平面向量與向量方法的應(yīng)用

1、平面向量與向量的方法的應(yīng)用 江西省寧都縣寧師中學(xué) 廖東明 一、用向量表示三角形的“心” （重心、內(nèi)心、垂心、外心） 在 ABC中，角 A,B,C所對的邊分別為 a,b,c 三角形“四心”的向量的統(tǒng)一形式： 引理：若 X 是 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，XA XB XC 0 證明： 這里只證明 XA XB 均為正數(shù)） 作 XMXA， XNXB ，1S XBC 2SXNP 1| XN|XP | sin NXP證明點(diǎn) X 為 MNP 的重心于是X 是 ABC 的心XA XB XC 0 則 S XBC : S XAC : S XAB : :XC 0|:SXAC :S XAB : : ( , , ，則 XM XN

2、 XP 0 容易| sin BXC，所以S XBC S XNP 3 所以 S XBC : S XAC : S XAB: : 取 S XBC ，則 S XAC ，S XAB ， S XBC XA S XAC XB S XBA XC 0 練習(xí)：S MNP ，同理 S XAC S MNP ，3S XAB3 S MNP ，XBC ，心I 是 ABC 的 1GA GB GC 0 G 是 ABC的2 a IA b IB c IC 03 sin 2 A OA sin2B OB sin2C OC 0 O是 ABC 的2 2 2OA OB OC O 是 ABC 的 心4H 在 ABC內(nèi)部，則 tanA HA t

3、anB HB tanC HC 0 H 是 ABC的 心HA HB HB HC2HA BC HB AC HC AB H 是 ABC 的 當(dāng)你學(xué)完正弦定理和余弦定理后，會(huì)有更多的表示方法AB AC 所在直線一定通過 ABC 的|AB| | AC|AB AC 所在直線一定通過 ABC 的ABACABAC所在直線一定通過 ABC 的| AB | cosB | AC | cosC已知 A,B,C是坐標(biāo)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足HB HC HC HA2 2 2 2ABC 的心心心心567心心心81OP (1 )OA (1 )OB (1 2 O)(C R)，則點(diǎn) P的軌跡一定經(jīng)過 ABC

4、的 3心( 答案 ： 1 重心 HA HB HB HC HC HA 因 為 H 在HA HB |HA| |HB |cos BHA |HA| | HB | cosC 2內(nèi) 心 3 外心 4 垂心 HB HC HC HA 因11SH A B 2 H A tHaBn，同理CSHAC2HA HCtanB，S HBC提 示： H 為 ABCABC 內(nèi) 部 ，2 S HAB cos C ， sin(180 C )1HB HC tanA 所以所以又S XBC XA SXAC XB S XBA XC 0，所以 tan A HA tanB HB tanC HC 0 ) 5內(nèi)心AP ( AB AC ),則 AP

5、BC ( | AB| cosB | AC| cosC| AB|BC | |BC | 0 ， 所 以 AP BC 1OP OA OB OC (OC OA) (OC OB)313OA OB OC) ( AC BC ) ， 所 以 AP BP CP (CA CB )3C D C A ，則C CA CB 3CPC( A CB ) ，即 3CP (1 ) CD 因?yàn)檫^ AB 的中點(diǎn)， C, P, D三點(diǎn)共線，所以 P 的軌跡一定經(jīng)過 ABC的重心) 二、三角形形狀的判定 1O 為 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 (OB OC )(OB OC 2OA) 0 ，則三角形 形狀為 三角形ABC 3DC A6重心

6、 7垂心提示：設(shè) AB AC ) BC | cosB | AC | cosC) 。 ) 8 重 心 提示：，設(shè)CD 經(jīng)1解：由條件，得 CB(OB OA OC OA) 0，即(AB AC)(AB AC) 0 ，所 22以 AB AC ，即| AB| | AC | 所以 ABC 是等腰三角形AB AC 2已知非零向量 AB 和 AC 滿足條件 (AC ) BC 0，且 AB AC 1，|AB| |AC| |AB| |AC| 2則 ABC 是 三角形AD AB AC ，則 AD 為 BAC 的角平分線；又由 AD BC 0得到 |AB| | AC|AD BC ，所以 AB AC 由 AB AC 1

