《命題、定理與證明》分享資料

1、.1華師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)華師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第1課第十三章.2問(wèn)題問(wèn)題1請(qǐng)同學(xué)讀出下列語(yǔ)句請(qǐng)同學(xué)讀出下列語(yǔ)句（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩 條直線也互相平行。條直線也互相平行。（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（3）對(duì)頂角相等。）對(duì)頂角相等。（4）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式。）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式。像這樣判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題（像這樣判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題（proposition）命題的概念命題的概念.3下列語(yǔ)句在表述形式上，哪些是對(duì)

2、事情作了判下列語(yǔ)句在表述形式上，哪些是對(duì)事情作了判斷？哪些沒(méi)有對(duì)事情作出判斷？斷？哪些沒(méi)有對(duì)事情作出判斷？1 1對(duì)頂角相等。對(duì)頂角相等。2 2畫一個(gè)角等于已知角。畫一個(gè)角等于已知角。3 3兩直線平行，同位角相等。兩直線平行，同位角相等。4 4a a、b b兩條直線平行嗎？?jī)蓷l直線平行嗎？5 5溫柔的小明。溫柔的小明。6 6玫瑰花是動(dòng)物。玫瑰花是動(dòng)物。否是否否是是.4如：畫線段如：畫線段AB=CDAB=CD。判斷一件事情的語(yǔ)句叫做判斷一件事情的語(yǔ)句叫做命題命題。注意：注意： 1只要對(duì)一件事情作出了只要對(duì)一件事情作出了判斷判斷，不管正確，不管正確與否，都是與否，都是命題命題。如：如：相等的角是對(duì)頂

3、角。相等的角是對(duì)頂角。 2如果一個(gè)句子沒(méi)有對(duì)某一件事情作出任如果一個(gè)句子沒(méi)有對(duì)某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題。何判斷，那么它就不是命題。.5下列語(yǔ)句是命題嗎？下列語(yǔ)句是命題嗎？熊貓沒(méi)有翅膀。熊貓沒(méi)有翅膀。大象是紅色的。大象是紅色的。同位角相等。同位角相等。連接連接A A、B B兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。你多大了？你多大了？句子句子 能判斷一件事情。能判斷一件事情。 是命題是命題句子句子 不能判斷一件事情不能判斷一件事情.。 不是命題不是命題 請(qǐng)你吃飯。請(qǐng)你吃飯。.6 問(wèn)題問(wèn)題 判斷下列語(yǔ)句是不是命題？判斷下列語(yǔ)句是不是命題？（1）你飯吃了嗎？（）你飯吃了嗎？（ ）（2）兩點(diǎn)之間，線段最短。（）兩點(diǎn)

4、之間，線段最短。（ ）（3）請(qǐng)畫出兩條互相平行的直線。）請(qǐng)畫出兩條互相平行的直線。 （ ）（4）過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線。）過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線。 （ ）（5）如果兩個(gè)角的和是）如果兩個(gè)角的和是90 ，那么這兩個(gè)角互余。（，那么這兩個(gè)角互余。（ ）（6）對(duì)頂角不相等。（）對(duì)頂角不相等。（ ） .7命題的結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)中，許多命題是由條件、在數(shù)學(xué)中，許多命題是由條件、結(jié)論結(jié)論兩部分組成的，條件兩部分組成的，條件是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，這樣的命題是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，這樣的命題?？蓪懗沙？蓪懗伞叭绻绻?，那么，那么”的形式，用的形式，用“如果如果”開始開始

5、的部分就是條件，而用的部分就是條件，而用“那么那么”開始的部分就是結(jié)論。開始的部分就是結(jié)論。（1 1）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等；）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等；條件條件結(jié)論結(jié)論（2 2）如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等。）如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等。條件條件結(jié)論結(jié)論.8例例1 1 把命題把命題“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成改寫成“如果如果，那么，那么”的形式，并分別指出命題的條件與的形式，并分別指出命題的條件與結(jié)論。結(jié)論。 解：這個(gè)命題可以寫成解：這個(gè)命題可以寫成“如果如果一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等，一個(gè)三角形的三個(gè)角都相

