場論與張量基本知識

1、激光等離子體流體力學基礎激光等離子體流體力學基礎場論與張量基本知識 1.1 場的定義及分類場的定義及分類 一般情況下流體的各種物理量一般情況下流體的各種物理量( (如溫度、壓如溫度、壓力和速度等力和速度等) )是沿空間變化的，用場論的符是沿空間變化的，用場論的符號和方法描述這些變化有很大的優(yōu)點：號和方法描述這些變化有很大的優(yōu)點：n 形式簡潔；形式簡潔；n 與坐標系無關；與坐標系無關；n 每一符號都有明確的物理內涵。每一符號都有明確的物理內涵。 1.1.1 標量、向量與張量標量、向量與張量 標量標量：是一維的量，它只須一個數(shù)量及單：是一維的量，它只須一個數(shù)量及單位來表示，它獨立于坐標系的選擇。流

2、體位來表示，它獨立于坐標系的選擇。流體的溫度、密度、濃度等均是標量。的溫度、密度、濃度等均是標量。 1.1.1 標量、向量與張量標量、向量與張量 向量：向量：是三維的量，它不僅有數(shù)量的大小，是三維的量，它不僅有數(shù)量的大小，而且有指定的方向，它必須由某一空間坐標而且有指定的方向，它必須由某一空間坐標系的系的3個坐標軸方向的分量來表示，與坐標系個坐標軸方向的分量來表示，與坐標系的選擇密切相關。的選擇密切相關。流體質點的空間位置向量流體質點的空間位置向量 xx1 ix2 jx3 k流體質點的流速向量流體質點的流速向量 uu1 iu2 ju3 k (i、j、k是三個坐標方向的單位向量是三個坐標方向的單

3、位向量)1.1.1 標量、向量與張量標量、向量與張量 張量：張量：三維空間中的二階張量是一個九維的量，三維空間中的二階張量是一個九維的量，必須用必須用9個分量才能完整地表示一個二階張量。個分量才能完整地表示一個二階張量。流體力學中常用的二階張量：應力張量、變形流體力學中常用的二階張量：應力張量、變形速率張量等。速率張量等。在三維空間中，在三維空間中，n階張量由階張量由3n個分量組成。個分量組成。擴展擴展：標量為零階張量，向量為一階張量。標量為零階張量，向量為一階張量。 1.1.2 場場 在空間中的某個區(qū)域內的每一點都對應在空間中的某個區(qū)域內的每一點都對應著某物理量的一個確定的值，則稱在這個空著

4、某物理量的一個確定的值，則稱在這個空間區(qū)域上確定了該物理量的一個場。間區(qū)域上確定了該物理量的一個場。 標量場標量場：空間區(qū)域：空間區(qū)域D的每一點的每一點M(x, y, z)都對應于一個數(shù)量值都對應于一個數(shù)量值 (x, y, z)，就稱它們在，就稱它們在此空間區(qū)域此空間區(qū)域D上構成一個標量場。上構成一個標量場。 例如：溫度場例如：溫度場T(x, y, z)、密度場、密度場(x, y, z)等都是標量場。等都是標量場。1.1.2 場場 向量場向量場：空間區(qū)域：空間區(qū)域D的每一點的每一點M(x,y,z)都對應于一個都對應于一個向量值向量值A(x,y,z)，就稱它們在此空間區(qū)域，就稱它們在此空間區(qū)域D

5、上構成一上構成一個向量場。個向量場。例如：速度場例如：速度場u(x,y,z)、加速度場、加速度場a(x,y,z)等都是向量等都是向量場。場。張量場張量場：空間區(qū)域：空間區(qū)域D的每一點的每一點M(x,y,z)都對應于一個都對應于一個張量值張量值B(x,y,z)，就稱它們在此空間區(qū)域，就稱它們在此空間區(qū)域D上構成一上構成一個張量場。個張量場。例如：應力場例如：應力場T(x,y,z)、變形速率場、變形速率場D(x,y,z)等都是等都是張量場。張量場。 1.1.2 場場 在數(shù)學上研究的場對應在流體力學中稱為在數(shù)學上研究的場對應在流體力學中稱為流場：流場：描述流體流動的各種標量場、向量場及張量描述流體流