7、 得到 A 60 ，所以 ABC 為等邊三角| AB | | AC | 22解：設(shè)形3 在 ABC 中 ， P c A C a P A b P B0 ，則是 BC 邊 的中 點(diǎn)， 角 A,B,C 的 對邊分 別 為 a,b,c ， 若 ABC 的形狀為 13解：因?yàn)?P是 BC邊的中點(diǎn)，所以 cAC aPA bPB cAC 21a(AB AC)1b(AB AC) 0 ，所以 (cabcab)AC a b AB因?yàn)?AB與 AC不共線， 22所以0且a b 0，所以 a b c，即 ABC 為等邊三角形 2三、向量分解問題1 如圖，兩塊斜邊 長相等 的直角 三角板拼 在一起 x ， y 1 解：

8、不妨設(shè) AB AC 1，則 DE BC 2 ，BD 2 3 6 由于 CA AB ，所以過點(diǎn) D 作 AB 的 22 垂線，與 AB 的延長線交于點(diǎn) M ，則 BDM 45 AD x AB y AC ， AB AC 1 ，則若 AD xAB yACx AB BM 1 6 2 2 3 ，2 2 2y DM 623 222 給定兩個(gè)長度為 1的平面向量 OA和OB ，它們的夾角為 120 如圖所示， 點(diǎn)C 在 以 O 為圓心的圓弧 AB 上變動(dòng)若 OC xOA yOB ，其中 x, y R ，則 x y 的最大值 是解法：設(shè) AOC ，由 OCOC OA xOA OA yOB OA,xOA yOB

9、可得，OC OB xOA OB yOB OB.1 cos x y, 即21 cos(120 ) x y.2 x y 2cos cos(120 ) cos 3sin 2sin( ) 2 x y 的 6最大值是 2 解法：以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， OA 為 x 軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則1 3 2B( , ) 設(shè) C(sin ,cos ) ( 0, 3 )，由 OC xOA yOB 可得，1， c o s x y ，2(cos ,sin ) x(1,0) y( 1,x c o s 3 s i ，ny 2 3sin ， x y cos 3sin 33 x y 的最大值是 2 解法：設(shè) AOC 線交 O

10、B 于點(diǎn) E ，A(1,0) ，3sin2y，2sin( ) 2 ，過點(diǎn) C作OB的平行線交 OA于點(diǎn)D ，過點(diǎn) C作OA的平行， |OD | x ， O A, O B 1 2 ，0 在 DOC 中 ， 由 正 弦 定 理 得 3 2 3x cos sin ， y sin ， 33，|OA| |OB| |OC| 及1 OC xOA yOB可知，|OE| |DC | y 1sin60 sin(120x y c o s 3 s i2ns i nsin，) x2 y 的最大值是 23O為 ABC內(nèi)一點(diǎn)， AOB 150 ，CO AO ，|OA| 1，|OB| 2，|OC| 3， 設(shè) OC xOA y

11、OB ，則 x y 3解法一： 過點(diǎn) C 作 OB 的平行線交 AO 的延 長線于點(diǎn) E ，過點(diǎn) C 作 OA 的平行線交 BO 的延長 線 于 點(diǎn) F ， 則EOC 90 。因?yàn)?|OA| 1，|OB| 2，|OC| 3， 所以O(shè)EC BOE 30 ，EC 2OC 6 ， OE 6cosOF 3OB ， OE 3 3OAOC 3 3OA 3OB ，所以 x 3 3 ， y 3 ，所以 3 3 3 解法二：因?yàn)?AOB 150 ，CO AO ，OC xOA yOB ，所以30 3 3 ，所OC OA xOA2 yOB OA，OC OC xOA OC yOB OC ，1，9 0 y 2 3 (

12、)，解得 y 3， x 3 3，所以 x y 3 3 3 。解法三：建立平面直角坐標(biāo)系， OC 為 CO AO，|OA| 1， |OB| 2，|OC| 3，OC xOA yOB，所以 (0, 3) x ( 1,0)y ( 3, ，1所) 以 x 3y 0且 y 3，解得 y 3 ， x 3 3 ，所以 x y 3 3 3 。四、向量間的夾角(余弦值)或夾角范圍問題1已知 a ， b都是非零向量，且 a 3b與7a 5b垂直， a 4b與7a 2b垂直， 與 b 的夾角AO 為 x 軸，因?yàn)?AOB 150 ，求a1解：依題意(a 3b) (7a 5b) 0，, 所以 (a 4b) ( 7a 2

