平衡隨機(jī)過程和各態(tài)歷經(jīng)過程PPT課件

1、 此外當(dāng)我們知道一個(gè)隨機(jī)過程是平穩(wěn)過程時(shí)，它應(yīng)不隨時(shí)間的推移而變幻無常。例如當(dāng)我們要測定一個(gè)電阻的熱噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，由于它是平穩(wěn)過程，因而我們?cè)谌魏螘r(shí)間進(jìn)行測試都能得到相同的結(jié)果。第1頁/共76頁4.1 嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程及其數(shù)字特征 定義嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程：對(duì)于任意的t，隨機(jī)過程X(t)的任意n維概密度都有 則稱X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。 研究平穩(wěn)過程的意義在于：該過程在任何時(shí)刻計(jì)算它的統(tǒng)計(jì)結(jié)果都是相同的。由定義知平穩(wěn)隨機(jī)過程的n維概度密度函數(shù)不隨時(shí)間而變化，這一特性具體反映在隨機(jī)過程的一、二維概率密度及數(shù)字特征方面具有如下性質(zhì)：12121212( ,; , ,)( ,)XnnXnnPx xx t

2、ttPx xx ttt第2頁/共76頁 性質(zhì)4.1 若X(t)為平衡過程，則它的一維概率密度與時(shí)間無關(guān) 證 設(shè)X(t)的一維概率密度函數(shù)為 ，由于X(t)為平穩(wěn)過程 令 則 由此我們可求平穩(wěn)過程X(t)的均值、均方值、方差。11( ; )XPx t1111( ; )( ;)XXPx tPx t1t 1111( ; )( ;0)()XXXPx tPxPx222111( )()XXE XtX Px dx 第3頁/共76頁2221112222( )( )()()( )( )XXXXXxD X tE X tMxMPxdxE XtEX tM 顯然，X(t)的均方值、方差都與時(shí)間t無關(guān) 。由此知，當(dāng)隨機(jī)過

3、程為平穩(wěn)過程時(shí)，該過程的所有樣本函數(shù)總是它們均值水平直線上下波動(dòng)，樣本曲線偏離水平直線的幅度正好是( )XD X x。第4頁/共76頁如圖4.1所示，圖中細(xì)實(shí)線表示隨機(jī)過程的樣本函數(shù)，粗實(shí)線表示隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望，虛線表示隨機(jī)過程對(duì)數(shù)學(xué)期望的偏差。第5頁/共76頁 性質(zhì)4.2 平穩(wěn)過程X(t)的二維概率密度只與 的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。證：設(shè)X(t)的二維概率密度函數(shù)為由于X(t)為平穩(wěn)過程，所以對(duì)任意 有若令 ，則而 正是隨機(jī)過程二維概率密度函數(shù)的時(shí)間間隔，令 ，則：12,t t1212( ,; , )XPx xt t12121212( ,; , )( ,;,)XXPx x t t

4、Px x tt1t 12121212( ,; , )( ,;0,)( ,;)XXXPx x t tPx xPx x12121221( ,; , )( ,;0,)XXPx x t tPx xtt21tt21tt第6頁/共76頁 此式表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程的二維概率密度函數(shù)僅依賴于 ，而時(shí)間的個(gè)別值 無關(guān)。由此，我們可以進(jìn)一步來討論平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)具有什么樣的表達(dá)形式。12,t t121212121212121212( , )( )( )(; , )(;)( )XXXXRt tE X t X tx x Px x t t dx dxx x Px xdx dxR 1212122( , )(

5、, )( )( )( )( )( )XXXXXXXXXXCt tRt tMt MtRMMRMC又 2( )( )XXXCRM 第7頁/共76頁 順便指出，由一個(gè)隨機(jī)過程的平穩(wěn)性研究可推廣到關(guān)于兩個(gè)隨機(jī)過程的平穩(wěn)性研究，可以這樣說，若兩個(gè)隨機(jī)過程的聯(lián)合概率密度函數(shù)不隨時(shí)間的平移而變化，與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)，則可稱這兩個(gè)隨機(jī)過程是聯(lián)合平衡的，或稱平穩(wěn)相依。第8頁/共76頁4.2 寬平穩(wěn)隨機(jī)過程 從上面介紹的嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義知，要判斷一個(gè)隨機(jī)過程是否是嚴(yán)平穩(wěn)，需要確定該隨機(jī)過程的任意n維概率密度函數(shù)族，它的變化是否與時(shí)間的平穩(wěn)無關(guān)，這本身就是一個(gè)十分困難的工作，然而在工程上根據(jù)實(shí)際需要，我們往往只在

