5-8-2進制的應(yīng)用教師版

1、5-8-2.進制的應(yīng)用1. 了解進制；2. 會對進制進行相應(yīng)的轉(zhuǎn)換;3. 能夠運用進制進行解題一、數(shù)的進制1 十進制：我們常用的進制為十進制，特點是“逢十進一"。在實際生活中，除了十進制計數(shù)法外，還有其他的大于1 的自然數(shù)進位制。比如二進制，八進制，十六進制等。2 二進制:在計算機中，所采用的計數(shù)法是二進制，即“逢二進一”。因此，二進制中只用兩個數(shù)字0和1。二進制的 計數(shù)單位分別是1、2 2 2 .,二進制數(shù)也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進制中表示為： (100110)2= 1 x25+0x24+0x23+1 x22+ 1x2' +0x2°。二進制的運

2、算法則：“滿二進一”、“借一當(dāng)二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，得一。 注意：對于任意自然數(shù)仏我們有77(，=lo3r進制：一般地，對于£進位制，每個數(shù)是由0, 1, 2, (r-1)共£個數(shù)碼組成，且“逢£進一”.k(k>d進位制計數(shù)單位是0, k' ,疋,如二進位制的計數(shù)單位是2°, 2', 22,八進位制的計數(shù)單位 是 8°, 81 , 82,4m進位制數(shù)可以寫成不同計數(shù)單位的數(shù)之和的形式(d/円 ® 訕=afl x kn + an_ x knl + ® x £ + 勺十進

3、制表示形式：/v = a0"+a”_l(yt +勺10°二進制表示形式：川=勺2"+%_|2"一】+勺2° ;為了區(qū)別各進位制中的數(shù)，在給出數(shù)的右下方寫上表示是£進位制的數(shù)如：(352)8，(1010)2, (3145)12,分別表示八進位制，二進位制，十二進位制中的數(shù).5m進制的四則混合運算和十進制一樣先乘除，后加減；同級運算，先左后右；有括號時先計算括號內(nèi)的。二、進制間的轉(zhuǎn)換：一般地，十進制整數(shù)化為k進制數(shù)的方法是：除以斤取余數(shù)，一直除到被除數(shù)小于k為止，余數(shù)由下到上 按從左到右順序排列即為k進制數(shù).反過來，r進制數(shù)化為十進制數(shù)的

4、一般方法是：首先將k進制數(shù)按斤 的次幕形式展開，然后按十進制數(shù)相加即可得結(jié)果.如右圖所示：十進制«k： sum 樟：itmis1 制 頤v一分三法!取四合一法-碳 趙一 乂酬一v六 丿a一 加 一 十 取三合一法 取一 4®法模塊一、進制在生活中的運用【例1有個吝嗇的老財主，總是不想付錢給長工。這一次，拖了一個月的工錢，還是不想付?？墒遣桓?又說不過去，便故作大方地拿出一條金鏈，共有7環(huán)。對長工說：“我不是要拖欠工資，只是想連這 一個月加上再做半年的工資，都以這根金鏈來付。”他望向吃驚的長工，心中很是得意，“本人說話, 從不食言，可以請大老爺作證?！贝罄蠣斂墒钦f一不二的人，

5、誰請他作證，他當(dāng)作一種榮耀，總是分 文不取，并會以命相拼也要兌現(xiàn)的。這越發(fā)讓長工不敢相信，要知道，這在以往，這樣的金鏈中的一環(huán)三個月的工錢也不止。老財主越發(fā)得意，終于拿出殺手銅：“不過，我請大老爺作證的時候，提 到一項附加條件，就是這樣的金鏈實在不能都把它斷開，請你只能打開一環(huán)，以后按月來取才行！ ”當(dāng)長工明白了老財主的要求后，不僅不為難，反倒爽快地答應(yīng)了，而且，從第一個月到第七個月， 順利地拿到了這條金鏈，你知道怎么斷開這條金鏈嗎？【考點】進制在生活中的運用【難度】2星 【題型】解答【解析】斷開第三環(huán)，從而得到1, 2, 4環(huán)的三段，第一個月拿走一環(huán)，第二個月以一換二，第三個月取一 環(huán)，第四

