2021版高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.4.1函數(shù)的零點學(xué)案新人教B版必修1

1、2. 4.1函數(shù)的零點【學(xué)習(xí)目標】1.理解函數(shù)零點的概念 2會求一次函數(shù)、二次函數(shù)的零點3初步了解函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標之間的關(guān)系.問題導(dǎo)學(xué)知識點函數(shù)零點的概念思考函數(shù)的“零點是一個點嗎?思考函數(shù)一定都有零點嗎?梳理 1.函數(shù)的零點如果函數(shù)y= f(X)在實數(shù)a處的值，即，貝U a叫做這個函數(shù)的零點.2方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系方程f(x)= 0?函數(shù)y = f(x)的圖象?函數(shù)y= f(x)3.二次函數(shù)的零點與相應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系判別式AA > 0A = 0A V 0二次函數(shù)y= ax2 + bx+ c(a>0)的圖象b°時三忑5一兀二次方

2、程 ax +bx+ c= 0的根有兩相異實根X1,X2(X1 V X2)有兩相等實根X1 = X2_b =2a沒有實根二次函數(shù)y= ax2 + bx+ c的零點有兩個零點X1 , X2有一個二重零點 X1 =X2沒有零點題型探究類型一求函數(shù)的零點 例1判斷以下函數(shù)是否存在零點，如杲存在，請求出.22x + 4x 12 f(x) =- 8x + 7x+ 1; (2)f(x)=.反思與感悟求函數(shù)零點的兩種方法(1) 代數(shù)法：求方程f(x) = 0的實數(shù)根.(2) 幾何法：對于不易求根的方程 f(x) = 0，可以將它與函數(shù)y = f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象 與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點.跟

3、蹤訓(xùn)練1求以下函數(shù)的零點.2 1(1) f (x) = x -； y = (ax 1)( x + 2).類型二 函數(shù)零點個數(shù)的判斷例2 函數(shù)f (x) = |x2 2x 3| a,求實數(shù)a取何值時函數(shù)f (x) = |x2 2x 3| a, 有兩個零點；有三個零點.引申探究2假設(shè)f(x) = x 2|x| + a 1有四個不同的零點，求 a的取值范圍.反思與感悟 判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法(1) 利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個不同的實數(shù)根就有幾個零點 利用函數(shù)的圖象.畫出y= f(x)的圖象，判斷它與 x軸交點的個數(shù)，從而判斷零點的個數(shù)(3) 轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題.例如，函數(shù)F(x)

4、= f (x) g(x)的零點個數(shù)就是方程 f (x) = g(x)的實數(shù)根的個數(shù)，也就是函 數(shù)y=f(x)的圖象與y= g( x)的圖象交點的個數(shù).跟蹤訓(xùn)練2a R,討論關(guān)于x的方程|x2 6x+ 8| = a的實數(shù)解的個數(shù).類型三 函數(shù)零點性質(zhì)的應(yīng)用例3關(guān)于x的二次方程ax2 2( a+ 1)x+ a 1 = 0有兩個根，且一個根大于 2,另一個 根小于 2，試求實數(shù) a 的取值范圍反思與感悟 解決此類問題可設(shè)出方程對應(yīng)的函數(shù)， 根據(jù)函數(shù)的零點所在的區(qū)間分析區(qū)間端 點函數(shù)值的符號， 建立不等式， 使問題得解 當函數(shù)解析式中含有參數(shù)時， 要注意分類討論 跟蹤訓(xùn)練3關(guān)于x的二次方程x2+ 2m

5、x+ 2耐1 = 0.假設(shè)方程有兩根，其中一根在區(qū)間一 1,0內(nèi)，另一根在區(qū)間1,2內(nèi)，求m的取值范圍.22.函數(shù)y=x 4的圖象與x軸的交點坐標及其函數(shù)的零點分別是()A.(0 ,± 2) ; ± 2B. ( ±2,0) ;±2C.A.(-2,6)B. 2,6(0， 2) ； 2D. ( 2,0) ； 23.如果二次函數(shù) y= x2 + mx+ m+ 3有兩個不同的零點，那么m的取值范圍是()C. ( s, 2) U (6 ,+)D. 2,64. 假設(shè)函數(shù)f(x) = x2+ ax+ b的零點是2和一4，貝U a=, b =.5. 假設(shè)f (x) =

