云南師范大學熱力學統(tǒng)計物理期末復習

1、各章知識點整理和復習第一章 熱力學的基本定律知識點1、熱力學第一定律2、熱力學第二定律3、熱力學基本方程4、熱力學第二定律的數(shù)學表述5、克勞修斯熵，玻爾茲曼熵6、熵增加原理。復習題1、簡述熱力學第二定律及其統(tǒng)計解釋。參考：熱力學第二定律的開爾文表述：熱不可能全部轉(zhuǎn)變?yōu)楣Χ灰鹌渌兓?。熱力學第二定律的克勞修斯表述：熱量不能自動地從低溫物體傳向高溫物體?；虻诙愑绖訖C不可能。 熱力學第二定律的微觀意義是，一切自然過程總是沿著分子熱運動的無序性（或混亂度）增大的方向進行,系統(tǒng)對應的微觀狀態(tài)數(shù)增大，根據(jù)玻爾茲曼熵，因此系統(tǒng)的熵值增加，即熵增加原理。2、簡述熵增加原理及其統(tǒng)計解釋。參考：孤立系統(tǒng)中所

2、進行的自然過程總是沿著熵增大的方向進行。 根據(jù)玻爾茲曼熵公式，可知孤立系統(tǒng)中所進行的自然過程總是向著微觀狀態(tài)數(shù)（或混亂度）增大的方向進行。第二章 均勻物質(zhì)的熱力學性質(zhì)知識點1、基本熱力學函數(shù)的全微分和麥氏關(guān)系的得出。 2、麥氏關(guān)系的應用。 2、氣體的節(jié)流過程。3、特性函數(shù)的應用。4、熱輻射（平衡輻射）的熱力學結(jié)果，斯特方玻爾茲曼定律。復習題1、寫出焦湯系數(shù)的數(shù)學表達式，簡述節(jié)流過程的特點；利用焦湯系數(shù)分析通過節(jié)流產(chǎn)生致冷效應、致溫效應和零效應的原理。（P57）2、證明能態(tài)方程。參考：選T、V作為狀態(tài)參量時，有 得： 比較得： 將麥氏關(guān)系代入，即得 3、證明焓態(tài)方程。參考：選T、p作為狀態(tài)參量時

3、，有 帶入 得： 比較得： 將麥氏關(guān)系代入即得4、利用麥氏關(guān)系計算任意簡單系統(tǒng)Cp與CV之差。參考：因為 所以5、理想氣體分別經(jīng)準靜態(tài)等壓過程和等容過程，溫度由升至，假設是常數(shù)，試證明前者的熵增是后者的倍。參考：（法一）由 等壓過程的熵變 由 等容過程的熵變 （法二）由 理想氣體準靜態(tài)等壓過程 理想氣體準靜態(tài)等容過程 所以6、求證等溫壓縮系數(shù)與絕熱壓縮系數(shù)之比等于定壓熱容量與定容熱容量之比。參考：因為， 所以7、試證明在相同的壓強降落下，氣體在準靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度降落大于在節(jié)流過程中的溫度降落。參考：氣體在準靜態(tài)節(jié)流過程中 氣體在準靜態(tài)絕熱膨脹過程中 所以 即在相同的壓強降落下氣體在準靜態(tài)絕

4、熱膨脹中的溫度降落大于在節(jié)流過程中的溫度降落。8、已知簡單熱力學系統(tǒng)的吉布斯函數(shù)為，求系統(tǒng)的熵、物態(tài)方程、內(nèi)能、焓和自由能。參考：因為 可得熵和物態(tài)方程 內(nèi)能 焓 自由能 9、已知簡單熱力學系統(tǒng)的特性函數(shù)自由能為，求系統(tǒng)的熵、物態(tài)方程、內(nèi)能和焓。參考：自由能的全微分 比較熱力學方程 得熵和物態(tài)方程 內(nèi)能 焓 吉布斯函數(shù) 10、已知簡單熱力學系統(tǒng)的特性函數(shù)內(nèi)能U，利用特性函數(shù)的性質(zhì)確定其它熱力學函數(shù)。11、已知簡單熱力學系統(tǒng)的特性函數(shù)焓H，利用特性函數(shù)的性質(zhì)確定其它熱力學函數(shù)。第三章 單元系的相變知識點1、熱動平衡判據(jù)（熵判據(jù)、自由能判據(jù)、吉布斯函數(shù)判據(jù)等）2、單元系的復相平衡條件3、單元系的復

