2021版高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步章末復(fù)習(xí)課學(xué)案蘇教版必修2

1、第二章平面解析幾何初步【學(xué)習(xí)目標(biāo).1 1.整合知識結(jié)構(gòu)，梳理知識網(wǎng)絡(luò)，進一步穩(wěn)固、深化所學(xué)知識2能熟練應(yīng)用待定系數(shù)法求直線與圓的方程 3能解決一些簡單的直線與圓的綜合問題， 滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué) 思想.ET知識梳理1. 直線的傾斜角和斜率i直線的傾斜角定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與X軸相交的直線，把 x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角特別地，當(dāng)直線與X軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°.傾斜角 a的取值范圍：直線的斜率 定義： 過兩點的直線的斜率公式： 斜率的求法依據(jù)傾斜角依據(jù)直線方程依據(jù)兩點的坐標(biāo) 2. 直線方程的幾種

2、形式的轉(zhuǎn)化3. 兩條直線的平行與垂直l 1： y = kix+ bi, 12： y = k2X + b2,I i / 12? ki = k2, bi 工 b2； I i 丄 12? kik2= 1.4. 兩條直線的交點Aix + By+ C= 0,I i： Ax+ Biy + C= 0與12： Ax + Ry+ C= 0相交，交點坐標(biāo)即方程組的Ax + B2y+ C2= 0一組解方程組解？ I 1 / I 2；方程組有解？ I 1與I 2重合5. 距離公式(1) 兩點間的距離公式平面上R(xi, yi) , P2(X2, y2)兩點間的距離公式PiP2 =.(2) 點到直線的距離公式 點P(x

3、o, yo)到直線I : Ax+ By+ C= 0的距離為d=. 兩平行直線11: Ax+ By+ C = 0與12： Ax+ By+ C2= 0的距離為d=,6. 圓的方程(1) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：. 2 2 圓的一般方程：x + y + Dx+ Ey+ F= 0.7點和圓的位置關(guān)系設(shè)點 P(X0, y°)及圓的方程(x a)2+ (y b)2= r2,2 2 2(1) (X。一 a)+(y。一 b)>r?點 P.(2) (X0 a)+(y0 b)<r?點 p.(3) ( X0 a) + (y0 b) = r ?點 P.8. 直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線I與圓C的圓心之間的距離

4、為 d,圓的半徑為r,那么 相離； 相切;相交.9. 圓與圓的位置關(guān)系設(shè)C與C的圓心距為d,半徑分別為1與2,那么兩圓:/亠護¥ W 位置關(guān)糸外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d 與 r 1,2的關(guān)系d> r 1+2| r 1眩|< d<1d=1+ r2d= | r1 r2|+ r2d<| r1 r2|10. 求圓的方程時常用的四個幾何性質(zhì)11. 計算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計算(2) 代數(shù)方法運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式AB= . 1 + k | Xa Xb|=/ 1 + k Xa+ X

5、b 4xaXb.注：圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法.12. 空間中兩點的距離公式一般地，空間中任意兩點Pi(xi, yi, Zi)，點P2(X2, y2，Z2)間的距離為PiF2 =.命題角度i求直線方程例i直線I被兩條直線I仁4x + y+ 3= 0和12:3x 5y 5= 0截得的線段的中點為P( i,2),求直線I的方程.反思與感悟待定系數(shù)法，就是所研究的式子 (方程)的結(jié)構(gòu)是確定的，但它的全部或局部系數(shù)是待定的，然后根據(jù)題中條件來確定這些系數(shù)的方法.直線的方程常用待定系數(shù)法求解.選擇適宜的直線方程的形式是很重要的，一般情況下，與截距有關(guān)的，可設(shè)直線的斜截式方程 或截距式方程；與斜率