6、所謂的相關(guān)理論范圍內(nèi)考慮隨機(jī)過程的平穩(wěn)性問題，這里所指的相關(guān)理論，就是指隨機(jī)過程的數(shù)字特征，即數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)和今后要介紹的功率普密度等。當(dāng)在相關(guān)理論又可指研究隨機(jī)過程的一、二階矩理論。 第9頁/共76頁 前面已經(jīng)介紹過，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，我們當(dāng)然希望能建立起它的多維分布函數(shù)，因?yàn)殡S機(jī)過程的多維分函數(shù)能較完整地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，但是要建立多維分布函數(shù)往往很困難，因此我們一般在相關(guān)理論范圍內(nèi)也就是用數(shù)字特征來描述過程的重要特性，這種用數(shù)字特征來描述過程X(t)統(tǒng)計(jì)特性變化規(guī)律，對(duì)很多實(shí)際問題往往已能獲得很好的效果，可以提取到所需的參數(shù)。 第10頁/共76頁 定義寬平穩(wěn)過程：給定隨

7、機(jī)過程X(t)，如果 常數(shù) 且則稱X(t)為寬平穩(wěn)過程（廣義平穩(wěn)過程）。顯然由寬平穩(wěn)定義可知，要求就要考慮X(t)的一維概率密度函數(shù) 和二維概率密度函數(shù) 。( )XE X tM21212( ),( ,)( )( )( )XXE XtRt tE X t X tR 21tt12 ( ),( , )XE E tRt t11( , )XPx t1212( ,; , )XPx xt t第11頁/共76頁 下面我們來分析一下嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)之間的關(guān)系。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，如果它是嚴(yán)平穩(wěn)的，且它的二階矩存在及均方有界 ，則由嚴(yán)平穩(wěn) 雙因嚴(yán)平穩(wěn)的一維概率密度與時(shí)間無關(guān)，即 常數(shù) 又因嚴(yán)平穩(wěn)的二維概率密度只

8、與時(shí)間間隔有關(guān)，即2( )E Xt 111212( ,; ,)( ,;,)XnnXPxxttPxxtt111( ; )( )XXPx tPx( )XE X tM121212( ,; , )( ,; )XXPx x t tPx x第12頁/共76頁21tt12( , )( )XXRt tR 222111( )()XXE Xtx Pxdx 綜上所述，嚴(yán)平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn) 反之不一定成立，除非是高斯過程（正態(tài)過程）。類似地，我們還可以給出兩個(gè)隨機(jī)過程聯(lián)合寬平穩(wěn)定義。定義聯(lián)合寬平穩(wěn)：對(duì)于平穩(wěn)過程 若1( ), ( )X tY t1221( , )( ),XYXYRt tRtt 則稱( ), ( )X t

9、 Y t聯(lián)合寬平穩(wěn)。 第13頁/共76頁 順便指出，今后凡提到“平穩(wěn)過程”，通常是指寬平穩(wěn)過程。 例4.1 設(shè)Y是隨機(jī)變量，試分別考慮隨機(jī)過程 的平穩(wěn)性。 解 Y是隨機(jī)變量， 這一過程是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的特殊的過程，它的任何n維概率密度函數(shù) 與時(shí)間無關(guān)，所以是一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)。 是嚴(yán)平穩(wěn) , 只要 則X1(t)是寬平穩(wěn)。對(duì)于 12( ),( )X tY XttY1( )X tY1(,)YnP yy1( )X tY221( )E XtE Y 2( ),XttY2( ) E E tE tYtE Y第14頁/共76頁 都與時(shí)間 有關(guān)，所以 為非平穩(wěn)。 例4.2 設(shè) 是一周期為T的函數(shù)， 是（0,T）上具有均

10、勻分布的隨機(jī)變量，稱為 隨機(jī)相位周期過程，試討論它的平穩(wěn)性。解 由題設(shè)知 的概率密度函數(shù)為22122122121 2( , )( )( )XRt tE Xt XtE tYt Yt t E Y12,t t2( )XttY( )S t( )()X tS t10( )0Tf tT其它第15頁/共76頁 要討論X(t)的平穩(wěn)性，由寬平穩(wěn)定義知，需要求 。 當(dāng)取定 為一隨機(jī)變量 的函數(shù) ，由求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式知 令 ，則12( ),( , )XE X tRt t,( )()tX tX t時(shí)()Yg X ( ) ( )E Yg x f x dx001( )()( )()TTE X ttfdS t