5、相平衡性質(zhì)（相圖、相平衡曲線、克拉伯龍方程）4、相變的分類（艾倫費斯特的分類）復習題1、寫出均勻系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性條件；假如子系統(tǒng)的溫度由于漲落或某種外界影響而略高于媒質(zhì)（T），或者子系統(tǒng)的體積發(fā)生收縮（ V），試用平衡的穩(wěn)定性條件對該簡單系統(tǒng)作平衡穩(wěn)定性分析。（P79）2、簡述熵判據(jù)；寫出單元兩相系的熱學平衡條件、力學平衡條件和相變平衡條件。如果在一個孤立系統(tǒng)內(nèi)部引入內(nèi)能、體積和摩爾數(shù)的虛變動所引起的熵變?yōu)?，試用熵增加原理對該孤立系統(tǒng)內(nèi)部各相之間趨向平衡的過程作熱學、力學和相平衡分析。（P8283）參考：熵判椐表述為，等體積等內(nèi)能系統(tǒng)（孤立系統(tǒng)）的熵永不減少，穩(wěn)定平衡態(tài)的熵值最大，系統(tǒng)處在穩(wěn)定

6、平衡狀態(tài)的必充條件為虛變動引起的熵變。 如果孤立系統(tǒng)內(nèi)部處于非平衡狀態(tài)，熵增原理要求趨向平衡的過程必為熵增加的不可逆過程 （1）如果只有熱平衡條件未能滿足，要求，這時溫度差將導致能量從高溫相自發(fā)地轉(zhuǎn)移到低溫相去，從而使兩相溫度趨于一致。 （2）若只有力學平衡條件未能滿足，要求，這時壓強差將導致壓強大的相膨脹，壓強小的相收縮，以使兩相壓強趨于一致。 (3)若只有相平衡條件還未滿足，要求，這時物質(zhì)將由化學勢高的相轉(zhuǎn)移到化學勢低的相去，以使兩相化學勢趨于一致。 3、習題3-1，證明下列平衡判據(jù)：（1）在等溫等容條件下，系統(tǒng)穩(wěn)定平衡態(tài)的自由能最??；（2）在等溫等壓條件下，系統(tǒng)穩(wěn)定平衡態(tài)的吉布斯函數(shù)最小

7、。參考：由（1）因為 在等溫等容條件下，即自由能永不增加，若系統(tǒng)達到為極小的狀態(tài)，就不可能自發(fā)發(fā)生任何宏觀的變化而處在穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。（2）因為 在等溫等壓條件下，即吉布斯函數(shù)永不增加，若系統(tǒng)達到為極小的狀態(tài)，就不可能自發(fā)發(fā)生任何宏觀的變化而處在穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。4、推導一級相變的兩相平衡曲線斜率，即克拉伯龍方程 。參考：在相平衡曲線上，兩相的化學勢應相等，即： 兩邊微分，得 因為 所以 由此可得 相變潛熱 所以 。5、利用二級相變的性質(zhì)導出愛倫費斯特方程。參考：對簡單系統(tǒng)，選擇T,p為狀態(tài)參量，由v=v(T,p) 在相圖上相鄰兩點，二級相變要求兩相的比體積變化連續(xù) 得愛倫費斯特方程同理，對簡單

8、系統(tǒng)選擇T,p為狀態(tài)參量，由s=s(T,p) 在相圖上相鄰兩點，二級相變要求兩相的比熵變化連續(xù) 得艾倫費斯特方程第六章 近獨立系統(tǒng)的最概然分布知識點1、等概率原理和最概然分布。2、三種系統(tǒng)（玻爾茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)）的定義和區(qū)別。2、三種分布（玻爾茲曼分布、玻色分布、費米分布）復習題1、解釋等概率原理和最概然分布。 參考：對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。因此，某種分布出現(xiàn)的概率應與其對應的微觀狀態(tài)數(shù)成正比，所以對應的微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的幾率最大，稱為最概然分布。2、簡述玻爾茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的特點（P176）。 參考：玻爾茲曼系統(tǒng)

9、由可以分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制；玻色系統(tǒng)由不可分辨的全同近獨立玻色子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制；費米系統(tǒng)由不可分辨的全同近獨立費米子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)受泡利不相容原理限制。3、習題6-1、6-2、6-3、6-4。第七章 玻爾茲曼統(tǒng)計知識點1、玻爾茲曼系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計表達式。2、用統(tǒng)計物理的方法推導理想氣體物態(tài)方程。3、麥克斯韋速度分布律的得出和應用。4、經(jīng)典統(tǒng)計的能均分定理。5、經(jīng)典統(tǒng)計處理理想氣體的結(jié)果。6、量子統(tǒng)計處理理想氣體的結(jié)果。7、量子統(tǒng)計對固體的處理。8、量子統(tǒng)計對順磁性固體的處理。復習題1、寫出經(jīng)典極限條