6、個月以三換四，第五個月再取一環(huán)，第六個月以一換二，第七個月再取一環(huán)。【答案】1, 2, 4【鞏固】現(xiàn)有1克，2克，4克，8克，16克的祛碼各1枚，在天平上能稱多少種不同重量的物體？【考點】進制在生活中的運用【難度】2星 【題型】解答【解析】因為眩碼的克數(shù)恰好是1, 2, 4, 8, 16,而二進位制數(shù)從右往左數(shù)各位數(shù)字分別表示：1, 2, 22=4, 23=8, 24=16,在磋碼盤上放1克肚碼認為是二進位制數(shù)第一位(從右數(shù))是1,放2克眩碼認為是二 進位制數(shù)第二位是1,.,放16克硅碼認為是二進位制數(shù)第五位是1,不放硅碼就認為相應(yīng)位數(shù) 是零，這樣所表示的數(shù)中最小的是1,最大的是(11111

7、)2=24+23+22+21+ 20=(31)10,這就是說1 至31的每個整數(shù)(克)均能稱出。所以共可以稱出31種不同重量的物體?！敬鸢浮?1【例21茶葉店老板要求員工提高服務(wù)質(zhì)量，開展“零等待”活動，當(dāng)顧客要買茶葉的時候，看誰最快 滿足顧客的需要則為優(yōu)秀。結(jié)果有一個員工總是第一名，而且顧客到他那兒不需要等待。原來他把 茶葉先稱出若干包來，放在柜臺上，顧客告訴他重量，他就拿出相應(yīng)重量的茶葉。別的伙計看在眼 里，立即學(xué)習(xí)，可是柜臺上卻放不下許多包。奇怪的是，最佳員工的柜臺上的茶葉包裹卻不是很多。 于是有員工去取經(jīng)，發(fā)現(xiàn)最佳員工準(zhǔn)備的茶葉數(shù)量是：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1

8、28, 256。你能 解釋一下其中的道理么?這些重量可以應(yīng)付的顧客需要的最高重量是多少？【考點】進制在生活中的運用【難度】3星 【題型】解答【解析】略【答案】由于 1 =(1)2,2 = (10)2,4=(100)28= (1000,16= (1000(,32= (10)000)2 觀察一下你會發(fā)現(xiàn)最佳員 工：所取的數(shù)字與二進制中的(1)2，(10)2，(100)2，(1000)2，(10000)2,(100000)2對應(yīng)，而我們所要的3,5, 6, 7, 9,等等數(shù)字都可以用這些二進制相加得來，老師可以在黑板上給學(xué)生列豎式演示此道理，說明取 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1

9、28, 256 的道理?！眷柟獭咳绻豢紤]100克以內(nèi)的重量，至少需要多少包？【考點】進制在生活中的運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】至少需要1, 2, 4, & 16, 32, 64（7包）【答案】至少需要1, 2, 4, & 16, 32, 64 （7包）【鞏固】如果只許在天平的一邊放祛碼，要稱量100g以內(nèi)的各種整數(shù)克數(shù)，至少需要多少個祛碼?【考點】進制在生活中的運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】至少需要：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64這七種重量的眩碼即可?！敬鸢浮恐辽傩枰?, 2, 4, 8, 16, 32, 64這七種重量的眩碼即可【鞏固】

10、古代英國的一位商人有一個15磅的祛碼，由于跌落在地碎成4塊，后來，稱得每塊碎片的重量都是 整磅數(shù)，而且可以用這4塊來稱從1至15磅之間的任意整數(shù)磅的重物（祛碼只能放在天平的一邊）。 那么這4塊祛碼碎片各重, , , 【考點】【難度】星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽，第15題【解析】因為二進制數(shù)可以表達所有的自然數(shù)，而且表達形式是唯一的，例如：9=1+8 , 31=1+2+4+8+16 所以只要準(zhǔn)備質(zhì)量為1,2,4,8的二進制數(shù)硅碼即可?！敬鸢浮?,2, 4,8【例3有10箱鋼珠，每個鋼珠重10克，每箱600個如果這10箱鋼珠中有1箱次品，次品鋼珠每個重9 克，那么，要找出這箱次品最