6、動的各種標量場、向量場及張量場的總和。場的總和。 流場可以分為流場可以分為定常場：場內物理量不依賴于時間，定常場：場內物理量不依賴于時間，即不隨時間改變的場。即不隨時間改變的場。非定常場：非定常場：均勻場：同一時刻場內各點物理量的均勻場：同一時刻場內各點物理量的值都相等。值都相等。不均勻場：不均勻場：還可以分為還可以分為1.2 梯度、散度和旋度及其基本運算梯度、散度和旋度及其基本運算 1.2.1 梯度：標量場不均勻性的量度梯度：標量場不均勻性的量度 在標量場在標量場 (r,t)中任取一點中任取一點M，過，過M點作曲線點作曲線s，n是曲線是曲線s在在M點處的切點處的切線方向，鄰近點為線方向，鄰近

7、點為M，若以下極限，若以下極限存在存在則稱其為標量場則稱其為標量場 (r,t)在在M點處沿點處沿n方向的變化率。方向的變化率。 MMMMMM)()(lim0sMMn1.2.1 梯度：標量場不均勻性的量度梯度：標量場不均勻性的量度 由于曲線由于曲線s是任意的，是任意的，n方向隨曲線方向隨曲線s變化。過變化。過M點所有點所有可能的方向中存在一個可能的方向中存在一個 的變化率最大的方向。的變化率最大的方向。 梯度梯度(gradient)是一個向量，它的方向即為是一個向量，它的方向即為 變化率最變化率最大的方向，其大小就是這個最大變化率的數(shù)值。梯度是標大的方向，其大小就是這個最大變化率的數(shù)值。梯度是標

8、量場不均勻性的量度，記為量場不均勻性的量度，記為grad 。在直角坐標系中。在直角坐標系中 是哈密頓算子是哈密頓算子(Hamilton operator)，讀作，讀作nabla。它。它具有向量與微分的雙重性質。具有向量與微分的雙重性質。zyxzyxkjikjigradzyxkji 定義內具有在平面區(qū)域設函數(shù)Dyxfz),(?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)在點函數(shù)在點問題問題P, jyfixf ),(yxgradfjyfixf 一階連續(xù)偏導數(shù)，DyxP),(則對于每一點都可定義出一個向量這向量的梯度，在點稱為函數(shù)),(),(yxyxfz 記為 sincosyfxflf s

9、in,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 當當1),(cos( eyxgradf時，時，lf 有有最最大大值值.設設jie sincos 是是方方向向 l上上的的單單位位向向量量，由方向導數(shù)公式知由方向導數(shù)公式知),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xoy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(yxgradf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量P1.2.1

10、 梯度：標量場不均勻性的量度梯度：標量場不均勻性的量度 物理量物理量 沿任一方向沿任一方向(其單位向量為其單位向量為n0)的變化率為的變化率為 (數(shù)量積、點乘數(shù)量積、點乘)兩個向量的點乘是標量兩個向量的點乘是標量 (i=x,y,z)此處用到了此處用到了愛因斯坦求和約定愛因斯坦求和約定：同一項中下標：同一項中下標i重重復出現(xiàn)兩次，表示須將所有這個下標的取值各項復出現(xiàn)兩次，表示須將所有這個下標的取值各項相加，這種下標稱為相加，這種下標稱為重復指標重復指標或或啞標啞標。 grad0n kjikjiuuzyxzyxuuuvvvvviizzyyxxuuuuvvvv1.2.1 梯度：標量場不均勻性的量度梯

11、度：標量場不均勻性的量度 梯度基本運算法則梯度基本運算法則： (C為常數(shù)) CC )(2121)(122121)()(ff1.2.2 向量場的散度向量場的散度 (1) 向量向量A通過通過S面的通量面的通量 在向量場在向量場A(r,t)內取一曲內取一曲面面S(可以是封閉的，也可以可以是封閉的，也可以是不封閉的是不封閉的)，在，在S面上取一面上取一面積元面積元dS，在，在dS上任取一點上任取一點M，作，作S面在面在M點的法線。若點的法線。若曲面是封閉的，則通常取外曲面是封閉的，則通常取外法線為正方向，若曲面不封法線為正方向，若曲面不封閉，則可約定取某一方向為閉，則可約定取某一方向為法線正方向。法線

