數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法

1、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法（一）算法 1算法的基本概念 算法是指解題方案的準(zhǔn)確而完整的描述。即是一組嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囟x運(yùn)算順序的規(guī)則，并且每一個(gè)規(guī)則都是有效的，且是明確的，沒(méi)有二義性，同時(shí)該規(guī)則將在有限次運(yùn)算后可終止。 1）算法的基本特征 （1）可行性 由于算法的設(shè)計(jì)是為了在某一個(gè)特定的計(jì)算工具上解決某一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題而設(shè)計(jì)的，因此，它總是受到計(jì)算工具的限制，使執(zhí)行產(chǎn)生偏差。 如：計(jì)算機(jī)的數(shù)值有效位是有限的，當(dāng)大數(shù)和小數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，往往會(huì)因?yàn)橛行粩?shù)的影響而使小數(shù)丟失，因此，在算法設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該考慮到這一點(diǎn)。 （2）確定性 算法的設(shè)計(jì)必須是每一個(gè)步驟都有明確的定義，不允許有模糊的解釋，也不能有多義性。 例如，一個(gè)實(shí)際

2、的問(wèn)題，小寶和萍萍共有12個(gè)蘋(píng)果，小寶比萍萍多4個(gè)，請(qǐng)問(wèn)小寶和萍萍各有幾個(gè)蘋(píng)果？這個(gè)問(wèn)題，我們可以立一個(gè)方程組x+y=12和x-y=4來(lái)求解，要求x和y的值，公式是正確的，但如何讓計(jì)算能夠進(jìn)行計(jì)算，我們的算法不能把公式直接輸進(jìn)去，而應(yīng)該設(shè)計(jì)出解題的步驟和過(guò)程。 即設(shè)計(jì)的算法是計(jì)算工具所能夠正常解決問(wèn)題的過(guò)程。 （3）有窮性 算法的有窮性，即在一定的時(shí)間是能夠完成的，即算法應(yīng)該在計(jì)算有限個(gè)步驟后能夠正常結(jié)束。 例如，在數(shù)學(xué)中的無(wú)窮級(jí)數(shù)，在計(jì)算機(jī)中只能求有限項(xiàng)，即計(jì)算的過(guò)程是有窮的。 （4）擁有足夠的情報(bào) 算法的執(zhí)行與輸入的數(shù)據(jù)和提供的初始條件相關(guān)，不同的輸入或初始條件會(huì)有不同的輸出結(jié)果，提供準(zhǔn)確

3、的初始條件和數(shù)據(jù)，才能使算法正確執(zhí)行。 2）算法的基本要素 一是數(shù)據(jù)對(duì)象的運(yùn)算和操作，二是算法的控制結(jié)構(gòu)。 （1）算法中對(duì)數(shù)據(jù)的運(yùn)算和操作 算法實(shí)際上是按解題要求從環(huán)境能進(jìn)行的所有操作中選擇合適的操作所組成的一組指令序列。即算法是計(jì)算機(jī)所能夠處理的操作所組成的指令序列。 （2）算法的控制結(jié)構(gòu) 算法的功能不僅取決于所選用的操作，而且還與各操作之間的順序有關(guān)。 在算法中，操作的執(zhí)行順序又稱算法的控制結(jié)構(gòu)，一般的算法控制結(jié)構(gòu)有三種：順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)。 在算法描述是，有相關(guān)的工具對(duì)這三種結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述，常用的描述工具有：流程圖、N-S結(jié)構(gòu)圖和算法描述語(yǔ)言等。 3）算法設(shè)計(jì)的基本方法 為用計(jì)算

4、機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題而設(shè)計(jì)的算法，即是計(jì)算機(jī)算法。 通常的算法設(shè)計(jì)有如下幾種： （1）列舉法 列舉法的基本思想是，根據(jù)提出的問(wèn)題，列舉出所有可能的情況，并用問(wèn)題中給定的條件檢驗(yàn)?zāi)男┦菨M足條件的，哪些是不滿足條件的。列舉法通常用于解決“是否存在”或“有哪些可能”等問(wèn)題。 例如，我國(guó)古代的趣味數(shù)學(xué)題：“百錢(qián)買(mǎi)百雞”、“雞兔同籠”等，均可采用列舉法進(jìn)行解決。 使用列舉法時(shí)，要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)的分析，將與問(wèn)題有關(guān)的知識(shí)條理化、完備化、系統(tǒng)化，從中找出規(guī)律。 （2）歸納法 歸納法的基本思想是，通過(guò)列舉少量的特殊情況，經(jīng)過(guò)分析，最后找出一般的關(guān)系。歸納是一種抽象，即從特殊現(xiàn)象中找出一般規(guī)律。但由于在歸納法中不可能

5、對(duì)所有的情況進(jìn)行列舉，因此，該方法得到的結(jié)論只是一種猜測(cè)，還需要進(jìn)行證明。 （3）遞推 遞推，即是從已知的初始條件出發(fā)，逐次推出所要求的各個(gè)中間環(huán)節(jié)和最后結(jié)果。其中初始條件或問(wèn)題本身已經(jīng)給定，或是通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析與化簡(jiǎn)而確定。 遞推的本質(zhì)也是一種歸納，遞推關(guān)系式通常是歸納的結(jié)果。 例如，裴波那契數(shù)列，是采用遞推的方法解決問(wèn)題的。 （4）遞歸 在解決一些復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，為了降低問(wèn)題的復(fù)雜程序，通常是將問(wèn)題逐層分解，最后歸結(jié)為一些最簡(jiǎn)單的問(wèn)題。這種將問(wèn)題逐層分解的過(guò)程，并沒(méi)有對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，而只是當(dāng)解決了最后的問(wèn)題那些最簡(jiǎn)單的問(wèn)題后，再沿著原來(lái)分解的逆過(guò)程逐步進(jìn)行綜合，這就是遞歸的方法。 遞歸分為直接

