2021版高中數(shù)學第二章數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項和(一)學案新人教A版必修5

1、2.5等比數(shù)列的前n項和(一)學習目標1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路 .2.會用等比數(shù)列的前 n項和公 式解決有關等比數(shù)列的一些簡單問題.匚知退櫬理自主學習 知識點一等比數(shù)列前n項和公式1 等比數(shù)列前n項和公式ai (1 - qn)ai anq(1) 公式：$= iq1q(q ，na (q= 1).(2) 注意：應用該公式時，一定不要忽略q= 1的情況.2 等比數(shù)列前n項和公式的使用公比ql時，公式S=a1 (1- qn)1 q適用于a1 anqa1, q和項數(shù)n，而公式S = T適用于a, q和末項an,使用時依據條件靈活選用.思考 設 f(n) = 2 + 24+ 27+ 2

2、3n+1 (n N*)，那么 f(n)等于()2 n2 n+1A. 7(8 1) B. 7(8 1)C.|(8n+ 2 1) D. |(8n+3 1)答案/n + 1、解析473n+ 1f ( n) = 2+ 2 + 2 + 22 (18 )182n+ 11) 知識點二錯位相減法1 推導等比數(shù)列前 n項和的方法一般地，等比數(shù)列an的前n項和可寫為：$= a1+ aq+ aq + aq ，用公比q乘的兩邊，可得2n 1nqS= a1 + aq + + aq + aq，由一，得(1 q) S= a1 ag ,a1 (1 qn)整理得 S = (qz 1) 1 q -2 我們把上述方法叫錯位相減法，

3、一般適用于數(shù)列an bn前n項和的求解，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，且qz 1.題型探究題型一等比數(shù)列根本量的計算例1在等比數(shù)列an中,S2 = 30, S3= 155，求 Sn；5a1 + a3 = 10, a4+ a6= 4，求 S；a1 + an = 66, a2an1 = 128, S = 126，求 q.(1)由題意知a1 (1 + q)= 30,2a1 (1 + q+ q )= 155,a1 = 5,解得q= 5,ai = 180,5q=-6.1從而S= 4X51 080 X 1 -(- 6) n5n+1-4或 $=石 (2)方法一由題意知2a1+ aq = 10,355a

4、q + ag = 4,a1 = 8,解得 1q=2'從而 s= a-q)1-q312方法二由(a1 + a3)q = a4 + a6,3 1 1得q = 8從而q= 2 又 a1 + a3 = a1(1 + q2) = 10,5所以a=8,從而0=)31(3)因為 a2an-1 = a$n= 128, 所以a, an是方程x2-66x+ 128= 0的兩根.ai = 2,an= 2,從而 an= 64 或 a1= 64.又 S=靑=126,反思與感悟(1)在等比數(shù)列an的五個量ai, q, an, n, S中，其中的三個量，通過列方程組求解，就能求出另兩個量，這是方程思想與整體思想在數(shù)

5、列中的具體應用.(2)在解決與前n項和有關的問題時，首先要對公比q= 1或ql進行判斷，假設兩種情況都有 可能，那么要分類討論.跟蹤訓練1在等比數(shù)列an中，(1)假設 ai = #2 , an = 16 2, Si= 11“2，求 n 和 q； S4= 1, S8= 17,求 a，.解(1)由Sn=字四得11 2 =£3,1 - q¥1 - qq = 2,又由 a= aq" 1 得 16 2 =寸2( 2)" 1,n = 5.(2)假設 q= 1,貝U S8= 2S4，不合題意， qz 1, 廠 a1 (1 q52n 3 2n 1 Sn= 1 + + &

6、#39; 2 +n 2 +n 1， 2 2 2 2)廠 a1 (1 q8) S4= -= 1, S8 = -= 17,1 q1 q兩式相除得14 = 17= 1 + q4,1 qq = 2 或 q= 2,-5,1n 1n 1- an= 15 2 或5 ( 2).題型二錯位相減法求和例2 設an是等差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1 = b1 = 1, a3+ b5= 21,空+b3= 13.(1) 求an , bn的通項公式；an 求數(shù)列R的前n項和Sn.解(1)設an的公差為d, bn的公比為q.41 + 2d+ q = 21, d= 2 由題意有q> 0且q2解得 ，1 +

7、 4d+ q = 13, q= 2.n 1 an= 1 + (n 1) x 2= 2n 1, bn= 2 .an 2n 1(2) 由(1)知 = - ,1 1 32n 5 2n 3 2n 1 2S1= 2t + 2 + 2n2 + 21 + 2，得1 22222n 1S= 1 + + 2+ n 2 + 一 n2 2 2 2 2 211112n 1=1 + 2(2 + 2+ 2'n! + 2)一 2=1 + 2X21 -( 2)n111-22n 12n+ 3丁 = 3 一2n Sn= 6 礬.反思與感悟 一般地，如果數(shù)列an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和 時，可以采

