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1、1 第十一章第十一章 曲線積分曲線積分 與曲面積分與曲面積分234( , ),( , )P x y Q x yD在在 上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),則則有有()d dddLDQPx yP xQ yxy 其其中中L是是D的的取取正正向向的的邊邊界界曲曲線線. . d dddxyLDx yP xQ yPQ 512( )( ):xyxDaxb 12( )( ):yxyDcyd yxo)(1xy )(2xy d dDPx yy 21( )( )ddbxaxPyxy 21 ,( ) ,( )dbaP xxP xxx ( , )dLP x yx ( , )dABCP x yx ( , )dCE

2、AP x yx 1 ,( )dbaP xxx 2 ,( )dabP xxx 6( , )dLP x yx 1 ,( )dbaP xxx 2 ,( )dabP xxx 12 ,( ) ,( )dbaP xxP xxx d dDPx yy ( , )dLP x yx d d( , )dLDQx yQ x yyx ()d dddLDQPx yP xQ yxy 7yxo3D1D2D()d dDQPx yxy 1()d dDQPx yxy 2()d dDQPx yxy 3()d dDQPx yxy ddMCBAMP xQ y ddABPAP xQ y ddBCNBP xQ y dd .LP xQ y 8

3、()d dddLDQPx yP xQ yxy 9()d dddLDQPx yP xQ yxy 1dd2LAx yyx ,Py Qx 在在上上式式取取,得得cos:, 02sinxaLyb 1dd2LAxyyx 22201(cossin)d2abab .ab 10yxoAB2d d(0,0),(1, 1),yDex yDOA 計計算算其其中中 是是以以(1, 1).B 為為頂頂點點的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域20,yPQxe 取取,QPxy 2ye 2d dyDex y 2dyOA AB BDxey 2dyOAxey 210dxxey 11(1).2e :1,:10,AByx :0,:10.BO

4、 xy :,:01,OA yx x112(22 )d(4 )dLxyyxxxyL 計計算算其其中中 是是229.xy 正正向向圓圓周周yxo22Pxyy令令,24Qxx,QPxy 24)(22)xx (2 2(22 )d(4 )dLxyyxxxy ( 2)d dDx y 2 9 18 . 1222(3 )d()dLxyxyxyL 計計算算其其中中 為為上上半半圓圓24(0,0)(4,0).yxxOA 正正向向圓圓周周從從到到y(tǒng)xoA22(3 )d()dAOLxyxyxy 22(3 )d()dAOxyxyxy 4d dDx y 024dxx :0,: 40.AOyx 648.3 13yxo22(

5、 2)d()dxxLxyexemxyL 計計算算其其中中 為為由由點點2(0,0)2(1,1).OyxxB 沿沿曲曲線線到到點點BA AOBLAAO 011()demy 1.4mem Ld dDm x y :1,:10,BA xy :0,:10,AO yx 010dx 14yxoyxo1522dd,Lx yy xLxy 計計算算其其中中 為為一一條條無無重重點點、分分段段光光滑滑.且且不不經(jīng)經(jīng)過過原原點點的的連連續(xù)續(xù)閉閉曲曲線線, 的的方方向向為為逆逆時時針針方方向向22,yPxy 令令22.xQxy 220,xy則則當(dāng)當(dāng)時時22222()Qyxxxy Py (0,0),D 當(dāng)當(dāng)時時22dd0

6、.Lx yy xxy D162222220cossindrrr 2 . (0,0),D 當(dāng)當(dāng)時時222:,lxyr 1D1D22ddLx yy xxy 22ddlx yy xxy 22ddL lx yy xxy 10dd0.Dxy 2222ddddLlx yy xx yy xxyxy cos:sinxrlyr :02 L1Dl17LG 設(shè)設(shè) 是是 內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條閉閉曲曲線線,2ddLP xQ y 1ddLP xQ y 2LddLP xQ y 則則稱稱曲曲線線積積分分dd0.LP xQ y 都都有有1L12dddd0LLP xQ yP xQ y 12dd0LLP xQ y 18( , ),

7、( , )GP x yQ x yG設(shè)設(shè) 是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域,在在 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),ddLP xQ yG 則則曲曲線線積積分分在在 內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是PQyx G在在 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立. .LG設(shè)設(shè) 是是 內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條閉閉曲曲線線,充充分分性性由由格格林林公公式式有有 dd()dLDQPP xQ yxy 0 . .19必必要要性性0 GM設(shè)設(shè)在在 內(nèi)內(nèi)存存在在一一點點,使使00.PQPxy 不不妨妨設(shè)設(shè)為為()0 0MQPxy (),0MK由由連連續(xù)續(xù)性性知知必必存存在在的的閉閉鄰鄰域域 ,使使在在該該鄰鄰域域上上2QPxy