11、dTt 011( )( )( )t TTtE X tSdSdTT常數(shù) 第16頁/共76頁 又 令120( , )( ,)( )() ()()() () ( )XXTRt tRt tE X t X tE S tS tS tS tfd,t 01( )( ) ()1( ) ()( )ttTXE X tSSdTSSdRT第17頁/共76頁4.3 各態(tài)歷經(jīng)過程 1. 各態(tài)歷經(jīng)問題的提出 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，我們當(dāng)然希望知道它們的分布函數(shù)，但很困難，于是我們退而求其次，考慮求它的數(shù)字特征即數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)等。但要求X(t)的數(shù)字特征，首先需要知道它的一、二維概率密度函數(shù)，即 這實(shí)際上又很難辦，進(jìn)而

12、為我們求數(shù)字特征又帶來困難。怎么解決這個(gè)問題呢？實(shí)際上，在工程中，要求X(t)的數(shù)字特征，我們自先是通過試驗(yàn)來產(chǎn)生一族時(shí)間樣本函數(shù) 111212( ; ),( ,; , )XXPx tPx x t t1( ),( ),nx tx t第18頁/共76頁X(t)或者是做試驗(yàn)產(chǎn)生一個(gè)樣本函數(shù)x(t)，然后再對(duì)樣本函數(shù)x(t)取不同時(shí)刻，如 ，得所對(duì)應(yīng)的結(jié)果 ，即此時(shí)隨機(jī)過程可表示為 。 對(duì)任意指定時(shí)刻 的數(shù)學(xué)期望可近似表示為 自相關(guān)函數(shù)可近似表示為 來計(jì)算，顯然這種用近似計(jì)算的方法來估計(jì)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及自相關(guān)函數(shù)要求n很大，即樣本函數(shù)xk(t)很多。但這在實(shí)際工程又常常又很難做到，于是人們自然想

13、到能不能夠通過測試一個(gè)樣本函數(shù)如 01,nt tt01( ), ( ),( )nnx tx tx t0( ) ( ), ( ),nX tx tx t1,( )t X t1111( )( )nkhE X tx tn121211( , )( )( )nXkkkRt tx t x tn( ),1,2,ix t i 第19頁/共76頁 用一個(gè)樣本函數(shù)xi(t)的均值和相關(guān)函數(shù)來近似隨機(jī)過程的均值和相關(guān)函數(shù)，如果能，這為我們求隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)特征就帶來了很大方便。 這里提出一個(gè)問題：怎樣表示一個(gè)樣本函數(shù)如x1(t)的均值呢？我們以下式來表示 顯然x1(t)不同其積分結(jié)果一般不同。 于是對(duì)一個(gè)隨機(jī)過程， ，

14、其樣本函數(shù)的積數(shù)結(jié)果可能不同。此時(shí)顯然用一個(gè)樣本函數(shù)的數(shù)字特征如 ，近似 是不正確的。但是如果當(dāng)時(shí)間區(qū)間T充分大時(shí)，如果X(t)的絕大多數(shù)樣本函數(shù)的均值 111( )2TxTMx t drT1( ) ( ),( ),nX tx tx t1xM( )E X t111( )lim( )2TTTx tx t dtT第20頁/共76頁都有則我們可用其中一個(gè)樣本函數(shù)的均值 作為 X(t)的近似，即 定義隨機(jī)過程的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)：稱為隨機(jī)過程的時(shí)間相關(guān)函數(shù)。221( )lim( )2TTTx tx t dtT1( )lim( )2TnnTTx tx t dtT12( )( )( )nx tx tx

15、 t( )nx t( )( ),1,2nx tE X tn1( )()lim( )()2TTTX t X tX t X tdtT第21頁/共76頁 注意：定義中 一般都是隨機(jī)變量（常數(shù)可看作特殊的隨機(jī)變量）。 由上述分析可知，是不是任何一個(gè)隨機(jī)過程 ，它的數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)都可用其中的一個(gè)樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)來近似呢，顯然不一定，一個(gè)自然的問題是X(t)在什么條件下可用一個(gè)樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)作為整個(gè)過程X(t)的均值，自相關(guān)函數(shù)的近似呢？( ),( )()X tX t X t1( ) ( ),( )nX tx tx t第22頁/共76頁 2. 平均隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性 要回答上述

16、的問題，我們?cè)O(shè)當(dāng)X(t)為平穩(wěn)過程且滿足一定條件時(shí)，可用一個(gè)樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)作為過程X(t)的數(shù)字特征近似，為此我們給出如下定義：定義：設(shè)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)過程 （1）若 以概率1成立，則稱隨機(jī)過程X(t)均值具有各態(tài)歷經(jīng)性這里依概率1成立是指對(duì)X(t)的所有樣本函數(shù)即( )( )XX tE X tM1( )( ),( )( )Xnxx tE X tMx tE X tM第23頁/共76頁 由此知，此時(shí)，我們可用一個(gè)樣本函數(shù)的均值如 的值作為 的近似值。反之，若已知X(t)的均值各態(tài)歷程，則可用一個(gè)樣本函數(shù)的均值作為過程X(t)的均值。（2）若 以概率1成立，則稱X(t)的自相關(guān)函數(shù)具