10、件（或非簡并條件）的三種表述，并說明滿足經(jīng)典極限條件的玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的分布和微觀狀態(tài)數(shù)和玻爾茲曼系統(tǒng)的關(guān)系。參考：經(jīng)典極限條件（或非簡并條件）的三種表達， ， 滿足經(jīng)典極限條件的玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的分布和玻爾茲曼系統(tǒng)的分布是一致的，即服從玻爾茲曼分布，但是微觀狀態(tài)數(shù)和玻爾茲曼系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)不同，有。2、用經(jīng)典統(tǒng)計和量子統(tǒng)計方法處理單原子分子理想氣體得到的熵分別為 試討論這兩個熵的性質(zhì)。(P212213)3、什么是能均分定理，用能均分定理求解雙原子分子理想氣體的內(nèi)能和熱容量時，為何出現(xiàn)與實驗不符的情況。參考：對于處在溫度為T的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每一個平方項的平均值等于。因為能均

11、分定理是將系統(tǒng)中的粒子看作經(jīng)典粒子，其能量是連續(xù)的。而實際的粒子都應看作量子力學的粒子，能量是不連續(xù)的。如果粒子能級間距與熱運動能量kT相比很小的情況下，粒子能量可看作準連續(xù)的，此時能均分定理得到的結(jié)果與實驗相符，如平動和轉(zhuǎn)動的情形。如果粒子能級間距與熱運動能量相比是同一量級或更大的情況，如振動和電子能級，用經(jīng)典統(tǒng)計的能均分定理得到的結(jié)果與實驗不符。4、為什么在常溫或低溫下原子內(nèi)部的電子對熱容量沒有貢獻？參考：不考慮能級的精細結(jié)構(gòu)時，原子內(nèi)的電子激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能量差為，相應的特征溫度為。在常溫或低溫下，電子通過熱運動獲得如此大的能量而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率幾乎為零，平均而言電子被凍結(jié)基態(tài)，因此對熱

12、容量沒有貢獻。5、為什么在常溫或低溫下雙原子分子的振動對熱容量貢獻可以忽略？參考：因為雙原子分子的振動特征溫度，在常溫或低溫下 ，振子通過熱運動獲得能量 從而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率極小，因此對熱容量的貢獻可以忽略。6、用能均分定理分別求（1）單原子分子理想氣體；（2）雙原子分子理想氣體；（3）固體；（4）平衡輻射場的內(nèi)能U和定容熱容量CV，比較該結(jié)果與實驗結(jié)果相符和不符的情況，并利用量子統(tǒng)計的結(jié)論解釋實驗結(jié)果。7、（1）將單原子分子理想氣體當作經(jīng)典系統(tǒng)，用經(jīng)典統(tǒng)計方法求理想氣體狀態(tài)方程；（2）將單原子分子理想氣體當作滿足經(jīng)典極限條件的玻色費米系統(tǒng)，用量子統(tǒng)計方法求理想氣體狀態(tài)方程。8、（1）把單原

13、子分子理想氣體看作滿足經(jīng)典極限條件的玻色（費米）系統(tǒng)，用量子統(tǒng)計方法求系統(tǒng)的熵；（2）把單原子分子理想氣體看作經(jīng)典系統(tǒng)，用經(jīng)典統(tǒng)計方法求系統(tǒng)的熵。 9、已知雙原子分子能量的經(jīng)典表達式為 （1）用經(jīng)典統(tǒng)計的方法計算分別計算平動、轉(zhuǎn)動和振動配分函數(shù)；（2）分別計算平動、轉(zhuǎn)動和振動內(nèi)能U和定容熱容量CV，并與能均分定理得到的結(jié)果做比較。 10、已知雙原子分子轉(zhuǎn)動能量的量子表達式為 簡并度為（1）試用量子統(tǒng)計的方法計算轉(zhuǎn)動配分函數(shù)；（2）計算轉(zhuǎn)動內(nèi)能U和轉(zhuǎn)動定容熱容量CV。 11、已知雙原子分子振動能量的量子表達式為（1）試用量子統(tǒng)計的方法計算振動配分函數(shù)；（2）計算振動內(nèi)能U和振動定容熱容量CV。

14、12、試根據(jù)三維麥氏速率概率分布律，計算三維自由粒子的速率和動能的漲落。參考：（1） 速率的漲落 所以 （2）能量的漲落 13、試根據(jù)二維麥氏速率概率分布律，試求二維自由粒子的（1）速率分布函數(shù)f(v)；（2）最概然速率、平均速率和方均根速率；（3）速率和動能的漲落。參考：（1）速率分布函數(shù) （2）最概然速率令 解出 平均速率 方均根速率 （3）速率的漲落14、導出含有N個原子的愛因斯坦固體的內(nèi)能和熱容量表達式： ， 參考：按愛因斯坦假設，將N個原子的運動視為3N個線性諧振子的振動，且所有諧振子的振動頻率相同。諧振子的能級為：則，振子的配分函數(shù)為： 引入愛因斯坦特征溫度：，即得：15、 導出愛