12、正方向。 MSdsnA1.2.2 向量場的散度向量場的散度 (1) 向量向量A通過通過S面的通量面的通量 圖中圖中n是是S面上法線方向的單位向量，面上法線方向的單位向量，A表示表示M點的向點的向量，則量，則是是A在在S面法線方向面法線方向n的投影。的投影。 定義定義 AndS為向量為向量A通過面積元通過面積元dS的通量，該通量沿的通量，該通量沿曲面曲面S的積分的積分 稱為向量稱為向量A通過曲面通過曲面S的通量。的通量。 定義面積向量定義面積向量 ，則上述通量也可表示為，則上述通量也可表示為如果如果S是封閉曲面，則向量是封閉曲面，則向量A通過曲面通過曲面S的通量可寫成的通量可寫成),cos(),

13、cos(),cos(knjninnAzyxnAAAASnSA dnSSddSSSnSSASAnAdddSSSnSSAdddnASAMSdsnA1.2.2 向量場的散度向量場的散度 (2) 向量向量A的散度的散度 在向量場在向量場A中任取一點中任取一點M，包圍，包圍M作一微小體積作一微小體積V，其界面的表面積為其界面的表面積為S?？紤]向量?？紤]向量A通過通過S面的通量，除以面的通量，除以體積體積V，令體積，令體積V向向M點無限收縮，得極限點無限收縮，得極限 若此極限存在，則稱之為向量場若此極限存在，則稱之為向量場A在點在點M處的處的散度散度(divergence)，記為，記為divA。向量。向量

14、A的散度是對單位體積而言的散度是對單位體積而言向量向量A通過微小體積通過微小體積V的界面的界面S的通量，它是一個不依賴的通量，它是一個不依賴于坐標系選取的數(shù)量，因此是一個標量。散度于坐標系選取的數(shù)量，因此是一個標量。散度divA組成一組成一個標量場。個標量場。 VSSVdlim0nA1.2.2 向量場的散度向量場的散度 (2) 向量向量A的散度的散度 在直角坐標系中，在直角坐標系中，AAx iAy jAz k散度等于零散度等于零(divA0)的向量場稱為的向量場稱為無源場無源場或管式或管式場。場。div u0是不可壓縮流體流動的連續(xù)性方程。是不可壓縮流體流動的連續(xù)性方程。 散度基本運算法則散度

15、基本運算法則： zAyAxAzyxAAdiv2121)(AAAAAAA)(1.2.3 向量場的旋度向量場的旋度 (1) 向量向量A的環(huán)量的環(huán)量 在向量場在向量場A(r, t)內取一曲線內取一曲線L(可以是封閉的，也可可以是封閉的，也可以是不封閉的以是不封閉的)，向量，向量A沿該曲線作線積分沿該曲線作線積分稱該線積分為向量稱該線積分為向量A沿曲線沿曲線L的的環(huán)量環(huán)量。若是。若是L封閉封閉曲線，則稱為向量曲線，則稱為向量A沿封閉曲線沿封閉曲線L的環(huán)量。的環(huán)量。 LzyxLzAyAxA)ddd(dlALlA d1.2.3 向量場的旋度向量場的旋度 (2) 向量向量A的旋度的旋度 在向量場在向量場A中

16、任取一點中任取一點M，過，過M點取任一方點取任一方向向n，以，以n為法向作一微小面積為法向作一微小面積S，其邊界為，其邊界為l。若若 以下極限存在以下極限存在 則稱之為向量場則稱之為向量場A在點在點M處沿處沿n方向上的環(huán)量面方向上的環(huán)量面密度。密度。在過在過M點的所有方向中存在一個環(huán)量面密度最點的所有方向中存在一個環(huán)量面密度最大的方向。大的方向。 SlSlA dlim0MS1.2.3 向量場的旋度向量場的旋度 (2) 向量向量A的旋度的旋度 旋度旋度(curl)是一個向量，它的方向即為環(huán)量面密度最是一個向量，它的方向即為環(huán)量面密度最大的方向，其大小就是這個最大的環(huán)量面密度的數(shù)值，記大的方向，其

