固定收益證券計算題

1、計算題題型一：計算普通債券的久期和凸性久期的概念公式：其中，Wt是現(xiàn)金流時間的權(quán)重，是第t期現(xiàn)金流的現(xiàn)值占債券價格的比重。且以上求出的久期是以期數(shù)為單位的，還要把它除以每年付息的次數(shù)，轉(zhuǎn)化成以年為單位的久期。久期的簡化公式：其中，c表示每期票面利率，y表示每期到期收益率，T表示距到期日的期數(shù)。凸性的計算公式：其中，y表示每期到期收益率；Wt是現(xiàn)金流時間的權(quán)重，是第t期現(xiàn)金流的現(xiàn)值占債券價格的比重。且求出的凸性是以期數(shù)為單位的，需除以每年付息次數(shù)的平方，轉(zhuǎn)換成以年為單位的凸性。例一：面值為100元、票面利率為8%的3年期債券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折現(xiàn)率）為10%，計

2、算它的久期和凸性。每期現(xiàn)金流： 實(shí)際折現(xiàn)率： 息票債券久期、凸性的計算時間（期數(shù)）現(xiàn)金流（元）現(xiàn)金流的現(xiàn)值（元） 權(quán)重 （Wt）時間×權(quán)重（t×Wt）(t2+t)×Wt 1 40.0401（）0.04010.0802 2 40.03820.07640.2292 3 40.03640.10920.4368 4 40.03470.13880.6940 5 40.03300.16500.9900 6 1040.81764.905634.3392 總計94.9243 15.435136.7694即，D=5.4351/2=2.7176利用簡化公式：（半年）即，2.7175（

3、年）36.7694/（1.05）2=33.3509 ；以年為單位的凸性：C=33.3509/（2）2=8.3377 利用凸性和久期的概念，計算當(dāng)收益率變動1個基點(diǎn)（0.01%）時，該債券價格的波動利用修正久期的意義：（年）當(dāng)收益率上升一個基點(diǎn)，從10%提高到10.01%時，；當(dāng)收益率下降一個基點(diǎn)，從10%下降到9.99%時，。凸性與價格波動的關(guān)系：當(dāng)收益率上升一個基點(diǎn)，從10%提高到10.01%時，；當(dāng)收益率下降一個基點(diǎn)，從10%下降到9.99%時，又因為，債券價格對于收益率的降低比對收益率的上升更加敏感，所以凸性的估計結(jié)果與真實(shí)價格波動更為接近。23題型二：計算提前賣出的債券的總收益率首先，

4、利息+利息的利息=；r1為每期再投資利率；然后，有 債券的期末價值=利息+利息的利息+投資期末的債券價格；其中，投資期末的債券價格：；N為投資期末距到期日的期數(shù)；r2為預(yù)期的投資期末的每期收益率。例二：投資者用905.53元購買一種面值為1000元的8年期債券，票面利率是12%，半年付息一次，下一次付息在半年后，再投資利率為8%。如果債券持有到第6年（6年后賣出），且賣出后2年的到期收益率為10%，求該債券的總收益率。解： 6年內(nèi)的利息+6年內(nèi)利息的利息=元 第6年末的債券價格=元所以， 6年后的期末價值=901.55+1035.46=1937.01元 總收益=1937.01-905.53=1

5、031.48元 半年期總收益率= 總收益率=（1+6.54%）2-1=13.51%題型三：或有免疫策略（求安全邊際）例三：銀行有100萬存款，5年到期，最低回報率為8%；現(xiàn)有購買一個票面利率為8%，按年付息，3年到期的債券，且到期收益率為10%；求1年后的安全邊際。解：銀行可接受的終值最小值：100×(1+8%)5=146.93萬元； 如果目前收益率穩(wěn)定在10%： 觸碰線：萬元 1年后債券的價值=100×8%+=104.53萬元；安全邊際：104.53-100.36=4.17萬元； A B觸碰線所以，采取免疫策略為賣掉債券，將所得的104.53萬元本息和重新投資于期限為4年