6、遞歸和間接遞歸兩種方法。如果一個(gè)算法直接調(diào)用自己，稱為直接遞歸調(diào)用；如果一個(gè)算法A調(diào)用另一個(gè)算法B，而算法B又調(diào)用算法A，則此種遞歸稱為間接遞歸調(diào)用。 （5）減半遞推技術(shù) 減半遞推即將問(wèn)題的規(guī)模減半，然后，重復(fù)相同的遞推操作。 例如，一元二次方程的求解。 （6）回溯法 有些實(shí)際的問(wèn)題很難歸納出一組簡(jiǎn)單的遞推公式或直觀的求解步驟，也不能使用無(wú)限的列舉。對(duì)于這類問(wèn)題，只能采用試探的方法，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，找出解決問(wèn)題的線索，然后沿著這個(gè)線索進(jìn)行試探，如果試探成功，就得到問(wèn)題的解，如果不成功，再逐步回退，換別的路線進(jìn)行試探。這種方法，即稱為回溯法。 如人工智能中的機(jī)器人下棋。 2算法復(fù)雜度 算法的復(fù)

7、雜度包括時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。 1）時(shí)間復(fù)雜度 即實(shí)現(xiàn)該算法需要的計(jì)算工作量。算法的工作量用算法所執(zhí)行的基本運(yùn)算次數(shù)來(lái)計(jì)算。 同一個(gè)問(wèn)題規(guī)模下，如果算法執(zhí)行所需要的基本次數(shù)取決于某一特定輸入時(shí)，可以用以下兩種方法來(lái)分析算法的工作量： 算法工作量=f(n) （1）平均性態(tài) 用各種特定輸入下的基本運(yùn)算次數(shù)的加權(quán)平均值來(lái)度量算法的工作量。 設(shè)x是某個(gè)可能輸入中的某個(gè)特定輸入，p(x)是x出現(xiàn)的概率，t(x)是算法在輸入為x時(shí)所執(zhí)行的基本運(yùn)算次數(shù)，則算法的平均性態(tài)定義為：Dn表示當(dāng)規(guī)模為n時(shí)，算法執(zhí)行時(shí)所有可能輸入的集合。 （2）最壞情況復(fù)雜度 指在規(guī)模為n時(shí)，算法所執(zhí)行的基本運(yùn)算的最大次數(shù)。它定義

8、為： 例如，在具有n個(gè)元素的數(shù)列中搜索一個(gè)數(shù)x。 平均性態(tài)： 即該數(shù)在數(shù)列中任何位置出現(xiàn)的數(shù)列是相同的，也有可能不存在，存在的概率為q。 如果有一半的機(jī)會(huì)存在，則概率q為1/2，平均性態(tài)： 如果查找的元素一定在數(shù)列中，則每個(gè)數(shù)存在的概率即為1，則平均性態(tài)為： 最壞情況分析：即要查找的元素X在數(shù)列的最后或不在數(shù)列中，顯然，它的最壞情況復(fù)雜度為：2）算法的空間復(fù)雜度 指要執(zhí)行該算法所需要的內(nèi)存空間。算法所占用的內(nèi)存空間包括算法程序所占的空間、輸入的初始數(shù)據(jù)所占的存儲(chǔ)空間以及算法執(zhí)行過(guò)程中所需要的額外空間，如執(zhí)行過(guò)程中工作單元以及某種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所需要的附加存儲(chǔ)空間等。 （二）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基本概念 1概念

9、 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是指相互有關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)元素的集合。它包括以下兩個(gè)方面： 表示數(shù)據(jù)元素的信息 表示各數(shù)據(jù)之間的前后件關(guān)系 1）數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu) 是指反映數(shù)據(jù)元素之間的邏輯關(guān)系的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。 數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)有兩個(gè)要素： 數(shù)據(jù)元素的集合，記作D 數(shù)據(jù)之間的前后件關(guān)系，記作R 則數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)B=（D，R） 2）數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu) 數(shù)據(jù)的邏輯結(jié)構(gòu)在計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間中的存放形式稱為數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，或數(shù)據(jù)的物理結(jié)構(gòu)。 即數(shù)據(jù)存儲(chǔ)時(shí)，不僅要存放數(shù)據(jù)元素的信息，而且要存儲(chǔ)數(shù)據(jù)元素之間的前后件關(guān)系的信息。 通常的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)有順序、鏈接、索引等存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)。 2數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的圖形表示 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的圖形表示有兩個(gè)元素： 中間標(biāo)有元素值的方框表示數(shù)

10、據(jù)元素，稱為數(shù)據(jù)結(jié)點(diǎn) 用有向線段表示數(shù)據(jù)元素之間的前后件關(guān)系，即有向線段從前件結(jié)點(diǎn)指向后件結(jié)點(diǎn) 注意：在結(jié)構(gòu)圖中，沒(méi)有前件的結(jié)點(diǎn)稱為根結(jié)點(diǎn)，沒(méi)有后件的結(jié)點(diǎn)稱為終端結(jié)點(diǎn)，也稱葉子結(jié)點(diǎn)。 3線性結(jié)構(gòu)與非線性結(jié)構(gòu) 如果一個(gè)數(shù)據(jù)元素都沒(méi)有，該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)稱為空數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；在空數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中插入一個(gè)新的元素后數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)變?yōu)榉强諗?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；將數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的所有元素均刪除，則該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)變成空數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。 如果一個(gè)非空的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)滿足如下條件，則該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為線性結(jié)構(gòu)： 有且只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn) 每一個(gè)結(jié)點(diǎn)最多只有一個(gè)前件，也最多只有一個(gè)后件 線性結(jié)構(gòu)又稱線性表。 注意：在線性結(jié)構(gòu)表中插入或刪除元素，該線性表仍然應(yīng)滿足線性結(jié)構(gòu)。 如果一