6、等，那么那么這個(gè)三角形是等邊三角形這個(gè)三角形是等邊三角形”。這個(gè)命題的條件是這個(gè)命題的條件是“一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等”，結(jié)論，結(jié)論是是“這個(gè)三角形是等邊三角形這個(gè)三角形是等邊三角形”。注意注意：添加添加“如果如果”、“那么那么”后后，命題的意義不能改變，改命題的意義不能改變，改寫的句子要完整，語(yǔ)句要通順寫的句子要完整，語(yǔ)句要通順，使命題的條件和結(jié)論更明朗，使命題的條件和結(jié)論更明朗，易于分辨，改寫過(guò)程中，要適當(dāng)增加詞語(yǔ)。易于分辨，改寫過(guò)程中，要適當(dāng)增加詞語(yǔ)。.9 下列命題中的條件是什么？結(jié)論是什么？下列命題中的條件是什么？結(jié)論是什么？ 如果如果ab，bc，那么，那么a=

7、c 條件是條件是： 如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角這兩個(gè)角互補(bǔ)互補(bǔ)結(jié)論是結(jié)論是：條件是條件是：結(jié)論是結(jié)論是：兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角這兩個(gè)角這兩個(gè)角互補(bǔ)互補(bǔ)ab，bca=c.10 下列命題中的條件是什么？結(jié)論是什么？下列命題中的條件是什么？結(jié)論是什么？ 如果如果兩個(gè)角是對(duì)頂角兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么，那么這兩個(gè)角相等這兩個(gè)角相等.條件是條件是：對(duì)頂角相等。對(duì)頂角相等。結(jié)論是結(jié)論是：條件是條件是：結(jié)論是結(jié)論是：同位角相等。同位角相等。如果如果兩個(gè)角是同位角，兩個(gè)角是同位角，那么那么這兩個(gè)角相等。這兩個(gè)角相等。兩個(gè)角是對(duì)頂角兩個(gè)角是對(duì)頂角這兩個(gè)角相等這兩個(gè)角相等兩個(gè)角是同

8、位角兩個(gè)角是同位角這兩個(gè)角相等這兩個(gè)角相等.11指出下列各命題的指出下列各命題的條件條件和和結(jié)論結(jié)論，并改寫成并改寫成“如如果果那么那么”的形式。的形式。1 1對(duì)頂角相等。對(duì)頂角相等。2 2等角的補(bǔ)角相等。等角的補(bǔ)角相等。3 3兩平行線被第三直線所截，同位角相等。兩平行線被第三直線所截，同位角相等。4 4正數(shù)與負(fù)數(shù)的和為正數(shù)與負(fù)數(shù)的和為0 0. .5 5同平行于一直線的兩直線平行。同平行于一直線的兩直線平行。6 6直角三角形的兩個(gè)銳角互余。直角三角形的兩個(gè)銳角互余。.12有些命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立；而有些有些命題如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立；而有些命題題設(shè)成立時(shí)，結(jié)論不一定成立。

9、命題題設(shè)成立時(shí)，結(jié)論不一定成立。正確的命題叫正確的命題叫真命題真命題，錯(cuò)誤的命題叫，錯(cuò)誤的命題叫假命題假命題。如命題：如命題：“如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角”就就是一個(gè)是一個(gè)錯(cuò)誤錯(cuò)誤的命題。的命題。如命題：如命題：“如果一個(gè)數(shù)能被如果一個(gè)數(shù)能被4整除，那么它也能被整除，那么它也能被2整整除除”就是一個(gè)就是一個(gè)正確正確的命題。的命題。確定一個(gè)命題真假的方法：確定一個(gè)命題真假的方法：利用已有的知識(shí)，通過(guò)利用已有的知識(shí)，通過(guò)觀察觀察、驗(yàn)證驗(yàn)證、推理推理、舉反例舉反例等等方法。方法。.13 下列句子哪些是命題？是命題的，指出是真下列句子哪些是命題？是命題的，指出是真

10、命題還是假命題？命題還是假命題？ 1 1. .豬有四只腳。豬有四只腳。 2 2. .內(nèi)錯(cuò)角相等。內(nèi)錯(cuò)角相等。 3 3. .畫一條直線。畫一條直線。 4 4. .四邊形是正方形。四邊形是正方形。 5 5. .你的作業(yè)做完了嗎？你的作業(yè)做完了嗎？ 6 6. .同位角相等，兩直線平行。同位角相等，兩直線平行。 7 7. .對(duì)頂角相等。對(duì)頂角相等。是是真命題真命題否否是是假假命題命題是是假假命題命題否否是是真真命題命題是是真真命題命題.141 1數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)跀?shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)長(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)作為判斷

