復(fù)變函數(shù)積分理論的研究

1、復(fù)變函數(shù)積分理論的研究摘要：本文對(duì)復(fù)變函數(shù)論中復(fù)積分的定義、基本性質(zhì)及相關(guān)定理等內(nèi)容進(jìn)行了歸納總結(jié)，重點(diǎn)論述了通過變量代換、柯西積分公式、柯西積分定理及留數(shù)定理來總結(jié)復(fù)積分的計(jì)算方法, 并從中揭示這些方法的內(nèi)在聯(lián)系。關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；變量代換；積分定理；積分公式；積分計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分是復(fù)變函數(shù)理論中的最基本的概念之一，也是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具，解析函數(shù)的許多基本性質(zhì)主要通過復(fù)變函數(shù)積分來體現(xiàn)。深刻理解并掌握復(fù)積分的理論體系對(duì)學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)是至關(guān)重要的，也有重要的應(yīng)用價(jià)值。復(fù)變函數(shù)積分主要是圍線積分，關(guān)于圍線積分的定理有柯西積分定理, 復(fù)合閉路定理, 柯西積分公式, 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,

2、留數(shù)定理等等, 定理多, 公式也較多，在具體計(jì)算積分時(shí)往往不容易找準(zhǔn)計(jì)算的方法。為此有必要對(duì)復(fù)變函數(shù)積分理論的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)、研究，對(duì)教材的內(nèi)容做一個(gè)系統(tǒng)化的處理。1. 復(fù)變函數(shù)積分的定義、計(jì)算問題及其基本性質(zhì)1.1 復(fù)積分的定義及計(jì)算問題1.1.1 復(fù)積分的定義定義1：設(shè)有向線段C：圖1以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)，沿C有定義，順著C從到的方向在C上取分點(diǎn)：把曲線C分成若干個(gè)弧段（如圖1所示）。在從到的每一弧段上任取一點(diǎn)。作成和數(shù)：其中。當(dāng)分點(diǎn)無限增多，而這些弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí)，即記 如果和數(shù)的極限存在且等于，則稱沿C（從到）可而稱為沿C（從到）的積分，并以記號(hào)表示： C稱為積分路徑。表示沿C的

3、正方向的積分，表示沿C的負(fù)方向的積分。 如果存在，我們一般不能把寫成的形式，因?yàn)榈闹挡粌H和有關(guān)，而且和積分路徑C有關(guān)。1.1.2 可積條件i. 必要條件：沿C可積的必要條件是沿C有界。ii. 充分條件：定理：若函數(shù)沿曲線C連續(xù)，則沿C可積，且1.1.3 復(fù)積分的計(jì)算問題設(shè)有光滑曲線C的參數(shù)方程為： 在上連續(xù)且有不為零的導(dǎo)數(shù)又設(shè)沿C連續(xù)，令 則有：即： 或：1.2 復(fù)積分的基本性質(zhì)設(shè)函數(shù) 沿曲線C連續(xù)，則復(fù)變函數(shù)積分有下列的性質(zhì)：1) 是復(fù)常數(shù)；2) ；3) ，其中C由曲線和銜接而成；4) ；5) ，這里表示弧長(zhǎng)的微分，即； 2. 復(fù)積分的基本定理2.1 柯西積分定理及其推廣 2.1.1 柯西積

4、分定理 定理1.（柯西定理）設(shè)函數(shù)在平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任意一條周線，則（此定理的證明比較困難，附加假設(shè)“在D內(nèi)連續(xù)”的條件后，給出簡(jiǎn)單證明。）證明：令，則易知： 而在D內(nèi)連續(xù)，導(dǎo)致在D內(nèi)連續(xù)，并適合C.-R.方程：，由格林定理得，故得： 定理2. 設(shè)函數(shù)在平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一閉曲線（不必是簡(jiǎn)單的），則圖2推論1. 設(shè)函數(shù)在平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則在D內(nèi)積分與路徑無關(guān)。即對(duì)D內(nèi)任意兩點(diǎn)，積分之值，不依賴于D內(nèi)連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的曲線。證明：設(shè)與是D內(nèi)連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的任意兩條曲線（如圖2所示）。則正方向曲線與負(fù)方向曲線就銜接成D內(nèi)的一條閉曲線C。于是由定理2