11、個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)不滿足線性結(jié)構(gòu)，則稱為非線性結(jié)構(gòu)。（三）線性表及其順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu) 1基本概念 線性表是最常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它由一組數(shù)據(jù)元素組成。 注意：這里的數(shù)據(jù)元素是一個(gè)廣義的數(shù)據(jù)元素，并不僅僅是指一個(gè)數(shù)據(jù)。如，矩陣、學(xué)生記錄表等。 非空線性表的結(jié)構(gòu)特征： 有且只有一個(gè)根結(jié)點(diǎn)，它無(wú)前件 有且只有一個(gè)終端結(jié)點(diǎn)，它無(wú)后件 除根結(jié)點(diǎn)和終端結(jié)點(diǎn)之外，所有的結(jié)點(diǎn)有且只有一個(gè)前件和一個(gè)后件。線性表中結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)稱為結(jié)點(diǎn)的長(zhǎng)度n。當(dāng)n=0時(shí)，稱為空表。 2順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu) 順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)： 線性表中所有的元素所占的存儲(chǔ)空間是連續(xù)的 線性表中各數(shù)據(jù)元素在存儲(chǔ)空間中是按邏輯順序依次存放的 通常，順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)中，線性表中每

12、一個(gè)數(shù)據(jù)元素在計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間中的存儲(chǔ)地址由該元素在線性表中的位置序號(hào)唯一確定。 線性表的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)下的基本運(yùn)算： 在指定位置插入一個(gè)元素 刪除線性表中的指定元素 查找某個(gè)或某些特定的元素 線性表的排序 按要求將一個(gè)線性表拆分為多個(gè)線性表 將多個(gè)線性表合并為一個(gè)線性表 復(fù)制線性表 逆轉(zhuǎn)一個(gè)線性表 3線性表的基本操作 1）順序表的插入運(yùn)算 在順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的線性表中插入一個(gè)元素。 注意：找到插入位置后，將插入位置開(kāi)始的所有元素從最后一個(gè)元素開(kāi)始順序后移。另外，在定義線性表時(shí)，一定要定義足夠的空間，否則，將不允許插入元素。 2）順序表的刪除運(yùn)算 在順序在存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的線性表中刪除一個(gè)元素。 注意：找到刪

13、除的數(shù)據(jù)元素后，從該元素位置開(kāi)始，將后面的元素一一向前移動(dòng)，在移動(dòng)完成后，線性表的長(zhǎng)度減1 （四）棧和隊(duì)列 1棧及其基本運(yùn)算 1）棧 棧是一種特殊的線性表，它是限定在一端進(jìn)行插入和刪除的線性表。它的插入和刪除只能在表的一端進(jìn)行，而另一端是封閉的，不允許進(jìn)行插入和刪除操作。 在棧中，允許插入和刪除操作一端稱為棧頂，不允許插入和刪除操作的一端則稱為棧底。棧頂?shù)脑乜偸亲詈蟊徊迦氲脑兀彩亲钕缺粍h除的元素。它遵循的原則是：先進(jìn)后出或后進(jìn)先出。 堆棧指針總是指向棧頂元素的。 2）棧的順序存儲(chǔ)及其運(yùn)算 在棧的順序存儲(chǔ)空間S（1：m）中，S（bottom）通常為棧底元素，S（top）為棧頂元素。Top=

14、0表示?？?；top=m表示棧滿。 1）入棧運(yùn)算 即在棧的頂部插入一個(gè)新元素。操作方式是：將棧頂指針加1，再將元素插入至指針?biāo)傅奈恢谩?2）退棧運(yùn)算 退棧運(yùn)算即將棧頂元素取出并賦給一個(gè)指定的變量。操作方式是：先將棧頂元素賦給指定的變量，再將棧頂指針減1。 3）讀棧頂元素 將棧頂元素賦給某一指定變量，但棧頂指針不變。 2隊(duì)列及其基本運(yùn)算 1）隊(duì)列 隊(duì)列即是允許在一端進(jìn)行插入，而在另一端進(jìn)行刪除的線性表。允許插入的一端稱為隊(duì)尾，通常用一個(gè)尾指針指向隊(duì)尾；允許刪除的一端稱為隊(duì)首，通常用一個(gè)隊(duì)首指針指向排隊(duì)元素的前一個(gè)位置。 隊(duì)列遵循的規(guī)則是：先進(jìn)先出或后進(jìn)后出 2）循環(huán)隊(duì)列及其運(yùn)算 隊(duì)列的順序存儲(chǔ)結(jié)

15、構(gòu)一般采用循環(huán)隊(duì)列的形式。 循環(huán)隊(duì)列，即是次隊(duì)列存儲(chǔ)空間的最后一個(gè)位置繞到第一個(gè)位置，形成邏輯上的環(huán)狀空間，供隊(duì)列循環(huán)使用。 在循環(huán)隊(duì)列中，用隊(duì)尾指針rear指向隊(duì)列中的隊(duì)尾元素，用排頭指針front指向排頭元素的前一個(gè)位置，因此，從排頭指針front指向的后一個(gè)位置到隊(duì)尾指針rear指向的位置之間所有的元素均為隊(duì)列中的元素。 循環(huán)隊(duì)列的初始狀態(tài)為空，即rear=front=m。這里m即為隊(duì)列的存儲(chǔ)空間。 循環(huán)隊(duì)列的基本運(yùn)算：入隊(duì)運(yùn)算和退隊(duì)運(yùn)算。 入隊(duì)運(yùn)算：每進(jìn)行一次入隊(duì)運(yùn)算，隊(duì)尾指針加1。當(dāng)隊(duì)尾指針rear=m+1時(shí)，即表示隊(duì)列空間的尾部已經(jīng)放置了元素，則下一個(gè)元素應(yīng)該旋轉(zhuǎn)到隊(duì)列空間的首部，

16、即rear=1 退隊(duì)運(yùn)算：每退隊(duì)一個(gè)元素，排頭指針加1。當(dāng)排頭指針front=m+1時(shí)，即排頭指針指向隊(duì)列空間的尾部，退隊(duì)后，排頭指針指向隊(duì)列空間的開(kāi)始，即front=1。 在隊(duì)列操作時(shí)，循環(huán)隊(duì)列滿時(shí)，front=rear，隊(duì)列空時(shí)，也有rear=front，即在隊(duì)列空或滿時(shí)，排頭指針和隊(duì)尾指針均指向同一個(gè)位置。要判斷隊(duì)列空或滿時(shí)，還應(yīng)增加一個(gè)標(biāo)志，s值的定義： 判斷隊(duì)列空與隊(duì)列滿的條件下： 隊(duì)列空的條件：s=0 隊(duì)列滿的條件：s=1、front=rear （1）入隊(duì)運(yùn)算 即在隊(duì)尾加入一個(gè)新元素。這個(gè)運(yùn)算有兩個(gè)基本操作：首先，將隊(duì)尾指針加1，即rear=rear+1，當(dāng)rear=m+1時(shí)，置r