6、有關(guān)的，可設(shè)直線的斜截式或點斜式方程等跟蹤訓(xùn)練i求在兩坐標(biāo)軸上截距相等，且到點A(3,i)的距離為 2的直線的方程.命題角度2求圓的方程例2根據(jù)條件求以下圓的方程(i)求經(jīng)過 A(6,5) , B(0,i)兩點，并且圓心在直線3x+ i0y+ 9= 0上的圓的方程； 求半徑為i0,圓心在直線 y= 2x上，被直線xy = 0截得的弦長為4,2的圓的方程反思與感悟求圓的方程主要是根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，利用待定系數(shù)法求解，采用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟第一步：選擇圓的方程的某一形式第二步：由題意得 a, b，r或D, E, F的方程組.第三步：解出a，b，r或D, E，F(xiàn).第四步：代入圓

7、的方程注：解題時充分利用圓的幾何性質(zhì)可獲得解題途徑，減少運算量，例如：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；圓心與弦的中點的連線垂直于弦；當(dāng)兩圓相交時，連心線垂直平分兩圓的公共弦；當(dāng)兩圓相切時，連心線過切點等跟蹤訓(xùn)練2如下圖，圓C與x軸相切于點T1,0，與y軸正半軸交于兩點 A，BB在A的上方，且AB- 2，那么圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .類型二分類討論思想的應(yīng)用例3直線I經(jīng)過點R 4，- 3，且被圓x+ 12+ y + 22= 25截得的弦長為8,求直線I的方程反思與感悟 對于求直線方程的問題， 用斜率表示直線方程， 要注意討論斜率不存在的情況 跟蹤訓(xùn)練3如圖，以點 A 1,2為圓心的圓與直線I 1： x

8、+ 2y+ 7 = 0相切過點B2,0的動直線I與圓A相交于M N兩點，Q是MN的中點，直線I與I i相交于點P.1求圓A的方程；當(dāng)MN= 2 19時，求直線I的方程類型三數(shù)形結(jié)合思想例4三條直線|仁x 2y= 0, l 2： y + 1 = 0, l 3： 2x+ y 1 = 0兩兩相交，先畫出圖形， 再求過這三個交點的圓的方程 反思與感悟本章直線的方程和直線與圓的位置關(guān)系中有些問題，如距離、傾斜角、斜率、直線與圓相切等都很容易轉(zhuǎn)化成“形，因此這些問題假設(shè)利用直觀的幾何圖形處理會收到很好的效果MA 1跟蹤訓(xùn)練4 點A 1,0),耳2,0)，動點Mx, y)滿足 =3,設(shè)動點M的軌跡為C.MB

9、 2(1)求動點M的軌跡方程，并說明軌跡C是什么圖形；(2) 求動點M與定點B連線的斜率的最小值；(3) 設(shè)直線l : y = x+ m交軌跡C于P, Q兩點，是否存在以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過點 A?假設(shè)存在，求出實數(shù) m的值；假設(shè)不存在，請說明理由當(dāng)堂訓(xùn)練1. 以下有關(guān)直線l : x + my- 1 = 0的說法:1直線i的斜率為一m直線|的斜率為一二 直線i過定點(0,1)；直線I過定點(1,0).其中正確的說法是.(填序號)2. 直線I過點A(3,4)且與點B( 3,2)的距離最遠(yuǎn)，那么I的方程為.3. 圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線3x+ 4y + 4= 0與圓C相切，那么圓

10、C的方程為4. 過點R 1,0)、qo,2)分別作兩條互相平行的直線，使它們在X軸上截距之差的絕對值為1，那么這兩條直線的方程分別為 . 2 25. 直線 x my+ 3 = 0 和圓 x + y 6x+ 5= 0.(1)當(dāng)直線與圓相切時，求實數(shù) m的值； 當(dāng)直線與圓相交，且所得弦長為®嚴(yán)時，求實數(shù)m的值.5規(guī)律與方法 1. 待定系數(shù)法是求解直線與圓的方程的一種非常重要的方法2. 涉及直線斜率問題時，應(yīng)從斜率存在與不存在兩方面考慮，防止漏掉情況3. (1)圓的切線的性質(zhì)：圓心到切線的距離等于半徑；切點與圓心的連線垂直于切線；切線在切點處的垂線一定經(jīng)過圓心；圓心、圓外一點及該點所引切線