17、大小就是這個最大的環(huán)量面密度的數(shù)值，記為為rot A或或curl A。在直角坐標系中在直角坐標系中旋度是哈密頓算子旋度是哈密頓算子 與向量與向量A的向量積的向量積(即叉乘即叉乘)。兩個向量。兩個向量u和和v的叉乘為一個向量的叉乘為一個向量w，其大小為，其大小為wuv sin ( 為為u與與v的的夾角夾角)，方向垂直于，方向垂直于u與與v兩個向量形成的平面，按右手定則兩個向量形成的平面，按右手定則確定其指向，確定其指向，wuv 。按照這一規(guī)則，有：。按照這一規(guī)則，有：uv-vu，ijk 。 AkjiAzyxAAAzyxrot1.2.3 向量場的旋度向量場的旋度 (2) 向量向量A的旋度的旋度 旋

18、度等于零旋度等于零(rot A0)的向量場稱為無的向量場稱為無旋場。旋場。rot u0代表一無旋流場。代表一無旋流場。 旋度基本運算法則旋度基本運算法則：2121)(AAAAAAA)(1.2.4 高斯高斯(Gauss)公式及其推廣公式及其推廣 數(shù)學中的數(shù)學中的高斯定理高斯定理(Gausss theorem)將體積將體積積分與面積積分聯(lián)系起來，在流體力學中，可以積分與面積積分聯(lián)系起來，在流體力學中，可以利用這一定理將利用這一定理將通量與散度通量與散度聯(lián)系在一起。聯(lián)系在一起。 令令V為一封閉曲面所包圍的體積，在曲面上為一封閉曲面所包圍的體積，在曲面上考慮一微小面積考慮一微小面積dS，其外法線方向為

19、，其外法線方向為n，dSndS是一向量是一向量(其大小為其大小為dS，方向為，方向為n)，令，令A表示一個表示一個標量場、向量場或張量場，則高斯公式為標量場、向量場或張量場，則高斯公式為 SVSVddnAA1.2.4 高斯高斯(Gauss)公式及其推廣公式及其推廣 高斯公式的推廣高斯公式的推廣形式有： SVSVddnSVSVddAnASVSVd)(d)(AnBABSVSVdd)(n1.2.5 斯托克斯定理斯托克斯定理 lS d d)rot(lASA 同高斯定理類似，從數(shù)學角度可以認為同高斯定理類似，從數(shù)學角度可以認為斯托克斯斯托克斯定理定理建立了建立了面積分和線積分的關系面積分和線積分的關系。

20、從物理角度可以理解為。從物理角度可以理解為斯斯托克斯托克斯定理建立了區(qū)域定理建立了區(qū)域 S 中的場和包圍區(qū)域中的場和包圍區(qū)域 S 的閉合曲線的閉合曲線 l 上的場之間的關系。上的場之間的關系。 如果已知區(qū)域如果已知區(qū)域 S 中的場，根據(jù)斯托克斯定理即可求出中的場，根據(jù)斯托克斯定理即可求出邊界邊界 l 上的場，上的場，反之亦然。反之亦然。lS d d)(lASA或者寫為或者寫為1.2.6 基本運算公式列表基本運算公式列表 a、微分公式、微分公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 2121122121 ffBABAAAA)(BAABBABABAAAA)(ABB

21、ABAABBA1.2.6 基本運算公式列表基本運算公式列表 a、微分公式、微分公式 (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) BAABBAABBAAAAA22A20A0AAA212121)(2121122121.2.6 基本運算公式列表基本運算公式列表 b、積分公式、積分公式(高斯公式及其推廣式高斯公式及其推廣式) (18) (19) (20) (21) (22) (23) SVSVddnSVSVddnAASVSVddAnASVSVd)(d)(AnBABSVSVdd2nSVSVd)(d2AnA1.3 張量的表示法及張量的定義張量的表示法及張量的定義 近代連

