx 1.6 “ 有理化有理化”例例6 . 求求3113lim.11xxx 解解:3113lim11xxx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 23113lim1xxxx 21(1)(2)lim11xxxxxx 21(2)lim1xxxx 1. “ 通分通分”例例7 . 求求.125934lim22xxxxx解解: x時時,分子分子.22111125934

8、limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x則則54分母分母“ 抓大頭抓大頭”原式原式機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負常數(shù) )nmba,0(00mn 當( 如如P36 例例8 )( 如如P36 例例9 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 mn 當mn 當11548 lim54nnnnn 例例111 455 5lim415nnn 1.5 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 211119 lim 3153541nn 例例1111111

9、1= lim1 2335572121nnn 11= lim1221nn 1= .2裂項裂項例例10222111lim(+).12nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnn21lim=lim11nnnnnn 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三、三、 兩個重要極限兩個重要極限 0sin1. lim1xxx 注注 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例11. 求求0sin2lim.xxx解解: 0sin2limxxx0s

10、in2lim22xxx0sin22 lim2xxx2. 例例12. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx212121說明說明: 計算中注意利用計算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例14. 求求sinlim.xxx 解解: 令令,xt 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下

11、頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 且當且當x 時，有時，有0t 則則,xt 1 原式原式0sin()limttt 0sinlimttt 2.exxx)1(lim1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 先證明：先證明：1lim(1)nnne 2 2、單調(diào)有界原理、單調(diào)有界原理機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 命題命題 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 單調(diào)增加有上界（單調(diào)減少有下界）的數(shù)列必有極限。單調(diào)增加有上界（單調(diào)減少有下界）的數(shù)列必有極限。 x1x2x3x1 nxnx幾何解釋幾何解釋: :AM設設, ),2, 1()1 (1nxnnn證明數(shù)列證明數(shù)列nx極限存在極

12、限存在 . . 證證: : 利用二項式公式利用二項式公式 , , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1n

13、nnx!21!31!1n又又比較可知比較可知機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 根據(jù)命題可知數(shù)列根據(jù)命題可知數(shù)列nx記此極限為記此極限為 e e , ,ennn)1 (lim1 e e為無理數(shù)為無理數(shù) , , 其值為其值為590457182818284. 2e即即有極限有極限 . .原題原題 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又又32121111n1213n重要極重要極限限可以證明對于連續(xù)的自變量可以證明對于連續(xù)的自變量x，也有，也有1lim(1)xxxe機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說

14、明說明: 此極限也可寫為此極限也可寫為ezzz1)1 (lim0特點特點: (1+: (1+無窮小無窮小) )的無窮大次方的無窮大次方. . 該無該無窮小與無窮大恰好為倒數(shù)窮小與無窮大恰好為倒數(shù). . 則其極限為則其極限為e. .再證明再證明exxx)1(lim1證證: 當0 x時, 設, 1nxn則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當x, ) 1( tx則,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (

15、limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1說明說明: 此極限也可寫為ezzz1)1 (lim0時, 令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例13. 求求11lim(1) .xxx 解解:11lim(1)xxx 1111lim(1)xxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11111(1)lim1xxxx 11111lim(1)lim 1xxxxx . e 例例14. 求求1lim(1) .xxx 解解: 令令,tx 則則1lim(1)xxx1lim(1)ttt 1lim t 1(1)t

16、t 1.e 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例1523lim().2xxxx 求求解解: :2 2411lim(1) (1)22xxxx 原原式式2241lim(1)21lim(1)2xxxxx .2e 兩個重要極限的一般形式：兩個重要極限的一般形式：1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達式代表相同的表達式機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定理定理 . 設設,且lim存在存在 , 則則lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意：只能對分子、分母或其部分乘積因子進行注意：只能對分子、分母或其部分乘積因子進行 等價無窮小替換等價無窮小替換.,0時當 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1常用等價無窮小常用等價無窮小 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 231x221x例例16. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時當 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tan x2(1)xx e 例例17.