6、ax b(b0)有一個零點是 3，那么函數(shù)g(x) = bx + 3ax的零點是.規(guī)律與方法 )1.函數(shù)的零點實質(zhì)上是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，方程f(x) = g(x)的根是函數(shù)y= f(x)與y= g(x)的圖象交點的橫坐標，也是函數(shù)y = f(x) g(x)的零點.2函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，有些方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解，同樣，函數(shù)問題 有時化為方程問題，這正是函數(shù)與方程思想的根底.合案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點思考1不是，函數(shù)的“零點是一個數(shù)，一個使f(x) = 0的實數(shù)x.實際上是函數(shù) y= f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.思考2不是.只有函數(shù)的圖象與x軸有公共點時，才有零點.梳理

7、1.等于零f( a ) = 0 2.有實數(shù)根 與x軸有交點 有零點題型探究2例 1 解 存在.因為 f (x) =- 8x + 7x + 1 = (8x+ 1)( x + 1),2 1所以方程一 8x + 7x + 1= 0有兩個實根一二和1 ,82 1即函數(shù)f (x) = 8x + 7x+ 1的零點是一石和1.8(2)存在.令f(x) = 0，即x2+ 4x 12x 2=0,解方程得x= 6( x= 2舍去),所以函數(shù)6.x + 4x 12f (x) = x的零點是一x 22 1跟蹤訓(xùn)練 1 解(1) f(x) = x2 x,x x 豐 0.3令 f(x) = 0, 即卩 x 1 = 0,二

8、 x = 1,2 1 f (x) = x 的零點為1.x當a= 0時，令y= 0得x= 2.1當a0時，令y= 0得x = 一或x = 2.a1i當a= 2時，函數(shù)的零點為一2；11ii當a：時，函數(shù)的零點為 a, 2.2a1綜上所述：當a= 0或§時，零點為2;當aK 且a 1時，零點為 2.2a例2解 令h(x)=|x 2x 3|和g(x)= a,分別作出這兩個函數(shù)的圖象如下圖，它們交點的個數(shù)即函數(shù)f (x) = | x2- 2x 3| a的零點個數(shù).假設(shè)函數(shù)有兩個零點，那么a= 0或a>4.假設(shè)函數(shù)有三個零點，那么a=4.引申探究解令f(x) = 0, 得 a 1 = 2

9、| x| x2.2令 yi = a 1, y2= 2| x| x ._ 2 f (x) = x 2| x| + a 1有四個不同的零點，y1= a 1, y2= 2| x| x2的圖象有四個不同的交點.畫出函數(shù)y= 2| x| x的圖象，如下圖.觀察圖象可知，0 v a 1 v 1,所以1v av 2.跟蹤訓(xùn)練2解2 令f(x) = | x 6x + 8| , g(x) = a,在同一坐標系中畫出f(x)與g(x)的圖象，如下圖,f(x) = |( x 3)2 1|.F面對a進行分類討論，由圖象得,當a<0時，原方程無實數(shù)解；當a= 1時，原方程實數(shù)解的個數(shù)為3;當0<a<1時，原方程實數(shù)解的個數(shù)為 4；當a>1或a= 0時，原方程實數(shù)解的個數(shù)為2.2例3解 令f(x) = ax 2(a+ 1)x + a 1,依題意知，函數(shù) f(x)有兩個零點，且一個零點 大于2, 一個零點小于 2.2> 0,1,0)和(1,2)內(nèi)，畫出示意圖f(x)的大致圖象如下圖:a> 0,那么a應(yīng)滿足f 2 v 0a> 0,即4a 4 a+ 1+ a 1 v 0,av 0,或4a 4 a+ 1+ a 1 > 0,解得0v av 5, a的取值范圍為(0,5)跟蹤訓(xùn)練3解由拋物