17、ear=1，然后，將新元素插入到隊(duì)尾指針指向的位置。 當(dāng)循環(huán)隊(duì)列非空（s=1），且front=rear時(shí)，隊(duì)列滿，不能進(jìn)行入隊(duì)操作。此情況稱“上溢”。 （2）退隊(duì)操作 即將隊(duì)首的元素賦給一個(gè)指定的變量。該運(yùn)算也有兩個(gè)基本操作：首先，將排頭指針加1，即front=front+1，當(dāng)front=m+1時(shí)，置front=1，然后，將排頭指針指向的元素賦給指定的變量。 當(dāng)循環(huán)隊(duì)列為空（s=0）時(shí)，不能進(jìn)行退隊(duì)運(yùn)算。此種情況稱為“下溢”。 （五）線性鏈表 1基本概念 前面的線性表均是采用順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)及在順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)下的運(yùn)算。 1）順序存儲(chǔ)的優(yōu)點(diǎn)： 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單 運(yùn)算方便 2）順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的缺點(diǎn)： 要在順序存

18、儲(chǔ)的線性表中插入一個(gè)新元素或刪除一個(gè)元素時(shí)，為了保證插入或刪除后的線性表仍然為順序存儲(chǔ)。在插入或刪除元素時(shí)，需要移動(dòng)大量的數(shù)據(jù)元素，因此運(yùn)算效率較低。 如果一個(gè)線性表分配順序存儲(chǔ)空間后，如果出現(xiàn)線性表的存儲(chǔ)空間已滿，但還需要插入元素時(shí)，會(huì)發(fā)生“上溢”錯(cuò)誤。 在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可能有多個(gè)線性表同時(shí)使用存儲(chǔ)空間，這樣給存儲(chǔ)空間的分配帶來(lái)問(wèn)題，有可能使有的隊(duì)列空間不夠或過(guò)多造成浪費(fèi)。 基于上述情況，對(duì)于大的線性表或元素變動(dòng)頻繁的大線性表不宜采用順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，而應(yīng)采用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)。 3）鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu) 假設(shè)每一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)存儲(chǔ)單元，該存儲(chǔ)單元稱為存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)稱結(jié)點(diǎn)。 在鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)方式中，要求每一個(gè)結(jié)點(diǎn)由

19、兩部分組成：一部分用于存放數(shù)據(jù)元素，你為數(shù)據(jù)域；另一部分用于存放指針，稱為指針域。該指針用于指向該結(jié)點(diǎn)的前一個(gè)或后一個(gè)結(jié)點(diǎn)。 在鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)中，存儲(chǔ)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的存儲(chǔ)空間可以不連續(xù)，各數(shù)據(jù)結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)順序與數(shù)據(jù)元素之間的邏輯關(guān)系不一致，而數(shù)據(jù)元素之間的邏輯關(guān)系是由指針域來(lái)確定的。 鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)既可以用于線性結(jié)構(gòu)，也可用于非線性結(jié)構(gòu)。 4）線性鏈表 線性表的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)稱為線性鏈表。 將存儲(chǔ)空間劃分成若干的小塊，每塊占用若干個(gè)字節(jié)，這些小塊稱為存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)。 將存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)分為兩個(gè)部分，一部分用于存儲(chǔ)數(shù)據(jù)元素的值，稱為數(shù)據(jù)域；另一部分用于存儲(chǔ)元素之間的前后件關(guān)系，即存放下一個(gè)元素在存儲(chǔ)序號(hào)（即存儲(chǔ)地址），即指

20、向后件結(jié)點(diǎn)，稱為指針域。 在線性鏈表中用一個(gè)專門(mén)的指針HEAD指向線性鏈表中第一個(gè)數(shù)據(jù)元素的結(jié)點(diǎn)（即存放第一個(gè)元素的地址）。線性表中最后一個(gè)元素沒(méi)有后件，因此，線性鏈表中的最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)的指針域?yàn)榭眨ㄓ肗ull或0表示），表示鏈終結(jié)。 在線性鏈表中，各元素的存儲(chǔ)序號(hào)是不連續(xù)的，元素間的前后件關(guān)系與位置關(guān)系也是不一致的。在線性鏈表中，前后件的關(guān)系依靠各結(jié)點(diǎn)的指針來(lái)指示，指向表的第一個(gè)元素的指針HEAD稱為頭指針，當(dāng)HEAD=NULL時(shí)，表示該鏈表為空。 對(duì)于線性鏈表，可以從頭指針開(kāi)始，沿著各結(jié)點(diǎn)的指針掃描到鏈表中的所有結(jié)點(diǎn)。 這種線性鏈表稱為線性單鏈表，即可以從表頭開(kāi)始向后掃描鏈表中的所有結(jié)點(diǎn)，而

21、不能從中間或表尾結(jié)點(diǎn)向前掃描位于該結(jié)點(diǎn)之前的元素。 這種鏈表結(jié)構(gòu)的缺點(diǎn)是不能任意地對(duì)鏈表中的元素按下同的方向進(jìn)行掃描。在某些應(yīng)用時(shí)，如果對(duì)鏈表中的元素設(shè)置兩個(gè)指針域，一個(gè)為指向前件的指針域，稱為左指針（LLink），一個(gè)為指向后件的指針域，稱為右指針（RLink）。則這種鏈表是雙向鏈表。 5）帶鏈的棧 帶鏈的棧即是用來(lái)收集計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)空間中的所有空閑的存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)，這種帶鏈的棧稱為可利用棧。 當(dāng)需要存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)時(shí)，即從可利用的棧的頂部取出棧頂結(jié)點(diǎn)；當(dāng)系統(tǒng)要釋放一個(gè)存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)時(shí)，將該結(jié)點(diǎn)空間放回到可利用棧的棧頂。 即在計(jì)算機(jī)中所有空閑的空間，均可以以結(jié)點(diǎn)的方式鏈接到可利用棧中，隨著其他線性鏈表中結(jié)點(diǎn)的插入與

