連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)PowerPoint 演示文稿

1、.48-148-1.48-248-2.48-348-3.48-448-4.48-548-5.48-648-6.48-748-7.48-8例2.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf.48-948-9.48-1048-10.48-11例例2.6.7.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證),( x任任取取xxxysin)sin( )

2、2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)任意對(duì)任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy.48-1200limsinsin;xxxx00lim coscos;xxxx48-12.48-1348-13.48-1448-14.48-151.跳躍間斷點(diǎn).的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)則稱點(diǎn)但存在,右極限都處左,在點(diǎn)如果 )(),0()0()(0000 xfxxfxfxxf 例4.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解, 0)

3、00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy.48-162.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)處處無(wú)無(wú)定定在在點(diǎn)點(diǎn)或或但但處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例2.6.7.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 .48-17),1(f 解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx.0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x注

4、意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).48-18如上例中如上例中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf特點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) xoxy112.48-19例6.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxfoxy解, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為無(wú)無(wú)窮窮間間3.無(wú)

5、窮間斷點(diǎn)：無(wú)窮間斷點(diǎn)：如果如果 在點(diǎn)在點(diǎn) 處左、右極限處左、右極限)(xf0 x至少有一個(gè)為無(wú)窮大，則稱點(diǎn)至少有一個(gè)為無(wú)窮大，則稱點(diǎn) 為函數(shù)為函數(shù) 的的無(wú)無(wú)0 x窮間斷點(diǎn)窮間斷點(diǎn).)(xf.48-204 4、振蕩間斷點(diǎn)：如果、振蕩間斷點(diǎn)：如果 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處無(wú)極限且函數(shù)值在某兩個(gè)最值間變動(dòng)無(wú)極限且函數(shù)值在某兩個(gè)最值間變動(dòng)無(wú)限多次，則稱無(wú)限多次，則稱 為函數(shù)為函數(shù) 的振的振蕩間斷點(diǎn)蕩間斷點(diǎn). .)(xf0 x0 x)(xf.48-21xy1sin ,0處處沒(méi)沒(méi)有有定定義義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩

6、蕩間間.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf例例2.6.8.48-22o1x2x3xyx xfy 在定義域在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, 但其絕對(duì)值處但其絕對(duì)值處處連續(xù)處連續(xù).判斷下列間斷點(diǎn)類型判斷下列間斷點(diǎn)類型: , 1, 1)(是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxf函數(shù)函數(shù).48-23例例2.6.9.0, 0, 0,cos)(,處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff

7、 要要使使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a.48-24例例2.6.10函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 是否間斷是否間斷? ?屬于那種類型屬于那種類型? ?能否補(bǔ)充或改變函數(shù)在該能否補(bǔ)充或改變函數(shù)在該點(diǎn)定義使之連續(xù)點(diǎn)定義使之連續(xù)? ?解 函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 沒(méi)有定義沒(méi)有定義, ,所以所以 是函數(shù)的間斷點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn). .對(duì)于對(duì)于 , .xxysin kx , 2, 1, 0( k)xxysin kx , 2, 1, 0( k)kx 0 k0 x.48-25因?yàn)橐驗(yàn)?,所以所以 是第一類間斷點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn) .令令 ,即可使函數(shù)在即可使函數(shù)在 處連續(xù)處連續(xù).

8、對(duì)于對(duì)于 ,因?yàn)橐驗(yàn)?,所以所以 是第二類是第二類間斷點(diǎn)且為無(wú)窮間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)且為無(wú)窮間斷點(diǎn) . 1sinlim0 xxx0 x1)0( f0 x0 k xxxsinlim0)0( kkx .48-2648-26.48-2748-27.48-2820,1,lim1,1,1.nnxxxx48-28.48-291,11,( )1,1,0,11.xxf xxxx 或48-29.48-3048-30.48-3148-31.48-32定理定理2.6.4).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則則有有連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)若若證證,)(連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)auu

9、f .)()(, 0, 0成成立立恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于 xx.48-33.)(成成立立恒恒有有 auax將上兩步合起來(lái)將上兩步合起來(lái):,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xxx .48-34意義意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx

10、eln 解解.48-35例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .48-36.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理2.6.5例如例如,), 0()0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy.48-3748-37

11、.48-38三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在.48-39定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定

12、義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .48-401. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意注意注意2. 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.48-41例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.

13、11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx.48-42小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法求極限的又一種方法.兩個(gè)定理兩個(gè)定理; 兩點(diǎn)意義兩點(diǎn)意義.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.48-43思考題思考題 設(shè)設(shè)xxfsgn)( ，21)(xxg ，試試研研究究復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xgf與與)(xfg的的連

14、連續(xù)續(xù)性性.48-44思考題解答思考題解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上處處處處連連續(xù)續(xù))(xfg0 x是它的可去間斷點(diǎn)是它的可去間斷點(diǎn) 0, 10, 00, 1)(xxxxf.48-45等價(jià)無(wú)窮小替換定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè)證 lim)lim( limlimlim.lim .48-4648-46.48-47例例2.6.16.cos12tanlim20 xxx 求求解.22tan,21cos1,02xxxxx 時(shí)

15、時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換. .注意注意.48-48例例2.6.17.2sinsintanlim30 xxxx 求求解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 錯(cuò) .48-490()0型48-49.48-50()型(0)型48-50.51小結(jié)小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一

16、點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型無(wú)窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(見下圖見下圖).52可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x.53思考題思考題 若若)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，則則| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)(xf在在0 x是是否否連連續(xù)續(xù)？.54思考題解

17、答思考題解答)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都連連續(xù)續(xù).55但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù).48-5648-56.48-5748-57.48-5848-58.48-5948-59.48-6048-60.48-6148-61.48-62( )f bbxoya)(xfy

18、( )f a48-62.48-6348-63.48-6448-64.48-6548-65.48-6648-66.48-6748-67.48-68例例2.6.262.6.26.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即.48-69小結(jié)四個(gè)定理四個(gè)定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2