13、b ) 0.22b2 2a b且 a2 2ab，所以|a| |b| 2a b，所以 cos227a 2 16a b 15b2 0,227a 2 30a b 8b2 0 a b a b解得因?yàn)?0, ，所以32 在 ABC 和 AEF 中， B 是 EF 的中點(diǎn)， AB EF 夾角的余弦值等于 ，A 所F|a |b| ( 2a b)21 ， BC 6 ，1，2，CA 33 ，2 ，則 E為AAC (AB BF ) 2C BA B2 因B為EAB 1A，33 1 36 1， BE BF ，所以33 11 BF ( AC AB) 1 2 ， 即 B F B C2 設(shè) EF 與 BC 的 夾 角2|

14、BF | | BC | cos 2 ，即 3cos 2 ，所以 cos 33已知 OFM 的面積為 S ，且 OF FM 1 ，若 1 S 3 ，則向量 OF 與22若 AB AE AC AF 2解AB (AB BE)AB因AAAC AB 33 12則 EF 與 BC 的夾角B A E A C2CF夾角的范圍是FM13解：設(shè)向量 OF 與 FM 的夾角為 ，則 S| OF | |FM |sin OFM21 1 1 3 OF | | FM | sin() OF FM tan tan 因?yàn)?1 S 3 ，所以向量 OF 與 FM 的夾角的范圍是 ( , ) 4 4 3ABC 中 ， A, B, C

15、 的 對 邊 分 別 為 a,b, c ， 重 心 為 G ， b G B3c0G，則C A 312|以1 tan 3 ，所以4aGA34因?yàn)?G為 ABC的重心，所以 GA GB GC 0，所以 aGA bGB 33cGCaGA bGB 3c( GA GB)3(a 3c)GA (b33c)GB 0 ，因?yàn)?GA 與GB 不 共 線 ， 所 以 a b 33c 設(shè) AB 的 中 點(diǎn) 為C D A B，所以cosA 1c 3 3 ，所以 A2 c 2 6平面向量與向量方法的應(yīng)用（二） （教師版） 一、平面向量基本定理與向量共線定理的應(yīng)用 1如圖， 在 ABC 中， 已知 BD 2DC ， AM

16、3MD ，過點(diǎn) M 于 P 、 Q 兩點(diǎn)，則 AB 2AC AP AQ1解：構(gòu)造基底 AB a ，AC b ，則 BC AC AB b a ， 2作直線交 AB、 ACBD 2BC 2(b a)， DC331AD AB BD a3AP AB a ， AQP、11BC (b a) ，333， AMAD411 a42 AC b ， 01，點(diǎn) 共 線 ， 所 以 AM (1 m)AP mAQ ( 11a b (1 m) a m b 42 1m，2又a、b不共線，01 因?yàn)辄c(diǎn)），AB 2ACAP消去m，得|AB|1所以4124，所以(1Q、M2交于點(diǎn)| 2|AC| |AP| | AQ|1 2 4AQA

17、BC中，D 為BC的中點(diǎn)， E為 AC邊上靠近點(diǎn) A的一個(gè)三等分點(diǎn)， AD 與 BE F ，求： AF 與 FD 的長度之比； BF 與 FE 的長度之比112解：設(shè) AB a，AC b，因?yàn)?D為 BC的中點(diǎn)，所以 AD a b因?yàn)?A,F,D22三點(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù) （ 0 ）使得 AF AD a b， 22因?yàn)?B,F,E 三點(diǎn)共線，所以 存在唯一實(shí)數(shù) （ 0 ）使得 BF FE，即11AF a （AE AF） （ b AF ） ，解得 AFab，3 1 3（1 ）1a因?yàn)?AB 與 AC不共線，所以比較得 1 ，解得3，1 ，1 2 3(1 ) 21AFBF所以 AF AD ，