17、有各態(tài)歷經(jīng)性。11( )lim( )2TTtx tx t dtT( )E X t1( )lim( ),1,2,2TnTTE X tx t dt nT( )()( )()( )XX t X tE X t X tR第24頁/共76頁 這里若X(t)的自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)，就是指我們可用過程X(t)的一個(gè)樣本函數(shù)、xn(t)的時(shí)間相關(guān)函數(shù) 即 作為過程的相關(guān)函數(shù)。 （3）若X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱X(t)是寬各態(tài)歷經(jīng)過程，簡稱X(t)為各態(tài)歷經(jīng)過程。 綜上所述，如果X(t)是各態(tài)歷經(jīng)過程，則必為平穩(wěn)過程，此時(shí)可用過程的一個(gè)樣本函數(shù)的數(shù)字特征作為過程的數(shù)字特征近似。( )()(

18、)()( )nnXx t x tE X t X tR1( )lim( )()2TXnnTTRx t x tdtT第25頁/共76頁 例4.3 設(shè)隨機(jī)過程 式中 為參數(shù)，是（0.2, ）上均勻分布隨機(jī)變量。 求證X(t)是寬平穩(wěn)過程； 該過程是否是各態(tài)歷經(jīng)過程。解 0( )cos()X tAt0,A2001( )cos()02E X tAtd第26頁/共76頁000200022000020( )()cos()cos()coscos(22 )21coscos(22 )22cos( )2XE X t X tE AtAtAEtAdAR X(t)為一寬平穩(wěn)過程。 01( )limcos()2TTTX t

19、AtdtT00cossinlim0TATT( ,)XRt t第27頁/共76頁顯然由、結(jié)果再由隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)定義知 X(t)為寬各態(tài)歷經(jīng)過程。00020cos() cos()( )()limcos2TTTAtdrX t X tA ( )( )0X tE X t0( )()( )()( )2XX t X tE X t X tRA 第28頁/共76頁 如果兩個(gè)隨機(jī)過程X(t)，Y(t)，當(dāng)它們各自都是各態(tài)歷經(jīng)時(shí)，并且時(shí)間互相關(guān)函數(shù)與統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)以概率1相等時(shí)，我們有如下定義： 定義兩個(gè)隨機(jī)過程聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)： 設(shè)X(t)，Y(t)各自都各態(tài)歷經(jīng) 則稱X(t)，Y(t)為聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)過程。 同理當(dāng)X

20、(t)，Y(t)聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)時(shí)，可用它們的一對(duì)樣本函數(shù)的數(shù)字特征作為X(t)，Y(t)的數(shù)字特征近似。( ) ()( ) ()( )XYX t Y tE X t Y tR第29頁/共76頁 3. 隨機(jī)過程成為各態(tài)歷經(jīng)過程的判定 從前面的分析知，如果一個(gè)隨機(jī)過程能成為一個(gè)平衡過程，這對(duì)我們研究各態(tài)歷經(jīng)，則該過程一定是平衡過程，反之則一定成立，于是很自然提出這樣一個(gè)問題，能不能給出一些判定定理，使其可以很方便地判定一個(gè)平穩(wěn)過程成為各態(tài)歷經(jīng)過程。通過對(duì)平穩(wěn)過程的分析研究，我們給出如下的幾個(gè)判定定理。 性質(zhì)4.3 平穩(wěn)過程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是 式中： 為平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)； 為平

21、穩(wěn)過程的數(shù)學(xué)期望。2201lim1( )02TXXTRMdTT( )XRXM第30頁/共76頁 例4.4 已知隨機(jī)電報(bào)信號(hào)X(t)，它的 ， ，問X(t)是否均值各態(tài)歷經(jīng)。解 ( )0E X t( )XRe 2201lim1( )2TXXTRMdrTT2| |02| |0222201lim1021lim12111lim02TTTTTTTedrTTedTTeTTT X(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。第31頁/共76頁 性質(zhì)4.4 平衡過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具備各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是 式中 平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)具有聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件（4.7）式相似，只是將（4.7）式中相應(yīng)的自相

22、關(guān)函數(shù)改為互相關(guān)函數(shù)即可。2211101lim1 ( )( )02XTTBRdT111( )()()()( )BE X tX tX tX t第32頁/共76頁 性質(zhì)4.5 對(duì)于高斯平穩(wěn)過程，如果它的均值為零，自相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則該過程各態(tài)歷經(jīng)的一個(gè)充分條件是 綜上所述，對(duì)一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)通過性質(zhì)1、2判定以后，如果X(t) 各態(tài)歷經(jīng)了，則對(duì)于該過程的數(shù)字特征，即求 ，我們可用0|( )|XRdr ( ),( )XE X tR11( )( )lim( )2TTTX tE X tx t dtT111( )()( )lim()( )2TXTTRX tX tx tx t dtT第33頁/共76頁