11、其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做這樣的真命題叫做公理公理。2 2有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推邏輯推理理的方法判斷它們是正確的，這樣的真命題叫做的方法判斷它們是正確的，這樣的真命題叫做定理定理。公理公理和和定理定理都可作為判斷其他命題真假的都可作為判斷其他命題真假的依據(jù)依據(jù)。3 3在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫做才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫做證明證明。.15公理舉例：公理舉例：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線。2線段公理：線段公理：

12、兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。4平行線判定公理：平行線判定公理：同位角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線平行。5平行線性質(zhì)公理：平行線性質(zhì)公理：兩直線平行，同位角相等。兩直線平行，同位角相等。1直線公理：直線公理：3平行公理：平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。直線與已知直線平行。3垂直公理：垂直公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直。直線與已知直線垂直。.16同角或等角的補(bǔ)角相等。同角或等角的補(bǔ)角相等。2余角的性質(zhì)：余角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等。同角或等角的余角相等。4垂

13、線的性質(zhì)：垂線的性質(zhì)：5平行公理的推論：平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，那么這兩條直線也互相平行。平行。1補(bǔ)角的性質(zhì)：補(bǔ)角的性質(zhì)：3對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。對(duì)頂角相等。垂線段最短。垂線段最短。定理舉例：定理舉例：.17內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。6平行線的判定定理：平行線的判定定理：7平行線的性質(zhì)定理：平行線的性質(zhì)定理：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。定理舉例：定理舉例：.

14、18命題命題1：在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩：在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條（1）這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么呢？）這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么呢？ 題設(shè)題設(shè)：在同一平面內(nèi)，一條直線垂直于兩條平行線在同一平面內(nèi)，一條直線垂直于兩條平行線中中 的一條；的一條；結(jié)論：結(jié)論：這條直線也垂直于兩條平行線中的另一條這條直線也垂直于兩條平行線中的另一條。.19（2）你能結(jié)合圖形用幾何語(yǔ)言表述命題的題設(shè)和）你能結(jié)合圖形用幾何語(yǔ)言表述命題的題設(shè)和結(jié)論嗎？結(jié)論嗎？命題命題1 在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直在同一平面內(nèi)，如果

15、一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條另一條.已知：已知：bc， ab 求證：求證：ac.20（3）請(qǐng)同學(xué)們思考如何利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的定義定理來(lái)證明這個(gè)結(jié)論呢？）請(qǐng)同學(xué)們思考如何利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的定義定理來(lái)證明這個(gè)結(jié)論呢？已知：bc，ab 求證：ac證明： ab（已知）， 又 bc（已知）， 1=2（兩直線平行，同位角相等）. 2=1=90（等量代換） 1=90 （垂直的定義） ac（垂直的定義）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能想證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能想“當(dāng)當(dāng)然然”。.21命題命題2 相等的角是對(duì)頂角相等的角是對(duì)頂角（2）判斷這個(gè)命題的

16、真假）判斷這個(gè)命題的真假（1）這個(gè)命題題設(shè)和結(jié)論分別是什么？）這個(gè)命題題設(shè)和結(jié)論分別是什么？題設(shè)：題設(shè)：兩個(gè)角相等；兩個(gè)角相等；結(jié)論：結(jié)論：這兩個(gè)角互為對(duì)頂角這兩個(gè)角互為對(duì)頂角 我們知道假命題是在條件成立的前提下，結(jié)論不一定成立，你我們知道假命題是在條件成立的前提下，結(jié)論不一定成立，你能否利用圖形舉出一個(gè)反例說(shuō)明當(dāng)兩個(gè)角相等時(shí)它們不一定是對(duì)頂能否利用圖形舉出一個(gè)反例說(shuō)明當(dāng)兩個(gè)角相等時(shí)它們不一定是對(duì)頂角的關(guān)系。角的關(guān)系。 判斷一個(gè)命題是假命題，只判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子（要舉出一個(gè)例子（反例反例），它符），它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了?？梢粤?。這種方法稱為這種方法稱為舉反例舉反例。.22課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1 1. .命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題命題。 2 2. .公理：人們長(zhǎng)期以來(lái)在實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并作為判斷公理：人們長(zhǎng)期以來(lái)在實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并作為判斷其他命題真假的根據(jù)的命題，叫做其他命題真假的根據(jù)的命題，叫做公理公理。 3 3. .定理：經(jīng)過(guò)推理論證為正確的命題叫定理：經(jīng)過(guò)推理論證為正確的命題叫定理定理。也可作為繼。也可作為繼續(xù)推理的依據(jù)。續(xù)推理的依據(jù)。 4 4. .在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能在很多情況下，一個(gè)命