5、與基本性質(zhì)(3)有，因而 2.1.2 柯西積分定理的推廣 對(duì)于柯西積分定理，從兩方面對(duì)其進(jìn)行推廣：將C在區(qū)域D內(nèi)減弱為C是D的邊界；將有接單連通區(qū)域推廣為有界多連通區(qū)域。為此有如下結(jié)果。定理3. 設(shè)C為一條簡(jiǎn)單閉曲線，D是C的內(nèi)部，函數(shù)在閉區(qū)域上解析，則定理4. 設(shè)C為一條簡(jiǎn)單閉曲線，D是C的內(nèi)部，函數(shù)在D內(nèi)解析，在閉區(qū)域上連續(xù)，則定理5. 設(shè)與是兩條簡(jiǎn)單閉曲線，在內(nèi)部，在由，所圍成的雙連通區(qū)域D內(nèi)解析，在閉區(qū)域上連續(xù)，則 證明：在D內(nèi)作簡(jiǎn)單光滑弧，連接與（如圖3所示），將區(qū)域D分為兩個(gè)單連通區(qū)域,。的邊界為,邊界為。則在與內(nèi)解析，在與上連續(xù)，由定理4知，得，。又由于圖3EHABFP因此 從而

6、得 定理6. 設(shè)D是由復(fù)周線，所圍成的有界n+1連通區(qū)域，函數(shù)在D內(nèi)解析，則或?qū)懗?（沿外邊界積分等于沿內(nèi)邊界積分之和） 定理7.（復(fù)合閉路定理）設(shè)C為多連通區(qū)域D內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，是C內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線，它們互不包含也互不相交，并且以為邊界的區(qū)域含于D，如果在D內(nèi)解析，則有，其中，C及均取正方向。 2.2 不定積分原函數(shù)定理定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)定義2. 如果函數(shù)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則沿D內(nèi)任一曲線C的積分只與其起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)，因此當(dāng)起點(diǎn)固定時(shí)，這積分就在D內(nèi)定義了一個(gè)變上限的一個(gè)單值函數(shù)，我們把它記為變上限積分 定義3. 設(shè)在單連通區(qū)域D內(nèi)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于，則稱是 在單連通區(qū)域D內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)或不定積

7、分。定理8.（原函數(shù)定理） 設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則由定義2定義的函數(shù)在D內(nèi)解析，且定理9. 設(shè)（1）函數(shù)在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)；（2）沿區(qū)域D內(nèi)任一周線的積分值為零（積分與路徑無關(guān)），則函數(shù) （為D內(nèi)一定點(diǎn)）在D內(nèi)解析，且。定理8和定理9的證明詳見參考文獻(xiàn)1定理10. 設(shè)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，為的一個(gè)原函數(shù)，為區(qū)域D內(nèi)的兩點(diǎn)，則證明：由定理8知，在D內(nèi)解析，且，又由于。因此，從而，其中C為常數(shù)。令，由，知，則有定理11. 設(shè)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，為區(qū)域D內(nèi)兩點(diǎn)，則有 2.3 留數(shù)定理定義4. 設(shè)函數(shù)以有限點(diǎn)a為孤立奇點(diǎn)，即在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)解析，則稱積分為在點(diǎn)a的留數(shù)，記為。定理12.

8、（柯西留數(shù)定理）在周線或復(fù)周線C所范圍的區(qū)域D內(nèi)，除外解析，在閉區(qū)域上除外連續(xù)，則（“大范圍”積分）（證明詳見參考文獻(xiàn)1）定義5. 設(shè)為函數(shù)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，即在去心鄰域內(nèi)解析，則稱為在點(diǎn)的留數(shù)，記為，這里是指順時(shí)針方向（這個(gè)方向可以看成是繞無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的正向）定理13. 設(shè)函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)及外處處解析，則在所有奇點(diǎn)處的留數(shù)和為零，即 應(yīng)用此定理可以簡(jiǎn)化某些函數(shù)積分的計(jì)算3. 復(fù)積分的基本公式3.1 柯西積分公式 由柯西定理推得的最直接最重要的結(jié)果是柯西積分公式，且此公式也是復(fù)變函數(shù)論的基本公式。z圖4定理14. 設(shè)區(qū)域D的邊界是周線（或復(fù)周線）C，函數(shù)在D內(nèi)解析，在上連續(xù)，則有 證

9、明：作為的函數(shù)在D內(nèi)除點(diǎn)外均解析，現(xiàn)以點(diǎn)為中心，充分小的為半徑作圓，使及其內(nèi)部均含于D內(nèi)（如圖4）。在由C和所圍成的區(qū)域上應(yīng)用定理6，得 因上式右端的積分與的半徑無關(guān)，故只需證明。 事實(shí)上，注意到（見例1）以及在解析，從而更在連續(xù)。即，使，就有。我們可以得到：得證。柯西積分公式是解析函數(shù)的積分表達(dá)式。它使我們?cè)俅慰吹浇馕鲂詫?duì)復(fù)變函數(shù)性質(zhì)的限制多么嚴(yán)：解析函數(shù)在區(qū)域邊界上的值完全決定了在域內(nèi)任一點(diǎn)處的值。推論2. （平均值定理）若函數(shù)在圓內(nèi)解析，在閉圓上連續(xù)，則推論3. 如果函數(shù)在由簡(jiǎn)單閉曲線所圍成的閉域上解析，為D內(nèi)一點(diǎn)，則3.2 柯西導(dǎo)數(shù)公式引理：設(shè)區(qū)域D的邊界是周線（或復(fù)周線）C，函數(shù)在D