23、 也就是當(dāng)X(t)各態(tài)歷經(jīng)時(shí)，我們可用一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間均值和時(shí)間自相關(guān)函數(shù)作為過程X(t)的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)的近似。 最后順便說明，對(duì)于許多實(shí)際問題，如果要從理論上判定一個(gè)過程是否為各態(tài)歷經(jīng)過程，往往是比較困難。因此工程上經(jīng)常都是憑經(jīng)驗(yàn)把各態(tài)歷經(jīng)性作為一種假設(shè)，在后根據(jù)實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否合理。 在實(shí)際應(yīng)用一般不可能給出隨機(jī)過程X(t)的樣本函數(shù)x(t)的表達(dá)式，因此，確定各態(tài)歷經(jīng)過程的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)，有兩種方法：第34頁/共76頁 第一種方法用模擬自相關(guān)分析儀，自動(dòng)畫出自相關(guān)曲線。 這種儀器的功能是當(dāng)輸入樣本函數(shù)時(shí)，X-Y記錄儀自動(dòng)描繪出自相關(guān)函數(shù)的曲線。它的工作原理如圖4.2

24、所示。圖4.2第35頁/共76頁 第二種方法用數(shù)字處理方法（即近似計(jì)算方法）。 如圖4.2把0，T等分為N個(gè)長為 的小區(qū)間，再在時(shí)刻 ， 取樣，得N個(gè)函數(shù)值 。于是再把積分表過式表示為基本區(qū)間上的和，就有數(shù)字估計(jì)式（4.8）。類似可以寫出在 時(shí)的自相關(guān)函數(shù)估計(jì)式（4.9）式，由這個(gè)估計(jì)式可算出自相關(guān)函數(shù)的一系列近似值，從而可作出自相關(guān)函數(shù)的近似圖形，見圖4.3。 TtN 1()2ktkt1,2,( )kNx t對(duì)( ),1,2,kkxx tkNrr t 第36頁/共76頁 最后指出，工程上遇到的很多平穩(wěn)過程，我們一般都把它看成各態(tài)歷經(jīng)過程，然后用各態(tài)歷經(jīng)的方法來確定過程X(t)的統(tǒng)計(jì)特性，看處

25、理出來的結(jié)果是否與實(shí)際相符合，如果不相符合，再對(duì)過程的假設(shè)作修改。 111( )( )lim( )2NTkTTkE X tx tX t dtxTN1( )()( )lim( )()2TXTTRX tX tX t X tdrT11(),0,1,2,()N rXrkk rkRx xNrrm mn第37頁/共76頁 4. 平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過程，它的基本數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)，但是當(dāng)隨機(jī)過程為平穩(wěn)過程時(shí)，它的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)常數(shù)，經(jīng)中心化后可以變?yōu)榱?，所以?dāng)過程X(t)平穩(wěn)后其基本數(shù)字特征實(shí)際上就是相關(guān)函數(shù)。此外，相關(guān)函數(shù)不僅可向我們提供隨機(jī)過程各狀態(tài)間的關(guān)聯(lián)特性的信息，而且

26、也是求取隨機(jī)過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息工具。為此下面我們專門研究一下平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。第38頁/共76頁 性質(zhì) 4.6 證 當(dāng) ， 即平穩(wěn)過程的均方值可自由相關(guān)函數(shù) 得到。 性質(zhì) 4.7 ，即平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)。 同理 證 2(0)( )XRE Xt( )( )()XRE X t X t2(0)( )XRE Xt0( )XR令 =0( )()XXRR( )()XXCC( )( )(),()( )(),XXRE X t X tRE X t X tut 第39頁/共76頁 性質(zhì)4.8 平穩(wěn)過程X(t)自相關(guān)函數(shù)的最大點(diǎn)在 處 ，即 證 任何非負(fù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值

27、， 的平方均值，即 又 X(t)平穩(wěn)， 0(0)|( )|XXRR( )()X tX t2|( )()| 0EX tX t22( )2( )()()E XtX t X tXt022( )2( )()()0E XtE X t X tE Xt22( )2( )()()0E XtE X t X tE Xt( )()( )XE X t X tR22( )2( )()0 xE XtRE Xt第40頁/共76頁 平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維率密度函數(shù)不隨時(shí)間的平緩而變化，即 同理 22()( ,)XE Xtx Px tdx( ; )( ;)XXPx tPx t22( )()(0)XE XtE XtR2(0)2( )