22、續(xù)介質力學和理論物理中廣泛采用張量。近代連續(xù)介質力學和理論物理中廣泛采用張量。這不僅因為采用張量表示基本方程書寫高度簡煉且這不僅因為采用張量表示基本方程書寫高度簡煉且物理意義鮮明，更重要的是因為連續(xù)介質力學中出物理意義鮮明，更重要的是因為連續(xù)介質力學中出現(xiàn)的一些重要物理量如現(xiàn)的一些重要物理量如應力、應變應力、應變等本身就是張量。等本身就是張量。 在標量和向量的定義中，強調在標量和向量的定義中，強調客觀存在的物理客觀存在的物理量是不依賴坐標系而存在的不變量量是不依賴坐標系而存在的不變量，例如質量的大，例如質量的大小，速度的方向和大小等，這種定義方式比較直觀小，速度的方向和大小等，這種定義方式比較

23、直觀易于理解。易于理解。張量所表示的物理量也是客觀存在的，張量所表示的物理量也是客觀存在的，也具有與坐標系無關的特性。也具有與坐標系無關的特性。 1.3 張量的表示法及張量的定義張量的表示法及張量的定義 在笛卡爾直角坐標系中定義的張量稱為笛卡爾在笛卡爾直角坐標系中定義的張量稱為笛卡爾張量，而在任意曲線坐標系中定義的張量則稱為普張量，而在任意曲線坐標系中定義的張量則稱為普遍張量。研究基礎流體力學問題只需用到遍張量。研究基礎流體力學問題只需用到笛卡爾張笛卡爾張量量方面的知識，因此，本課程只限于研究笛卡爾張方面的知識，因此，本課程只限于研究笛卡爾張量。量。 張量的特征：存在不隨坐標系旋轉而變化的量。

24、張量的特征：存在不隨坐標系旋轉而變化的量。即：即：在坐標系旋轉時其分量按一定規(guī)律變化，因而在坐標系旋轉時其分量按一定規(guī)律變化，因而能維持某些量不變能維持某些量不變。例如：。例如：標量場標量場(零階張量零階張量)的函的函數(shù)值、數(shù)值、向量向量(一階張量一階張量)的大小的大小都不隨坐標系的旋轉都不隨坐標系的旋轉而變化。而變化。 1.3.1 張量表示法張量表示法 由于張量常常包含多個分量，在公式中由于張量常常包含多個分量，在公式中要把涉及的分量一一寫出必然非常繁雜，因要把涉及的分量一一寫出必然非常繁雜，因此規(guī)定下述張量表示法。此規(guī)定下述張量表示法。 (1) 將坐標系改寫成將坐標系改寫成x1，x2，x3

25、； (2) ai表示一個向量，表示一個向量，i是自由指標，可取是自由指標，可取1,2,3。 例如：例如： A的張量可表示為的張量可表示為 。Aiix1.3.1 張量表示法張量表示法 (3) 求和約定。為便于書寫，約定在同一項中求和約定。為便于書寫，約定在同一項中如有兩個自由指標相同時，就表示要對這個指標從如有兩個自由指標相同時，就表示要對這個指標從1到到3求和求和(愛因斯坦求和約定愛因斯坦求和約定)，例如：，例如：332211babababaiia332211xaxaxaxaiijijxbabaiijijixxaxax22aa1.3.1 張量表示法張量表示法 (4) 符號符號 ij 定義為定義

26、為 例如：若例如：若ei是正交坐標軸是正交坐標軸qi的單位向量，則有的單位向量，則有 ij常稱為克羅內克常稱為克羅內克(Kronecker) 符號。符號。jijiij,10ijjiee1.3.1 張量表示法張量表示法 (5) 置換符號置換符號 ijk定義為定義為 例如：例如：又如行列式又如行列式 )(1)(10132321213312231123等如為奇排列、，等如為偶排列、，中有兩個以上指標相同、，,kjikjikjiijkkjijkbabajkijkxaa321333231232221131211kjiijkaaaaaaaaaaaa1.3.2 張量的定義張量的定義 例：設例：設e1, e2