22、刪除，可利用棧處于動(dòng)態(tài)變化之中，即可利用棧經(jīng)常要進(jìn)行退棧和入棧操作。 6）帶鏈的隊(duì)列 隊(duì)列也是線性表，也可利用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行保存。 2線性鏈表的基本運(yùn)算 線性鏈表包括的基本運(yùn)算： 在鏈表中包含指定元素的結(jié)點(diǎn)之前插入一個(gè)新元素 在鏈表中刪除包含指定元素的結(jié)點(diǎn) 將兩個(gè)線性鏈表按要求合并成一個(gè)線性鏈表 將一個(gè)線性鏈表按要求進(jìn)行分解 逆轉(zhuǎn)線性鏈表 復(fù)制線性鏈表 線性鏈表的排序 線性鏈表的查找 1）線性鏈表中查找指定的元素 在線性鏈表中查找元素X：從頭指針指向的結(jié)點(diǎn)開(kāi)始往后沿指針進(jìn)行掃描，直到后面已沒(méi)有結(jié)點(diǎn)或下一個(gè)結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)域?yàn)閄為止。 元素的查找，經(jīng)常是為了進(jìn)行插入或刪除操作而進(jìn)行的，因此，在查找

23、時(shí)，往往是需要記錄下該結(jié)點(diǎn)的前一個(gè)結(jié)點(diǎn)。 2）線性鏈表的插入 線性鏈表的插入即在鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)的線性表中插入一個(gè)新元素。 在線性鏈表中包含元素x的結(jié)點(diǎn)之前插入新元素b，插入過(guò)程： （1）從可利用棧中取得一個(gè)結(jié)點(diǎn)，設(shè)該結(jié)點(diǎn)號(hào)為p，即取得的結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)序號(hào)存放在變量p中。并置結(jié)點(diǎn)p的數(shù)據(jù)域?yàn)椴迦氲脑刂礲。 （2）在線性鏈表中尋找包含元素x的前一個(gè)結(jié)點(diǎn)，該結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)序號(hào)為q。 （3）將結(jié)點(diǎn)p插入到結(jié)點(diǎn)q之后。具體的操作：首先，使結(jié)點(diǎn)p插入到結(jié)點(diǎn)q之后（即結(jié)點(diǎn)q的后件結(jié)點(diǎn)），然后，使結(jié)點(diǎn)q的指針域 內(nèi)容改為指向結(jié)點(diǎn)p。 線性鏈表的插入操作，新結(jié)點(diǎn)是為來(lái)自于可利用棧，因此不會(huì)造成線性表的溢出。同樣，由于可

24、利用?？杀欢鄠€(gè)線性表利用，因此，不會(huì)造成存儲(chǔ)空間的浪費(fèi)，大家動(dòng)態(tài)地共同使用存儲(chǔ)空間。 3）線性鏈表的刪除 線性鏈表的刪除，即是在鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)下的線性表中刪除指定元素的結(jié)點(diǎn)。 操作方式： （1）在線性表中找到包含指定元素x的前一個(gè)結(jié)點(diǎn)p （2）將該結(jié)點(diǎn)p后的包含元素x的結(jié)點(diǎn)從線性鏈表中刪除，然后將被刪除結(jié)點(diǎn)的后一個(gè)結(jié)點(diǎn)q的地址提供給結(jié)點(diǎn)p的指針域，即將結(jié)點(diǎn)p指向結(jié)點(diǎn)q。 （3）將刪除的結(jié)點(diǎn)送回可利用棧。 從以上的刪除操作可見(jiàn)，刪除一個(gè)指定的元素，不需要移動(dòng)其他的元素即可實(shí)現(xiàn)，這是順序存儲(chǔ)的線性表所不能實(shí)現(xiàn)的。同時(shí)，此操作還可更有效地利用計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間。 3循環(huán)鏈表及其基本操作 在線性鏈表中，雖

25、然對(duì)數(shù)據(jù)元素的插入和刪除操作比較簡(jiǎn)單，但由于它對(duì)第一個(gè)結(jié)點(diǎn)和空表需要單獨(dú)處理，使得空表與非空表的處理不一致。 循環(huán)鏈表，即是采用另一種鏈接方式，它的特點(diǎn)如下： （1）在循環(huán)鏈表中增加一個(gè)表頭結(jié)點(diǎn)，其數(shù)據(jù)域?yàn)槿我饣蚋鶕?jù)需要來(lái)設(shè)置，指針域指向線性表的第一個(gè)元素的結(jié)點(diǎn)。循環(huán)鏈表的頭指針指向表頭結(jié)點(diǎn)。 （2）循環(huán)鏈表中最后一個(gè)結(jié)點(diǎn)的指針域不是空的，而是指向表頭結(jié)點(diǎn)。在循環(huán)鏈表中，所有結(jié)點(diǎn)的指針構(gòu)成一個(gè)環(huán)狀鏈。 在循環(huán)鏈表中，只要指出表中任何一個(gè)結(jié)點(diǎn)的位置，均可以從它開(kāi)始掃描到所有的結(jié)點(diǎn)，而線性鏈表做不到，線性鏈表是一種單向的鏈表，只能按照指針的方向進(jìn)行掃描。 循環(huán)鏈表中設(shè)置了一個(gè)表頭結(jié)點(diǎn)，因此，在任何