15、因斯坦固體的熵表達式：解：設固體系統(tǒng)含有N個原子，按愛因斯坦假設，將N個原子的運動視為3N個線性諧振子的振動，且所有諧振子的振動頻率相同。諧振子的能級為：則，振子的配分函數(shù)為：16、順磁固體體積V中N個磁性離子定域在晶體的特定格點上，在密度較低，彼此相距足夠遠時相互作用可以忽略，這時順磁性固體可以當作定域系統(tǒng)。假定磁性離子磁矩在外磁場B中有兩個非簡并的分離能級=±B。試求（1）配分函數(shù)；（2）物態(tài)方程；（3）順磁固體的內(nèi)能（4）順磁固體的熵。 參考：（1）配分函數(shù) （2）內(nèi)能 （3）熵第八章 玻色和費米統(tǒng)計知識點1、玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計中熱力學量的統(tǒng)計表達式。2、弱簡并理想玻色氣體和費

16、米氣體。3、玻色系統(tǒng)在臨界溫度以下的玻色愛因斯坦凝聚。4、將輻射場（平衡輻射）視為光子氣體，應用玻色統(tǒng)計處理的結(jié)果。5、將金屬中的自由電子視為自由電子氣體，用費米統(tǒng)計處理的結(jié)果。復習題1、簡述弱簡并下理想費米氣體和理想玻色氣體的等效附加內(nèi)能和相互作用的性質(zhì)。參考：弱簡并費米氣體的附加內(nèi)能為正而弱簡并玻色氣體的附加內(nèi)能為負。量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)使費米子間出現(xiàn)等效的排斥作用，玻色粒子間則出現(xiàn)等效的吸引作用。2、比較絕對零度下理想費米氣體和玻色氣體性質(zhì)。參考：在絕對零度下理想玻色氣體將全部處于基態(tài)，而實際上理想玻色氣體在低于臨界溫度時就有宏觀量級的玻色子開始在基態(tài)聚集，出現(xiàn)玻色愛因斯坦凝聚現(xiàn)象。處于基態(tài)的玻

17、色子稱為玻色凝聚體，玻色凝聚體的能量、動量、速度、壓強和熵均為零。 理想費米氣體在絕對零度時按泡利不相容原理，不能全部處于基態(tài)，只能依次占據(jù)從基態(tài)到費米能級的各激發(fā)態(tài)，因此在絕對零度下費米系統(tǒng)的費米能量、費米動量、費米速度和費米壓強均不為零，只有熵為零，符合熱力學第三定律。3、寫出普朗克公式和維恩位移公式；用維恩位移公式解釋可以通過人眼的色覺判斷輻射體溫度的相對高低的原因。簡答：普朗克公式 和維恩位移公式為 人眼觀測輻射體時，只能感受輻射能量密度最強的頻段（極值點附近），根據(jù)維恩位移定律，輻射體溫度與峰值頻率成正比，因此，輻射體溫度越高，峰值頻率值越大，表觀上程藍或紫色。反之， 輻射體溫度越低

18、，峰值頻率越小，表觀上程紅色。因此，可由輻射體的顏色定性判斷輻射體溫度的相對高低。4、簡述玻色愛因斯坦凝聚現(xiàn)象；談談玻色愛因斯坦凝聚與氣-液相變之間的差別。參考：（1）玻色愛因斯坦凝聚是量子效應的結(jié)果，它是在動量空間發(fā)生的凝結(jié)，而氣體凝結(jié)成液體是在坐標空間發(fā)生的凝結(jié)。 （2）發(fā)生氣-液相變必須存在分子之間的相互作用力，沒有相互作用相變是不可能發(fā)生的。玻色愛因斯坦凝聚是對理想玻色氣體而言的，粒子之間已忽略相互作用，由于微觀粒子全同性原理引起的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)所導致的附加內(nèi)能為負，玻色粒子間出現(xiàn)等效的吸引作用從而使得“相變”成為可能。5、將空窖輻射視為平衡態(tài)光子氣體系統(tǒng)，光子是能量為的玻色子，試由玻色分布，導出普朗克黑體輻射公式：。 參考：在體積V內(nèi)，動量在 范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為：由，可得：故，在體積V內(nèi)，能量在范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為：根據(jù)玻色分布，在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為：故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為：6、已知光子氣體的巨配分函數(shù)的對數(shù)。利用玻色系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計表達式計算光子氣體的（1）內(nèi)能；（2）物態(tài)方程；（3）熵；（4）斯特藩玻耳茲曼常量。參考：（1） （2） （3） （4）由斯特藩玻耳茲曼定律 其中7、若已知光子氣體的巨熱力學勢用熱力學特性函數(shù)的方法求光子氣