6、、到期收益率為10%的債券。債券年收益率=題型四：求逆浮動利率債券的價格例四（付息日賣出）：已知浮動利率債券和逆浮動利率債券的利率之和為12%，兩種債券面值都為1萬，3年到期。1年后賣掉逆浮動利率債券，此時市場折現(xiàn)率（適當(dāng)收益率）為8%，求逆浮動利率債券的價格。解：在確定逆浮動利率債券價格時，實(shí)際上是將浮動和逆浮動利率這兩種債券構(gòu)成一個投資組合，分別投資1萬元在這兩種債券上，則相當(dāng)于購買了票面利率為6%、面值為1萬元的兩張債券。又因為在每個利息支付日，浮動利率債券價格都等于其面值，所以逆浮動利率債券價格易求。1年后，算票面利率為6%，面值為1萬的債券價格元 P逆=2P-P浮=2×96

7、43.347-10000=9286.694元題型五：關(guān)于美國公司債券的各種計算（債券面值1000美元、半年付息一次）（YTM實(shí)為一種折現(xiàn)率） 例五：現(xiàn)有一美國公司債券，息票利率為8%，30年到期，適當(dāng)收益率為6%，求債券現(xiàn)在的價值？ 解： 因為該債券面值為1000美元，每半年付息一次，所以：=+=1276.76元例六：現(xiàn)有一美國公司債券，息票利率為8%，30年到期，假設(shè)現(xiàn)在的售價為676.77美元，求債券到期收益率？解： 因為該債券面值為1000美元，每半年付息一次，所以：=通過上式求出該債券的半年期到期收益率為6%，因此該債券的年到期收益率為6%×2=12%例七：美國債券市場上交易

8、的一種零息債券，距到期日還有10年，到期價值為5000元，年適當(dāng)貼現(xiàn)率是8%，計算該債券的價值。解：因為該債券半年付息一次，所以每期貼現(xiàn)率為8%/2=4% n=20P=2281.93元例八：一種美國公司債券，票面利率是10%，2008年4月1日到期。每年的4月1日和10月1日分別支付一次利息。如果投資者在2003年7月10日購買，該債券的適當(dāng)貼現(xiàn)率是6%，則該債券的凈價是多少？全價是多少？（采用360天計算）解：2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日還有81天，且利息支付期為半年，即180天。那么n=81/180=0.45。元即該債券的凈價為1189.79元又因為距上一次付息日為18

9、0-81=99天，所以元即該債券的全價為27.5+1189.79=1217.29元例九：在美國債券市場上有一種2年期的零息債券，目前的市場價格為857.34元，計算該債券的年到期收益率。解：因為該債券為票面價格為1000元，半年付息一次，所以：通過上式求出該債券的半年到期收益率為3.9%，因此該債券的年到期收益率為3.9%×2=7.8% 例十：美國債券市場上有一種債券，票面利率為10%，每年的3月1日和9月1日分別付息一次，2005年3月1日到期，2003年9月12日的完整市場價格為1045元，求它的年到期收益率。（按一年360天計算）解：2003年9月1日距下一次利息支付日2004

10、年3月1日還有169天，半年支付一次。即n=169/180=0.9389又因為全價=凈價+應(yīng)付利息元所以，凈價=1045-3.06=1041.94元即，該債券的半年到期收益率為YTM=3.58%年到期收益率為3.58%×2=7.16%題型六：交稅方法例十一：一種10年期基金，票面利率為6%、按年付息、持有到期。政府對其收稅，稅率為20%。現(xiàn)有兩種交稅方式：一年一付；到期時一起付；問選擇哪種交稅方式更好？（改變哪個數(shù)值會造成相反的結(jié)果）解：設(shè)在某年年初購買該基金；基金面值為100元； 市場適當(dāng)收益率為r； 一年一付（年末付）：每年年末應(yīng)交：元現(xiàn)值：到期時一起付總利息為：10×

11、1.2=12元現(xiàn)值：若,則所以：當(dāng)市場適當(dāng)收益率為1%時，兩種交稅方式都可以； 當(dāng)市場適當(dāng)收益率大于1%時，選擇到期一起付； 當(dāng)市場適當(dāng)收益率小于1%時，選擇一年一付。附：課上提過的重點(diǎn)題例十二：有一個債券組合，由三種半年付息的債券組成，下次付息均在半年后，每種債券的相關(guān)資料如下：債券名稱 票面利率到期時間（年）面值（元）市場價格（元）到期收益率（年率） A 6% 61000951.68 7% B 5.5% 520 00020 000 5.5% C 7.5% 410 0009831.68 8%求該債券組合的到期收益率。（步驟：1、列表 ；2、列方程 ）解：若考試時試題未給出債券的市場價格，必須