26、時(shí)候都至少有一個(gè)結(jié)點(diǎn)，因此空表與非空表的運(yùn)算相統(tǒng)一。 （六）樹(shù)與二叉樹(shù) 1樹(shù)的基本概念 樹(shù)是一種簡(jiǎn)單的非線性結(jié)構(gòu)。在樹(shù)結(jié)構(gòu)中，數(shù)據(jù)元素之間有著明顯的層次結(jié)構(gòu)。在樹(shù)的圖形表示中，用直線連接兩端的結(jié)點(diǎn)，上端點(diǎn)為前件，下端點(diǎn)為后件。在樹(shù)結(jié)構(gòu)中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)前件，稱為父結(jié)點(diǎn)。如A即為結(jié)點(diǎn)B、C、D的父結(jié)點(diǎn)。 沒(méi)有父結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)，稱為根結(jié)點(diǎn)。如上圖所示，結(jié)點(diǎn)A即為根結(jié)點(diǎn)。 每一個(gè)結(jié)點(diǎn)可以有多個(gè)后件，它們均稱為該結(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)。如結(jié)點(diǎn)G、H、I是結(jié)點(diǎn)D的子結(jié)點(diǎn)。 沒(méi)有后件的結(jié)點(diǎn)，稱為葉子結(jié)點(diǎn)。上圖中，葉子結(jié)點(diǎn)有：J、M、N、L、C、G、H、I。 在樹(shù)結(jié)構(gòu)中，一個(gè)結(jié)點(diǎn)所擁有的后件結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)稱為該結(jié)點(diǎn)

27、的度。例如，結(jié)點(diǎn)D的度為3，結(jié)點(diǎn)E的度為1等，按此原則，所有葉子結(jié)點(diǎn)的度均為0。 在樹(shù)中，所有結(jié)點(diǎn)中最大的度稱為該樹(shù)的度。上圖所示的樹(shù)中，所有結(jié)點(diǎn)中最大的度是3，所以該樹(shù)的度為3。 樹(shù)分層，根結(jié)點(diǎn)為第一層，往下依次類推。同一層結(jié)點(diǎn)的所有子結(jié)點(diǎn)均在下一層。如上圖：A結(jié)點(diǎn)在第1層，B、C、D結(jié)點(diǎn)在第2層；E、F、G、H、I在第3層；J、K、L在第4層；M、N在第5層。 樹(shù)的最大層次稱為樹(shù)的深度。上圖樹(shù)的深度為5。 在樹(shù)中，某結(jié)點(diǎn)的一個(gè)子結(jié)點(diǎn)為根構(gòu)成的樹(shù)稱作該結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)。葉子結(jié)點(diǎn)沒(méi)有子樹(shù)。 在計(jì)算機(jī)中，可以用樹(shù)來(lái)表示算術(shù)表達(dá)式。原則如下： （1）表達(dá)式中每一個(gè)運(yùn)算符在樹(shù)中對(duì)應(yīng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)，稱為運(yùn)算符結(jié)點(diǎn)

28、 （2）運(yùn)算符的每一個(gè)運(yùn)算對(duì)象在樹(shù)中為該運(yùn)算符結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)（在樹(shù)中的順序?yàn)閺淖蟮接遥?（3）運(yùn)算對(duì)象中的單變量均為葉子結(jié)點(diǎn) 樹(shù)在計(jì)算機(jī)中用多重鏈表表示。多重鏈表中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)描述了樹(shù)中對(duì)應(yīng)結(jié)點(diǎn)的信息，而每個(gè)結(jié)點(diǎn)中的鏈域（即指針域）個(gè)數(shù)將隨著樹(shù)中該結(jié)點(diǎn)的度而定義。 如果在樹(shù)中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)不相同，因此在多重鏈中各結(jié)點(diǎn)的鏈域個(gè)數(shù)也不相同，會(huì)導(dǎo)致算法太復(fù)雜。因此，在樹(shù)中，常采用定長(zhǎng)結(jié)點(diǎn)來(lái)表示樹(shù)中的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)，即取樹(shù)的度作為每個(gè)結(jié)點(diǎn)的鏈域的個(gè)數(shù)。這樣，管理相對(duì)簡(jiǎn)化了，但會(huì)造成空間的浪費(fèi)，因?yàn)橛性S多的結(jié)點(diǎn)存在空鏈域。 2二叉樹(shù)及其基本性質(zhì) 1）二叉樹(shù)的定義 二叉樹(shù)的特點(diǎn)： 非空二叉樹(shù)只有一個(gè)根結(jié)

29、點(diǎn) 每一個(gè)結(jié)點(diǎn)最多只有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)，且結(jié)點(diǎn)分左右。則一個(gè)結(jié)點(diǎn)最多可以有兩棵子樹(shù)，分別稱為左子樹(shù)和右子樹(shù) 在二叉樹(shù)中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)的度最大為2，即二叉樹(shù)的度為2。在二叉樹(shù)中，任何的子樹(shù)也均為二叉樹(shù)。 在二叉樹(shù)中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹(shù)被分為左子樹(shù)和右子樹(shù)。在二叉樹(shù)中，允許某一個(gè)結(jié)點(diǎn)只有左子樹(shù)或只有右子樹(shù)。如果一個(gè)結(jié)點(diǎn)既沒(méi)有左子樹(shù)，也沒(méi)有右子樹(shù)，則該結(jié)點(diǎn)為葉子結(jié)點(diǎn)。 2）二叉樹(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1：在二叉樹(shù)的第k層上，最多有2k-1（k1）個(gè)結(jié)點(diǎn)。 性質(zhì)2：深度為m的二叉樹(shù)最多有2m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)。 性質(zhì)3：在任意一棵二叉樹(shù)中，度為0的結(jié)點(diǎn)（即葉子結(jié)點(diǎn)）總比度為2的結(jié)點(diǎn)多一個(gè)。 性質(zhì)4：具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)，其深度至

30、少為log2n+1，其中l(wèi)og2n表示log2n的整數(shù)部分。 3）滿二叉樹(shù)與完全二叉樹(shù) （1）滿二叉樹(shù) 滿二叉樹(shù)的特點(diǎn)： 除最后一層外，每一層上的所有結(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)。即在滿二叉樹(shù)中，每一層上的結(jié)點(diǎn)數(shù)都達(dá)到最大值，即在滿二叉樹(shù)上的第k層上有2k-1個(gè)結(jié)點(diǎn)。如下即為一棵滿二叉樹(shù)。（2）完全二叉樹(shù)特點(diǎn)：除最后一層外，每一層上的結(jié)點(diǎn)數(shù)均達(dá)到最大值，在最后一層上只缺少右邊的若干個(gè)結(jié)點(diǎn)。即如果從根結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，對(duì)二叉樹(shù)的結(jié)點(diǎn)自上而下、自左而右用自然數(shù)進(jìn)行連續(xù)編號(hào)，則深度為m、且有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都與深度為m的滿二叉樹(shù)中編號(hào)從1到n的結(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，則是完全二叉樹(shù)。對(duì)于完全二叉樹(shù)，葉子結(jié)