11、少要稱幾次？【考點】進制在生活中的運用【難度】3星 【題型】解答【解析】略【答案】解決這個問題有一個巧妙的方法.將10箱鋼珠分別編為110號，然后從1號箱中取1個鋼珠，從2 號箱中取2個鋼珠,這樣共取了 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10=55 （個）鋼珠，重量是：55x10=550 （克），如果輕了 m1&1s10）克，那么第幾號箱就是次品.在這個方法中，第10號箱也可 不取，這樣共取出45個鋼珠，如果重450克，那么1（）號箱是次品；否則，輕幾克幾號箱就是次品. 總結(jié)：不同的進制數(shù)與十進制數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，即：每個十進制數(shù)都能表示成一個相應(yīng)的二

12、進制數(shù)， 反之，也是?！纠?小馬虎將一些零件裝箱，每個零件10g,裝了 10箱，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，混進了幾箱次品進去，每個次 品零件9克，但從外觀上看不岀來，聰明的你能只稱量一次就能把所有的次品零件都找出來么？【考點】進制在生活中的運用 【難度】4星 【題型】解答【解析】略【答案】解決這個問題有一個巧妙的方法.將10箱鋼珠分別編為110號，然后從1號箱中取1個鋼珠，從2 號箱中取2個鋼珠，從3號箱中取4個鋼珠，從4號箱中取8個鋼珠從10號箱中取512個鋼珠,共取出1+2+4+8+.+512=1023個鋼珠，將這些鋼珠放到天平上稱，本來應(yīng)重10230克，如果輕了 ,7（1<»<10

13、）克，就看是由1, 2, 4, 8, 16,512中的那些數(shù)字組成，則數(shù)字對應(yīng)的那些號箱就是 次品.在這個方法中，第10號箱也可不取，這樣共取出511個鋼珠，如果重500克，那么1, 2, 4 號箱是次品?！纠?計算機存儲容量的基本單位是字節(jié)，用b表示，一般用kb、mb、gb作為存儲容量的單位，它們 之間的關(guān)系是1 o=2,0b,lgb=2,0/wbo小明新買了一個mp3播放器，存儲容量為256mb,它相當(dāng)于bo【考點】進制在生活中的運用 【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】256m5=256x 2,0 = 218 kb= 228 b【答案】228b【例6】向電腦輸入

14、漢字，每個頁面最多可輸入1677個五號字?，F(xiàn)在頁面中有1個五號字，將它復(fù)制后粘 貼到該頁面，就得到2個字；再將這2個字復(fù)制后粘貼到該頁面，就得到4個字。每次復(fù)制和粘貼 為1次操作，要使整個頁面都排滿五號字，至少需要操作次?！究键c】進制在生活中的運用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)犍詞】希望杯，五年級，復(fù)賽，第7題，4分【解析】2的10次方為1024, 2的11次方為204&所以需要操作11次?！敬鸢浮?1次【例7成語“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困難。假設(shè)愚公家門口的大山有80萬噸重，愚公有兩個兒 子，他的兩個兒子又分別有兩個兒子，依此類推。愚公和它的子孫每人一生能搬運100噸石頭。

15、如 果愚公是第1代，那么到了第代，這座大山可以搬完。（已知10個2連乘之積等于1024）【考點】進制在生活中的運用 【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】設(shè)到了第舁代，這座大山可以搬完2°+21+22+2"一1 >800000-1002"-1380002,:>80012'2=4096, 213=8192答：到了第13代，這座大山可以搬完?！敬鸢浮?3代【例 8 1234567890123456789012345678901234567890,共 10000 個數(shù)字。第一輪去掉在奇數(shù)位置（從左數(shù)起）上的數(shù)字，剩下5000個