8、用錯位相減法在作差時，要注意第一項與最后一項的處理有時還要注意對公 比q的討論.跟蹤訓練2 求數(shù)列 nxn的前n項和.解當x = 0時，S= 0.(2)當 x = 1 時,n (n+ 1)2_當x工0且XM1時，Sn= x + 2x2 + 3x3+ (n 1) xn 1+ nxn, xS= x2 + 2x3+ (n 1) xn+ nxn+1,得，2 | 3nn+ 1(1 x)S= x + x + x + x nxx (1 xn)1 xn+ 1nxxn+ 1n二 Sn= ( 1 x)2 nx (n+ 1)x +1,n (n+ 1)2(x= 1),x(1 x).Sn=0 ( x = 0),2 nx

9、n+1( n+ 1) xn+ 1 (x豐0且x* 1)題型三等差、等比數(shù)列的綜合問題2例3 數(shù)列an的前n項和S= 3n + 8n, bn是等差數(shù)列，且 an= bn+ bn+1.(1)求數(shù)列bn的通項公式；令Cn =(an+ 1 )(bn+ 2)n+ 1，求數(shù)列Cn的前n項和Tn.解 1由題意知，當n?2時，an = S S1= 6n+ 5. 當n = 1時，a1 = S = 11，符合上式.所以a= 6n+ 5.設數(shù)列bn的公差為d,a1 = b1 + b2,11 = 2b1 + d,由即a2 = ba + b3,17 = 2b1 + 3d,可解得b = 4, d= 3.所以 bn= 3n

10、+ 1.n + 1 由(1)知 Cn=( 3n + 3)n = 3( n+1) 2 又 Tn= C1 + C2+ Cn.得 Tn= 3X 2 X 2 2+ 3X 2 3+ (n+1) X2n+1.2T= 3X 2 X 2 3 + 3X 2 4+-+ (n+ 1) X2 n+2.兩式作差，得Tn= 3X 2 X 2 2+ 23+ 24+ 2n+1 (n+ 1) X2 n+ j=3X 4 +4 (1- 2")1 2(n+ 1)X2n+ 2=3n 2n+ 2所以T>= 3n2反思與感悟利用等比數(shù)列前n項和公式時注意公比 q的取值，同時對兩種數(shù)列的性質，要熟悉它們的推導過程，利用好性質

11、，可降低題目的難度，解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程 組求解.跟蹤訓練3 在等比數(shù)列an中，az = 3, as= 81.1求an及其前n項和$；1設bn= 1 + lOg 3an,求數(shù)列 & . "+1的前 項和 .解1設an的公比為q,依題意得 因此，an= 3n-1, S=晉=寧a1q = 34 一aq = 81，解得a1= 1q= 3(2)由(1)知 bn= 1 + log 3an = 1 + (n 1) = n,1 1 1 1那么 =一一bnbn+1 n (n+ 1) n n+ 1'1 1 111=11+22310 111 10=1 11=訐易錯點應用爭比數(shù)列

12、前h項和公式時無視分類 討論麺誤例4 等比數(shù)列1, 2a, 4a2, 8a3,的前n項和S=錯解$= V 錯因分析 無視等比數(shù)列前n項和公式的應用條件， 未對等比數(shù)列的公比 2a分類討論，導致錯誤.正解公比為q= 2a,當 2a= 1,即卩 a= *時，2a= 1, S= n；1當qz 1,即卩a*2時,2a* 1，那么 $=1 12a)nn,答案n1 -(2a) n1 2a1a=2,誤區(qū)警示準確理解公式，重視分類討論應用等比數(shù)列前n項和公式時，要注意公比 q是否為1,因為等比數(shù)列前 n項和公式是“分段函數(shù)形式假設題中公比不明確，要分情況討論，如本例，公比為q= 2a，應該分 2a= 1,2a

13、* 1兩種情況討論，否那么結論就不完整.戸當堂檢測1. 等比數(shù)列an的首項a1= 3，公比q= 2,貝U S等于A. 93-93C. 4545答案55解析ca1 (1 q )3 (1 2 )S= 93.1 q1 22.在等比數(shù)列an中， a1 + a2 + a3= 6, a?+ a3 + a4= 3，那么 a3+ a4+ as+ a6+ a?等于()1119A B.816C.8 D.答案A解析a2 + a3 + a42a2 (i + q+ q )解析ai + a2 + a3ai (i + q+ q2)a2i=ar7= 2，由 ai + 82 + a3 = 6,且 q = 2，得 已“ =8，1

14、可得 a2= aiq = 8x 2 = 4, a3+ a4+ a5+ a6+ a?= S ai a2=i qai a2=8i -(- *) 7iii ( 2)3. 設等比數(shù)列an的公比q= 3，前n項和為S,那么 設數(shù)列an的前 n 項和為 Sn.假設 S2 = 4, an+1 = 2S+ i, n N，那么 ai =, S5 =答案 i i2ia2= 2ai + i,解析由a2 + ai = 4,解得 a= i, a2= 3,當n?2時，由可得: an+i = 2S+ i，等于a2答案解析由題意得 s40a2=亍404ai( i 3)S= 40ai，又 a2= 3ai,i 3一得an + 1 an = 2an ,-an+1 = 3an,又 a2= 3ai, an是以ai = 1為首項，公比q= 3的等比數(shù)列.S5 =121.1 ix1 31 在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1, an, n, q, S,其中首項a1和公比q為根本量，且"知三求二.2. 前n項和公式的應用中， 注意前n項和公式要分類討論， 即ql和q= 1時是不同的公式 形式，不可忽