31、點(diǎn)只能在層次最大的兩層中出現(xiàn)；對(duì)于任何一個(gè)結(jié)點(diǎn)，若其右分支下的子樹(shù)結(jié)點(diǎn)的最大層次為p，則其分支下的子孫結(jié)點(diǎn)的最大層次為p或p+1。完全二叉樹(shù)具有的性質(zhì)：性質(zhì)5：具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)的深度為log2n+1性質(zhì)6：設(shè)完全二叉樹(shù)共有n個(gè)結(jié)點(diǎn)。如果從根結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，按層次（每一層從左到右）用自然數(shù)1、2、n給結(jié)點(diǎn)編號(hào)，對(duì)于編號(hào)為k（k=1,2,n）的結(jié)點(diǎn)有如下結(jié)論： 若k=1，則該結(jié)點(diǎn)為根結(jié)點(diǎn)，它沒(méi)有父結(jié)點(diǎn)；若k>1，則該結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)編號(hào)為INT(k/2)。 若2kn，則編號(hào)為k的結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)編號(hào)為2k；否則該結(jié)點(diǎn)無(wú)左子結(jié)點(diǎn)（當(dāng)然也沒(méi)有右子結(jié)點(diǎn)） 若2k+1n，則編號(hào)為k的結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)編號(hào)為

32、2k+1；否則該結(jié)點(diǎn)無(wú)右子結(jié)點(diǎn)。3二叉樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)二叉樹(shù)的存儲(chǔ)常采用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)。存儲(chǔ)二叉樹(shù)中各元素的存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)由兩個(gè)部分組成：數(shù)據(jù)域和指針域。在二叉樹(shù)中，由于每個(gè)結(jié)點(diǎn)可有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)，則它的指針域有兩個(gè)：一個(gè)用于存儲(chǔ)該結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)地址，即稱為左指針域；一個(gè)用于存儲(chǔ)指向該結(jié)點(diǎn)的右子結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)地址，稱為右指針域。存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)如下：即二叉樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)中每一個(gè)存儲(chǔ)結(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)指針域，因此，二叉樹(shù)的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)也稱為二叉樹(shù)的鏈表。在二叉樹(shù)在存儲(chǔ)中，用一個(gè)頭指針指向二叉樹(shù)的根結(jié)點(diǎn)的存儲(chǔ)地址。如圖所示的二叉樹(shù)：如果我們將該二叉樹(shù)的所有結(jié)點(diǎn)順序編號(hào)，順序存放在存儲(chǔ)空間里，則它們?cè)趦?nèi)存空間中的存放方式是：當(dāng)然

33、，對(duì)于滿二叉樹(shù)或完全二叉樹(shù)而言，也可采用順序存儲(chǔ)的方式，但順序存儲(chǔ)的方式不適合其他的二叉樹(shù)。 4二叉樹(shù)的遍歷 二叉樹(shù)的遍歷即是不重復(fù)地訪問(wèn)二叉樹(shù)的所有結(jié)點(diǎn)。 在遍歷二叉樹(shù)時(shí)，一般先遍歷左子樹(shù)，然后再遍歷右子樹(shù)。在先左后右的原則下，二叉樹(shù)的遍歷又可分為三種：前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷。 1）前序遍歷 前序遍歷即先訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)，然后遍歷左子樹(shù)，最后遍歷右子樹(shù)。在遍歷左子樹(shù)和遍歷右子樹(shù)時(shí)，依然是先遍歷根結(jié)點(diǎn)，然后是左子樹(shù)，再是右子樹(shù)。 操作的具體方式： 若二叉樹(shù)為空，則結(jié)束返回。 否則：訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)®前序遍歷左子樹(shù)®前序遍歷右子樹(shù) 如上圖所示的完全二叉樹(shù)，它的前序遍歷結(jié)果是：A、B

34、、D、H、P、Q、I、R、E、J、K、C、F、L、M、G、N、O 2）中序遍歷 中序遍歷，即先遍歷左子樹(shù)，然后訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)，最后是遍歷右子樹(shù)。 具體的操作方式： 若二叉樹(shù)為空，則結(jié)束返回。 否則：中序遍歷左子樹(shù)®訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn) ®中序遍歷右子樹(shù) 這里強(qiáng)調(diào)，在遍歷左子樹(shù)和右子樹(shù)時(shí)，仍然要采用中序遍歷的方法。 如上圖所示的完全二叉樹(shù)，它的中序遍歷結(jié)果是：P、H、Q、D、R、I、B、J、E、K、A、L、F、M、C、N、G、O 3）后序遍歷 后序遍歷，即選遍歷左子樹(shù)，然后是遍歷右子樹(shù)，最后訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)。 具體的操作方式： 若二叉樹(shù)為空，則結(jié)束返回。 否則：前序遍歷左子樹(shù)®前序遍歷

35、右子樹(shù)®訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn) 如上圖所示的完全二叉樹(shù)，它的后序遍歷結(jié)果是：P、Q、H、R、I、D、J、K、E、B、L、M、F、N、O、G、C、A （七）查找技術(shù) 查找即是指在一個(gè)給定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中查找某個(gè)指定的元素。 1順序查找 順序查找又稱順序搜索。一般是在線性表中查找指定的元素。 基本操作方法是： 從線性表的第一個(gè)元素開(kāi)始，與被查元素進(jìn)行比較，相等則查找成功，否則繼續(xù)向后查找。如果所有的元素均查找完畢后都不相等，則該元素在指定的線性表中不存在。 順序查找的最好情況：要查找的元素在線性表的第一個(gè)元素，則查找效率最高；如果要查找的元素在線性表的最后或根本不存在，則查找需要搜索所有的線性表元素，這

