高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 排列課堂導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修23

1、1.2.1 排列課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、排列的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】從19的九個(gè)數(shù)字中，取出5個(gè)數(shù)作排列，并把五個(gè)位置自右至左編號(hào)，則奇數(shù)數(shù)字必在奇數(shù)位置上的排列有多少個(gè)？ 解法一：1，2，9中只有四個(gè)偶數(shù)數(shù)字，故排列中至少有一個(gè)奇數(shù)數(shù)字，一奇四偶的排列可按下列程序得到： 從五個(gè)奇數(shù)數(shù)字中選取一個(gè)放在三個(gè)奇數(shù)位置中的一個(gè)上，再把四個(gè)偶數(shù)數(shù)字排在剩下的四個(gè)位置上，因此一奇四偶的排列有××，類似地，二奇三偶的排列有×××種；三奇二偶的排列有×種，因此適合題意的排列個(gè)數(shù)有+=2 520（個(gè)）.解法二：（轉(zhuǎn)換思維角度，將本題解釋為“偶數(shù)位置上的數(shù)字必是

2、偶數(shù)”），由題意知：只有兩個(gè)偶數(shù)位置，應(yīng)從四個(gè)偶數(shù)中選取兩個(gè)排列在這兩個(gè)偶數(shù)位置上，有種排列，再?gòu)氖Ｏ缕邆€(gè)數(shù)字中選取兩個(gè)排列在其余三個(gè)位置上，有種排法，故適合題意的排列個(gè)數(shù)是·=2 520（個(gè)）.溫馨提示 一定要認(rèn)真審題,弄清題目所蘊(yùn)含的含義,否則就會(huì)出現(xiàn)一些不該出現(xiàn)的錯(cuò)誤.不同情形的分類要考慮周密，做到不重不漏，另外在解決數(shù)字排列問(wèn)題時(shí)還必須熟悉自然數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)數(shù)字0的安排要特別引起重視.二、排列的綜合應(yīng)用【例2】六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端； （2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰； （4）甲、乙之間間隔兩人；（5）甲、乙站在兩端； （6）

3、甲不站左端，乙不站右端. 思路分析：本題主要考查有限制條件的排列應(yīng)用題的解法及分類討論的思想和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.解：（1）解法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有種站法，然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列有種站法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法·=480（種）. 解法二：由于甲不站兩端，這兩個(gè)位置只能從其余5人中選2個(gè)人站，有種站法,然后中間4人有種站法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有站法·=480（種）. 解法三：若對(duì)甲沒(méi)有限制條件共有種站法，甲在兩端共有2種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即得所求的站法數(shù)，共有-2=480（種）.（2）解法一：

4、先把甲、乙作為一個(gè)“整體”，看作一個(gè)人，有種站法，再反甲、乙進(jìn)行全排列，有種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有·=240（種）站法. 解法二：先把甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有種站法，再在5個(gè)空檔中選出一個(gè)供甲、乙放入.有種方法，最后讓甲、乙全排列，有種方法，共有··=240（種）.（3）因?yàn)榧?、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì)，有種；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔（含兩端）中，有種，故共有站法為·=480（種）.（4）解法一：先將甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有種，然后將甲、乙按條件插入站隊(duì)，有3種，故其有

5、3;（3）=144種站法. 解法二：先從甲、乙以外的4個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上，有種，然后把甲、乙及中間2人看作一個(gè)“大”元素與余下2個(gè)作全排列有種方法，最后對(duì)甲、乙進(jìn)行排列，有種方法，故共有··=144種站法.（5）解法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有·=48種站法. 解法二：首先考慮兩端兩個(gè)特殊位置，甲、乙去站有種站法，然后考慮中間4個(gè)位置，由剩下的4人去站，有種站法，由分步計(jì)數(shù)原理共有·=48種站法.（6）解法一：甲在左端的站法有種，乙在右端的站法有種，且甲在左

6、端而乙在右端的站法有種，共有-2+=504種站法. 解法二：以元素甲分類可分為兩類:甲站右端有種,甲在中間4個(gè)位置之一,而乙不在右端有··種，故共有+··=504種站法.溫馨提示 此題將排列問(wèn)題整理得很好，情況很全、方法很多，是一個(gè)好題.三、證明排列恒等式【例3】求證:+m=.證明：+m=+m=所以+m=.各個(gè)擊破類題演練 1 用0，1，2，3，4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中有多少個(gè)偶數(shù)，若將這些偶數(shù)從小到大排列，3 402是第幾位數(shù)？解析：（1）按個(gè)位情形分類：個(gè)位為0的有=60個(gè)；個(gè)位不為0的，先排個(gè)位接著排首位，再排中間兩位有=96個(gè)，故所求的

7、四位偶數(shù)共有60+96=156個(gè).（2）按千位進(jìn)行分類：千位為1時(shí)，先排個(gè)位，再排中間兩位有個(gè)；千位為2時(shí)有個(gè)；千位為3時(shí)，百位為0或2的2×2個(gè)，百位為1的有3個(gè)，百位為4的僅1個(gè).總共有+43+1=82個(gè)，即所得偶數(shù)從小到大排列，3 402是第82個(gè)數(shù)變式提升 1 某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以掛一面、兩面或三面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？解析：表示信號(hào)這件事，可分為三類：第一類 掛一面旗表示信號(hào)，是從3個(gè)不同元素中任取1個(gè)元素的排列，共有種不同的方法；第二類 掛兩面旗表示信號(hào)，是從3個(gè)不同元素中任取2個(gè)元素

8、的排列，共有種方法；第三類 掛三面旗表示信號(hào)，是3個(gè)元素的全排列，共有種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，可以表示信號(hào)共有+=3+3×2+3×2×1=3+6+6=15（種）.類題演練 2排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單.（1）任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？解析：（1）先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個(gè)空位，從中選4個(gè)放入舞蹈節(jié)目，共有種方法，所以任兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有·=43 200（種）方法.（2）先排舞蹈節(jié)目有種方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個(gè)空位，恰好供5個(gè)歌唱節(jié)目

9、放入.所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有·=2 880（種）方法.變式提升 2 星期一共排六節(jié)不同的課，若第一節(jié)排數(shù)學(xué)或第六節(jié)排體育，問(wèn)有多少種不同的課程排法？解析：數(shù)學(xué)排在第一節(jié)的課程排法有種，體育排在第六節(jié)的排法也有種，由分類計(jì)數(shù)原理共有+=240種排法.在數(shù)學(xué)排在第一節(jié)的種排法中，有體育排在第六節(jié)的排法，而在體育排在第六節(jié)的排法中，也存在著數(shù)學(xué)排在第一節(jié)的情形，因此, +中，將數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，同時(shí)體育排在第六節(jié)的排法計(jì)算了兩次，發(fā)生了重復(fù).第一節(jié)排數(shù)學(xué)或第六節(jié)排體育的排法共有+-=216種.類題演練 3計(jì)算：（1）;（2）已知=,求n.解析：（1）原式=.（2）原等式可化為（2n+1）·2n·（2n-1） ·（2n-2）=140·n·（n-1）·（n-2）,n3,n（n-1）0.（2n+1）（2n-1）=35（n-2）.解得n=3或n=.nn*,n=3.變式提升 3計(jì)算：.解析：原式=6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191