27、, e3和和e 1, e 2, e 3分別是舊的和新的分別是舊的和新的直角坐標系中的單位向量，則新舊單位向量之間存直角坐標系中的單位向量，則新舊單位向量之間存在如下關系在如下關系其中其中 aijeiej (i,j1,2,3) 是兩個坐標系中不同坐標是兩個坐標系中不同坐標軸夾角的余弦。軸夾角的余弦。 采用張量表示法則上式可簡化成采用張量表示法則上式可簡化成333232131332322212123132121111eeeeeeeeeeeeaaaaaaaaajijia ee jjiia ee1.3.2 張量的定義張量的定義 現(xiàn)考慮向量現(xiàn)考慮向量A。A1,A2,A3和和A 1,A 2,A 3分別是向

28、分別是向量量A在舊坐標軸上和新坐標軸上的投影。顯然，它在舊坐標軸上和新坐標軸上的投影。顯然，它們之間應有如下關系們之間應有如下關系也可簡寫成也可簡寫成 上述關系式是在坐標變換時向量的分量所應遵循的上述關系式是在坐標變換時向量的分量所應遵循的規(guī)則。規(guī)則。 333232131333232221212231321211111AAAAAAAAAAAAeAeAeAjijiAAjjiiAA1.3.2 張量的定義張量的定義 另有一向量另有一向量B，在坐標變換時其分量也應遵循以上規(guī)則，在坐標變換時其分量也應遵循以上規(guī)則，即即或記為或記為考慮向量考慮向量A與與B的分量分別相乘，得到的分量分別相乘，得到9個量，將

29、這個量，將這9個量作個量作為某一量的分量，即為某一量的分量，即 若在坐標旋轉時該量的分量若在坐標旋轉時該量的分量Cij的變化滿足的變化滿足Ai和和Bj所應遵所應遵循的規(guī)則，即循的規(guī)則，即則稱該量為二階張量，并常用其分量的符號則稱該量為二階張量，并常用其分量的符號Cij表示。表示。jijiBBljljBBlljjBBjiijBAC klljkilljkkijiijCBABAC1.3.2 張量的定義張量的定義 由此可將一般由此可將一般n階張量定義階張量定義如下：設在每一個如下：設在每一個坐標系內給出坐標系內給出3n個數(shù)個數(shù)Apqrst，當坐標旋轉時這些數(shù)，當坐標旋轉時這些數(shù)按以下公式按以下公式轉換

30、，則此轉換，則此3n個數(shù)定義一個個數(shù)定義一個n階張量。階張量。 個指標個指標nnstpqrmtlsrkqjpilmijkAA1.4 張量的代數(shù)運算張量的代數(shù)運算 張量作為向量概念的拓展，其運算法則張量作為向量概念的拓展，其運算法則也與向量有類似之處。也與向量有類似之處。 (1) 張量的加減張量的加減 兩個二階張量的對應分量相加或相減，兩個二階張量的對應分量相加或相減，得到一個新的二階張量得到一個新的二階張量ijijijBAC1.4 張量的代數(shù)運算張量的代數(shù)運算 (2) 張量的乘積張量的乘積 兩張量相乘定義為兩張量相乘定義為分量的遍乘分量的遍乘。m階張量與階張量與n階張量相階張量相乘得到乘得到(

31、m+n)階張量。例如：向量與向量相乘得到二階張量，階張量。例如：向量與向量相乘得到二階張量，向量與二階張量相乘得到三階張量。向量與二階張量相乘得到三階張量。 張量張量P與與Q的乘積常記為的乘積常記為PQ。 (3) 張量收縮張量收縮 設設n階張量的分量中有兩個下標相同，根據(jù)求和約定，階張量的分量中有兩個下標相同，根據(jù)求和約定，則得到具有則得到具有n-2個下標的量，即共個下標的量，即共3n-2個分量，為個分量，為n-2階張量，階張量，稱為張量收縮。稱為張量收縮。例如：二階張量例如：二階張量Cij收縮后為收縮后為CiiC11C22C33，即標量。，即標量。 jkiijkBAT1.4 張量的代數(shù)運算張