16、數(shù)字;第二輪再去掉這5000個數(shù)字中奇數(shù)位置上的數(shù)字，剩下2500 個;第三輪，；直到只剩下一個數(shù)字。最后剩下的數(shù)字是，這時已經(jīng)操作了輪?！究键c】進制在生活中的運用 【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽，12題【解析】最后剩下的數(shù)是接近10000的丫。已知213=8192, 8192-10 = 819.2,第二個數(shù)正好就是2。另夕卜， 根據(jù)操作規(guī)律，每丫個數(shù)，操作n次剩下最后一個數(shù)，所以，操作13次?！敬鸢浮?,操作13次【例9 10個舷碼，每個祛碼重量都是整數(shù)克，無論怎樣放都不能使天平平衡，這堆祛碼總重量最少為 克?！究键c】進制在生活中的運用 【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵

17、詞】走美杯，初賽，六年級，第7題【解析】由于無論怎樣放都不能使天平平衡，首先可以知道這10個鎂碼的重量各不相同。最輕的那個硅碼至 少為1克，次輕的至少為2克，由于1 + 2 = 3 ,接下來的至少為4克，由此想到我們熟悉的2 的次幕，當(dāng)10個眩碼的重量分別為1克，2克，4克，8克，16克，,512克時滿足題意，所 以這堆眩碼的總重量至少為1 + 2 + 4 + 8+512 = 1023克?！敬鸢?023克【例10將6個燈泡排成一行，用o和表示燈亮和燈不亮，下圖是這一行燈的五種情況，分別表示五個 數(shù)字：1, 2, 3, 4, 5。那么表示的數(shù)是。 o 1 o 2 oo 3 o 4 o o 5【考

18、點】進制在生活中的運用【難度】5星【題型】填空【關(guān)犍詞】希望杯，五年級，初賽，第16題，5分【解析】從圖中數(shù)字1、2、4的表示可知：自右向左第一個燈亮表示1,第二個燈亮表示2,第三個燈亮表示 4,第四個燈亮表示&第五個燈亮表示16,第六個燈亮表示32。因此問題當(dāng)中的表示16+8+2=26o【答案】26模塊二、巧求余數(shù)問題【例11已知正整數(shù)n的八進制表示為n = (12345654321)-那么在十進制下，n除以7的余數(shù)與n除以9 的余數(shù)之和是多少？【考點】巧求余數(shù)問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】2009年，清華附中，入學(xué)測試題【解析】與十進制相類似，有：(1234565432

19、5 =(111111)/.根據(jù)8進制的棄7法，(llllllh被7除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和，為6,而6?=36除以7的余數(shù) 為1,所以(111111)8的平方被7除余1,即(12345654321)8除以7的余數(shù)為1;另外,9 = (11)8 ,顯然(111111)8能被(ilk整除,所以其平方也能被(11)8整除,即(1234565432映除 以9的余數(shù)為0.因此兩個余數(shù)之和為1 + 0 = 1.【答案】1【鞏固】在8進制中，一個多位數(shù)的數(shù)字和為十進制中的68,求除以7的余數(shù)為多少？【考點】巧求余數(shù)問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】人大附中，分班考試【解析】類似于十進制中的“棄九法

20、"，8進制中也有“棄7法”，也就是說8進制中一個數(shù)除以7的余數(shù)等于這 個數(shù)的各位數(shù)字之和除以7的余數(shù).本題中，這個數(shù)的各位數(shù)字之和在十進制中為6&而68除以7的余數(shù)為5,所以這個數(shù)除以7的余 數(shù)也為5.【答案】5【例12試求(22oo6-1)io除以992的余數(shù)是多少？【考點】巧求余數(shù)問題【難度】4星 【題型】解答(992)0 =(1111100000)2 ,(22006 _1【解析】我們通過左式的短除法，或者直接運用通過2次幕來表達為2進制:z( 、1111111 1000.0 + 111111,因為111.1000.0< 2006個1 )2,2000個 1 6 個0

21、)2< 2000個16個0丿2(1111100000)2 整除，所以能被(1111100000)2 整除，所以余數(shù)為(111111) =25 + 24 + 23 + 22 + 21 +2° =63 ,所以原式的余數(shù)為 63。=1111我們知道在2進制中111.10000.0 一定能被< 5個1 5個或以上0丿22006個1丿2【答案】63【例131計算(22003 -1)除以7的余數(shù).【考點】巧求余數(shù)問題【難度】4星 【題型】解答【解析】由于23=8除以7余1,而2003*3 = 6672 ,所以22003 -1除以7的余數(shù)為22-1=3.本題也可以轉(zhuǎn)化為2進制進行計算：