11、的切點構(gòu)成直角三角形的三個頂點等等.(2) 直線與圓相交的弦的有關(guān)性質(zhì)：相交弦的中點與圓心的連線垂直于弦所在直線；弦的垂直平分線(中垂線)一定經(jīng)過圓心；弦心距、半徑、弦長的一半滿足勾股定理(3) 與直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)： 直徑是圓的最長的弦； 圓的對稱軸一定經(jīng)過圓心；直徑所對的圓周角是直角合案精析知識梳理1. (1)0 ° < a <180°(2) k = tan a ( a 90°)yyi k =(xiM X2)X2 Xi ''2. y= kx + b |+ b= i4 .無無數(shù)組；X2 Xi 2+2y2 yi| Axo+ By)+ C

12、-A2+ B2| C C|Ia2+ b26. (i)( x a)2+ (y b)2= r2(2)( Df+ E2 4F>0) 7. (1)在圓外 (2)在圓內(nèi) (3)在圓上8. d>rd= r d<r12.： X2 Xi 2+ y2 yi 2+ Z2乙題型探究 例1解 方法一 設(shè)直線I與l i的交點為A(X0, y°)，由條件，得直線I與12的交點為4X0 + y°+ 3 = 0,B( 2 X0,4 y0)，并且滿足 3 2 X0 54 y。 5 = 0,4X0 + y°+ 3 = 0,X0= 2,即解得3X0 5yo+ 31 = 0,yo= 5

13、,因此直線y 一 2 x 一 一 11的方程為5 2=2-1，即 3x+ y+ 1 = 0.方法二 當(dāng)直線I斜率的不存在時，經(jīng)檢驗知不合題意.設(shè)直線I的方程為y 2= k(x + 1),即 kx y+ k + 2= 0.k 5k + 4 .5k 155k 3kx y + k+ 2 = 0, 由4x + y + 3= 0,kx y + k+ 2 = 0, 由3x 5y 5= 0,k 5k+ 45k 155k 32,解得 k= 3.因此所求直線方程為y 2 = 3(x + 1),即 3x+ y+ 1 = 0.方法三兩直線l 1和12的方程為(4 x + y+ 3)(3 x 5y 5) = 0，將上

14、述方程中(x，y)換成(一2 x, 4 y)，整理可得11與1 2關(guān)于(一1,2)對稱圖形的方程為(4x + y+ 1)(3 x 5y + 31) = 0.整理得3x+ y+ 1 = 0，即為所求的直線方程.跟蹤訓(xùn)練1解 當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線的方程為y= kx，即kx y = 0.13 k一 1|1由題意知2= '2,解得k= 1或k = *.所以所求直線的方程為x y= 0或x+ 7y= 0.寸 k + 1“7當(dāng)直線不過原點時，x y設(shè)所求直線的方程為a+ a= 1,即 x + y a= 0.由題意知 * + - =T2,解得a= 2或a= 6.所以所求直線的方程為x+ y 2 =

15、 0或x + y 6= 0.綜上可知，所求直線的方程為x y= 0或x + 7y = 0或x + y 2= 0或x+ y 6 = 0.例2解1由題意知，線段 AB的垂直平分線方程為 3x + 2y 15= 0,3x + 2y 15= 0,x= 7,由解得3x + 10y + 9= 0,y= 3,圓心 Q7, 3)，半徑為 r = AC= 65.2 2所求圓的方程為(X 7) + (y+ 3) = 65.(2)方法一設(shè)圓的方程為(x a) + (y b) = r ,那么圓心坐標(biāo)為(a, b)，半徑為r =10,圓心(a, b)到直線x y= 0的距離為由半弦長，弦心距，半徑組成直角三角形，得2