18、BF 3FE ，所以1，3 2FDFE二、數(shù)量積(或模長)的取值范圍(或最值)問題2 1平面內(nèi)的向量 OA (1,1) ， OB ( 1, 1)，點(diǎn) P 是拋物線 y x2 2( 3 x 1) 上任意一點(diǎn)，則 AP BP 的取值范圍是 2 1解：由題意，可設(shè)點(diǎn) P(x, x2 2)( 3 x 1)，則BP OP OB (x 1,x2 3)，所以 222 2 ，因?yàn)?x 3,1 ，所以 x2 0,9 ，所以 AP BP 2,128 AP BP 表示為關(guān)于 x 的函數(shù)式，針對該函數(shù)式及x2AP OP OA (x 1, x2 1) ，AP BP (x 1,x2 1) (x 1,x2 3)x4 5x2

19、 2點(diǎn)評：將域多數(shù)情況下所得到的函數(shù)與二次函數(shù)有關(guān)，如本例令 t x2 ，則 AP BP t2 5t 22( t 0, 9 )注意從函數(shù) t x2 角度來確定 t 0, 9 ，不要得出錯(cuò)誤結(jié)論 t 1,9 2已知 a、 b是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且 |c| 13，c a 3， c b 4，則對于 任意實(shí)數(shù) t1、 t2， |c t1a t 2b |的最小值是 2解：依題意， | a | |b| 1，且ab 0，于是 |ct1a t2b|2c2t12a2t22b2 2t1c a2 222 2t2c b 2t1t2a b t12 t22 6t18t2 169 (t13)2 (t24)214414

20、4 ， 所 以|c t1a t2b| 12 ，當(dāng)且僅當(dāng) t1 3、t2 4時(shí)上式取得等號， 故所求的最小值為 12 ，選2 6 33 在長方形 ABCD中， AB，AD，O為AB的中點(diǎn)，若P是線段 DO33上動(dòng)點(diǎn)，則 (PA PB) PD 的最小值是 |OD| |OA|2 | AD|2 3,1 來求函數(shù)的值22 1因?yàn)镺為 AB的中點(diǎn)，所以3 解： 由 題意PA PB 2 PO，設(shè)|PD| x(0 x 1)，則| PO | 1 x，(PA PB) PD 2PO PD 1 2112x(1 x) 2(x1)11 ，故所求最小值為2222| PO| | PD | cos18022三、求面積比1 設(shè)

21、D 為 ABC 的邊AB 上一點(diǎn)， P為 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 AD 3AB, 4APA D25，B則CSAPDSABC1解 ： 連PD ，則 DP AP AD 52BC ，所以 DP/ BC ，故 ADP B ，故1AD DP sin ADP21 AB BC sin B2 2SAPDSABC3 2 31 故選4 5 10點(diǎn)評：由DP BC且 DP與BC沒有公共點(diǎn)推出 DP / BC ，再利用同位角相等和面 51積公式 S ab sin C 而使問題簡捷獲解22設(shè) O點(diǎn)在 ABC 的內(nèi)部，且有 OA 2OB 3OC 0，2解：延長OB至 E，使 OE 2OB，OA OE OF 0 ，所以 O

22、 為 AEF 的重心延 長 OC 至顯然 4 S AOC求 S ABC S AOC，使得 OF 3OC ，則 11S AOF S AEF 同理391 1 ，1S AOB 2S AOE 6S AEF ， S BOC6S EOF3 設(shè) 點(diǎn) P 是 ABC 內(nèi) 的 一 點(diǎn) ， 記11S AEF ，所以 S ABC S AEF 3S AOC 18 3S PABS PBCS PCA1， 2，3 ，SA BCS ABCS ABCf(P) ( 1, 2, 3) 若 AQ 1 AB 1 AC ，則 f (Q) _3211AEAB， AF AC ， 因 為323解：如圖，AQ AE A，F(xiàn)FQ / AB ，EQ

23、 / AC ，所以點(diǎn) Q到AB的1距離是點(diǎn) C 到 AB 的距離的 ，點(diǎn) Q 到 AC 的距離是點(diǎn) B 到2S QAB11S ABC21AC 的距離的 ，所以3S QACS ABC1，3所以 2 S QBCS ABCS ABC S QAB S QACS ABCOD 3 ，點(diǎn) P 為 則 的最大值等于1解：顯然點(diǎn) P 在線段 CB 上(不含點(diǎn) B )上無法取得最大值， 有可能取得最大值因?yàn)?OB OC OA， OD 3OA ，所以 OP 1(OB OA) OD (OB OD) OD OB (點(diǎn)共線時(shí)，1 ，所以3點(diǎn) P 在線段 BD 上才OC OD)OD 點(diǎn) B,P,D 三31 3 ，由幾何圖形