28、0XXRR(0)XXRR|( )|(0)XXCC|( )|22( )( , )XE Xtx Px t dxv對(duì)于 第41頁/共76頁 性質(zhì)4.9 周期平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)是周期函數(shù)，且與周期平穩(wěn)地程的周期相同，即 證 設(shè) 性質(zhì)4.10 非周期平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)滿足()( )XXRtTR( )()X tX tT()( )()( )()( )xXRTE X t X tTE X t X tR2lim( )( )XXXRRM 222( )(0)( )( )( )XXXD X tRRE XtEX t第42頁/共76頁 例4.6 非周期平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)。 求 。 解 為了方便

29、表征隨機(jī)過程在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)之間的線性關(guān)聯(lián)程度，我們給出自相關(guān)系定義： 定義自相關(guān)系數(shù)： 29( )161 3XR( ),( )E X tD X t229lim( )lim16161XXMR4XM 2(0)( )25 169XXXRR 222( )( )( )XXXXXXCRM第43頁/共76頁 特別取 ， 一般有 顯然，自相關(guān)系數(shù)越接近1，狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度越高。也可以說，當(dāng)狀態(tài)與狀態(tài)之間的時(shí)間間隔越小，狀態(tài)之間的關(guān)系越高。因此相關(guān)系數(shù)可直觀地說明隨機(jī)過程不同兩個(gè)狀態(tài)的自相關(guān)程度的強(qiáng)弱或隨機(jī)過程起伏的快慢。 0222(0)(0)(0)0XXXXXXCRM22222( )1XXXXE XtM

30、|( )|1X第44頁/共76頁 相關(guān)時(shí)間 是另一個(gè)表示隨機(jī)過程相關(guān)程度的量，它是利用相關(guān)系數(shù)來定義的。 一般相關(guān)時(shí)間的定義有兩種，一種是把滿足時(shí)的 作為相關(guān)時(shí)間 。其物理意義為：若隨機(jī)過程X(t)的相關(guān)時(shí)間為 ，則認(rèn)為隨機(jī)過程的時(shí)間間隔大于 的兩個(gè)時(shí)刻的取值不相關(guān)。另一種定義相關(guān)時(shí)間間隔大于的兩相時(shí)刻的取值不相關(guān)。 0()0.05X0000第45頁/共76頁 另一種定義相關(guān)時(shí)間方法是將 曲線在 之間的面積等效成 的矩形，如圖4.3所示。因此有( )X1,0(0)X00( )Xd圖4.3 自相關(guān)系數(shù)第46頁/共76頁5. 設(shè)隨機(jī)過程互相關(guān)函數(shù)性質(zhì) 設(shè) 為兩個(gè)平穩(wěn)過程。 性質(zhì)4.11 一般情況下

31、，互相關(guān)函數(shù) 是非奇非偶函數(shù)，同理，互協(xié)方差函數(shù) 也是非奇非偶函數(shù)。 性質(zhì)4.12 互相關(guān)函數(shù)的幅度平方滿足 同理，互協(xié)方差函數(shù)滿足( ), ( )X t Y t( )XYR( )XYC2( )(0)(0)XYXYRRR222( )(0)(0)XYXYXYCCC第47頁/共76頁 性質(zhì)4.13 互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)的幅度滿足 同理 性質(zhì)4.14 互相關(guān)系數(shù) 為了研究兩個(gè)平穩(wěn)過程的相互關(guān)聯(lián)程度，我們引入互相關(guān)系定義 定義互相關(guān)系數(shù)： 可以證明 ，且當(dāng) 時(shí) 互不相關(guān)。1( )(0)(0)2XYXYRRR2211( )(0)(0)22XYXYXYCCC( )( )(0)(0)XYXYXYCCC(

32、 )1XY( )0XY( )( )X tY t和第48頁/共76頁習(xí)題四 1. 考慮一個(gè)具有隨機(jī)相位的余弦波，它由如下定義的隨機(jī)過程描述： ，其中 是常數(shù)， 服從 上的均勻分布，證明X(t)是寬平穩(wěn)過程。 2. 考慮一個(gè)具有隨機(jī)振幅的正弦波，它由如下定義的隨機(jī)過程描述 其中，A、B為兩個(gè)隨機(jī)變量，且滿足 ， ，度X(t)為寬平穩(wěn)過程。 ( )cos()X tt(, ) ( )2sin2X tAxostt( )( )0,( )( )1E AE BD AD B()0E AB 第49頁/共76頁 3. 設(shè)隨機(jī)過程 是方差不為零的隨機(jī)變量，試討論其各態(tài)歷經(jīng)性。 4. 設(shè)X(t)是雷達(dá)的發(fā)射信號(hào)，遇到目