8、r設(shè)設(shè)該該鄰鄰域域的的正正向向邊邊界界為為 ,則則ddrP xQ y ()dKQPxy 02 K 為為鄰鄰域域 的的面面積積20例例3 3中中三三個個起起點點與與終終點點相相同同而而路路徑徑不不同同的的曲曲線線22ddLx y xxy 積積分分值值相相同同,不不是是偶偶然然的的,因因為為這這里里2PQxxoyyx(在在整整個個面面恒恒成成立立). .: 1)2)(2)PQGGyx 定定理理條條件件單單連連通通;、在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)缺缺一一不不可可. .,PQyx dddd .BABAP xQ yP xQ y 21yxo423(23)d(4)dLxyyxxxyyxoy 證證明明在在坐坐標標并并計計

9、算算證證明明面面內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān),2,14231.0(23)d(4)dxyyxxxyy ()(). .423234.PxyyQxxy ,324Pxyy :0,:12AByx:2,:01BCxy 213dx 原原式式230(48)dyy 5. 曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān),,ABBC取取折折線線路路徑徑、,Qx 223222(2cos )d(12 sin3)dLxyyxxyxx yy 計計算算22(0,0)(,1).2Lxy 其其中中 為為拋拋物物線線上上由由點點到到的的一一段段弧弧32222cos12 sin3.PxyyxQyxx y ,262 cosPxyyxy 曲曲線線積積

10、分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān),,OAAB取取折折線線路路徑徑、,Qx yxo22xy (,0)2A (,1)2B :0,:02OA yx :,:012AB xy 200dx 原原式式2.4 2120(123)d4yyy 23( , ), u x y給給定定d ( , ) d d .uuu x yxyxy dd ,P xQ y 給給定定( , ) u x y求求d ( , )ddu x yP xQ y使使得得(1)( , )( , )ddP x yQ x yP xQ y 滿滿足足什什么么條條件件、才才是是某某( , )u x y二二元元函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分?(2)( , )u x y如如何何求求

11、這這樣樣的的?24( , ),( , )GP x yQ x yG設(shè)設(shè) 是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域,在在 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),( , )d( , )dP x yxQ x yyG 則則在在 內(nèi)內(nèi)為為某某一一PQyx G在在 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立. .必必要要性性( , )u x y函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分的的充充分分必必要要條條件件是是d ( , )( , )d( , )du x yP x yxQ x yy ( , ),( ,)uuP x yQ x yxy 25由全微分定義有由全微分定義有( , ),( ,)uuP x yQ x yxy 22,PuQuyx yxy x P, Q 在

12、在 G 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),22uux yy x 所所以以從而在從而在G內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.PQyx 充充分分性性00(,),GM xy在在取取定定起起點點和終點和終點M( x, y ),因曲線積分與路徑無關(guān)因曲線積分與路徑無關(guān), 有函數(shù)有函數(shù) 00( ,)(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy 2600( ,)(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy (, )( , )xuu xx yu x y 則則(,).P xy 0limxxuuxx 0lim(,)xP xx y (,)(

13、, )ddxx yx yPxQ y (,)( , )dxx yx yPx (,)P xx yx 同理可證同理可證因此有因此有ddd .uPxQy(,),uQ xyy (,)C xx y ( ,)M x y00(,)M xyyxoG27推論推論( , ),( , )GP x yQ x yG設(shè)設(shè) 是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域,在在 內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),ddLP xQ yG 則則曲曲線線積積分分在在 內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是:( , )Gu x y在在 內(nèi)內(nèi)存存在在函函數(shù)數(shù),使使d ( , )( , )d( , )d .u x yP x yxQ x yy 說

14、明說明(1)dd:P xQ y 定定理理3 3給給出出了了是是某某函函數(shù)數(shù)全全微微分分的的條條件件(2)推推論論給給出出了了全全微微分分求求積積的的方方法法,即即.PQyx 28(2)推推論論給給出出了了全全微微分分求求積積的的方方法法,即即ddduP xQ yG 可可用用積積分分法法求求在在 內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù)00(,)M xy取取定定起起點點00(,)(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yP x yxQ x yy 00( ,)dxxP x yx 00( , )(, )dyyu x yQ xyy 0( , )dyyQ x yy ,0( , )d .xxP x yx yx0y0 x( , ),M x y及及動動點點2922ddxyxx y y 驗驗證證是是某某個個函函數(shù)數(shù)的的全全微微分分,并并22,PxyQx y設(shè)設(shè)2PQxyyx 則則,22ddduxyxx y y ( , )22

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