12、計算出來。A：B：（平價出售）C：該債券組合的總市場價值為：951.68+20 000.00+9 831.68=30 783.36元列表：r為債券組合的到期收益率 期數(shù)A的現(xiàn)金流（元）B的現(xiàn)金流（元）C的現(xiàn)金流（元）債券組合的現(xiàn)金流（元）總現(xiàn)金流的現(xiàn)值（元） 1 30 550 375 955955/(1+r) 2 30 550 375 955955/(1+r)2 3 30 550 375 955955/(1+r)3 4 30 550 375 955955/(1+r)4 5 30 550 375 955955/(1+r)5 6 30 550 375 955955/(1+r)6 7 30 550

13、375 955955/(1+r)7 8 30 55010 37510 95510955/(1+r)8 9 30 550 580580/(1+r)9 10 3020 55020 58020580/(1+r)10 11 30 3030/(1+r)11 12 1030 10301030/(1+r)12 總市場價值30 783.36列方程： 所以該債券的半年期到期收益率為3.13%；其年到期收益率（內(nèi)部回報率）為6.26%。 例十三：APR與EAR的換算公式： 其中：EAR為實(shí)際年利率；APR為名義年利率；n為一年中的計息次數(shù)；A債券的年利率為12%，半年支付一次利息。B債券的年利率為12%，每季度支

14、付一次利息。C債券的年利率為10%，每季度支付一次利息。求這三種債券的實(shí)際年收益率。A：B：C：注：名義利率一樣，付息次數(shù)越多，實(shí)際收益率越大； 付息次數(shù)一樣，名義利率越大，實(shí)際收益率越大。 例十四：求債券總收益或總收益率（與題型二對比 此題沒有提前出售債券這一條件 故較為簡單）此時，債券的期末價值=總的利息+利息的利息+債券面值 總收益 =債券實(shí)際總價值-購買債券時的價格 求總收益率：公式：每期收益率=（期末價值/期初價值）1/n-1 實(shí)際年收益率=（1+每期收益率）m-1投資者用1108.38元購買一種8年后到期的債券，面值是1000元，票面利率為12%，每半年付息一次，下一次付息在半年后

15、。假設(shè)債券被持有至到期日，再投資利率等于到期收益率，分別計算該債券的利息、利息的利息以及總收益、總收益率。解： 半年期的YTM=5%，即每期的再投資利率為5%利息+利息的利息=元該債券的利息=60×16=960元利息的利息=1419.45-960=459.45元持有到期時債券的總價值=1419.45+1000=2419.45元總收益=2419.45-1108.38=1311.07元每期收益率=總收益率=例十五：（資產(chǎn)組合的久期）一個債券組合由三種半年付息的債券構(gòu)成，求該債券組合的久期，并說明利率變動時價格的變化。債券名稱面值（元）票面利率到期時間（年）市場價格（元）YTM（年）A10

16、006%6951.687%B20 0005.5%5200005.5%C10 0007.5%49831.688%解：1.若沒給出市場價格，先計算市場價格；2.利用簡化公式，求出各自的久期；3.得出修正久期，算出總D*；4.假設(shè)利率變動，計算現(xiàn)在的價格。久期的簡化公式：；分別計算出A、B、C的久期：（半年）（半年）=4.9276（年） （半年）（半年）=4.3201（年）（半年）（半年）=3.3887（年） 該債券組合的市場總價值等于951.68+20000+9831.68=30783.36元，債券A的權(quán)重為0.0309、債券B的權(quán)重為0.6497、債券C的權(quán)重為0.3194。因此，該債券組合的久期為：（年）這表明當(dāng)組合中的三種債券的年收益率都變動1個百分點(diǎn)時，組合的市場價值將會變動4.0414%。例十六：如何構(gòu)造理論上的即期利率曲線解鞋帶的方法： 假設(shè)存在5種政府債券，期限分別從1年到20年。這些債券都是平價債券，即價格與面值相等，等于100元。因為是平價債券，所以這些債券的到期收益率與票面利率正好相等。債券期限（年）YTM（票面利率）即期利率（）遠(yuǎn)期利率（）15%5%5%25.1%5