16、( a b) = 4.又t b= 2a,24. ； 2 22 a bd2+h2=r2，即+ 8 = 10，a= 2, b= 4或 a= 2, b= 4,所求圓的方程為(x 2)2+ (y 4)2= 10 或(x+ 2)2+ (y + 4) 2= 10.方法二設(shè)圓的方程為(x a)2+ (y b) 2= 10,t圓心C(a, b)在直線y = 2x上， b= 2a.由圓被直線x y= 0截得的弦長為4)2,2 2將 y = x 代入(x a) + (y b) = 10,得 2x 2( a+ b)x + a + b 10 = 0.設(shè)直線y= x交圓C于點A(X1, yj ,B(X2, y2),那么

17、 AB=X1 X2 2+2y y2=,'2X1 + X22 4X1X2 = 4 羽,2 ( X1 + X2) 4x1X2= 16./ X1 + X2 = a+ b,2 . 2a + b 10X1X2=2 2 2°.(a+ b) 2( a + b 10) = 16,即 a b=± 2.又 b= 2a,a= 2,a= 2,或b= 4b= 4.2222所求圓的方程為(x 2) + (y 4) = 10 或(x+ 2) + (y + 4) = 10.跟蹤訓(xùn)練2 (x 1)2+ (y農(nóng))2= 22 2例3 解 圓(x+ 1) + (y+ 2) = 25的圓心為(一1, 2)，

18、半徑r = 5, 當(dāng)直線I的斜率不存在時，其方程為x= 4,由題意可知直線 x= 4符合題意. 當(dāng)直線I的斜率存在時，設(shè)其方程為y+ 3= k(x + 4)，即kx y + 4k 3 = 0.由題意可知| k + 2 + 4k 3| 28 22當(dāng)直線I與x軸垂直時, 易知x=- 2符合題意；當(dāng)直線I與x軸不垂直時，設(shè)直線I的方程為y= k(x + 2)，即kx y+ 2k= 0.連結(jié)AQ那么AQMN/ MN2 19, AQ= 20 19= 1 , 那么由 A(= F =1, 得 k = 4.4直線方程為3x 4y + 6= 0.綜上，直線I的方程為x= 2或3x 4y+ 6= 0.例4解畫圖如

19、下：由直線方程易知I 2平行于X軸，I 1與I 3互相垂直,三個交點 A, B, C構(gòu)成直角三角形，經(jīng)過A, B, C三點的圓就是以 AB為直徑的圓.x 2y = 0,x= 2,由解得y+1 = 0,y= i,點 A的坐標(biāo)為(2, 1).2x + y 1 = 0,x= 1,由解得y+1 = 0,y= 1,點B的坐標(biāo)為(1 , 1).1線段AB的中點坐標(biāo)為(一2, 1).又 AB= |1 ( 2)| = 3,1 229圓的方程是(x+ 2)+ (y+1) = 4.跟蹤訓(xùn)練4解(1)由題意，得 MA=x+ 1 2+ y2,MB= ; x 2 2+ y2.MA 1' x + 12+ y2 1t ME=2，x 2一2+ y2= 化簡，得(x + 2)2+ y2= 4.軌跡C是以(一2,0)為圓心，2為半徑的圓. 設(shè)過點B的直線為y= k(x 2).由題意，得圓心到直線的距離| 4k| < 2dkxi + X22y2 yi 22 Xi+ 222整理得(xi + X2+ 2) + (yi + y2)22=(Xi + X2)+ (yi+ y2) 4xiX2 4yiy2, 將代入得 m 3 m1 = 0,解得m= 33故當(dāng)m=彳2 I?時，存在以線段 PQ為直徑的圓經(jīng)過點 A.當(dāng)堂訓(xùn)練 .2.3 x+ y i3= 03.