10、內(nèi)解析，在上連續(xù)，如果是D內(nèi)任一點(diǎn)，那么 且 定理15. 設(shè)區(qū)域D的邊界是周線（或復(fù)周線）C，函數(shù)在D內(nèi)解析，在上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，并且有 推論4. 設(shè)函數(shù)在平面上的區(qū)域D內(nèi)解析，則在D內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，并且它們也在D內(nèi)解析。4. 淺析利用復(fù)積分的定理和公式計(jì)算積分時(shí)需注意的問題 復(fù)變函數(shù)以其完美的理論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是其他學(xué)科解決實(shí)際問題的強(qiáng)有力的工具。然而，由于復(fù)積分的定理和公式紛雜繁多，運(yùn)用起來有一定的難度。通過對(duì)上述理論的歸納和總結(jié)可以得到下面的結(jié)論，利用這些結(jié)論可以快速準(zhǔn)確的找到計(jì)算復(fù)積分的方法。結(jié)論1. 積分路徑C是不封閉曲線時(shí)，被積函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)不解析，則與積

11、分路徑有關(guān)，根據(jù)復(fù)積分存在條件，運(yùn)用參數(shù)法解。具體步驟如下：第一步，寫出積分路徑C的參數(shù)方程： 第二步，將代入與中，得,第三步，由第二步得，計(jì)算該式右端關(guān)于實(shí)參數(shù)t的積分。參數(shù)法也是求復(fù)變函數(shù)積分的一般方法。例1、（一個(gè)重要的常用積分）這里C表示以為心，為半徑的圓周。（積分值與，均無關(guān)，可為0）。證：C的參數(shù)方程為：故 當(dāng)為整數(shù)且時(shí) 結(jié)論2. 積分路徑C是封閉曲線時(shí)，被積函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，且C在D內(nèi)。根據(jù)柯西積分定理，有。例2計(jì)算下列積分;（1） ，C為； （2），C為。解:（1） 因?yàn)?，?兩個(gè)被積函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都處處解析，故.（2） 因?yàn)?， ， 而在內(nèi)解析，故， （由例1知） 所以 。

12、例3. 直接得出下列積分的結(jié)果，并說明理由。 （1）； （2）； （3）； （4） 。解：（1），因?yàn)榕c都在全平面解析，所以被積函數(shù)在全平面解析。（2），因?yàn)榈钠纥c(diǎn)，即分母為零的點(diǎn)有兩個(gè)：，而。所以，被積函數(shù)在內(nèi)解析。（3），因?yàn)榈钠纥c(diǎn)是使的點(diǎn)，但離最近的點(diǎn)的，所以被積函數(shù)在內(nèi)解析。（4），因?yàn)楸环e函數(shù)在C內(nèi)解析。注：利用柯西積分定理也有一定的局限性，主要體現(xiàn)在被積函數(shù)上，只有某些特殊的函數(shù)或能拆成若干個(gè)特殊函數(shù)的函數(shù)計(jì)算起來比較方便。 結(jié)論3. 被積函數(shù)在D內(nèi)有有限個(gè)奇點(diǎn)，采用挖奇點(diǎn)法，即 可轉(zhuǎn)化為其中在區(qū)域D內(nèi)是解析的。 挖奇點(diǎn)的方法是根據(jù)復(fù)合閉路定理，把積分路徑C包含區(qū)域內(nèi)的奇點(diǎn)用互不相

13、交且不包含的幾個(gè)閉曲線將每一個(gè)奇點(diǎn)含于一條閉曲線中，再利用柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算積分。 例4. 計(jì)算積分，C：包含與的任意簡(jiǎn)單閉曲線，如圖5所示。x0 1y圖5解：，是的奇點(diǎn)，是的奇點(diǎn)，在與分別作互不相交，互不包含的小圓周，由復(fù)合閉路定理，有 例5. 計(jì)算積分的值。解：被積函數(shù)在區(qū)域C：內(nèi)有-1、0兩個(gè)奇點(diǎn)。運(yùn)用挖奇點(diǎn)的方法，取根據(jù)柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式有 結(jié)論4. 由留數(shù)定理：若函數(shù)在內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，則 （1）i. 若被積函數(shù)在積分回路C內(nèi)為解析函數(shù)，則在C內(nèi)無奇點(diǎn)，故被積函數(shù)的留數(shù)為零。由留數(shù)定理（1）式有 （2） （2）式即為復(fù)變函數(shù)積分的柯西定理：?jiǎn)芜B通區(qū)域內(nèi)的解