33、標(biāo)后返回接收機(jī)的微弱信號(hào)是 是信號(hào)返回時(shí)間，由于接收到的信號(hào)總是伴有噪聲，記噪聲為 ，于是接收機(jī)收到的全信號(hào) 。若X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)，求互相關(guān)函數(shù) 。在的條件下，假如N(t)的均值為零，且X(t)是相互獨(dú)立，求 （這是利用互相關(guān)函數(shù)從全信號(hào)中檢測小信號(hào)的接收法）。( ),X tY Y111,(),aX ta( )N t1( )()( )Y taX tN t( )XYR( )XYR第50頁/共76頁 5. 設(shè)有隨機(jī)過程 ，其中A是具有瑞利分布的隨機(jī)變量，其概率密度為 是在（0, 2 ）上具有均勻分布且與A相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， 是一個(gè)常數(shù)，問X(t)是否是寬平穩(wěn)過程。( )cos ()X

34、 tAt2220( )200aaeat aa第51頁/共76頁第五章 隨機(jī)過程的功率譜密度 當(dāng)我們?cè)跁r(shí)間域內(nèi)研究某一函數(shù)的特性時(shí)，如果確定起來不方便，在數(shù)學(xué)上我們可以考慮將此函數(shù)通過某種變換將它變換到另一區(qū)域，比如說頻率域內(nèi)進(jìn)行研究，最終目的是使問題簡化。傅里葉變換提供了一種方法，就是如何將時(shí)間域的問題轉(zhuǎn)換到頻率域，進(jìn)而使問題簡化。在頻率域內(nèi)，頻率意味著信息變化的速度。即，如果一個(gè)信號(hào)有“高”頻成分，我們?cè)陬l率域內(nèi)就可以看到“快”的變化。這方面的應(yīng)用在數(shù)字信號(hào)分析和電路理論等方面應(yīng)用極廣。第52頁/共76頁 是不是任何一個(gè)時(shí)間函數(shù)都可以將其通過傅氏變換變到頻率域去研究呢？我們說當(dāng)時(shí)間函數(shù) 滿足

35、絕對(duì)可積條件時(shí)可以。 然而，隨機(jī)過程的樣本函數(shù)，即 一般不滿足絕對(duì)條件，因此隨機(jī)過程不能直接進(jìn)行付氏變換。此外，很多隨要過程的樣本函數(shù)極不規(guī)則，無法用方程描述。這樣，若想直接對(duì)隨要過程進(jìn)行譜分解，顯然也不行。但是，對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行某種處理后，同樣可對(duì)隨機(jī)過程施行傅里葉變換。( )()X tt ( )x t dt 1( ) ( ),( ), nX tx tx t1( ),( )nx tx t第53頁/共76頁5.1 功率譜密度 為了研究隨機(jī)信號(hào)的傅氏變換，我們首先簡單復(fù)習(xí)一下確定信號(hào) 的頻譜、能譜密度及能量概念，然后再引入隨機(jī)過程的功率譜密度概念。 定理5.1 設(shè)S(t)是一個(gè)確定信號(hào)，且在 上，

36、則S(t)的傅氏變換存在，或者說具有頻譜 記為( )S t(,) ( )S( )( )j tSS t edt1( )( )2j tS tSed1( )( )FFS ts ( )( )F S tS第54頁/共76頁 一般頻譜 是一個(gè)復(fù)數(shù)，且有 ，*表示共軛。我們知道，對(duì)于復(fù)數(shù)有 對(duì)于定理的物理解釋是，或 代表電流或電壓，則定理?xiàng)l件要求 ，即是要求 的總能量必須有限。 由積分變換的巴塞伐能量公式有1 ( )( )FSS t( )S*( )()SS22*;,Zabi zabzabi2*2222(1)()( )z zbia biabiabz( )S t( )s t dt ( )S t221( )( )

37、2St dtSd第55頁/共76頁 下面我們來解釋一下公式的物理含義 等式左邊表示 在 上的總能量，而右邊積分中被積函數(shù) 相應(yīng)地稱為能譜密度。巴塞伐公式理解為時(shí)間域上的總能量可用頻率域上的頻譜能量表示。 然而，工程技術(shù)上有許多重要的時(shí)間函數(shù)總能量是無限的，不能滿足傅氏變換絕對(duì)可積條件，如正弦 就是。我們要研究的隨機(jī)過程，由于持續(xù)時(shí)間是無限的，所以其總能量也是無限的，即 所以隨機(jī)過程的頻譜不存在。 ( )S t(,) 2( )Ssin( ) t dt ( ),1,2,nx tdtn第56頁/共76頁 那么該如何應(yīng)用傅氏變換工具來對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行化簡研究呢？我們是這樣考慮的，一個(gè)隨機(jī)過程 ，盡管它的