36、種情況是最差情況。 對(duì)于線性表而言，順序查找效率很低。但對(duì)于以下的線性表，也只能采用順序查找的方法： 線性表為無(wú)序表，即表中的元素沒(méi)有排列不是按大小順序進(jìn)行排列的，這類線性表不管它的存儲(chǔ)方式是順序存儲(chǔ)還是鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)，都只能按順序查找方式進(jìn)行查找 即使是有序線性表，如果采用鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)，也只能采用順序查找方式 例如，現(xiàn)有線性表：7、2、1、5、9、4，要在序列中查找元素6，查找的過(guò)程是： 整個(gè)線性表的長(zhǎng)度為5 查找計(jì)次n=1，將元素6與序列的第一個(gè)7元素進(jìn)行比較，不等，繼續(xù)查找 n=2，將6與第二個(gè)元素2進(jìn)行比較，不等，繼續(xù) n=3，將6與第三個(gè)元素1進(jìn)行比較，不等，繼續(xù) n=4，將6與第四個(gè)元素5進(jìn)

37、行比較，不等，繼續(xù) n=5，將6與第五個(gè)元素9進(jìn)行比較，不等，繼續(xù) n=6，將6與第六個(gè)元素4進(jìn)行比較，不等，繼續(xù) n=7，超出線性表的長(zhǎng)度，查找結(jié)束，則該表中不存在要查找的元素。 2二分查找 二分查找只適用于順序存儲(chǔ)的有序表。此處所述的有序表是指線性中的元素按值非遞減排列（即由小到大，但允許相鄰元素值相等）。 二分查找的方法如下： 將要查找的元素與有序序列的中間元素進(jìn)行比較： 如果該元素比中間元素大，則繼續(xù)在線性表的后半部分（中間項(xiàng)以后的部分）進(jìn)行查找 如果要查找的元素的值比中間元素的值小，則繼續(xù)在線性表的前半部分（中間項(xiàng)以前的部分）進(jìn)行查找 這個(gè)查找過(guò)程一直按相同的順序進(jìn)行下去，一直到查找

38、成功或子表長(zhǎng)度為0（說(shuō)明線性表中沒(méi)有要查找的元素） 有序線性表的二分法查找，條件是必須這個(gè)有序線性表的存儲(chǔ)方式是順序存儲(chǔ)的。它的查找效率比順序查找要高得多，它的最壞情況的查找次數(shù)是log2n次，而順序查找的最壞情況的查找次數(shù)是n次。 當(dāng)然，二分查找的方法也支持順序存儲(chǔ)的遞減序列的線性表。 有非遞減有序線性表：1、2、4、5、7、9，要查找元素6。查找的方法是： 序列長(zhǎng)度為n=6，中間元素的序號(hào)m=(n+1)/2=3 查找計(jì)次k=1，將元素6與中間元素即元素4進(jìn)行比較，不等，6>4 查找計(jì)次k=2，查找繼續(xù)在后半部分進(jìn)行，后半部分子表的長(zhǎng)度為3，計(jì)算中間元素的序號(hào)：m=3+(3+1)/2=

39、5，將元素與后半部分的中間項(xiàng)進(jìn)行比較，即第5個(gè)元素中的7進(jìn)行比較，不等，6<7 查找計(jì)次k=3，繼續(xù)查找在后半部分序列的前半部分子序列中查找，子表長(zhǎng)度為1，則中間項(xiàng)序號(hào)即為m=3+(1+1)/2=4，即與第4個(gè)元素5進(jìn)行比較，不相等，繼續(xù)查找的子表長(zhǎng)度為0，則查找結(jié)束 （八）排序技術(shù) 排序即是將一個(gè)無(wú)序的序列整理成按值非遞減順序排列的有序序列。在這里，我們討論的是順序存儲(chǔ)的線性表的排序操作。 1交換類排序法 交換類排序法，即是借助于數(shù)據(jù)元素之間的互相交換進(jìn)行排序的方法。 1）冒泡排序法 冒泡排序法即是利用相鄰數(shù)據(jù)元素之間的交換逐步將線性表變成有序序列的操作方法。 操作過(guò)程如下： 從表頭開(kāi)

40、始掃描線性表，在掃描過(guò)程中逐次比較相鄰兩個(gè)元素的大小，若相鄰兩個(gè)元素中前一個(gè)元素的值比后一個(gè)元素的值大，將兩個(gè)元素位置進(jìn)行交換，當(dāng)掃描完成一遍時(shí)，則序列中最大的元素被放置到序列的最后。 再繼續(xù)對(duì)序列從頭進(jìn)行掃描，這一次掃描的長(zhǎng)度是序列長(zhǎng)度減1，因?yàn)樽畲蟮脑匾呀?jīng)就位了，采用與前相同的方法，兩兩之間進(jìn)行比較，將次大數(shù)移到子序列的末尾。 按相同的方法繼續(xù)掃描，每次掃描的子序列的長(zhǎng)度均比上一次減1，直至子序列的長(zhǎng)度為1時(shí)，排序結(jié)束。 例如，有序列5、2、9、4、1、7、6，將該序列從小到大進(jìn)行排列。 采用冒泡排序法，具體操作步驟如下： 序列長(zhǎng)度n=7掃描的次數(shù)，最多需要掃描n-1次，如果序列已經(jīng)就位，則掃描結(jié)束。測(cè)試是否已經(jīng)就位，可設(shè)置一個(gè)標(biāo)志，如果該次掃描沒(méi)有數(shù)據(jù)交換，則說(shuō)明數(shù)據(jù)排序結(jié)束。2）快速排序法冒泡排序方法每次交換只能改變相鄰兩個(gè)元素之間的逆序，速度相對(duì)較慢。如果將兩個(gè)不相鄰的元素之間進(jìn)行交換，可以消除多個(gè)逆序?？焖倥判虻姆椒ㄊ牵簭木€性表中選取一個(gè)元素，設(shè)為T(mén)，將線性表后面小于T的元素移到前面，而前面大于T的元素移到后面，結(jié)果將線性表分成兩個(gè)部分（稱為兩個(gè)子表），T插入到其分界線的位置處，這個(gè)過(guò)程稱為線性表的分割。對(duì)過(guò)對(duì)線性表的一