22、22003 -1 =(1 1 11)2, 7 = (111)2,2003個所以(22003 -1)4-7=(1111)2 十(1 1 1)2 .2003個而 2003-3 = 6672 ,所以(1111)2-(111)2 余(1 =3 .2003個所以(22003 -1)除以7的余數(shù)為3.【答案】3【例14計算(32003 -1)除以26的余數(shù).【考點】巧求余數(shù)問題【難度】4星 【題型】解答【解析】題中有3的次幕，令人聯(lián)想到將題中的數(shù)轉(zhuǎn)化成3進制下的數(shù)再進行計算.32003 _ =( qqq x 0)3 一(1)3 = (2222)3,而 26 = (222)3,2003個02003個2所以，

23、g?00?1) + 26 = (2222)3一(222)32003個 2由于(222)3 整除(222)3，2003-3 = 6672 ,所以(222 2)3 -(222)3 余(22)3=x.2003個 2所以(32003 -1)除以26的余數(shù)為8.【答案】8模塊三、進制與位值的綜合運用【例15在美洲的一個小鎮(zhèn)中，對于200以下的數(shù)字讀法都是采取20進制的。如果十進制中的147在20 進制中的讀音是seyth ha seyth ugens9而十進制中的49在20進制中的讀音是“gw ha dew ugens, 那么20進制中讀音是“dew ha nav ugens的數(shù)指的是十進制中的數(shù)【考點

24、】【難度】星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級，1試，第12題【解析】(147)10 = (77)20 , (49)10 = (29)20 ,所以ha代表十位，ugens代表個位，dew代表9, naw代表2。 (92)20= (182)io,所以答案是 182.【答案】182【例16 一個自然數(shù)，在3進制中的數(shù)字和是2007,它在9進制中的數(shù)字和最小是,最大是。【考點】進制與位值的綜合運用【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級，第9題【解析】最大為2007 x 3=6021,最小為2007.【答案】最小2007,最大6021【例17】在6進制中有三位數(shù)"c,化

25、為9進制為c加，求這個三位數(shù)在十進制中為多少？【考點】進制與位值的綜合運用【難度】5星 【題型】解答【解析】 仙吐=«x62 +/?x6* + cx6° =36a + 6b + c ; (cba)? = cx92 + z?x91 + tzx9° = 8lc + 9z? + « ;所以 36。+ 6b + c = 8 lc + 9/? + d ；于是 35a = 80c + 3b ；因為35d是5的倍數(shù)，80c也是5的倍數(shù).所以3b也必須是5的倍數(shù)，又(3, 5)=1.所以，e0 或 5. 當(dāng)尿0,則3580c;則77= 16c; (7, 16)=1,并且

26、啓，所以16, c二7。但是在6,9進制， 不可以有一個數(shù)字為16. 當(dāng)屁5,則35«=3x5+80c;則7=3+16c; mod 7后，3+2厲0。所以c=2或者2+7k(k為整數(shù)).因 為有6進制，所以不可能有9或者9以上的數(shù)，于是 尸2; 35=15+80x2, 5。所以(川疋)6 =(552)6 二5x62+5x6+2二212。這個三位數(shù)在十進制中為212?！敬鸢浮?12【例18在7進制中有三位數(shù)"c,化為9進制為cbd,求這個三位數(shù)在十進制中為多少？【考點】進制與位值的綜合運用 【難度】5星【題型】解答【解析】首先還原為十進制：(abc)j = tzx72+z?x7 + c = 49q + 7b + c ; (cbd)9 = cx924-z?x9 + = 81c4-9z? + 67.于是49。+ 7方 +。= 81(; + 9/2 +。；得到 4sa = 80c + 2b ,即 24a = 40c + b.因為24。是8的倍數(shù)，40c也是8的倍數(shù)，所以"也應(yīng)該是x的倍數(shù)，于是b = 0或&但是在7進制下，不可能有8這個數(shù)字.于是b = 0 , 24a = 40c ,則3a