38、樣本函數(shù)總能量是無限的，但它的平均功率是有限的，即 這是隨機(jī)過程的樣本函數(shù)在時(shí)間域上的平均功率表示。 這樣，對(duì)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)而方，雖然研究它的頻譜沒有意義，但研究它的平均功率確有意義。1( ) ( ),( ),nX xx tx t21lim( )2TeTTWx tT 第57頁/共76頁圖5.1 及其截取函數(shù) 怎樣具體表示隨機(jī)過程一個(gè)樣本函數(shù)的平均功率呢，我們是這樣操作的：首先定義 的一個(gè)樣本函數(shù)，不妨設(shè)為 ，再次地樣本函數(shù) 任意截取一段，長度為2T，并記為 。稱 為原樣本函數(shù) 的截取函數(shù)，如圖5.1所示。( )x t( )Tx t( )X t( )x t( )x t( )Tx t( )Tx

39、 t( )x t第58頁/共76頁 用公式表示即為 于是 滿足絕對(duì)可積條件。 存在付氏變換，即 這里 稱 為的頻譜函數(shù)。( )| |( )0| |Tx ttTx ttT( )Tx t dt ( )Tx t( )( )( )j tTj tTTTTxx t edtx t edt1( )()2jtTTxtxedt( )Tx( )Tx t第59頁/共76頁 又由于隨機(jī)過程 在隨機(jī)試驗(yàn)中取哪一個(gè)樣本函數(shù)具有不確定性。因此，不同的試驗(yàn)結(jié)果，就意味著隨機(jī)過程可能取不同的樣本函數(shù)，亦即樣本函數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)，為此，可將樣本函數(shù)進(jìn)一步表示為 ，當(dāng)然該樣本函數(shù)的截取函數(shù)也可相應(yīng)表示為 ，顯然它的傅氏變換也可表示為

40、 。 又 1( ) ( ),( ),nX tx tx t( , )x t e( , )Tx t e( , )Tx t e21lim( )2TeTTWx tdtT21lim( , )2TTTx t edtT第60頁/共76頁11lim( , )( , )22Tj tTTTTx t exe eddtT()11lim( , )( , )22TjtTTTTxex t e edt dT11lim( , )(, )22TTtxe xe dT*11lim( , )( , )22TTtxe xe dT211lim( , )22TTxedT1( , )2XGe d第61頁/共76頁 由于引入隨機(jī)過程樣本函數(shù)的截

41、取函數(shù)定義，所以又可給出上式隨機(jī)過程的樣本函數(shù)平均功率在頻率域的表示形式。 在上式中，令 則稱（5.1）式為隨機(jī)過程X(t)的樣本函數(shù)的功率譜密度函數(shù)。 定義樣本函數(shù)的功率譜密度 式中， 為截取函數(shù) 的頻譜。21( , )lim( , )2XTTGexeT21( , )lim( , )2XTTGexeT( , )Txe( , )Tx t e第62頁/共76頁 又 隨機(jī)過程是由一族樣本函數(shù)組成，即 顯然對(duì)每一個(gè)樣本函數(shù)，按照上面類似的方法都呆以求出它的一個(gè)樣本函數(shù)的功率譜密度，于是對(duì)所有的樣本函數(shù)取統(tǒng)計(jì)平均就可給出隨機(jī)過程的功率譜密度定義。 定義隨機(jī)過程的功率譜密度：1( ) ( ),( ),n

42、X tx tx t221( )( , )lim( , )21lim( , )2XXTTTTGE GeExeTEXeT第63頁/共76頁 隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)的平均功率的表示形式，有兩種 類似的，可求出X(t)的所有樣本函數(shù)的平均功率表示形式，然后取統(tǒng)計(jì)平均，則可以給出隨機(jī)過程的平均功率定義，定義隨機(jī)過程的平均功率：11lim( , )22eTTWxe dT21lim( , )2TeTTTWx t edtT211lim( , )22eTTWE WExedT第64頁/共76頁211lim( , )22TTE xedT1( )2XGd21lim( , )2TeTTWE WEx t edtT221lim| ( , )| 21lim( )2TTTTTTEx t edtTE x tdtT第65頁/共76頁 由隨機(jī)過程平均功率定義可知，要求隨機(jī)過程的平均功率可用兩種方法，一種方法是求出 ，即過程的功率譜密度，然后再積分，另一種方法是先求出過程的增方值 ，再積分。 特別地，當(dāng)我們研究的隨機(jī)過程是平穩(wěn)過程時(shí)，此時(shí)的平穩(wěn)過程平均功率可表示為： X(t)平穩(wěn) ( )xG2( )E Xt22( )(0)XXE XtR2221lim( )21lim2TTTTXXTTW