空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算課件

1、空間向量基本定理空間向量基本定理 如果三個向量a, b, c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p=xa +yb+zc. 定理定理 這三個互相垂直的單位向量構(gòu)成空間向量的一個基底i, j, k這個基底叫做單位正交基單位正交基底底,單位向量i, j, k都叫做坐標(biāo)向量.一、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算一、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1.空間直角坐標(biāo)系與原點(diǎn): O-xyz2.坐標(biāo)向量: 3.坐標(biāo)平面通過每兩個坐標(biāo)軸的平面，分別稱為xOy平面, yOz平面, zOx平面.4.右手直角坐標(biāo)系i, j, k 建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,分別沿x軸,y軸,z軸的正方向引單位向量i, j

2、, k.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)橫坐標(biāo)a1，縱坐標(biāo)a2，豎坐標(biāo)a3 .a=a1i+a2j+a3k在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,已知任一向量a,根據(jù)空間向量分解定理,存在唯一數(shù)組(a1,a2,a3),使a1i,a2j,a3k分別為向量a在i,j,k方向上的分向量,有序數(shù)組(a1,a2,a3)，叫作向量a在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo).記作 a=(a1,a2,a3)設(shè)設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則，則a+b= (a1 + b1 ， a2 + b2 ，a3+ b3)， a-b= (a1 - b1 ， a2 - b2 ，a3- b3)， a= ( a1 ， a2 ，

3、a3)(為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù))， ab= a1 b1 + a2 b2 +a3 b3 .則則 (x，y，z)就是就是P的坐標(biāo)的坐標(biāo), 即即P(x，y，z) .在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中中,對空間任一點(diǎn)對空間任一點(diǎn)P,相對與原點(diǎn)確定了一個向量相對與原點(diǎn)確定了一個向量OP，設(shè)設(shè)OP=xi+yj+zk設(shè)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) AB=OB-OA = (x2，y2，z2)-(x1，y1，z1)=( x2 -x1，y2-y1，z2-z1). 一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)終點(diǎn)的坐標(biāo)減

4、去減去起點(diǎn)的坐標(biāo)起點(diǎn)的坐標(biāo).中點(diǎn)坐標(biāo)公式中點(diǎn)坐標(biāo)公式 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) 設(shè)設(shè)M為為AB中點(diǎn)，中點(diǎn)，M點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0,yo,zo)，其中其中x0=(x1+x2)/2 ，y0=(y1+y2)/2 ，z0=(z1+z2)/2.ab a1 a2 a3b1 b2 b3二、空間向量平行和垂直的條件二、空間向量平行和垂直的條件ab (b0)a=b 即ab (b0)a1=b1,a2=b2, a3=b3,ab=0 共線共線垂直垂直ab a1 b1 + a2 b2 +a3 b3 =0ab例1 已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1), p=a-b,q=

5、a+2b-c,求:p, q, pq.解:p=a-b =(1,1,0)-(0,1,1) =(1,0,-1)，q=a+2b-c =(1,1,0)+2(0,1,1)- (1,0,1) =(0,3,1)，pq=(1,0,-1)(0,3,1) =10+03+(-1)1 =-1. 例題例題例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向量n使na,且nb.解:設(shè)n=(x, y, z,)則na=(x, y, z,)(-2,2,0)=-2x+2y=0nb=(x, y, z,)(-2,0,2)=-2x+2z=0所以y=x, z=x于是n= (x, x, x)=x(1,1,1), 顯然當(dāng)顯然當(dāng)x取

6、任意實(shí)數(shù)時(shí)取任意實(shí)數(shù)時(shí),可以得到無數(shù)個可以得到無數(shù)個向量都滿足題意向量都滿足題意.三、兩個向量夾角與向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式三、兩個向量夾角與向量長度的坐標(biāo)計(jì)算公式|,cosbababa2322212|aaaaaa2322212|bbbbbb;232221232221332211bbbaaabababa;332211babababa設(shè)a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3).空間兩點(diǎn)間的距離公式空間兩點(diǎn)間的距離公式;)z(z)y(y)x(xABAB|AB|),z ,y,B(x),z ,y,A(x212212212222111則則已已知知例3 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求線段

7、 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度.zxyoA(3,3,1)B(1,0,5)M解：設(shè)M(x,y,z)是AB的中點(diǎn)，則OM= (OA+OB)21AM=MB29153031222,BAd 例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)x,y,z滿足的條件.解：設(shè)點(diǎn)P到A，B的距離相等，則 22222250113) 3(zyxzyx化簡，得 4x+6y-8z+7=0. 即到A, B距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y,z)滿足的條件是4x+6y-8z+7=0. 例例5 5 在正方體在正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,B B1 1E E1 1= =D D1 1F F1 1= = 求求BEBE1 1與與DFDF1 1所成的角的余弦值所成的角的余弦值. .411BAABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E E1 1F F1 1xyz解析：解析：不妨設(shè)不妨設(shè)正方體的棱長正方體的棱長為為1；以；以D為原為原點(diǎn)點(diǎn)O建立空間直建立空間直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系O-xyz.OB(1，1，0）（1，1）43E E1 1D(0，0，0）F F1 1（O O， ，1 1）41111o11111111,1902(1)(2)cos