24、知0,1 ，所以 的最11 1 1113 所以 f (Q) ( , , ) 3 62 6 3四、求參數(shù)或參數(shù)和的取值范圍或最值1 四邊形 OABC 是邊長為 1 的正方形，點(diǎn) D 在 OA 的延長線上， BOD 內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)， OP OC OD ( , R )，G 場合時(shí) 1 13所以 的取值范圍是2 ，當(dāng)點(diǎn) P 在 BC 上時(shí) 1因?yàn)辄c(diǎn) P 是 GBC 3(3,1)e1 、 e2滿足 |e1| 2、|e2| 1，e1、 e2的夾角為 60內(nèi)一點(diǎn)，3 設(shè)兩個(gè)單位向量2te1 7e2 與向量 e1 te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 3解：由條，若向量件 ， 得 e1 4 ，22

25、2te12 (2t2 7)e12e22 1 ， e1 e2 2 1 cos60 17te22 2t2 15t 7 由 2t2 15t 7 0 1設(shè)2，所以(2te1 7e2 ) (e1 te2)1 解得 t 7 ， t2 2te1 7e2 (e1 te2)(0 )，因?yàn)?e1 、14 ， t 14 ，即當(dāng) t 14 時(shí)向量 2te1 7e2 與向量 e1 te2 的夾角為 22( 14 , 1)22，數(shù)形結(jié)合可得不等式實(shí)數(shù) t 的取值范圍為 ( 7,e222t2 15t 7 0 的解為 7 te2 不共線，所以 2t 且 7 t五、平面向量與平面幾何的交匯問題 1已知 O,H 為 ABC 的外

26、接圓的外心、垂心，求證：OH OA OB OC 證明：延長 BO交 ABC 的外接圓于D ，連結(jié) D A, D C，則 DA AB ， CD BC ，所以 DA / CH DC /CH ，所以 AH DC ，所以O(shè)A DC OA DO OC OA OB OC 2已知 ABC內(nèi)接于 O， AB AC，D為 AB的中點(diǎn)， 證： OE CD 證明：設(shè) OA a， OBOH OA AH，得到故b， OC c ，因?yàn)?D 為 AB 的中點(diǎn)， 1E 為 ACD 的重心，所以 OD (a b) ， OE OD DE21 OD (OC OD OD OB)311 b c ， CD OD OC631OD (DC

27、DA)311 (a b) (c b)21a21 b c 211 所以 OE CD ( a b21 2 1 2bc12E 為 ACD 的重心求1 1 1 1c)(1a 1b c)3 2 21 2 2 2c a (b c) (因?yàn)?|a|2 |b|2 |c| R)3AO 為 BC 的中垂線，所以 a (b c) 0 所以21a361 2 1 2 1 2 1 a b c a b4 12 3 3 因?yàn)?AB AC ， OB OC ，所以O(shè)E CD 0 ，故 OE CD 3 設(shè)向量 a，b滿足： |a| 3，|b| 4，a b 0以 a，b，a b的模為邊長構(gòu)成則它的邊與半徑為 1 的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多

28、為 三角形，3解： |a| 3，|b| 4，a b 0， |a b| a2 b232 42 5 a，b，均為正數(shù)） 作 XMXA， XNXB ，1S XBC 2S XNP 12 | XN |XP |sin NXP11 ，所以證明點(diǎn) X 為 MNP 的重心于是SX BCS XNP以SXBC :SXAC :SXAB取 S XBC ，則 S XAC ，練習(xí)：S MNP ，同理 S XACS MNP ，S XAB S MNP ， 所:S XAB ， S XBC XA S XAC XB S XBA XC 0 1GA GB GC 0 G 是 ABC的2a IA b IB c IC 0 I 是 ABC 的