14、析函數(shù)沿閉路的積分為零ii. 若被積函數(shù)在積分回路C內(nèi)有一階極點(diǎn)，考察積分，其中為積分回路C的內(nèi)點(diǎn)，則是被積函數(shù)的一階極點(diǎn)。由留數(shù)定理（1）式以及一階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算公式，有 所以 （3） （3）式即是復(fù)變函數(shù)積分的柯西公式。iii. 若被積函數(shù)在積分回路C內(nèi)有階極點(diǎn)，考察積分，其中為積分回路C的內(nèi)點(diǎn)，則是被積函數(shù)的階極點(diǎn)。由留數(shù)定理（1）式以及階極點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算公式，有 所以 （4）（4）式為復(fù)變函數(shù)積分的高階導(dǎo)數(shù)公式。由以上的討論可以得出，留數(shù)定理與復(fù)變函數(shù)積分中的柯西定理，柯西公式和高階導(dǎo)數(shù)公式之間的關(guān)系為：柯西定理實(shí)際上是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)為解析函數(shù)的留數(shù)定理；柯西公式實(shí)際上是被積函數(shù)在

15、積分區(qū)域內(nèi)有一階極點(diǎn)的留數(shù)定理；高階導(dǎo)數(shù)公式實(shí)際上是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有階極點(diǎn)的留數(shù)定理。 例6. 計(jì)算積分，C為正向圓周。 解：被積函數(shù)在C內(nèi)的奇點(diǎn)為與，在C外的奇點(diǎn)為與，由定理13，有，而 ， ，為其可去奇點(diǎn)，故 所以 例7. 計(jì)算，其中C是不經(jīng)過0與1的閉光滑曲線。 分析：此題沒有明確給出積分路徑C，必須就點(diǎn)0、1與C的位置關(guān)系及的解析情況進(jìn)行討論，利用復(fù)積分基本定理與負(fù)積分計(jì)算公式求解。解：分以下四種情況討論：1.若封閉曲線C既不包含0也不包含1，則在C內(nèi)解析，由柯西定理有。2.若0在C內(nèi)而1在C外，則在C內(nèi)解析，根據(jù)柯西積分公式，有 3.若1在C內(nèi)0在C外，則在C內(nèi)解析，根據(jù)高階導(dǎo)

16、數(shù)公式有 4.若0和1都在C內(nèi)，則分別以0，1為圓心，以為半徑作小圓周和，根據(jù)復(fù)合閉路定理有 結(jié)束語通過本文的研究可以看出，復(fù)變函數(shù)積分這一知識(shí)點(diǎn)是有一定難度的，如果我們能對(duì)其理論進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)，注重各個(gè)定理與公式間的內(nèi)在聯(lián)系，就能更好的掌握復(fù)積分的理論體系。而在解有關(guān)復(fù)變函數(shù)積分的問題時(shí)，因題而異的選擇方法就會(huì)使問題簡(jiǎn)單化。只要我們充分理解和掌握在運(yùn)用定理和公式計(jì)算復(fù)積分所要滿足的條件即：首先從積分路徑和被積函數(shù)入手，確定積分路徑是封閉曲線還是不封閉曲線，然后再對(duì)被積函數(shù)在已給區(qū)域D內(nèi)的解析性加以分析判斷后，再?zèng)Q定采取什么方法來解決你所面對(duì)的積分問題。 參考文獻(xiàn) 1鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論M.北京

17、：高等教育出版社,2004.2路見可,鐘壽國(guó),劉士強(qiáng).復(fù)變函數(shù)M.武漢：武漢大學(xué)出版社,2002.3王玉玉,王健波.復(fù)變函數(shù)論全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解M.北京：中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社,2001.4鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論學(xué)習(xí)指導(dǎo)M.北京：高等教育出版社,2004.5譚欣欣,剛家泰.復(fù)變函數(shù)習(xí)題全解全析M.大連：大連理工大學(xué)出版社,1996.6James Ward Brown,RuelV.Churchill.Complex Variables and ApplicationsM.bei jing:China Machine Press,2002.7馮復(fù)科.復(fù)變函數(shù)與積分變換M.北京：科學(xué)出版社,2008.8王文

18、鵬,闕建華.復(fù)變函數(shù)積分的求解策略J.重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào).2007，4（5）：2-109張昆實(shí).留數(shù)定理與復(fù)變函數(shù)的積分J.高等函授學(xué)報(bào).2003，1（16）：13-15.10崔冬玲.復(fù)積分的計(jì)算方法J.淮南師范學(xué)院學(xué)報(bào).2006，3（8）：1-3.Research on the integral theory of Complex-variable functionGao Song-ye（Department of Mathematics， Xian University of Arts and Science,Xian ,710065 ）Abstract : The definition of complex-variable function is given. Some basic properties and related theorem in complex-variable function are summarized in this paper. It especially summarizes complex integral