32、量的代數(shù)運算 (4) 張量的內積張量的內積 張量的內積是向量內積的拓展。在張量乘積張量的內積是向量內積的拓展。在張量乘積PQ中，中，m階階張量張量P和和n階張量階張量Q中各取出一下標收縮一次后得到中各取出一下標收縮一次后得到m+n-2階階張量，稱為張量張量，稱為張量P和和Q的內積，以的內積，以PQ表示。表示。 兩個二階張量的內積得到一個新的二階張量兩個二階張量的內積得到一個新的二階張量 二階張量和向量的內積為一新向量二階張量和向量的內積為一新向量一般來說，一般來說， 。 nmmnjiijQPeeeeQPnijnijnijmmnijQPQPeeee mmjiijAPeeeAPijijimjmij

33、APAPee jiijmmPAeeePAjmjmjmiijmPAPAee PAAP1.5 二階張量二階張量 二階張量在流體力學中用得最多，現(xiàn)研究其特性。二階張量在流體力學中用得最多，現(xiàn)研究其特性。1.5.1 二階張量的主值和主軸二階張量的主值和主軸 設設P為二階張量，將其對任意非零向量為二階張量，將其對任意非零向量A作如下作如下內積，得到空間中的另一向量內積，得到空間中的另一向量B。 若若B與與A共線，即共線，即則稱則稱向量向量A的方向為張量的方向為張量P的主軸方向的主軸方向，標量，標量稱為稱為張量張量P的主值的主值。 BAPAB1.5.1 二階張量的主值和主軸二階張量的主值和主軸 現(xiàn)求張量的

34、主值和主軸方向?，F(xiàn)求張量的主值和主軸方向。 由由 展開得展開得 這是確定向量這是確定向量A分量分量A1,A2,A3的線性齊次代數(shù)方的線性齊次代數(shù)方程。要使此方程有不全為零的解，必須有程。要使此方程有不全為零的解，必須有AAP333323213123232221211313212111AApApApAApApApAApApAp0333231232221131211ppppppppp1.5.1 二階張量的主值和主軸二階張量的主值和主軸 對對展開上述行列式展開上述行列式 這是確定這是確定的三次代數(shù)方程。它有三個根，可以是三個的三次代數(shù)方程。它有三個根，可以是三個實根，也可以是一個實根，二個共軛復根。

35、實根，也可以是一個實根，二個共軛復根。 求出主值求出主值后，代入上述線性齊次代數(shù)方程，便可求出后，代入上述線性齊次代數(shù)方程，便可求出A1:A2:A3，由此得出向量，由此得出向量A的方向，即對應于的方向，即對應于值的主軸方向。值的主軸方向。 22122111331331113323322233221123ppppppppppppppp0333231232221131211ppppppppp1.5.2 二階張量的不變量二階張量的不變量 標量是不變量，向量的大小也是不變量，二階標量是不變量，向量的大小也是不變量，二階張量也有不隨坐標旋轉而變化的不變量。張量也有不隨坐標旋轉而變化的不變量。 在上述確定

36、在上述確定的三次代數(shù)方程中，由根和系數(shù)的三次代數(shù)方程中，由根和系數(shù)之間的關系可得到之間的關系可得到 3213322111pppI3231212212211133133111332332222ppppppppppppI3213332312322211312113pppppppppI1.5.2 二階張量的不變量二階張量的不變量 因為是因為是標量，即不變量，由此推斷出張量標量，即不變量，由此推斷出張量P分分量量pij的組合的組合I1、I2、I3也是不變量，分別稱為二階張也是不變量，分別稱為二階張量量P的第一、第二和第三不變量。的第一、第二和第三不變量。1.5.3 共軛張量、對稱張量和反對稱張量共軛張量、對稱張量和反對稱張量 (1) 共軛張量共軛張量 設設 是一個二階張量，則是一個二階張量，則 也是一個也是一個二階張量，稱二階張量，稱Pc為為P的共軛張量。的共軛張量。 (2) 對稱張量對稱張量 設設 是一個二階張量，若分量之間滿足如下關是一個二階張量，若分量之間滿足如下關系系則稱此張量為對稱張量，以則