29、3 sin 2 A OA sin2B OB sin2C OC 0 O是 ABC 的2 2 2OA OB OC O 是 ABC 的 心4 H 在 ABC 內(nèi)部，則 tanA HA tanB HB tanC HC 0 H 是 ABC 的 心心心心34 a b 的模為邊長構(gòu)成三角形是一個(gè)直角三角形， 其內(nèi)切圓半徑 r1 當(dāng)半徑為345 1的圓所處的位置正好是三角形的內(nèi)切圓位置時(shí)，三角形與圓只有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)圓的位置偏 離后使得三角形有兩條邊與圓相交時(shí)，能實(shí)現(xiàn) 4 個(gè)交點(diǎn)的情況，但 5 個(gè)以上的交點(diǎn)不能實(shí) 現(xiàn)因此公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為 4 個(gè)平面向量與向量的方法的應(yīng)用（一） （學(xué)生版）一、用向量表示三角形的“

30、心” （重心、內(nèi)心、垂心、外心） 在 ABC中，角 A,B,C 所對的邊分別為 a,b,c三角形“四心”的向量的統(tǒng)一形式： X 是 ABC 的心 XA XB XC 0 引理：若 X 是 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，則 S XBC : S XAC : S XAB : :XA XB XC 0 ,證明：這里只證明 XA XB XC 0 SXBC :S XAC : S XAB: :XP XC ，則 XM XN XP 0 容易 | XB| XC | sin BXCHA HB HB HC HCHA2當(dāng)你學(xué)完正弦定理和余弦定理后，會(huì)有更多的表示方法HC HC HAH 是 ABC 的 2 2 2 2 2BC HB AC

31、 HC AB H 是 ABC 的心心5A67AB 所在直線一定通過 ABC 的 |AB| | AC|AB AC所在直線一定通過 ABC 的AB AC心心所在直線一定通過 ABC 的 | AB | cosB | AC | cosC心8O P 1 (1)O A (13心(OB OC )(OB OC 2OA) 0 ，則三角形2已知非零向量 AB 和 AC 滿足條件則 ABC 是 三角形AB AC AB AC( ) BC 0 ，且| AB| | AC| AB| |AC|已知 A,B,C 是坐標(biāo)平面內(nèi)不共線 的三點(diǎn)， O 是坐 標(biāo)原點(diǎn) ，動(dòng)點(diǎn) P 滿 足)OB (1 2 O)(C R )，則點(diǎn) P 的軌

32、跡一定經(jīng)過 ABC的二、三角形形狀的判定1O 為 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 形狀為 三角形3 在 ABC 中 ， P 是 BC 邊 的中 點(diǎn) ，角 A,B,C 的 對 邊分 別 為 a,b,c ， 若 c AC aPA bPB0，則 ABC的形狀為 三、向量分解問題1如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起若AD xAB yAC ，則 x ， y 給定兩個(gè)長度為 1 的平面向量 OA和 OB ，它們的夾角為120 如圖所示，點(diǎn) C 在以 O 為圓心的圓弧 AB 上變動(dòng)若 OC xOA yOB ， 其 中 x,y R ， 則 x y 的 最 大 值 是3O為 ABC內(nèi)一點(diǎn)， AOB 150

33、，CO AO ，|OA| 1，|OB| 2，|OC| 3，四、向量間的夾角（余弦值）或夾角范圍問題1已知a，b都是非零向量，且 a 3b與7a 5b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求 a 與 b 的夾角2 在 ABC 和 AEF 中， 若 AB AE AC AF 2 ，則的夾角的余弦值等于3已知 OFM 的面積為 S，且 OF FM1，若 2 S 2，則向量 OF 與 FM 的夾角的范圍是aGAABC 中 ， A, B, C 的 對 邊 分 別 為 a,b,c b G B c0G，C則 A 平面向量與向量方法的應(yīng)用（二） （學(xué)生版） 一、平面向量基本定理與向量共線定理的應(yīng)用 1如圖，在 ABC 中，已知 BD 2DC ， AM 3MD ， 過點(diǎn) M 作直線交 AB 、 AC 于 P 、 Q 兩點(diǎn)，則 AB 2AC AP AQ2 ABC 中， D 為 BC 的中點(diǎn)， E 為 AC 邊上靠近點(diǎn) 等分點(diǎn)， AD 與 BE 交于點(diǎn) F ，求： AF 與 FD 的長度之比； FE 的長度之比二、數(shù)量積（或模長）的取值范圍（或最值）問題1平面內(nèi)的向量上任意一點(diǎn)，則 AP BP 的取值范圍是)OA (1,1) ， OB (