極限的性質及運算法則課件

1、上頁下頁結束返回首頁鈴一、極限的性質一、極限的性質二、極限的四則運算法則二、極限的四則運算法則 1. 5 極限的性質及運算法則極限的性質及運算法則下頁鈴結束返回首頁上頁下頁鈴結束返回首頁一、極限的性質一、極限的性質首頁定理定理2（局部保號性）（局部保號性）定理定理1(1(唯一性唯一性) )去心鄰域 在該鄰域內(nèi) 有f(x)0(或f(x)0) 如果0)(lim0=Axfxx(或 A0) 則存在0 x的某一 定理定理3 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)0(或f(x)0) 而且0limxxf(x)=A 那么 A0(或 A0) 推論推論 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b

2、那么ab .)(lim0限存在，則它只有一個極若極限xfxx上頁下頁鈴結束返回首頁二、極限的四則運算法則二、極限的四則運算法則lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim c f(x)=c lim f(x) (c 為常數(shù))lim f(x)n=lim f(x)n 定理定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 則 limf(x)g(x)存在 并且limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB下頁(limg(x)=B0)()(limxgxfBAxgxf=)(lim)(lim 上頁下頁鈴結束返回首頁求極限舉例求極限舉例：多項式的極限0limxxP

3、(x)=? 討論討論 提示提示 設多項式P(x)=a0 xn a1xn1 an 則 )(lim)(lim11000nnnxxxxaxaxaxP = )lim()lim(11000nnxxnxxaxaxa = =a0 x0na1x0n1 an=P(x0) 解解 xxxxxxx 1 1 1 1lim21lim2lim) 12(lim=例例 1 求) 12(lim 1xx 例例1 解解 xxxxxxx 1 1 1 1lim21lim2lim) 12(lim=xxxxxxx 1 1 1 1lim21lim2lim) 12(lim=1=21=1 下頁=2-1=1上頁下頁鈴結束返回首頁解解 ) 35(li

4、m) 1(lim351lim223223 2=xxxxxxxxx3limlim5lim1limlim2222232=xxxxxxxx325)lim(1)lim(2232=xxxx3731021223= 例例 2 求351lim23 2xxxx 例例2 解解 ) 35(lim) 1(lim351lim223223 2=xxxxxxxxx 3limlim5lim1limlim2222232=xxxxxxxx325)lim(1)lim(2232=xxxx 下頁(分母極限不為0)上頁下頁鈴結束返回首頁 解解 例例3 例例 3 求93lim2 3xxx 解解 31lim) 3)(3(3lim93lim

5、3 32 3=xxxxxxxxx61) 3(lim1lim 3 3=xxx31lim) 3)(3(3lim93lim 3 32 3=xxxxxxxxx31lim) 3)(3(3lim93lim 3 32 3=xxxxxxxxx 61) 3(lim1lim 3 3=xxx 解解 例例4 例例 4 求4532lim2 1xxxx 解解 031241513245lim22 1=xxxx4532lim2 1xxxx= 根據(jù)無窮大與無窮小的關系得 031241513245lim22 1=xxxx 下頁(分子分母極限都為0)(分母極限為0，分子極限不為0)上頁下頁鈴結束返回首頁 有理函數(shù)的極限?)()(l

6、im0=xQxPxx 討論討論 提示提示 當Q(x0)=P(x0)=0時 約去分子分母的公因式(xx0) 當0)(0 xQ時 )()()()(lim000 xQxPxQxPxx= 當0)(0=xQ且0)(0 xP時 =)()(lim0 xQxPxx 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁先用x3去除分子及分母 然后取極限 解解 先用x3去除分子及分母 然后取極限 例例5 例例 5 求357243lim2323xxxxx 解解 73357243lim357243lim332323=xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323=xxxxxxxxxx73357243lim357243

7、lim332323=xxxxxxxxxx 例例6 例例 6 求52123lim232xxxxx 020512123lim52123lim332232=xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232=xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232=xxxxxxxxxxx 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁討論討論提示提示例例 7 求12352lim223xxxxx 例例7 解解 解解 因為052123lim232=xxxxx 所以 =12352lim223xxxxx 所以 有理函數(shù)的極限? lim110110= mmmnnnxbxbxbaxaxa

8、= mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110= mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁 解解 當x時 分子及分母的極限都不存在 故關于商的極限的運算法則不能應用 例例8 例例 8 求xxxsinlim 所以 0sinlim=xxx 因為xxxxsin1sin= 是 是無窮小與有界函數(shù)的乘積 下頁上頁下頁鈴結束返回首頁解：例例9 求.23151lim20 xxxxx)3151)(2()31 (51lim0 xxxxxxx=原式)3151)(2(8lim0 xxxx=2) 11 (28=下頁(分子分母極限都為0)上頁下頁鈴結束返回首頁解：原式例例10 求3113lim().11xxx2212